（信号与信息处理专业论文）空时分集及预编码性能研究.pdf

摘要 摘要 由t e l a t a r 和f o s e h i n i 奠基的m i m o 系统信息论证明了，m i m o 系统能够获得 数倍于单天线系统的信道容量。这一新理论打破了由s h a n n o n 建立的无线通信系 统的理论架构，推动了各种传统通信技术向m i m o 技术的快速转变。在众多m i m o 技术热点问题中，系统性能评价的另一个重要评估指标误码率，也受到研究者的 极大关注。由于m i m o 系统的随机信道矩阵的结构复杂，涉及许多比较深层次的 数学基础问题，m i m o 系统的误码率的理论研究一直进展缓慢。本文对这个问题 进行了深入的研究。同时，本文还研究了m i m o 系统正交空时编码的预编码问题。 本文研究了一类m i m o 系统，其时间分集通过符号重发实现。在同一块周期 内，每次发射天线的发射增益和接收天线的接收增益可以不同。系统通过调节发 射天线的发射增益，来控制信号的发射功率；通过调节接收天线的接收增益，来 最大化接收信号的信噪比。根据天线发射功率控制的描述方式，我们将系统分为 三类：空间发射分集系统、迹约束系统、特征值约束系统。符号的多次发射权重 向量构成了该符号在各天线的发射权重矩阵。在一个块内若有多个不同的符号需 要发射，可以为各符号选取恰当的权重矩阵以形成需要的空时分组编码。 在该系统误码率的研究中，本文根据所得误差函数的一个等价有限积分形式， 利用有限积分中被积函数的特殊性，将一个复杂的随机函数的均值问题转化为可 以较容易解决的一类随机函数的均值问题。同时，引入了k a r h u n e n l o e v e 变换， 将相关的系统子信道系数向量，转化为元素间不相关的系数向量。在此基础之上， 研究了该空时分集系统在不同功率约束下，信道独立的瑞利衰落系统和信道相关 的瑞利衰落系统的平均误码率问题，得到了五个方面的主要结果：( 1 ) 空间发射 分集系统的平均误码率公式；( 2 ) 到第接收天线的所有信道衰落系数构成一个 向量，若该向量与到第k 接收天线的所有信道衰落系数构成的向量具有线性关系， 本文得到了在这个信道条件下迹约束系统平均误码率公式；( 3 ) 特征值约束系统 的平均误码率公式；( 4 ) 在信道矩阵发射相关情况下，特征值约束系统的系统误 码率公式及上下界；( 5 ) 在信道矩阵接收相关情况下，特征值约束系统的系统误 码率公式及上下界。 在正交空时编码的预编码研究中，作者引入了误差函数的复合随机变量函数 的期望的估计不等式，得到了正交空时编码系统平均误码率的一个新的上界。基 摘要 于该上界，提出了正交空时编码系统的一个预编码准则，形成了预编码矩阵对应 的最优化问题。在发射天线数不大于空时分组的空间维数的情况下，得到了 k r o n e c k e r 积和非k r o n e c k e r 积形式的发射相关相应的预编码矩阵。通过分析发现， m i m o 系统的发射天线副数大于空时分组编码的空间维数时，不存在满足本文所 提出的优化问题的预编码矩阵。用本文形成的方法推导得到了a h i o r u n g n e s 和j a k h t a r 的预编码矩阵优化问题。本文所得准则在分析发射相关的系统时，明显降 低了预编码矩阵求解的计算量和复杂度。 关键词：空时分集，系统的误码率，功率约束，空时分组编码，预编码 i i a bs t r a c t t h ei n f o m a t i o nt h e o r yo fm i m os y s t e m ，e s t a b l i s h e db yt e l a t a ra n df o s c h i n i ， s h o w st h ec a p a c i t yo fm i m os y s t e mi sa ss e v e r a lt i m e s a st h ec a p a c i t yo fs i s os y s t e m n e i rn e wi n f o r m a t i o nt h e o r yb r e a k st h et h e o r y f r a m eo fw i r e l e s sc o m m u n i c a t l o n s y s t e mf o u n d e db ys h a n n o n ，w h i c hp r o m o t e st r a d i t i o n a l c o m m u n i c a t i o nt e c h n l q u e s t a k i n gac o n v e r s i o nt ot h em i m ot e c h n i q u e sr a p i d l y a m o n gt h o s ep o p f i e l d so fm i m o t e c h n i q u e s ，t h e b e ro fm i m