中考数学押轴题备考复习 解直角三角形1.doc

解直角三角形13. （2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地a出发，要到a地的北偏东60方向的c处，他先沿正东方向走了200m到达b地，在沿北偏东30方向走，恰能到达目的地c（如图），那么，由此可知b、c两地相距_m.【解题思路】由题意可知cab=90-60=30，abc=90+30=120，c=30，三角形abc为等要三角形，故ab=bc=200【答案】200【点评】本题考察了方位角以及等腰三角形中等角对等边这一性质.难度中等.18、（2011山西，18，3分）如图，已知ab=12，abbc于b，abad于a，ad=5，bc=10，点e是cd的中点，则ae的长是 。【解题思路】延长ae交bc于f，abbc，abad，adbc，又e是cd的中点，cf=ad=5，bc=10。，bf=5，在rtabf中ab=12、bf=5，所以af=13，所以ae=【答案】【点评】本题主要考察几何图形的计算牵涉到三角形全等、勾股定理等重要几何知识，延长ae交bc于f的辅助线是本题的关键点。难度中等。6（2011广西桂林，6，3分）如图，已知rtabc中，c90，bc=3, ac=4，则sina的值为（ ）a b c d【解题思路】由勾股定理知ab5，由三角函数定义知【答案】c【点评】本题考查勾股定理、三角函数定义等，难度较小16（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯a射出的光线ab,ac 与地面mn 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯a与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度bc是 m .（不考虑其它因素）【解题思路】过点a作admn于d，则bc=bd-cd,而bd、cd分别在直角三角形abd、acd中求出：，则bc=bd-cd=【答案】【点评】本题主要考查了直角三角形的边角关系及其应用，解决本题的关键是构造直角三角形，考查了考查考生应用知识解决问题的能力.难度中等. 9. （2011山东烟台，9,4分）如果abc中，sina=cosb=，则下列最确切的结论是（ ）a. abc是直角三角形 b. abc是等腰三角形c. abc是等腰直角三角形 d. abc是锐角三角形【解题思路】根据sina= ，得到a=450，cosb=，得到b=450，所以c=1800-450-450=900，所以abc是等腰三角形，选择c。【答案】c【点评】特殊角的三角函数值大家可以根据特殊三角形的形状，来识记三角函数值。本题难度低。10（2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度如图，小芳站在a处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在b处测得她看塔顶的仰角为30她们又测出a、b两点的距离为30米假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：1.414，1.732) （ ）a36.21米b37.71米c40.98米d42.48米【解题思路】如下图，abef30米，cd1.5米，gde90，deg45，dfg30设dgx米，在rtdgf中，tandfg，即tan30，dfx在rtdge中，gde90，deg45，dedgx根据题意，得xx30，解得x40.98cg40.98+1.542.48(米)【答案】d【点评】分别在两个直角三角形中，设出未知数，由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来，然后构建方程，解方程即可求出未知线段的长10（2011山东日照，10，4分）在rtabc中，c=90，把a的邻边与对边的比叫做a的余切，记作cota=则下列关系式中不成立的是 （a）tanacota=1 （b）sina=tanacosa （c）cosa=cotasina （d）tan2a+cot2a=1【解题思路】因为tana=，所以tanacota=1【答案】a【点评】本题主要考察了初高中知识的衔接，余切作为高中的必学内容在初中阶段和三角函数概念相类似，因此学起来比较容易，本题就是考察的同学们辨别能力的应用。2、（2011四川乐山，2，3分）如图（1），在44的正方形网格中，tan= (a) 1 (b) 2 （c） （d）【解题思路】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tan=的对边/的邻边=2.故a、c、d不正确。【答案】b。【点评】网格问题是近几年来中考的热点，它考查了学生的读图、析图的能力，充分利用网格的特点，构建适当的图形，确定图形相应的边长或角的度数，根据题目条件要求列式计算。难度中等9. （2011山东滨州，9，3分）在abc中,c=90, a=72,ab=10,则边ac的长约为(精确到0.1)a.9.1 b.9.5 c.3.1 d.3.5【解题思路】解直角三角形，已知一个锐角和斜边求邻边，用余弦。，解得：=3.093.1【答案】c【点评】本题主要是解直角三角形的问题，关键是画出图形找到可以利用的三角函数，难度较小。