用留数定理计算实积分.doc

2. 用留数定理计算实积分一、教学目标或要求：真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法重点：用留数定理计算实积分的方法难点：定理的应用三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：472. 用留数定理计算实积分留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来.把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体介绍几个类型的实变定积分.1. 计算型积分令，则与均可用复变量表示出来，从而实现将变形为复变量的函数的愿望，此时有 同时，由于，所以，且当由变到时，恰好在圆周上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。至此，有 于是，计算积分的方法找到了，只需令即可。例 求。解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 内， 仅以 为一级极点，在 上无奇点，故由留数定理当时,在内仅以为一级极点,在上无奇点， 例 计算积分 .解：令得： 先求的奇点及其留数.令其分母为零得： 这就是的两个单极点.单极点的模为：所以极点在单位圆内.而单极点的模为:所以在单位圆外，在极点处.此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分：之值.为此，在前例中，用代得：两也对a求导得：令a=1得，即：例 求。解 为偶函数，故 ，令 ，则 在 内部 仅有 为一级极点， ，故 ，比较实部得 ，故 。例 计算积分.解：若直接作变换，则积分复杂，若先考虑积分:作变换：，则:因为的阶极点.所以：故：比较两边的实部和虚部得：。1 计算型积分 由于，考虑添加辅助曲线与实轴上是区间 构成围线 ，则 ，其中为落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出的值，再取极限即得。引理6.1 设在圆弧充分大)上连续,且在上一致成立(即与中的 无关)，则 。证 ，由于 在 上一致成立，故 ， 定理6.7 设为有理分式，其中 ，为互质多项式,且（1） ；（2）在实轴上 ，则 。证 由,存在,且 。作,与线段一起构成围线,取足够大，使的内部包含在上半平面内的一切孤立奇 点,由在实轴上知,在上没有奇点,由留数定理得 ，又 。由于当时,，由引理6.1， ，于是 。例设，计算解： 为偶函数，所以函数的奇点为故在上半平面的奇点为：，而：例 计算积分。解 经验证，此积分可用（7.11）式计算首先，求出在上半平面的全部奇点令 即 于是，在上半平面的全部奇点只有两个： 与 且知道，与均为的一级极点其次，算留数，有最后，将所得留数代入（7.11）式得.3 积分 的计算 引理6.2(Jordan) 设在半圆周充分大)上连续,且 在 上一致成立，则。证 ，由于 在 上一致成立，故 , Jordan不等式 。由于 ， 故 ，于是 。定理6.8 设,其中及为互质多项式,且（1） 的次数比 的次数高；（2）在实轴上 ；（3） ，则 ，特别地分开实、虚部就可以得到 与 的积分。证略。例 计算积分。解：为偶函数，有两个单极点 ，其中在上半平面，其留数为：例 计算积分解 经验证，该积分可用（6.14）式计算首先，求出辅助函数在上半平面的全部奇点由解得与为的奇点，而，所以，在上半平面只有一个奇点，且为的一级极点其次，计算留数有最后，由（6.14）式得。例 计算积分 解 若令 则，即的实部为。因此，为了计算，只需求出积分 即可，而该积分可用（6.11）式计算。为用（6.11）式，先求出辅助函数 在上半平面的奇点只有点（另一个奇点为），于是，由（6.14）式得 而 故 从而有 于是 即 这里要指出的是，由所求积分的特征，计算所给积分也可直接利用（6.14）式进行。复变函数论 课程教案授课题目（教学章节或主题）：第二节 续授课类型理论课授课时间第 15 周第12 节教学目标或要求：掌握 积分路径上有奇点的积分的计算 典型例题教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：积分路径上有奇点的积分的计算 典型例题重点：积分路径上有奇点的积分的计算难点： 典型例题教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习： 265 页15参考资料（含参考书、文献等）：单复变函数 J.B. 康威 著 吕以辇 张南岳 译上海科学技术出版社 1985注：1、每项页面大小可自行添减；2一次课为一个教案；3、“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4、授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课等。4.计算积分路径上有奇点的积分前面所讲的三种类型都是 在实轴上没有奇点的情况，如果 在实轴上有奇点。那么前述计算方法不完全适用。例如在实轴上有一个奇点(为实数)，要计算 ，在作辅助线时，应绕过奇点，具体办法是在上半平面，作一个以为心，半径为的半圆周，积分沿进行，然后令取极限(如图所示)令，上式左端用留数定理计算，再令 若满足引理条件，主要的就是求积分.如果实轴上有n个奇点，那么分别以各奇点为心，为半径作上半平面的半圆，经过奇点即可，例 计算狄利克雷积分解：先将积分变换为对于第二个积