公众满意,我们的追求.doc

2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是： C题 雨量预报方法的评价 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 北京大学医学部 参赛队员 (打印并签名) ：1. 胡奇 2. 潘德林 3. 郑铮 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导小组 日期： 2005 年 9 月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：公众满意，我们的追求摘要本题的内容就是对两种预测方法给出不同方式与角度的评价方式。我们建立模型逐步深入地讨论影响对预测方式评价标准的因素，给出两种预测方法的应用范围与适用范围。在第一个模型中，对预测方法的评价必然需要对预测值与实测值的误差进行分析。我们首先通过欧拉距离计算出绝对误差。随后，我们考虑到同样的预测能力对于小降雨量的预测较之对大降雨量的预测更易取得较小的绝对误差，因此我们决定引入不同降雨量绝对值对于绝对误差的影响权重，建立了预测误差权重模型，对欧拉距离进行修饰。同时，我们考虑对每天四个时段的降雨预测的困难程度是不相同的，随着时间的推移，对于降雨预测的准确度将会越来越差。我们建立了预测难度增长模型。引入早期预测难度指数与预测难度增长因子，通过比较对未来雨量的预测难度来衡量二预测方法的优劣。故此，我们通过比较权重误差大小以及预测困难度增长速度两种方法对预测方法进行评价。我们得到结论：第一种预测方法在早期预测中难度相对较大，其预测难度上升较慢；第二种预测方法在早期预测中难度相对较小，其预测难度上升较快。在实际预报中，降雨量总是被划分为不同的等级。根据这一事实，我们把上述的数据评价模型转换为等级评价模型，根据级差来评价预测方法的优劣。在接下来的模型中，我们从公众的感受出发，考虑两种预测方式造成的误差给公众带来的不满意程度对二者进行评价。我们认为，由于生活环境不同，农村居民与城市居民对于预测误差的不满意度存在差别。根据题目给出的经纬度范围，我们在地图上精确寻找出各观察点所在位置及当地城市，农村分布情况，将91个观测点划分为城市观察点与农村观察点分类讨论。我们根据资料认为，当降雨等级不同时，影响人们对预测误差不满意度的主要因素不同。另外，由于不同时间段的降雨对人们活动的影响不同，相应时段的预测误差给人们带来的不满意程度也不相同。最后，我们根据上述的评价，对两种预测方法的应用范围及改进给出了建议。简介对于两种预测方法的评价，我们通过做预测点的等高线，得到91个测量点的预测值，我们分别建立误差权重模型与预测难度增长模型通过比较相对误差大小，早期预测难度指数以及预测困难度增长速度等指标对预测方法进行评价。在实际预报中，降雨量往往被划分为不同的等级，按照本题提供的分级方式，我们对两种预测结果进行了分级，再次进行预测评价。建立了对两种预测方法的客观评价模型。当引入公众感受时，我们认为农村居民与城市居民对预测误差的感受是不同的，根据题目给出的经纬度范围，我们在地图上精确寻找出各观察点所在位置及当地城市，农村分布情况，将各观察点分成两类讨论，分别建立城市与农村居民对预测误差的不满意度模型。我们同时引入了居民对各时段预测误差的不满意度差别，根据综合不满意程度，对两种预测方式进行评价，依据不满意度对二者的适用范围提出建议。模型的建立假设：1.我们认为降雨量绝对值对于绝对误差的影响权重与预测困难度的增长是干扰评价准确性的最主要因素，其他因素可忽略。2.当考虑到人们的感受时，我们假设降雨只给人们带来不满意度，而且不满意程度随降雨量的增加而增加，不考虑降雨给人们带来的正面感受。3.我们假设S形的逻辑斯蒂曲线能够较好地反映出在降雨量不断增加时，人们不满意度的灵敏度变化情况。4.我们假设公众不满意度的等级划分是平均分布，逐级呈线性递增的。符号定义符号意义预测误差降雨量数值（包含实测与预测）时间预测难度增长因子,逻辑斯蒂函数待定系数时段的重要性参数公众不满意度降雨级别建立模型一.通过数据误差建立的评价模型1.