os y s t e m , a n o t h e ri m p o r t a n tp a r a m e t e r o fa c o m m u n i c a t i o ns y s t e m ，i sc o n c e r n e dg r e a t l yb yr e s e a r c h e r sn o w t h ed e v e l o p m e n to n b e r a n a l l y s i so fm i m os y s t e mi sv e r ys l o w , b e c a u s eo ft h ec o m p l e x s t r u c t u r eo ft h e m d o mc h 籼e lm 嘶x ，a n dd e e pm a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o np r o b l e m w eh a v ead e e p 1 e s e a r e ho nt h i sp r o b l e m m e a n w h i l e ，t h ep r e c o d i n gt e c h n i q u eo f o r t h o g o n a ls p a c e - t i m e c o d i n gi sd i s c u s s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ac l a s so fm i m os y s t e mi sr e s e a r c h e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i nt h i sm i m os y s t e m ， s v m b o lw i l lb et r a n s m i t t e ds e v e r a lt i m e st oo b t a i nb e t t e rt e m p o r a ld i v e r s i t y d i f f e r e n t t r a n s m i t t i n ga n dr e c e i v i n gg a i ni sa d o p t e dw h e ns y m b o li s t r a n s m i t t e dw i t h i nab l o c k p e r i o d t h ep o w e ro ft h et r a n s m i t t e ds i g n a li nm i m os y s t e mc a nb ec o n t r o l l e db y t h e g a i no ft r a n s m i ta r l t e 皿a s ，a n dw ec a l l m a x i m i z et h es n ro fr e c e i v e ds i g n a lb y a d j u s 缸g r e c e i v e ra n t e n n a sg a i n t h r e ec l a s s e so fm e t h o d s d e s c r i b et h ep o w e r c o n t r o l l i n go ft r a n s m i ta n t e n n a s ，w h i c hd i v i d e t h ec o m m u n i c a t i o ns y s t e mi n t om r e e g r o u p s ：s y s t e mw i t hs p a t i a l t r a n s m i t t e dd i v e r s i t y , t r a c ec o n s t r a i n e ds y s t e m ，a i l d e i g e n v a l u ec o n s t r a i n e ds y s t e m t h ed i f f e r e n tw e i g h tv e c t o r so ft h e s y m b o lt o 咖a w e i mm a t r i xo ft h es y m b o lf o re a c ha n t e n n a i ft h e r ea r es e v e r a ld i f f e r e n ts y m b o l s n e e dt ob et r a n s m i t t e di nab l o c kp e r i o d ，w ec a n s e l e c tp r o p e rw e i g h t sf o re a c hs y m b o l t oc o n s t r u c tas p e c i a ls p a c e - t i m eb