高中数学第1章直线多边形圆1.3.1圆内接四边形3.2托勒密定理学案北师大版.docx

3.1圆内接四边形*3.2托勒密定理1.了解圆内接四边形的概念.2.掌握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论.基础初探教材整理1圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补.图131如图131，四边形ABCD内接于O，则有：AC180，BD180.(2)推论图132圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.如图132，CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：CBED.1.如图133，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCDECD32，那么BOD等于() 【导学号：96990037】图133A.120 B.136 C.144 D.150【解析】BCDECD32，ECD72，BOD2A2ECD144.【答案】C2.如图134所示，四边形ABCD内接于O，若BOD110，那么BCD的度数为_.图134【解析】ABOD11055，BCD18055125.【答案】125教材整理2圆内接四边形的判定定理及推论(1)判定定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆.如图135，若AC180，BD180，则四边形ABCD内接于O.(2)推论：如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.如图135，若CBED，则四边形ABCD内接于O.图1353.下列说法正确的个数有()平行四边形内接于圆；梯形内接于圆；菱形内接于圆；矩形内接于圆；正方形内接于圆.A.1个 B.2个C.3个D.4个【解析】根据圆内接四边形的判定定理知，正确.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型圆内接四边形的性质如图136，在RtABC中，ACB90，在AB上截取PAAC，以PC为直径的圆分别交AB，BC，AC于D，E，F.求证：.图136【精彩点拨】先利用PC是圆的直径，得到PFBC，再利用圆内接四边形的性质，得到DFPC，最后利用平行线分线段成比例证明结论.【自主解答】连接DF，PF.PC是直径，PFAC.BCAC，PFBC，.四边形PCFD内接于O，ADFACP，APAC，APCACP.ADFAPC.DFPC，.1.在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等.2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系.再练一题1.已知四边形ABCD内接于圆，DEAC，交BC的延长线于E，求证：ABCEADCD.【证明】如图，连接BD，DEAC，EACB.ACBADB，ADBE.在ABD与CDE中，ADBE，BADDCE，ABDCDE.故ABCEADCD.圆内接四边形的判定如图137，在ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且APBC于P.图137求证：E，D，P，F四点共圆.【精彩点拨】证明本题可先连接PF，构造四边形EDPF的外角FPC，证明FPCC，再证明FPCFED即可得出结论.【自主解答】连接PF，APBC，F为AC的中点，PFAC.FCAC，PFFC，FPCC.E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，EFCD，EDFC，四边形EDCF为平行四边形，FEDC，FPCFED，E，D，P，F四点共圆.1.本题证明的关键是如何使用点E，D，F是中点这一条件.2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.再练一题2.在ABC中，ABAC，延长CA到P，延长AB到Q，使APBQ，连接PQ.求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆.【证明】如图，连接OA，OC，OP，OQ.在OCP和OAQ中，OCOA.由已知CAAB，APBQ.CPAQ.又O是ABC的外心，OCPOAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，OACOAQ，从而OCPOAQ.OCPOAQ.CPOAQO.O、A、P、Q四点共圆.圆内接四边形性质与判定的综合运用如图138，已知ABC中，ABAC，D是ABC外接圆劣弧上的点(不与点A ，C重合)，延长BD至E.图138(1)求证：AD的延长线DF平分CDE；(2)若BAC30，ABC中BC边上的高为2.求ABC外接圆的面积.【思路探究】(1)利用圆内接四边形的外角等于内对角求解；(2)ABC外接圆的圆心在BC边的高上，通过作辅助线求解.【自主解答】(1)如图，A，B，C，D四点共圆，CDFABC.又ABAC，ABCACB，且ADBACB，ADBCDF.又由对顶角相等得EDFADB，故EDFCDF，即AD的延长线DF平分CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AHBC，连接OC，由题意OACOCA15，ACB75，OCH60，设圆半径为r，则rr2，得r2，外接圆的面积为4.1.在解答本题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强.2.此类问题考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立.再练一题3.如图139，在ABC中，CD是ACB的平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB2AC.图139(1)求证：BE2AD；(2)当AC1，EC2时，求AD的长.【解】(1)证明：连接DE，ACED是圆的内接四边形，BDEBCA.又DBECBA，BDEBCA，即有，而AB2AC，BE2DE.又CD是ACB的平分线，ADDE，从而BE2AD.(2)由条件得AB2AC2，设ADt，根据割线定理得BDBABEBC，即(ABAD)BA2AD(2ADCE)，(2t)22t(2t2)，即2t23t20，解得t或t2(舍去)，即AD.探究共研型四点共圆的判定方法探究1判定四点共圆的方法有哪些？【提示】(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆.(因为四个顶点与斜边中点距离相等)探究2如图1310，在四边形ABCD中，若ADBACB，那么A，B，C，D共圆吗？为什么？图1310【提示】A，B，C，D共圆.假设A，B，C，D不共圆，其中C点在圆外C1处.设AC1交O于E点，连接BE，A，B，E，D四点共圆，ADBAEB.又知AEB是BEC的一个外角，AEBACB，ADBACB，这与ADBACB矛盾.假设不成立.同理若C1(C)点在O内，则有：ACBADB，与ADBACB矛盾.因此A，B，C，D共圆.如图1311，在ABC中，ADBD，DFAB交AC于点F，AEEC，EGAC交AB于点G.图1311求证：(1)D，E，F，G四点共圆；(2)G，B，C，F四点共圆.【精彩点拨】本题考查四点共圆的判定定理及性质定理的应用.解决问题(1)可利用“如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆”，解决问题(2)可利用判定定理的推论证明.【自主解答】(1)连接GF，由DFAB，EGAC，知GDFGEF90，GF的中点到D，E，F，G四点距离相等，D，E，F，G四点共圆.(2)连接DE.由ADDB，AEEC，知DEBC，ADEB.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，ADEGFE，GFEB，G，B，C，F四点共圆.构建体系1.在圆内接四边形ABCD中，ABCDmnpq，则有()A.mpnqB.mnpqC.mpnqD.不能确定【解析】根据圆内接四边形的对角互补知C正确.【答案】C2.如图1312，AB为O的直径，P为O外一点，PA交O于D，PB交O于C，连接BD，AC交于E，下列关系中不成立的是()图1312A.ADBACB90B.AEDPC.PAEBD.PACDBP【解析】AB为O的直径，BDAP，ACBP，ADBACB90，EDPECP90，E，D，P，C四点共圆，AEDP，A，B，C，D四点共圆，PACDBP，而PAEB无法确定.【答案】C3.如图1313，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若C115，则D_. 【导学号：96990038】图1313【解析】如图，连接AB，C115，ABE65，DABE65.【答案】654.圆内接四边形ABCD为平行四边形，则cos Acos Bcos Ccos D_.【解析】四边形ABCD为圆内接四边形，AC180，BD180，又四边形ABCD为平行四边形，AC，BD，ABCD90，cos Acos Bcos Ccos D0，co