（计算数学专业论文）凹型区域椭圆边值问题的人工边界条件方法.pdf

硕士学位论文2 0 0 1 0 年3 月 摘要 本文利用自然边界归化原理，研究凹型区域外问题的人工边界条件方法 第一部分研究无穷凹型区域椭圆边值问题人工边界条件方法利用自然边 界归化原理，获得人工边界条件利用人工边界条件，将原问题化为与之等价的 有界区域上的计算问题，应用有限元方法进行求解给出问题的变分形式，以及 有限元离散化，详细分析了近似解的误差估计误差估计显示了近似解与人工边 界条件的级数截断的项数及人工边界的位置间的关系最后给出数值例子以验证 理论分析的正确性 第二部分研究椭圆外凹型区域边值问题人工边界条件方法利用自然边界 归化原理，获得人工边界条件利用人工边界条件，将原问题化为与之等价的有 界区域上的计算问题，应用有限元方法进行求解给出问题的变分形式，以及有 限元离散化，详细分析了近似解的误差估计误差估计显示了近似解与人工边界 条件的级数截断的项数及人工边界的位置间的关系最后给出数值例子以验证理 论分析的正确性 关键词：凹型区域，椭圆边值问题，自然边界归化，人工边界条件，误差估 计 2 仲鹏 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ei n v e s t i g a t en u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o m ee l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si na ne x t e r i o rd o m a i nw i t hac o n c a v ea n g l eb yt h ea r t i f i c i a l b o u n d a r yc o n d i t i o nm e t h o d t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s i np a r tio ft h i st h e s i s ，t h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o nm e t h o df o ra ne l - l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi na ne x t e r i o rd o m a i nw i t hac o n c a v ea n g l ei s s t u d i e d b yt h ep r i n c i p l eo ft h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，w eo b t a i nt h ea r - t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dt h eo r i g i n a lp r o b l e mi sr e d u c e dt oap r o b l e m t h a ti se q u i v a l e n tt ot h eo r i g i n a lo n eb yt h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n t h e v a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o na n df i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o na r eg i v e n a ne r r o re s - t i m a t eo ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o ni sd i s c u s s e di nd e t a i l s o u re r r o re s t i m a t e d e p e n d so nt h et e r m su s e di nt h ea p p r o x i m a t ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o na n d t h el o c a t i o no ft h ea r t i f i c i a lb o u n d a r y f i n a l l yn u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e dt o d e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h e o r e t i c a lr e s u l t s i np a r ti io f t h i st h e s