l o c kc o d i n g i nt h er e s e a r c ho fb e ro fam i m os y s t e m ，b a s e do nt h ed e d u c e de q u i v a l e n t l i i n i t e di n t e g r a le x p r e s s i o no ff u n c t i o nq ( x ) a n dt h es p e c i a le x p r e s s i o no ft h ei n t e g r a l 胁c t i o ni nq ( x ) ，w et u r nt h ep r o b l e mf r o mt h ed i f f i c u l te x p e c t a t i o no far a n d o m m c t i o nt ot h ee x p e c t a t i o np r o b l e mo fac l a s so fr a n d o mf u n c t i o n , w h i c h i sm i l d m e a n w “l e ak a r h 哪e n l o e v et r a n s f o r m a t i o ni si n t r o d u c e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w h i c h i i i a b s t r a c t t u m st h ec o e f f i c i e n t sv e c t o ro fc o r r e l a t e ds u b c h a n n e l st ob eu n c o r r e l a t e do n e a p p l y i n g t h i so b t a i n e dm e t h o d st ot h em i m o s y s t e mw i t hd i f f e r e n tp o w e rc o n s t r m n s ，t h eb e r p r o b l e mo fs o m es y s t e m si sr e s e a r c h e du n d e rc o r r e l a t e dr a y l e i g hf a d i n gc h a n n e la n d i n d e p e n d e n tr a y l e i g hf a d i n gc h a n n e l f i v er e s u l t sa r eo b t a i n e d ( 1 ) b e ro fm i m o s y s t e mw i t hs p a t i a lt r a n s m i t t e dd i v e r s i t y ( 2 ) b e ro fm i m ot r a c ec o n s t r a i n e ds y s t e m ， u n d e rak i n do fc h a n n e l ，w h e r et h ev e c t o r sw i t ha l lc h a n n e lc o e f f i c i e n t st o t hr e c e i v e a n t e n n a , a n dt h ev e c t o rw i t ha l lc h a n n e lc o e f f i c i e n t st ok t hr e c e i v ea n t e n n a ，a r el i n e a r ( 3 ) b e ro fm i m o e i g e n v a l u ec o n s t r a i n e ds y s t e m ( 4 ) t h eb e rf o r m u l aa n di t sl o wa n d u p p e rb o u n d n e s so fm i m os y s t e mw i t he i g e n v a l u ec o n s t r a i n ，w h e nt h ef a d i n gc h a n n e l i sc o r r e l a t e di nt h et r a n s m i t t e r ( 5 ) t h eb e rf o r m u l aa n di t sl o wa n d u p p e rb o u n d n e s so f m i m os y s t e mw i t he i g e n v a l u ec o n s t r a i n ，w h e nt h ef a d i n gc h a n n e li sc o r r e l a t e di nt h e r e c e i v e r i nt 1 1 