误差权重模型评价两种预测方式，比较实测值与观测点的预测值之间的误差可以认为是最有说服力的方法，因此在建立模型的第一步，我们首先需要推知在观测点的预测值。利用插值法，我们求得了从6月18日到7月31日各观测点四个时段的预测值。我们采用距离来描述两组预测值分别与实测值的相近程度。距离是描述样本间相似性很直观的且应用性很强的度量。最常用的两种距离是欧拉距离和绝对距离：欧拉距离 （1）绝对距离 （2）由于欧拉距离更加体现了误差的均衡性，特别是在对大样本数据的处理中，均衡性的地位愈加重要，在建立该模型时，我们采用了欧拉距离来衡量误差。根据该地区的降雨量预测数据，我们利用插值法推知91个观测点所在位置的降雨量预测值，通过进行欧拉距离运算，我们得到两个预测方法距实测值的绝对误差（E）。以下是利用插值法得到的在6月18日第一时段用方法一对于整个地区的降水的预测值分布图。图1.预测方法1 预测方法2 但是，降雨量的绝对大小对预测的绝对误差是有影响的，同样的预测能力对于小降雨量的预测较之对大降雨量的预测更易取得较小的绝对误差，因此我们决定引入不同降雨量绝对值对于绝对误差的影响权重。我们认为用相对误差代替绝对误差是较为科学的，即用实测降雨量值的倒数作为权重。 （3）可是，我们发现，很多时间段的实际降雨量为0。为了得到相对误差，我们将实测值与预测值数据全部加上一极小数值，于是相对误差为： （4）（+0.1）预测方法1 预测方法2 两预测误差的距离：（+0.2）预测方法1 预测方法2 两预测误差的距离：这样消除了实测值为0造成的相对误差计算困难，当各统计数据分别加上0.1和0.2时，得到的评价结果一致。由于我们所加入的值很小，所以作此处理对相对误差影响很小，不会影响对预测结果的评价，是必要的数学处理。因此根据对于相对误差的比较，我们认为预测方法一较好。2. 预测难度增长模型另一个不可忽视的问题是，对每天四个时段的降雨预测的困难程度不是相同的。下一时段的预测是以前一时段的预测为依据的，随着时间的推移，对于降雨预测的准确度将会越来越差，距预测起始点时间越长预测难度越大。两种预测方法的预测难度，同样作为评价二者的标准。由于对下一时刻的预测难度增长与该时刻的预测难度成正比，我们建立微分方程连续模型，利用误差随时段推移的增长来衡量难度的增长。 （5）积分得关于A的标准方程： （6）方程（5）、（6）中k即为难度增长因子,而P我们定义为早期预测难度指数。可以看到，在对早期降雨量开始进行预测时，因为值很小，两种预测方法中基本相等，对预测误差的贡献很小。此时P的大小成为影响误差的主要因素。因此P代表早期进行预测的难度。通过衡量k与P，我们对两种预测方法进行评价。对41天中各时段的预测相对误差进行拟合，我们得到两种预测方法的难度增长因子：以及早期预测难度指数：据此我们可知，第一种预测方法在早期预测中难度相对较大，而随时间推移，其预测难度上升较慢；第二种预测方法在早期预测中难度相对较小，其预测难度上升较快。至此，我们运用两种模型对两个预测方法进行了评价，第一是通过比较相对误差的大小，第二是通过比较相对误差增长速率大小。 二.通过等级误差建立的评价模型（过渡模型）我们将降雨量数据根据题目所给的分级标准进行分级。这样评价预测准确度的形式就发生改变，由于将降雨量数值划分为跨度逐级增大的不同等级，降雨量的绝对大小对预测绝对误差的影响就得以消除，因此，我们定义相邻等级间的差距为1。相同等级内的预测误差即被消除。做出等级误差的方差和，第一种预测方法：,第二种预测方法：据此判断，二者无显著差异，第二种预测方法略好。三.公众感受模型在模型中引入公众感受时，我们认为，理想状态下的天气预报是绝对准确的，任何预报误差会产生公众不满意度。因此，我们在预测误差模型中引入公众感受时，只考虑误差带来的不满意度。我们通过三个主要因素衡量不满意度： 首先，我们认为农村居民和城市居民对于降水量预报误差所反映出的不满意度是不同的。其关键在于，降水与农村居民赖以生存的农业生产是息息相关的，而对于城市居民的日常生活影响程度并没有如此之大，并且影响模式也不相同。其二，根据资料显示1,2,3，当降雨达到一定级别以上时，降雨将对居民的生命财产安全造成危害，而在此降雨量以下时，降雨只对居民的日常生活和农作物收成产生影响。