i s ，t h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o nm e t h o df o rt h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi na ne x t e r i o re l l i p t i cd o m a i nw i t hac o n c a v ea n g l ei s s t u d i e d b yt h ep r i n c i p l eo ft h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，w eo b t a i nt h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dt h eo r i g i n a lp r o b l e mi sr e d u c e dt oap r o b l e m t h a ti se q u i v a l e n tt ot h eo r i g i n a lo n eb yt h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n t h e v a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o na n df i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o na r cg i v e n a ne r r o re s - t i m a t eo ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o ni sd i s c u s s e di nd e t a i l s o u re r r o re s t i m a t e d e p e n d so nt h et e r m su s e di nt h ea p p r o x i m a t ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o na n d t h el o c a t i o no ft h ea r t i f i c i a lb o u n d a ry f i n a l l yn u m e r i c a lr e s u l t sa r cp r e s e n t e dt o d e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h e o r e t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ： c o n c a v ea n g l ed o m a i n ，e l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， n a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，a r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ，e r r o re s t i m a t e 硕士学位论文2 0 1 0 年3 月 l工- 刖昌 边界元法是在经典的边界积分方程法的基础上吸收了有限元离散技术而发 展起来的一种偏微分方程的数值解法，它把微分方程的边值问题归化为边界上的 积分方程，然后利用各种离散化技术求解边界元方法的基础在于边界归化目 前流行的边界归化方法大致分为两类：经典边界元法，自然边界元法 自然边界归化的思想是由我国学者冯康先生首创，并由其本人与余德浩教授 发展起来而基于自然边界归化的边界元方法被称为自然边界元法 5 ，1 1 ，1 7 ，1 8 1 ， 它是从g r e e n 函数和g r e e n 公式出发，将偏微分方程边值问题归化为边界上的 强奇异积分方程( 或称超奇异积分方程) ，然后化成相应的变分形式，再在边界上 离散化求解的一种数值方法由此可见，自然边界元法包括两方面的内容，实现 自然边界归化与强奇异积分的计算而文献 1 l 】给出了求解强奇异积分计算的 一些简单、易行且非常有效的数值方法 随着强奇异积分的计算问题在二维领域得到解决，自然边界元法获得了极 大的发展f 卜4 ，6 ，7 ，1 0 ，1 3 ，1 4 经典有限元法和自然边界元法相比各有其优缺点 自然边界元法不仅具有一般边界元法所具有的将问题降维处理从而使节点数大 为减少，即只需求解一个较低阶的线性代数方程组，以及特别适宜于求解无界区 域或断裂区域上的用经典有限元法往往难以有效求解的某些问题等优点，而且由 于刚度矩阵保持了原有问题的对称正定性，并有循环性或分块循环性特点，使得 系数的计算量大为减少，从而数值计算上具有更多的优点但自然边界元的优点 