er e s e a r c ho fp r e c o d i n go fo r t h o g o n a l s p a c e t i m ec o d i n g ，b a s e do nt h e e s t i m a t i o ni n e q u a t i o no ft h ee x p e c t a t i o no fa c o m p l e xr a n d o mf u n c t i o no fq ( x ) ，t h e a u t h o ro b t a i n e dan e wb o u n d n e s so fb e rf o rt h eo r t h o g o n a ls p a c e t i m ec o d i n gm i m o s y s t e m b a s e do nt h en e wb o u n d n e s so fb e r ，w ep r o p o s ean e wc r i t e r i o nf o rp r e c o d i n g o fo r t h o g o n a ls p a c e t i m ec o d i n g ，a n df o r m a tt h eo p t i m a lp r o b l e mf o rt h ep r e c o d i n g m a t r i x p r e c o d i n gm a t r i c e sa r eo b t a i n e dw h e nt h en u m b e ro ft r a n s m i ta n t e n n a si sn o t l a r g e rt h a nt h es p a c ed i m e n s i o no fa l lo r t h o g o n a ls p a c e t i m ec o d i n g ，u n d e rt h ef a d i n g w i t hf o r mo ft h ek r o n e c k e rp r o d u c to rn o n k r o n e c k e rp r o d u c ta tt h et r a n s m i t t e r n o p r o p e rp r e c o d i n gm a t r i xi sf o u n dt om e e ta l lc o n s t r a i n t sw h e nt h en u m b e ro ft r a n s m i t a n t e n n a si sl a r g e rt h a nt h es p a c ed i m e n s i o no fa no r t h o g o n a ls p a c e - t i m ec o d i n gm i m o s y s t e m t h eo p t i m a lp r o b l e mp r o p o s e db ya h j o r u n g n e sa n dj a k h t a r , c a nb ed e d u c e d e a s i l yb yt h em e t h o d sf o r m e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ec a c u l a t i o nd i f f i c u l t yt oo b t a i nt h e p r e c o d i n gm a t r i xi sd e c r e a s e do b v i o u s l yw h e nt h ep r o p o s e dc r i t e r i o ni sa p p l i e dt ot h e s y s t e mc o r r e l a t e da tt h et r a n s m i t t e r k e y w o r d s ：s p a c e - t i m ed i v e r s i t y , b e r ，p o w e rc o n s t r a i n t ，s p a c e t i m ec o d i n g ，p r e c o d i n g i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 砌睁7 具l j 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：查! 垒薹导师 日期 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 随着社会信息化进程的加快，人们的信息交换已经从单纯的语音业务，发展 到数据、视频、w e b 浏览、文件传输、e m a i l 等多种业务。