10 （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30454560a甲 b乙 c丙 d丁 【解题思路】甲同学的风筝高度为：140sin30=70(m)；乙同学的风筝高度为100sin45707(m)；丙同学的风筝高度为：95sin45du3672(m)；丁同学的风筝高度为：90sin60779(m)，所以丁的风筝最高【答案】d【点拨】此题考查了解直角三角形的知识解决此题的关键是建构以放出风筝线、风筝的高、线与地面的夹角所组成的直角三角形难度中等abc（山东临沂 第13题 3分）如图，abc中，cosb,sinc,ac5,则abc的面积是（ ）a. b.12 c.14 d.21解题思路：过点a作adbc于点d,在rtacd中，由sinc,求出ad=3，根据勾股定理得cd=4；在rtabd中，由cosb,得b=450，ad=bd=3，求得bc=3+4=7，由三角形的面积公式得abc的面积是：73=.故选a.解答：选a.点评：本题考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面积等知识.解直角三角形的问题通常都是通过作高线来解决，然后运用三角函数关系求出三角形的各边长.本题难度较小.16. （2011山东滨州，16，4分）在等腰abc中，c=90则tana=_.【解题思路】由题意可得：a=45，tana=tan45=1【答案】1【点评】考察对锐角三角函数的理解，有图可知：tana=1.难度较小。acdbefg20(本题满分10分)（2011山东德州，20，10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物cd的高度如示意图，由距cd一定距离的a处用仪器观察建筑物顶部d的仰角为，在a和c之间选一点b，由b处用仪器观察建筑物顶部d的仰角为测得a，b之间的距离为4米，试求建筑物cd的高度【解题思路】建筑物cd与ef的延长线交于点g，从而构成两个直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义，列方程解决，解决本题的关键是构造直角三角形【答案】解：设建筑物cd与ef的延长线交于点g，dg=x米在中,，即 在中，即， 解方程得：=19.2答：建筑物高为20.4米【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，此类问题的一般解法是通过添加辅导线构造直角三角形进行求解，问题难度一般不大19 （2011山东潍坊，19，9分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动他们从山脚下a点出发沿斜坡ab到达b点，再从b点沿斜坡bc到达山顶c点，路线如图所示斜坡ab的长为1040米，斜坡bc的长为400米，在c点测得b点的俯角为30已知a点海拔121米，c点海拔721米（1）求b点的海拔；（2）求斜坡ab的坡度【解题思路】（1）过点c作cfam，f为垂足，过点b作beam，bdcf，构建直角三角形bcd，求得cd长，进而确定b点的海拔；（2）利用（1）的结论，求得be长，在rtabe中，；利用勾股定理求得ae，进而确定斜坡ab的坡度【答案】解：（1）如图所示，过点c作cfam，f为垂足，过点b作beam，bdcf，e、d为垂足在c点测得b点的俯角为30，cbd=30，又bc=400米，cd=400sin30=400=200（米）b点的海拔为721200=521（米）（2）be=df=cfcd=521121=400（米），ab=1040米，（米）ab的坡度，所以斜坡ab的坡度为1：2.4【点拨】本题考查了解直角三角形的知识解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题将解直角三角形与仰角、俯角结合起来，主要考查考生应用知识解决问题的能力，解题关键是正确建立直角三角形边角关系难度中等第17题图bclda17（广东省，17，7分）如图，小明家在a处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，ab是a到l的小路. 现新修一条路ac到公路l. 小明测量出acd=30，abd=45，bc=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离ad的长度（精确到0.1m；参考数据：，）.【解题思路】由题意可知ad=db，在rtacd中，把dc、ad作为直角边，解这个直角三角形。【答案】因为在rtabd中，abd=45，所以ad=db，设ad=，在rtacd中，=，=68.3【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易入手，容易出错的地方是近似值的取舍，难度中等（山东 济宁）67.536.9apb第18题18、（6分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估。如图，上午9时，海检船位于a处，观测到某港口城市p位于海检船的北偏西67.5方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达b处，这时观察到城市p位于海检船的南偏西36.9方向，求此时海检船所在b处与城市p的距离？（参考数据：,）【解题思路】此题作pcab构造rtapc和rtpcb，通过公共边pc=x将未知量bc和ca通过bc+ca=ab(已知)来求解！最后由sinb=求出pb。