正是由自然边界归化的解析上的工作换来的由于对一般区域上的边值问题往往 难以得到相应的g r e e n 函数，也难以应用f o u r i e r 分析方法及复变函数论方法， 从而无法解析地求得自然积分方程和p o i s s o n 积分公式，也就不能直接应用自然 边界元法此外，自然边界元法也和其它边界元法一样难以处理非线性问题及非 匀质问题而有限元法则适应于较任意的区域及更广泛的问题 针对奇性或无限区域，现在人们越来越重视求解这类问题的一条途径，即 人工边界条件法 1 5 ，1 6 ，1 9 2 5 】此法引入一条人工边界将求解区域分成两个子 区域，在一个有限的或无奇性的子区域上，问题可以是非线性的，非匀质的，而 3 仲鹏 硕士学位论文 在另一个可以是无限的或有奇性的、规则的子区域上，问题是线性的、均匀的 若将自然边界元法和有限元法结合起来( 见文献 8 ，1 2 ) ，在前一个子区域上可以 应用有限元法，而在后一个子区域上则应用自然边界元法，这种方法吸取了有限 元法能适应较任意区域的优点，克服了自然边界归化对区域性质要求的限制，大 大拓广了自然边界元法的应用范围另一方面，这种方法也保持了自然边界元适 于处理无穷区域及某些断裂、凹角区域上的边值问题的优点，克服了通常有限元 法在处理此类问题时精度大大降低的缺点，而能获得理想的计算结果由于自然 边界归化完全保持了原椭圆边值问题的一些基本特性，特别是具有能量泛函不变 性，又由于自然边界元法和有限元法基于同样的变分原理，故两者的结合非常自 然而直接，因而自然边界元可纳入有限元体系此法的总刚度矩阵恰由自然边界 元及有限元得到的刚度矩阵之和这与经典的边界元与有限元耦合法简单的多， 从而也更易于应用事实上，实施自然边界归化的子区域正是有限元剖分中的一 个“大单元”，由于其内部不需要再作剖分，使节点数大为减少，从而得到的线性 代数方程组的阶数大为降低，而为此付出的代价只是插入一个计算自然边界元刚 度矩阵的子程序 本文主要研究无穷凹型区域以及椭圆外凹型区域边值问题基于自然边界归 化的人工边界条件法首先引入人工边界r ，将原无界区域q 分成两个子区域， 一个有界区域q t 和一个具有规则内边界的无界区域盹然后通过对无界区域 q 。上的问题的分析获得1 1 上的未知函数和它的法向导数之间的关系式( 即自然 积分方程) ，用这个关系式作为人工边界r 上的边界条件，原问题简化为有界区 域q 。上的问题最后再用有限元法求解有界区域q t 上的问题详细分析了近 似解的误差估计，误差估计显示了近似解与人工边界条件的级数截断的项数及人 工边界的位置间的关系，并给出数值例子以验证理论分析的正确性 硕士学位论文2 0 1 0 年3 月 第一章无穷凹型区域椭圆边值问题 的人工边界条件方法 1 1 引言 科学与工程计算中常常遇到无界区域问题，数值求解这类问题一直是人们 关注的热点问题由于区域的无界性，这给数值计算带来了一定的困难一种行 之有效的方法被称之为人工边界条件方法，即引入一条人工边界，将无界区域问 题转化为有界区域问题再进行数值求解人工边界条件的获得有多种方法，其中 利用冯康教授和余德浩教授首创并发展起来的自然边界归化理论 5 ，1 1 ，1 7 ，1 8 深 受研究者的青睐文【2 0 研究了l a p l a c e 方程和线弹性方程外问题的人工边界条 件方法，给出了近似解的误差估计文 2 1 研究了圆外区域和半无限长条区域外 问题的人工边界条件方法获得的误差估计刻画了误差与人工边界条件的级数截 断的项数及人工边界的位置的关系 设q = ( r ，9 ) ir r ，p ( 0 ，a ) ，其边界a q = f d u f n ，f n = ( r ，口) ir = r ，臼( 0 ，q ) ，f d = ( 7 ，口) fr r ，p = o 或口= o l 考虑如下边值问题 一让+ p 他= 厂，q 内， = g ，f d 上， 娑： ，r 上， 佗 无穷远处适当边界条件， 1 1 1 1 1 1 1 1 其中，g 是给定函数，g h ( r d ) ，厂l 2 ( q ) 并满足s u p p ( ) 是紧的 首先利用自然边界归化原理，给出非局部人工边界条件；然后利用所得的 人工边界条件将原问题化为与之等价的有界区域问题，并利用有限元方法进行求 解，讨论近似解的误差估计；最后给出数值例子以示该方法的有效性和可行性 1 2 非局部人工边界条件 在区域q 内选取人工边界r 。，记r 。外的区域为q 。，q i = q 砭下面建立 问题( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 在r 。上的精确边界条件 为了简便起见，假设g = 0 此时我们仅就p 0 时( 对于p 取值的不同情 况【4 给出了详细的讨论) ，类似于文【4 中的方法，问题( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 在q 。