大规模商用的移动通 信系统也从模拟系统发展到了数字系统，从第一代发展到了第三代甚至第四代。 第一代移动通信系统采用蜂窝技术和频分多址接入( f d m a ) ，是一种模拟通信 系统。这种通信系统频谱利用率低、保密性差、系统容量小、移动终端体积大， 不能满足快速发展的移动通信业务的需要。第二代移动通信系统采用了信源压缩 编码、信道编码、数字加密、数字调制等一系列的d s p 处理技术，以及更加灵活 高效的接入方式：时分多址( t d m a ) 平i 码分多址( c d m a ) 。这些新技术的采用，有 效地提高了频谱使用率、扩大了系统容量，在功能上比模拟系统有了很大的提高。 但其主要业务种类，主要限于语音和低速率数据( 1 ) 列加到第一列，得 ：1 2 一旯 j l z i 。1 2 0 o 一旯 芝卅一九2 m 2 ，= l 0 0 - 3 , 0 0 一兄 1 于是，矩阵之h h 的最大特征值为： 口 = 0 ：( 一九) 州( 兰2 一五) ：0 u 耻新2 因此，矩阵h h 的最大特征值为： x ( h h ) ：d 兰卅，d ：兰岍( 2 - 2 7 ) ，= ji l l 定理2 设t r ( r 崩) = 1 ，随机变量扛，( f = 1 ，m ) 服从独立的均值为0 、方 差为矿的复正态分布， 则 球：文痧川辨叫 l 七。扛后。矗：b 扛。j p ( p ) 2 芴1 上怂面面丽l + c o 瓣s 8 d 臼( 2 - 2 8 ) 2 0 第二章空时分集系统的误码率分析 卅 其中，d = zk , 1 2 ，k l = 1 。 ，= i 证明：由式( 2 2 0 ) 和引理2 知： 即m 阿 由引理4 知， 于是， 由引理l 知， 于是， = 了e 一百i c e s 丽1u 啪，肛 球，= e ( e x p ( 一等去科2 渺 = 姗e h 一等磐肛 e h 一等熙膊+ 豢 尸( 因此，定理2 成立。 垆l f , 2 f i “。+ 磊1 d e = 了g “ 丽而c o s 2 0 j 口 ：三 r 最上竺生- 了以 2 万t 1 ( 1 + c o s t 9 ) + 2 0 r 2 , d n e , 蠢。 2 l = 1 2 厶 ， = j 2 b 1 。川 d = 、j 阿 hh l 甜乙 电子科技大学博士学位论文 根据定理2 ，系统在约束条件为t r ( r 。) = 1 时，假如到第接收天线的衰落系 数构成的向量与第1 接收天线的衰落系数向量( 如。，：，如。) 具有线性关系，并且 红，之间独立，那么迹系统的平均误码率为： 尸( 已) 2 瓦1 土怂百丽币l + c o 瓣s o d 口( 2 - 2 9 ) 2 6 3 特征值约束系统 下面，讨论约束条件为厶( r 。) = 1 时，信道为独立同分布的瑞利衰落，特征 值约束系统的平均误码率。 定理3 设尸( p l h ) = q ( 2 呱护( h h h ) ) ，h = ( ) ，随机矩阵h 的元素服 仃h 、“。 从独立的均值为0 、方差为吒2 的复正态分布，则 比，2 去呻! i ： 而旭 3 。， 证明：根据式( 2 2 1 ) 和引理2 ，有 由于 于是 尸c p i ，2 妻f r 坨e x p ( 一智 d 口 t r ( h h r i ) = i t 阱， 即，2 了e ( e x p ( 一南喜缈肛 由于间的独立性，可以将被积函数中的期望分解为朋刀项的积。于是，由 第二章空时分集系统的误码率分析 阶了f 川- l f l 川，u 阿d 臼 c o s 20 2 昙鞭i z 1 _ 1 一c o 吖s 28 ，丽d 口 5 互1 ，；l 吲- 1 川z i ( l + c o s 8 ) 丽d 臼 因此，得到平均误码率为： 尸( d 2 芴1 ! 雨丽( 1 而+ c o s 丽o ) 掘 因此，定理3 成立。 从定理3 看出，这里的结论与文献 3 1 】的结论形式不同。第2 1 0 1 节的仿真 的结果( 图2 5 ) 显示，在k ( r 。) = 1 约束之下，作者推导得到的系统平均误码 率公式( 2 3 0 ) 与仿真结果吻合，而文献 3 1 】给出的系统平均误码率公式( 2 2 2 ) 是一个上界。 2 7 信道相关瑞利衰落系统误码率 下面，引入k a r h u n e n l o e v e 变换，将相关的子信道衰落系数构成的向量，投 影到另一个无关向量。通过该变换，可以求出在信道衰落系数相关的条件下，系 统的平均误码率e ( p ( e l h ) ) 。 设( 矗。，j f 2 2 l ，一，。，岛：，：，吃。) n ( o ，b ) ，0 是m y 维随机变量的期望构成的 零向量，b 是相应的协方差矩阵。随机变量之间相关。随机变量服从均值为0 、 方差为叮：的正态分布。 为此，引入向量p ： 电子科技大学博士学位论文 p = ( 届，尾。) 7 - - - v e c ( h ) = ( h i 。，缟l ，一，。，扛：，h , 2 , - - 吃。) r 则子信道的相关矩阵为： r 筇= e ( p p ) r 筇为复共轭矩阵。