重庆大学复变函数.doc

2009 2010 学年 第 2 学期一、 填空（每题4分，共20分） 设 则的三角表示形式为( )的指数表示形式为 ( )。 向量与互相垂直的充要条件为： 3. , 则 = ( )4. 5. ( ) (其中为的正向)二、 计算题（共52分） 通过计算，求 的值.(8分)2、设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上,且, 求的值. (10分)3. 设函数,问当常数取何值时, 在复平面上处处解析? (12分)4、求以为实部的解析函数,使满足.(12分)5. 计算积分，其中为不通过点0与1的围线.（16分）证明题（共22分） 求积分 (其中), 证明.（12分）2. 设为非常数的整函数，又设，为任意正数. 试证明: 满足且的必存在.（10分）2007 2008 学年 第 1 学期一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设，则A. B.C. D. 2.在极坐标系下，满足关系式的点集是A.无界的单连通区域 B.无界的多连通区域C.有界的单连通区域 D.有界的多连通区域 3.函数在处A不连续 B.连续但不可导C.可导但不解析 D.解析 4.复数的主值为A. B. C. D. 5.点是函数的 A. 可去奇点 B. 三阶极点C. 本性奇点 D. 一阶极点 6.级数的敛散性为A. 绝对收敛 B. 条件收敛C. 发散 D. 不确定 7.设幂级数在处收敛，则在处A.条件收敛 B. 发散 C.绝对收敛 D.收敛性不确定 8.点是函数的阶极点，则A. B. C. D. 9.设在点处解析，则A. B. C. D. 10.若的傅立叶变换为，即F ，则F A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共10分）1满足关系式的 2所表示的曲线的直角坐标方程是 .3复数 .4复数的辐角主值为 .5函数的拉普拉斯变换为 .三、计算题（每小题8分，共48分）1设的辐角为，的辐角为，求2. 设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的各种不同位置，计算积分的值。3计算积分，其中为圆周上从1到的上半圆周。4验证为调和函数，并求出以为自变量的解析函数，使得5将函数在以为中心的所有圆环域内展开成罗朗级数.6求函数的傅氏变换及其积分表达式。四、应用题（共15分）1（7分）利用留数计算2（8分）利用拉普拉斯变换解满足初始条件的解。五、证明题（共7分）若为区域内的解析函数，且在内等于常数，则在内也为常数.2005年六月复变函数积分变换评分标准一、 填空题（每小题3分、共30分）1、 2、若，则 3、= 4、在全复平面内处处不 5、积分= 6、若幂级数在处收敛、在发散，则其收敛半径 7、在的留数是 8、映射将平面上的直线映射平面上的 9、= 10、设=，且，则=二、（10分）设，且满足，试证是常数三、（10分）证明为调和函数，并求以为虚部的五、（10分）计算积分六、（10分）计算积分七、（10分）求=的付氏变换，并证明八、（10分）用拉氏变换求定解问题： 的解 复变函数与积分变换A答案2007-12-19一、单项选择题（每小题2分，共20分）1-10ADCBBBCBBC二、填空题（每小题2分，共10分）1满足关系式的 。2所表示的曲线的直角坐标方程是 。3复数 。4复数的辐角主值为 。5函数的拉普拉斯变换为 。三、计算题（每小题8分，共48分）1设的辐角为，的辐角为，求解：，利用复数的相等得：所以2设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的各种不同位置，计算积分的值。解：（1）若与均不在内，则在内解析，（2）与只有一个在内，则柯西积分公式知：（3）与均在内，作充分小。则3计算积分，其中为圆周上从1到的上半圆周。解：，故4验证为调和函数，并求出以为自变量的解析函数，使得解：，同理可得所以，为调和函数（除原点外） （3分） （3分）故利用解得，从而 （2分）5将函数在的所有圆环域内展开成罗朗级数.解：函数在的圆环域有：（1），（2） （2分）（1）（3分）（2） （3分）6求函数的傅氏变换及其积分表达式。解： （4分）（利用被积函数的奇偶性）（4分）四、应用题（共22分）1（7分）利用留数计算解：先计算是在上半复平面内的2阶极点故2（8分）利用拉普拉斯变换解满足初始条件的解。解 记，方程两边施行Laplace变换，得代入初始条件并解出，得。因孤立奇点均为的1级极点，所以。五、证明题（共7分）若为区域内的解析函数，且在内等于常数，则在内也为常数. 证明 设 ，由已知常数，即有，其中为常数。上式中两端分别对、求偏导，可得 因为是区域内的解析函数，则在内有、， 从而有 注意，则齐次线性方程组只有零解，即在内，由条件，在内也有，从而在内、均为常数，所以在内是常数2005年六月复变函数积分变换评分标准一、 填空题（每小题3分、共30分）1、 2、若，则 3、= 16 4、在全复平面内处处不 解析 5、积分= 0 6、若幂级数在处收敛、在发散，则其收敛半径 2 7、在的留数是 1 8、映射将平面上的直线映射平面上的 圆 9、= 0 10、设=，且，则=二、（10分）设，且满足，试证是常数证明 因为=解析，所以， （2分）由得到， （2分）于是 （2分）此时的导数=0， （2分）故是常数 （2分）三、（10分）证明为调和函数，并求以为虚部的证明， （2分）因为的二阶偏导数连续且，所以为调和函数 （2分）解 = （2分） （2分）由得到= （2分）四、（10分）将函数在圆环区域内展开成洛朗级数解 当时， （3分）= （3分）=， （4分）五、（10分）计算积分解： 分别是=的一级、二级极点， （3分）， （3分）， （3分）原式= （1分）六、（10分）计算积分解 令， （2分）= （2分）=在的孤立奇点为 （2分）=， （2分）原式= （2分）七、（10分）求=的付氏变换，并证明解 ， （6分）= （2分）=，故 （2分）八、（10分）用拉氏变换求定解问题： 的解解：设= （2分）对方程的两边进行拉氏变换得到+4+3= （4分）, （2分）. （2分）2010年复变函数试题一、 填空（每题4分，共20分） 设 则的三角表示形式为2（），的指数表示形式为 。 向量与互相垂直的充要条件为： 或者3. , 则 = 4. 1 5. (其中为的正向)二、 计算题（共52分） 通过计算，求 的值.(8分)解： = -4分于是 （*）若取，则由（*）式得，即 -4分2、设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上,且, 求的值. (10分)解: -1分 -3分解之得 -2分 -2分 -2分3. 设函数,问当常数取何值时, 在复平面上处处解析? (12分)解:令 -2分 由于在复平面上处处解析,故满足CR条件. -2分 -2分即: -4分由于对所有x,y成立,故解之得: -2分4、求以为实部的解析函数,使满足.(12分)解:设.由于在复平面上处处解析,故满足CR条件 -2分 -2分 -2分从而，所以.-1分由于，所以有 -2分，-1分所以有 -2分5. 计算积分，其中为不通过点0与1的围线.（16分）解: 分别就的种种可能情形计算此积分。(1)若与均在的外部，则被积函数在以为边界的闭区域上解析。由柯西积分定理知 -4分（2）若在的内部，而在的外部，则由复围线的柯西积分定理有 - 4分其中是以为心且包含在内部的任意小圆周。（3）若在的内部，而在的外部，同理有 其中是以为心，且包含在内部的任意小圆周 - 4分（4）若与均在的内部，则由复围线的柯西积分定理有 -4分三、 证明题（共22分） 求积分 (其中), 证明.（12分） 证明:因为在在内解析,所以=0