内 5 6 仲鹏 硕士学位论文 具有如下形式的解 小：量如耻) s i n t r o i n ， u ( 删= 如鼠( r ) si ， ( 1 2 1 ) 其中b n ( r ) = k 警( 、两) ，而既( z ) 为第二类变形的阶b c s s e l 函数【9 】，即 帅) = 三警 ( 1 2 2 ) 由 可得 记 u ( r ，p ) _ ，臻u ( r p ) =量如鼠( 晌警， 伽兰踯) 1 小卿i n 警掘 g n ( 7 ，r ) ：= b n ( r ) 鼠( r ) ， 故 小，驴兰量g 撕，兄一让( s i n 型0 1 ) j o s i n 警 u ( 删) 2 三g n ( t 兄让( r 舢i n 竺幽詈 将上式两端对r 求导，并取r r + ，得 丽o u = 一面2 7 r 刍+ o o 口n 厶 , a 郴) s i n 警s i n 等兰一 其中 磊= 一 q 邪r k 棼( 移r ) 丌 k 等( 卯r ) ( 1 2 7 ) 式即为所求人工边界r 。上的准确边界条件令 百o u n = 一急耋磊z n u c 剐铀i n 警s t nw q r o d o 兰赢 n = 1 ，2 ， 则可得到当n 取不同值时一系列近似人工边界条件 1 3 有限元逼近 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 利用人工边界条件( 1 2 7 ) ，问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 就转化为区域q 内的问题 一乱+ p u = f ，q t 内， ( 1 3 1 ) u = g ，f d 上，( 1 3 2 ) 第一章 无穷凹型区域椭圆边值问题的人工边界条件方法 记 v = h 1 ( q ) fv l o n 。= o ，( 1 3 5 ) 则问题( 1 3 1 ) 一( 1 3 4 ) 在区域q 内的变分问题为：求u v ，使得 n ( u ，u ) + b ( u ，u ) = ，( u ) ，vv k( 1 3 6 ) 其中 o ( u ，u ) = ( v 让v v + p u v ) d x ， ( 1 3 7 ) n 川 2 a 郴棚郴) s i n 了n r r o s i n 警删以( 1 3 8 ) ， f ( v ) = f v d x ( 1 3 9 ) j n 。 对应于近似人工边界条件( 1 2 8 ) ，问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 转化为如下问题 - a u + p t z = f ，q t 内，( 1 3 1 0 ) u = g ， f o 上， ( 1 3 1 1 ) 婴：h ，f 上，( 1 3 31 2 ) 丽o u = 9 ，r 。上 ( 1 3 1 3 ) 若令 讹垆一了2 n u ( 脚( s i n n l r _ 0 0s i n 警删以( 1 3 “) 则问题( 1 3 1 0 ) 一( 1 3 1 3 ) 等价于变分问题：求u n v ，使得 a ( u n ，v ) + b n ( u n ，v ) = ，( 秽) ，vv 矿( 1 3 1 5 ) 设v cv 为y 的有限元子空间，则变分问题( 1 3 1 5 ) 的有限元逼近问题 为：求u ；：，v ，使得 口( u ，v ) + 6 ( 乱，v ) = 厂( u ) ，vv v ( 1 3 1 6 ) 易知a ( u ，v ) 是定义在v v 上的对称、有界、强制的双线性形式若定义 空间y 中的等价范数为 i i v l l 。= a ( v ，口) 】，v 秽k( 1 3 1 7 ) 则存在正常数m i ，使得 j o ( 孔， ) l m 1 ij 钍j i 。lj u i l 。，vu ，口k( 1 3 1 8 ) a ( v ，u ) i ：， vv 矿 ( 1 3 1 9 ) 引理1 3 1 ( 4 ) 令= 警，则对b e s s e l 函数和变形的b e s s e l 函数也( o r ) ( 其中c 0 ) ，如下结论成立 而1i = d ( 1 ) ，一十。 ( 1 3 2 0 ) 8 仲鹏 硕士学位论文 定理1 3 1b ( u ，口) 和b n ( u ， 1 3 ) 是定义在y 在和无关的常数c ，使得 i b ( u ，u ) l c l l u l l 。l i v l l 。，v ，u k i b n ( u ，钉) l c l l u l l 。i i v l l 。，vu ，u 矿 证明只须证 + u ( r ，p ) = v 上的有界双线性形式，即存 ( 1 3 2 1 ) ( 1 3 2 2 ) b ( u ，u ) 和b l v ( u ，u ) 在v v 有界对任意的让，v v ，有 + c o 在边界r 。上，乱h 5 ( r 。) 号 n = 1 则 v ( r ，0 7 ) = ( 1 + 礼2 ) s 6 2 。 ： 。 。