【答案】解：过点p作pcab,垂足为c，设pc=x海里在rtapc中，tana= ac= = 2分 67.536.9acpb第18题在rtpcb中，tanb= bc= = 4分 ac+bc=ab=215 +=215 ,解得 x=60sinb= pb= = 60 =100(海里)海检船所在b处与城市p的距离为100海里。 6分【点评】此题是解直角三角形中典型的底部不能到达问题。构造直角三角形，通过公共边pc 为“中介”搭桥，将未知量bc和ca通过bc+ca=ab(已知)来求解！难度中等。21（2011山东聊城 21，8分）（本题共8分）被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成（如图1）。为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在点测得塔顶的仰角为，在点测得塔顶的仰角为，已知测角仪的为1.6米，的长为6米，所在的水平线于点（如图2），求铁塔的高（结果精确到0.1米）21题图1【解题思路】在中，设出的长度，表示出的长度，再在中根据和的关系，运用三角函数解决。【答案】解：在中，设米，,。在中，即。又,则(米)。即铁塔的高约为5.4米。【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大。本题的关键找到两个直角三角形的相关量，运用三角函数进行解决。22（2011四川眉山，22，8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点a处观察旗杆bc，测得旗杆顶部b的仰角为30，测得旗杆底部c的俯角为60，已知点a距地面的高ad为15cm求旗杆的高度【解题思路】过a作aebc，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答【答案】过a作aebc，垂足为e，由题意可知，四边形adce为矩形，ec=ad=15，在rtaec中，taneac=，ae=（米），在rtaeb中，tanbae=，be=aetaneab=tan30=5（米），bc=ce+be=20（米）故旗杆高度为20米【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键难度中等23.（山东省威，23,10分）一副直角三角板如图放置，点c在fd的延长线上，abcf, f=acb=90, e=45, a=60,ac=10，试求cd的长. 【解题思路】过点b作fc的垂线段，构造直角三角形，利用特殊角度，解直角三角形，求的线段cd的长度.【答案】解：过b点作bmfd于点m，在acb中，acb=90, a=60,ac=10，abc=30,bc=actan60=10,abcf, bcm=30,bm=bcsin30=10=5,cm=bccos30=10=15, 在efd中，f=90, e=45,edf=45, dm=bm=5,cd=cm-dm=15-5.【点评】本题主要考察解直角三角形的内容，包含了平行线的性质等知识. 过点b作fc的垂线段bm，在直角三角形abc中求得bc的长，在直角三角形bcm中得到cm、bm的长，在直角三角形bmd中求出dm的长，由cd=cm-dm得到结果.难度中等.26 （2011四川广安，26，9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心a到斜坡底c的水平距离为8. 8m在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分cd= 3.2m已知斜坡cd的坡比i=1：，求树高ab。（结果保留整数，参考数据：1.7）_d_c_b_ai=1：图7【解题思路】化特殊为一般，利用转化的思想进行解题【答案】解：如图，延长bd与ac的延长线交于点e，过点d作dhae于hcd=3.2 dh=1.6 ch= he=1.28 ab=16_d_c_b_ai=1：_h_e【点评】本题属应用题，主要考察了坡度比及相似三角形的应用 （2011四川内江，20，10分）放风筝是大家喜欢的一种运动星期天的上午小明在大洲广场上放风筝他在a处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在d处此时风筝线ad与水平线的夹角是30为了便于观察，小明迅速向前移动边收线到达了离a处7米得b处，此时风筝线bd与水平线的夹角是45已知点a、b、c在一条直线上，acd=90，请你求出此时小明收回的风筝线的长度是多少（本题中风筝线均视为线段，1.414，1.732，结果精确地1米） 【思路分析】在两个直角三角形中分别用dc表示出bc、ac，根据ab=7，ab+bc=ac列关于dc的方程求解dc，再通过解两个直角三角形求解ad、bd，二者差即收回风筝线长度【答案】解：在rtdbc中，dbc=45，bc=dc；在在rtdac中，dac=30，ac= dcab=7，ab+bc=ac7+dc= dc，dc9.6（米）bd= dc13.6（米），ad=2 dc=19.2（米）ad-bd6（米），即小明收回的风筝线的长度是6米【点评】在含有多个直角三角形的题目中，如果有能解的直角三角形则选用恰当的三角函数求出有关的量，为解其他直角三角形提供条件；如果所有直角三角形均不能直接解，则用含有未知数的式子表示有关的量运用方程思想来解答21. （满分8分）（2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸abcd，河岸ab上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸cd的m处测得=36，然后沿河岸走50米到达n点，测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽fr（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 360.59，cos 360.81，tan360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan723.08） abcdefmnr【解题思路】过点f作fgem交cd于点g，易证四边形engf是平行四边形再在直角fnr中，利用三角函数求解。