于是，可以引入酉矩阵u 对r 筇进行对角化： a = a 0 0 五 0o 对向量p 作k a r h u n e n l o e v e 变换： 0 0 厶。 ( 2 3 1 ) = u h p ，= ( 百，幺，厶。) 7 ( 2 3 2 ) 通过这个酉变换，向量p 投影为另一向量i ；。由引理5 知，= ( 夤，幺，乞) 7 也 是服从m n 维联合正态分布。这时， r 菇= e ( 鸽) = a = a i a g ( & ，如，) ， 五 0 ( 2 3 3 ) 其中，实数丑为r 筇的特征值。丑可以看成通过正交变换得到的，等价独立衰落子 信道相应支路的功率。的各个元素间不相关，即有： ( 六f ) = 巧， ( 2 - 3 4 ) 因此，随机变量幺和乞( i ) 之间独立。由于酉变换不改变向量的长度， 于是 芝蚶：芝叭 因此，由( 2 3 4 ) 可得： 2 4 第二章空时分集系统的误码率分析 兰丑：e f 艺i 六1 21 ：e f 兰l 屈1 21 ：窆兰霸 ( 2 3 5 ) j ；l、，= 1 ，= l，= lj = l 2 7 1 空间发射分集系统 现在，讨论空白j 发射分集系统( = 1 ，胛= 1 ，i i x l i = 1 ) 在信道为相关的瑞利衰 落环境下，系统的平均误码率。 定理4 设= l ，门= 1 ，l l x | i = 1 ，h = ( 啊，吃) 服从r n 维联合正态分布， 随机变量红服从相关的均值为0 、方差为2 的复正态分布， 则 腺= q ( 荆=一1一-雨忑l+雨cos硒。92z j oi = 1 c o s 珥d 臼 ( 2 - 3 6 ) 、7 ( 1 +乡) + 2 兄e 。仃： 其中，五为( 啊，) 7 的相关矩阵的特征值。 证明：由式( 2 2 1 ) 和引理3 知， 尸c p ，= e ( q ( 蓼 ) = e ( e x p ( 一叁去 匐肛 由引理4 知，九。( h 片h ) ：芝i 曩1 2 。于是， 胁脚c 专去舭埘臼 引入式( 2 - 3 2 ) 的酉变换，将随机向量h = ( 啊，) 投影到另一向量。 电子科技人学博十学位论文 由式( 2 3 5 ) 可得 肿了脚( 专击拟脚喵如引r 由幺之间的独立性，可得： 脚c 专去拟胪垂e ( e x p ( 孑e s 盟c o s 28 m 由式( 2 3 4 ) 和引理1 知， 黔慨啾专鹄彬乡 = 昙r 垂高枷 = i 玎f2 9 忑丽c o s 2 0 d 曰 ：上c r 南生竺i d 秒 2 n 南m 1 ( 1 + c o s 0 ) + 2 五e d 音 因此，定理4 成立。 根据定理4 ，在信道为相关的瑞利衰落环境下，空间发射分集系统的平均误码 率为： 荆2 互1 。f 亟l + c o 。s ，o 丽d 臼( 2 - 3 7 ) 2 7 2 迹约束系统 假如到第- 接收天线的衰落系数构成的向量与到第f 接收天线的衰落系数构成 的向量之间线性相关。并且单副接收天线对应的所有信道之间相关。下面，讨论 这类特殊的迹约束系统的平均误码率。更一般的迹约束系统的平均误码率有待进 2 6 第二章空时分集系统的误码率分析 一步研究。 定理5 设t r ( r 。) = 1 ，随机变量啊服从均值为0 ，方差为盯2 的复正态分布， 随机变量啊，之间相关， 则 脚哪= q ( h = j f z l 乞 b 啊。 曩： 如矗： k 啊： 啊。 七2j ；z l 。 吒拓脚 心) = 瓦1j ) e 譬z 而而1 + 面c o s 丽o 两眠d2 拟2 ，纠( 2 - 3 8 ) 其中，丑为( 啊。，啊：，矗，) 7 的相关矩阵的特征值。 证明：由式( 2 2 0 ) 和引理2 知， 由引理4 知， 于是， i( 尸( p ) = e lo i ( ( = 脚( 一等去u 枷) ) ) 织 九。( i - i h ) ：d 芝h 1 2 ，d ：羔i t l 2 ，毛= 1 ，= 1j = 1 阶脚c 一等南蛳t = l i 彬p 引入式( 2 3 2 ) 的酉变换，将随机向量( 矗，：，。) 7 投影到另一向量c ；。由 式( 2 3 5 ) 可得： 2 7 电子科技人学博十学位论文 特了脚( 一等磊拟彬吣和引7 由六之间的独立性，式( 2 3 4 ) 和引理1 知，可得： 忡了亟歪2 , l d n e s 抬 蠢c o s 2 秒 = 三7 r 心i ，! ：l 。c 。s 。秒+ c o 无s d 2 习蕊d 臼 ：上c r 吊竺翌一搬 2 万由，= 。( 1 + c o s ) + 2 2 i d n e , 因此，定理5 成立。 根据定理5 ，系这类特殊的迹约束系统的平均误码率为： 即，= 去f r 亟两孝翻组( 2 - 3 9 ) 2 7 3 特征值约束系统 现在，讨论在特征值约束乃甜( r 。) = 1 ，信道矩阵h 的所有元素都是相关的 瑞利衰落过程的情况下，系统的平均误码率。 定理6 设( 啊。，1 一，：，：，魂。) 