因此降雨量在不同范围内，对居民的影响模式是不同的。其三，在一天之中的不同时段内，降水对人们的生活的影响程度是不同的。譬如在上下班高峰时间降雨给人们带来的影响将远远大于午夜时分的降雨。就此我们认为降雨预报误差主要通过以上三方面影响公众的不满意度。以下我们将作详细分析。根据题目所给的经纬度分布，我们精确寻找到所考察地区与观测点的地理位置，以及该地区的主要城市、农村分布情况。同时，我们通过查询资料4,5，将91个观测点划分为城市观测点与农村观测点，从而为分类讨论提供依据。我们作出分布图如下所示： 图2.观测点分布图注：白色点为农村观测点，蓝色点为城市观测点1. 农村居民对预报误差不满意度的分析农民的生活与农业生产是息息相关的，所以预报误差主要是通过影响农业生产作用于农民的不满意度的。因此，我们进行以下分析时由天气对农业的影响入手。我们首先考虑降雨级别在暴雨以下时的情况。在这种情况下，降雨主要通过影响农作物的收成来影响公众的感受。我们希望以函数的形式反映降雨等级与农民不满意程度的关系，据此，我们可以定量分析预报误差造成的农民不满意程度。当预报准确时，农民可以采取相应措施尽量减小损失。根据收集的材料1，3，我们总结出，在降雨等级在无雨、小雨及中雨时，降雨对农业带来的损失并不大，农民对这一区间的预报错误敏感性较低。而当降雨等级达到大雨时，雨水对农业造成的危害使农民对预报错误敏感性陡增。而降雨等级在大雨以上时，农民几乎无法通过采取防范措施来消除降雨带来的危害。因此对该区间预报错误的敏感性再次降低。据此，该函数呈现出S型增长。我们决定采用逻辑斯蒂函数来描述降雨等级造成的农民不满意程度。对于不满意度，我们决定进行打分6。我们将不满意度划分为等距的6个程度，最高等级设为单位1，则其分布区间为0至1。不满意度等级等级描述0满意0.2稍微不满0.4明显不满0.6强烈不满0.8极端不满1不可忍受0.1，0.3，0.5，0.7，0.9上述两相邻判断中值因此，逻辑斯蒂函数的取值范围被规定在0至1，其形式即为： （7）当降雨为零时，居民不满意度为零; 当降雨等级为大雨时，农民对降雨量变化最为敏感，也就意味着在该区域发生的预测误报造成的不满意程度变化斜率最大，我们设大雨所对应的点为拐点；当降雨等级为暴雨时，开始对人们生命财产造成威胁，我们将其定义为明显不满，即赋值为0.4。根据以上三个已知点，我们可确定该区段逻辑斯蒂函数： （8）其次，我们考虑降雨级别在暴雨以上时的情况。我们同样建立函数分析预报误差造成的农民不满意程度。在这种情况下，降雨主要影响居民的生命财产。因此人们对预报误差的敏感程度再次呈现强上升趋势，此区间的误报会造成极大的生命财产损失，引起对于误报的不满意度曲线陡增。而在农村，人们的防范措施相对有限，当降雨等级达到大暴雨以上时，农民几乎无法通过采取防范措施来消除降雨带来的危害，因此对该区间预报错误的敏感性再次降低。所以此处我们再次引入逻辑斯蒂函数。与上一种情况相同，暴雨被定义为明显不满，赋值为0.4；降雨等级为大暴雨时，如前所述，该区域发生的预测误报造成的不满意程度变化斜率最大，定义为拐点；当雨量继续增大时，民众的不满意度趋近于“不可忍受”。即该模型极限值为1。这样，此区间的逻辑斯蒂函数亦可被确定： （9）将上述两模型组合即可得到整个降雨等级区间上的不满意度分析模型。 （10）图3.我们随后引入一天中不同时段的重要性参数（C），即在一天中的不同时段内，降雨对人们的影响程度差别。依据农村居民的生活规律，我们将一天时间分为“作”“息”两段时间，前者时间跨度为早六点至晚六点，后者为晚六点至早六点。根据生产实践经验，我们认为人力劳作与天气对农业生产的影响强度相同。在“作”时段内，降雨不仅以天气的形式影响农业生产，同时会影响人力劳作，而“息”的时间段内，降雨只以天气的形式影响农业生产。故此，我们将“息”时间的重要性参数（C1）赋值单位1，则“作”时间的重要性参数（C2）为其2倍。将相应区段重要性参数乘以该区段时间占一天总时间的比重，得到不同时段对不满意度的真实影响。图4. 时段的重要性参数函数图（农村）从而第一时段的重要性为，第二及第四时段的重要性皆为，第三时段的重要性为。