高中数学知识点总结_直线的方程、两条直线的位置关系、线性规划.doc

要点重温之直线的方程、两条直线的位置关系、线性规划1直线的倾斜角的范围：0，x轴及平行于x轴的直线倾斜角是0而不是；y轴及平行于y轴的直线的倾斜角为而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）会求倾斜角（的范围），记住：当倾斜角是锐角时，斜率k与同增同减，当是钝角时，k与也同增同减。斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标方向向量（以=（m,n）（m0）为方向向量的直线的斜率为）。关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。举例1已知两点A(1，5)，B(3，2)，直线l的倾斜角是直线 倾斜角的一半，则直线l的斜率为： 解析：记直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，其斜率tan2= tan=-3或tan=而由tan2=0得2是锐角，则（0，），AOxytan=。举例2 函数的值域为 。解析：记P（cos,sin）,A(-3,1)则y=kPA，P点的轨迹是圆心为原点的单位圆，如右图：当直线PA与圆相切时，其斜率分别为0和，y=kPA ，0。注：这里存在一个kPA在0与“之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。巩固1 已知直线：则倾斜角的范围是： 。巩固2实数x,y满足的取值范围为（ ）ABCD迁移 点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、 B、 C、 D、2“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2个，而其它各种形式中都是3个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式”）：却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。举例已知直线：kx+y-k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是 （填上所有正确命题的序号）。直线对任意实数k恒过点P（1，-2）；方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P（1，-2）的直线；当k=1及k=2时直线在坐标轴上的截距相等；若，则直线与直线AB及直线都有公共点；使得直线与线段AB有公共点的k的范围是-3，1；使得直线与线段AB有公共点的k的范围是，-31，。解析：直线：y +2= - k（x -1）恒过P（1，-2），方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，当k= -1时直线在坐标轴上的截距相反；若，则点M（x0,y0）在直线AB上（截距式），又点P（1，-2）在直线，而直线过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，与直线有公共点P；直线与线段AB有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题正确。巩固已知圆C：x2+(y-)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条？迁移 对任意实数m，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆恒有公共点，则m的取值范围是 。3.“到角”的范围：（0，），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线有关的问题；“夹角”的范围：（0，。两直线：A1x+B1y+C1=0,：A2x+B2y+C2=0平行、垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式”），如：A1A2+B1B2=0，若、不重合，则A1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。举例1直线：x=1到直线：2x+y+1=0的角是： （ ）Aarctan2, Barctan C- arctan2 D arctan(-)解析：记直线到的角为，直线的倾斜角为，作图可见=-，tan=-cot=,故选B。举例2已知P（x0,y0）是直线：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f（x0,y0）=0与直线的位置关系是 ； 设a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，则直线:与直线的位置关系是 。解析：方程f(x,y)=0与f(x,y)+f（x0,y0）=0两变量的系数完全相同，而f（x0,y0）0，即常数项不同，故平行；由正弦定理知：，故垂直。巩固已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2夹角的范围为0，时，a的取值范围是：A.(,1)(1,)，B.(0，1) ， C.(,)， D.(1,)迁移直线与直线互相垂直，则|的最小值是：A1B2C4D5 （ ）4点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。举例 已知5x12y60，则的最小值是:A. B. C. D. 1解析：表示直线：5x12y60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线的距离，选A。注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。巩固直线过点（1，0），且被两平行直线3x+y-6=0和 3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线的方程为 。迁移 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=，则P点的轨迹是：A圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线提高若a、b、c为实数，恒存在实数x,y,使得ay-bx=c0,则a、b、c满足: A.c2a2+b2 B.c2a2+b2 C.c20(a0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧，不等式ax+by+c0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧；a0时情况相反。也可以说：不等式ax+by+c0(b0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方，不等式ax+by+c0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方；b0时情况相反。目标函数z=mx+ny(m0)在“可行域”D内的最值：令mx+ny=0, 在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧，此时z取得最小值; 位于最右侧，此时z取得最大值;m0), 也可以说：在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最下方，此时z取得最小值; 位于最上方，此时z取得最大值;n0)取得最小值的最优解有无穷多个, 求a的值。解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax+y=0并平移使之与过点C（）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a0，只能和AC重合，a=1举例2已知点P(3,-1)和Q(-1,2)，直线：ax+2y-1=0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为：A.1a3 B.a1或a3 C.a1 D.a3解析：本题可参照“3举例”的做法，确定直线的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决：直线与线段PQ有公共点即点P、Q在直线的两侧或在直线上，记：f (x,y)= ax+2y-1,则f(3,-1)f(-1,2) 0,解得：a1或a3，选B。“3举例”也可照此办理。巩固1 已知x,y满足约束条件：2x-y0,x+y-20,6x+3y18,且z=ax+y取得最大值的最优解恰为（,3），则a的取值范围是 。巩固2点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是 。迁移 双曲线x2-y2=1右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为，则a+b的值是( ) A. - B. C. -或 D.2或7关注“线性规划”问题的各种“变式”：“可行域”由不等式和方程共同确定（为线段或射线），“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，“约束条件”非线性，目标函数非线性，如：（斜率），（距离）等。A举例 实系数方程的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是 解析：=，数形结合容易得到使实系数方程的两根分别在(0，1)和(1，2)内当且仅当： 点P（，）的可行域如右，记A（1，2），线段PA的斜率为，=,1。巩固 若x,y满足:x+y-30,x-y+1=0,3x-y-50,设y=kx,则k的取值范围是_提高 已知不等式ax2+bx+a0)的解集是空集，则a2+b2-2b的取值范围是 。简答1巩固1，巩固2A，迁移B；2、巩固3，迁移；3、巩固C， 迁移B；4、巩固4x+3y-4=0或x=1；迁移将条件变形为： ，由圆锥曲线的统一定义知P点轨迹为双曲线；提高 将条件变形为：，问题转化为：直线和圆的公共点，于是有： 即：c2a2+b2；5、巩固 ，迁移A；6、巩固1 -2a2，巩