【答案】解：过点f作fgem交cd于g.则mgef20米. fgn36.gfnfgn723636.fgngfn，fngn502030（米）.在rtfnr中，frfnsin30sin72300.9529（米）.【点评】本题考查解直角三角形的应用。不规则图形可以通过作平行线转化为平行四边形与直角三角形的问题进行解决。本题难度中等。24、（2011山西，24，7分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树de的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前得台阶上a点处测得树顶端d的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的c点处，测得树顶端d的仰角为60。已知a点的高度ab为2米，台阶ac夫人坡度为1：（即ab：bc=1：）且b、c、e三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树de的高度（测倾器的高度忽略不计）。【解题思路】本题的实质就是求线段de的长度，过点a作afde于f，可设de=x，在rtafd中可求出af=，在rtabc中可求出bc=，在rtcde中可求出ce=，af=be=bc+ce，=+，所以x=6。.【答案】解：如图过点a作afde于f， 则四边形abef为矩形。 af=be，ef=ab=2，设de=x， 在rtcde中，ce= 在rtabc中，因为=，ab=2 bc=在rtafd中，df=deef=x2，af=af=be=bc+ce，=+解得x=6答：数de的高度为6米。【点评】本题主要考察三角函数的应用，涉及三角函数的应用、特殊三角函数值、勾股定理等做此类题的关键在于熟练的运用三角函数来表示直角三角形的各边，最易出错的地方弄混边角之间的关系。难度中等。23（2011，天津，23， 8分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景，如图，游轮出发点a与望海楼b的距离为300m，在a处测得望海楼b位于a的北偏东30方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达c，在c处测得望海楼b位于c的北偏东60方向，求此时游轮与望海楼之间的距离bc（取173，结果保留整数）。【解题思路】：对照示意图，明确题意，先将实际问题转化为数学问题，再进一步归结为解直角三角形，自然会作出垂线段。【答案】：根据题意，ab=300；如图，过点b作bdac，交ac延长线于点d；在rtadb中，bad=30，bd=ab=300=150，在rtcdb中，sindcb=，bc=173；答：此时游轮与望海楼之间的距离约为173m。【点评】：本题着重考察了解直角三角形的相关知识，化实际问题为数学问题、综合推理论证能力。因题型常见，难度中等。19、（2011杭州，19，6分）在abc中，ab=, ac=,bc=1. (1) 求证：a30;(2) 将abc绕bc所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积。【解题思路】（1）用勾股定理逆定理判定abc为直角三角形，再求出sina与sin30进行比较。（2）利用圆锥的侧面积和底面积公式计算表面积。【答案】解：（1），是直角三角形，且c=900.，. （2）所求几何体的表面积为【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理、锐角的三角函数值、有关圆锥的计算。难度中等21（2011浙江，21，10分）,图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂ab与地面eh平行，测得a点到楼顶d点的距离为5m，每层楼高3.5m，ae,bf,ch都垂直与地面。 （1）求16层楼房de的高度；（2）若ef=16m，求塔吊的高ch的长（精确到0.1m）【解题思路】本题是解直角三角形类问题，本题的关键是在acg中已知a，cbg，ab。求cg的长答案：（1）de=3.516=56m(2) acg中.tan15=,tan35=,则ag=，bg= ，ab=16=cg（）。可得cg=6.945，所以ch=ad+de+cg=5+56+6.94567.9m。【点评】本题题型常见方法典型，难度中等21（2011浙江台州21，10分）丁丁制作一个形如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮丁丁计算出be、cd的长度（精确到个位，）【解题