将各时段的重要性参数引入该时段的不满意度对于降雨量的函数，并将调整后的四个时段的不满意度函数进行加和，即得到不满意度的最终模型。第一时段 （11）第二时段 （12）第三时段 （13）第四时段 （14）对四个时段的不满意度函数分别带入之前求出的等级误差模型，可以比较出两种预测方法对于农村降雨的预测能力。2. 城市居民对预报误差不满意度的分析接下来我们对预报误差造成的城市居民不满意度进行定量分析。预报误差产生的不满意度主要来源于降雨对城市居民的生活工作带来的不便。同农村居民模型相似，由于降雨等级在不同区段，降雨对居民的影响模式不同，我们依然进行分段分析。在对该函数进行分析时，我们同样发现其变化趋势具有S型特征。由于城市的排水、防雨能力要高于农村，当降雨等级达到大暴雨以上时，才会对城市居民的生命财产造成危害。据此，对于城市居民，当降雨等级在大暴雨以下时，其不满意度主要来源于降雨对其日常生活带来的不便，居民最为关注是否有降雨从而决策是否需要进行防范。因此，对于降雨有或无的误报，居民不满意度的敏感程度最高，而随着降雨等级的提高，居民所需做出的相应的防雨措施强度增长并不明显，因此，居民对于中雨、大雨及暴雨这一区间误报的不满意度敏感程度降低。我们对该降雨区段居民的不满意度同样引入逻辑斯蒂函数，并对不满意度我们采用同样的分级方式。当降雨为零时，居民不满意度为零; 当开始出现降雨时，居民对降雨量变化最为敏感，即在该区域发生的预测误报造成的不满意程度变化斜率最大，因此我们设小雨所对应的点为拐点；当降雨等级为大暴雨时，开始对人们生命财产造成威胁，我们将其定义为明显不满，即赋值为0.4。该区间的逻辑斯蒂函数被确定为： （15） 随后，我们考虑降雨在大暴雨以上的情况。该区段降雨对居民的影响模式与农村在暴雨以上的模式相当，其函数特征也相同。由于城市的防雨能力高于农村，其函数拐点出现在特大暴雨处。该区间的逻辑斯蒂函数被确定为： （16）图5.我们在城市居民模型中也引入一天中不同时段的重要性参数影响。根据城市居民的生活特点，一天被分为工作时间与休息时间，而工作时间中又出现两个活动高峰期，即上、下班高峰期。上、下班高峰期被定为早六点至10点和下午3点至6点。由于我们找到的有关这方面的数据记录极为有限，根据经验，同时为处理方便，我们将休息时间，工作时间及高峰时间的重要性参数分别设为C1=1，C2=2，C3=4。图6. 时段的重要性参数函数图（城市）第一时段的重要性为，第二时段的重要性为，第三时段的重要性为，第四时段的重要性为对各时段的不满意度同样引入时段的重要性参数，进行加和，得到各时段的不满意度不满意度的最终模型。第一时段 （17）第二时段 （18）第三时段 （19）第四时段 （20）将得到的公众感受模型带入等级误差评价模型中，可分别得到两种预测方法对城市体系与农村体系的预测效果，从而可以比较出分别适合以两种方法进行预测的体系。模型的评价总体来说，我们所建的三个模型并不仅仅是从简到繁，层层深入的关系。在第一个模型中，我们从数据误差入手，根据降雨量预测值与实测值的误差去评判两种预测方法的优劣，这种评价方法最为客观。我们在建立第一个模型的过程中，力图消除各种因素对评价准确性的干扰。模型的特点主要是（1）引入不同降雨量绝对值对于绝对误差的影响权重，用相对误差代替绝对误差。（2）考虑到预测难度随预测精度随时间推移而增大，对一天中较前时段与较后时段预测产生的误差不能以同样标准进行衡量。我们建立难度增长因子模型，将各时段的预测误差中隐含的测量难度增长进行消除。我们所建立的第一个模型也同时存在缺点。由于客观存在的干扰评价准确性的因素很多，以上两点因素是我们根据误差数据分布特点所认为的主要干扰因素，但误差数据分布所呈现出的特点必然是多种因素的综合体现，经过我们所建立的模型处理国的数据很可能包含其他主要干扰因素。第二个模型采用划分等级比较极差的办法对预测误差进行处理。由于将降雨量数值划分为跨度逐级增大的不同等级，降雨量的绝对大小对预测绝对误差的影响就得以消除，对预报的误差有一定的容忍度。根据级差对预测能力进行比较更为直观，处理更为简便。是第一种评价方法的拓展与补充。其实，第二个模型引入了分级的思想，是对误差数据处理的另