服从聊行维联合j 下态分布，随机变量囊j 的均值为0 ，方差为2 ，不同的随机变量之间相关， p ( e i h ) ：q ( 14 2 n e , t r ( h , h ) ) 则 盼去f r 再而旭( 2 - 4 0 ) 其中，丑为( 扛，1 一，。，鹚：，：，。) 7 的相关矩阵的特征值。 2 8 第二章空时分集系统的误码率分析 证明：由式( 2 2 1 ) 和引理2 ，有 尸( p i 口。) = 去f r 胆e x p ( 一n e 口j ：r c ( 。h s ：n 目h ) 、1 d 秒 由y t r ( u 片r i ) = 窆芝卅，可得 即，= e 一番鞫洲旭 设( 1 2 l 。，红l 一，吃。，啊：，：，。) 7 如式( 2 3 2 ) 解相关后，得到的随机向量为 = ( 缶，幺，。) r 根据式( 2 3 5 ) 得： 肿e ( e x p ( 一鑫甜肛 由式( 2 3 4 ) ， 之间的独立性和引理1 ，可得平均误码率为： = i ，f 坨l ；i 面丽丽1 + c 瓦o s2丽t7 5 去j c r 尊而杀赫d 因此，得到平均误码率为： d r 7 口 眯，2 去f r 垂而蒜赫批 因此，定理6 成立。 一l c 一 斗 一o 莓一 电子科技人学博士学位论文 根据定理6 ，在信道矩阵h 的所有元素都是相关的瑞利衰落的环境下，特征 值约束系统的平均误码率为： 即，2 去j c r 尊而蒜赫旭 协4 ， 比较定理4 和定理6 ，在约束i = i 或者丸靠( r 。) = l 的情况下，若信道矩阵h 的所有元素都是相关的瑞利衰落过程，那么系统平均误码率公式相似。在n = n = 1 的情况下，约束恻i = i 和以甜( r 。) = 1 相应的系统平均误码率完全一致。 2 8 接收或发射相关系统 下面，讨论相关信道矩阵的一种特殊情况【3 2 j ： h = r ：坨h 。r ” 这时， r = r j o r ， ( 2 4 2 ) 为了明确在计算过程中矩阵运算的有效性和避免出错，重新将矩阵描述如下。 信道矩阵h = h 。表示该m i m o 系统有m 副发射天线和门副接收天线。r ，和r ，分 别表示接收相关矩阵和发射相关矩阵。r ，和r ，都是h e r m i t e 矩阵。因此，可以将 r ，和r ，进行分解： r ，= r y 2 r ? 2 = ( r ? 2 ) 月r ? 2 r ，= r ：门r ：坨= r ：，2 ( r ：，2 ) 爿 其中，r ：心和r ? 2 都是h e r m i t e 矩阵。这些矩阵的维数如下： r ，1 2 = = ( r ? 2 ) 。，r ：7 2 - - ( r 1 7 2 ) 。 假设相关信道可以描述为如下形式： n - r ，i 2 h 。r ：，2 ，h 。= ( ) 3 0 第二章空时分集系统的误码率分析 其中，矩阵h 。的任意兀素w 月艮从独立的均值为0 ，方差为1 的正态分布。 这时， h h h = ( r ? 2 h r i2 ) 片r j 2 h 。r i 7 2 = r i 坨( h ，) rz 2 r ? 2 h 。r i 戊 = r ：，2 ( h 。) 圩r ，h 。r i 佗 于是， t r ( n h ) = 驴( r ：坨( h 。) r ，h 。r ：佗) = 护( ( h 。r ：佗) 片r ，( h 。r i 坨) ) 根据矩阵积的迹性质：对于矩阵a m x f ，b ，有t r ( a b ) = t r ( b a ) 。于是， t r ( i - i h ) = t r ( r l 门( h 。) r ：坦r ：坨h 。r i 佗) = 护( ( r ? 2 h 。) 片( r i r 门h 。) r ，) 当接收无关时，r ，= i 。于是， 驴( h h ) = 护( ( h 。r i 佗) ( h 。r i 佗) ) ( 2 4 2 ) 当发射无关时，r ，= i 。于是， 护( h h ) = 护( ( r ? 2 h 。) ( r y 2 h 。) ) ( 2 4 3 ) 2 8 1 发射相关系统 下面讨论发射相关接收无关系统。当系统接收无关时，r ，= i 。信道矩阵 h = h 。r i 心的第i 行元素都是矩阵h 。的第i 行元素的某种线性组合。由正态分布 的随机变量的线性不变性知，矩阵h 的各元素仍然服从正态分布，其均值仍然为o ， 方差与组合系数有关。由于矩阵h 。的元素都是独立同分布的随机变量，故矩阵 h 。r ：他的不同行之间相互独立。 这时， 1 l 电子科技大学博士学位论文 护h 片h ) = 肛( ( h 。r ：坨) 片( h 。r ：门) ) 是矩阵h 。r ：心的所有元素的模的平方和。因此， t r ( h h ) = 兰芝h i 2 ，h j 艺，r ：坨：( t t o ) ( 2 - 4 4 ) i = lj = lk = l 其中，t t o 表示矩阵r i 坨的元素。 现在，讨论在特征值约束丸。( r 。) = 1 ，系统在发射相关接收无关的情况下， 平均误码率。 定理7 设h = ( ) ，h = h 。r ：住，h 。= ( ) ，h 。的所有随机变量服从 独立的均值为0 、方差为1 的正态分布， 则 删h ) - q ( 1 4 2 n e ，t r ( h n h ) ) p c e ，2 去f r 垂e ( e x p ( 一淼善l 善w 。“白1 2 d 臼 c 2 - 4 5 ， 若矩阵r ：坨的元素都是实数，则 尸c p ，= 1 - = f ie e e 即 一善一淼姜陲| 2 幽厂d p 其中，露为信道的噪声方差。 证明：由引理2 ，有 3 2 ( 2 4 6 ) 第二章空时分集系统的误码率分析 由于 于是 尸( p i ) = q ( 历= ) = ：1 f 2e x p ( 一彘) d 护 = 去f r 坨e x p c 一智，d 曰 t r ( h h h ) _ 窆芝蚶， i = 1 j = l 心户i 了f2 e e x p ( 一南鞠删d 9 2 e ( e x p ( 一南始删卜 由前面分析知，矩阵h 。r ：坨的各行之间独立。于是，可以将上式被积函数中 的期望分解为嚣项的积。于是，平均误码率为： 肿扪f f i ( e x p ( 一南甜肛 2 去f r 峨x p ( - 采舭妒 = 去f r 囊e e x p 一一o - 2 ( c o s 秒+ 1 ) 薯j 善w 。1 2 d 口 矩阵h 。的任意元素之间，服从独立的均值为0 、方差为l 的正态分布。若 r 。于是， p ( p ) ：_ 1 2 刀 劂- e e 冲 也吒嘲d y m d o 2 r e ”+ 1 电子科技大学博士学位论文 c r ：工：e x p ( 一荟m 一善以一 幽出。奶砂。d 臼 2 x ”+ 1 f r lc e ( 2 r e ”+ 2 n e s 吒2 ( c o s 0 + 1 ) 。，p 2 n e ，2 n e ， e x p 懦一骊o n l t 2 l l 。u 3 口1 - 1 ， 工：工：e x p ( 一善m 以一 2 n e 。 吒2 ( c o s 8 + f r 一胁p 陪一蒜 因此，定理7 成立。 j = 2 、i1 一 l 奶阮| )1 21 玎 l 砂。咖。i d o ) 1 _ , x k t t k j 七鲁l 从定理7 的推导可知，在特征值约束k ( r 。) = l 情况下，系统的平均误码率为： p ( p ) 2 2 x ”+ 1玎e e 。f ，v m 。 2 n e ， 唧懦一赫( c o s o l 捌 仃n+ l j 定理8 设h = ( ) ，h = h 。r ，1 门， 且任何一个元素都服从均值 2 卜瓯卜 2 训 系统发射相关接收无关的 h 。= ( ) ，h 。的 为0 、方差为1 的正态分布， 3 4 卜吨卜 所有元素相互独立，并 扫 甜 耽 。蹦 。川 + 2 廿 盯x 。纠 。川 力 。心 一 。心 一 廿 玎 儿 。心 。川 + 2 灯 fx 。闰 廿 盯 ，心 廿 盯 膏y 。川 。川 。川 幻 fr x 。矧 。川 第二章空时分集系统的误码率分析 刊h ) - q ( 1 4 2 n e , t r ( h , h ) ) 则系统平均误码率的下界为： c，尸cp，-芝1上(一eos0+1 ”d 曰， ( 2 ) 若矩阵r i 他的元素都是实数，则系统平均误码率的上界为： ( 2 4 7 ) 球，专 亡_ 叫一艺k = l 一铡2 和牡九卜2 舶， 其中，蠢为信道噪声的方差。 证明：由上一个定理的证明过程知，平均误码率为 球，= 去i r 舛x p ( _ 蒜甜肛 根据c a u c h y s c h w a r t z 不等式 于是， 从而 因此， 1 2 = f 善1 2 善1 1 2 喜k 1 2 一阱一7 坩卦。1 2 = 1 i = l 一羔h 1 2 一f 羔艺k 21 羔1 1 2 j = l t = lj = lj = l 电子科技大学博士学位论文 讹，= 去j c f 舛x p ( _ 蒜舭肛 去f r 舛x p ( _ 丽2 x 面& 令h ：芝艺k 1 2 ，可得 球，去f r 舛x p ( - 杀甜渺 = 互l 万r l ( ( c 。s 伊+ c _ l o ) s + 0 2 + h 丽l 因此，得到平均误码率下界为： 荆；1 f ( e o s s + l 可 y d 删d 9 若矩阵r ! 他的元素都是实数，由c o s o + l 2 和定理7 知， 即，= 嘉r p 卜p 悖一最粪刊2 卜卜 专陋州一喜等磐肛吨r 因此，定理8 成立。 3 6 9d 、， 、 。一， 2 。川 。川 ，一 器 一 嘎瓦 一 一，一砸 1一v一口 p ：z 一( x 一 一一月 攀一 第二章空时分集系统的误码率分析 根据定理8 ，在特征值约束( r 盛) = 1 ，发射相关接收无关的情况下，系统 平均误码率的下界为： 尸( e ) j l i 上( i 五i 万i c 可o i s i s 丽+ 1 ”d 口 ( 2