i + ( 1 3 2 6 ) n = o 结合式子( 1 3 1 8 ) ，( 1 3 1 9 ) 及l a x - m i l g r a m 定理我们知道变分问题( 1 3 6 ) ，( 1 3 1 5 ) 与( 1 3 1 6 ) 是适定的 1 4 误差估计 对问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) ，借助人工边界条件，建立其误差估计为此先给出引 理 引理1 4 1 设u h 1 ( q t ) 是外问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 的解，则存在k 1 使 得u l r 。h 缸一 ( r o ) ，对任意秽v ，有 | 6 ( 叩) - 6 小川m 而每( 鲁) 华l 讪、也 r 0 忪b 证明设 搿u ( 刚) s i n 警掘耻兰口删阚n 警加 注意到在区域q = r ，0 ) ir r o ，0 ( 0 ，q ) ) ，u 为如下形式 u ( r ，0 )= 三薹g 小川小m s t n 警咖警 令r = r ，并将u ( r o ，0 ) 代入，有 让( 剐) = 三擎( r ，一让) s i n w r o , o ) 7 0 ( r o n 警枷让( r ，口) = 主瓯( r ， 让，p ，) s i ni s i n 詈枷 g 。( r ，凰) s i n n 丌o f o 口 = 三- t o o 郴舢川咖警 将札( 尺，口) ，秽( 兄，目) 代入6 ( 让，u ) ， i b ( u , v ) 一6 ( 刚) l = i 面2 7 r a ms i n 型1s i nn r o d o ， qo c 1 3 1 ，有 a 。g 。( r ，r o ) ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) ( 1 4 5 ) 佃一 ， 佃- l 2 一q l l 1 0 仲鹏 硕士学位论文 由 故 面n 警) ( 薹剐n 警) s t n 警s i n 警删 磊曼邶棚川小n 警咖警础 m = l 。u + ；o o f o , 1 k t r f f 咖警 b ( u ，v ) - b s ( u ， ) l c c c p 1 + o ( 1 ) 3 ，- - - , + o o c 妻嘛玩( 鲁) 警 ( + 1 ) 枉1 ( + 1 ) 南一1 ( + 1 ) 扣1 ( 鲁) t l = n + 1 扩a n 鼠 n = n + 1 ( 1 4 6 ) 扩i ) 5 ( - t - o o 礼磷) 5 n ：n + 1 ( 鲁) 学陆i 也 r o i t 吼i i 定理1 4 2 令u 和让； ，分别为问题( 1 3 6 ) ，( 1 3 1 6 ) 的 u l r 。h 扣；( r o ) ( k 1 ) ，则有以下误差估计 忆删一c i n fi l u - v h l i + 蒜每( 鲁) 学 解设f l 2 ( q 1 ) ， l u r o l 时。 ( 1 4 7 ) 证明令e = “一钆；r ，= v 一u ，砂= 口九一钆由( 1 3 2 ) ，( 1 3 8 ) 知 a ( e ，口 ) + b ( u ，1 ) h ) 一6 ( u ，v h ) = 0 ， vv h ( 1 4 8 ) 在上式中令v h = e h ，有 l l e h l l i = a ( e h ，e h ) a ( e h ，e h ) + b n ( e h ，e h ) = n ( e t i ，e h ) + b n ( e 。，e h ) + o ( e ，e h ) + b n ( e ，e h ) = o ( e 口，e h ) + b n ( e 。，e h ) + b n ( u ，e h ) 一b ( u ，e h ) 佃一 旦脚 = 佃 学 佃 ，_ 学 、 风瓦， 第一章无穷凹型区域椭圆边值问题的人工边界条件方法 刚训卜忙圳。+ 两每( 鲁) 学l k 护。i 即 i e h i & 峙+ 蒜扣( 鲁) 半i k 甜( 1 4 1 0 ) 由上式和三角不等式结论得证 若乱h p “( a d ，u p 。h p + 1 2 ( q t ) 及坛对y 逼近的插值误差 i n fi i 乱一v h l i l ，q 。c h p 川p + 1 ，n t ， 口，l t v h 则由定理1 4 2 及上式可得 i l u - u i l 加。 a ，0 ( 0 ，q ) 取人工边界为 圆弧q = f ( n 目) ir = r ，0 ( 0 ，q ) ) 对有界区域q 作如下有限元剖分：先将 区间( 0 ，q ) 分成佗等分，在圆弧n ，r e 上各有几个等分点，让边界n 和r 。上 的节点与等分点重合，连接n 和r 。上对应的节点，得到他条径向线段，再将这 些径向线段m 等分得其余节点，最后通过这些节点得到q t 上的一个三角形单 元剖分 例1 5 1 求解外问题( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) ，其中q = 2 丌，a = 1 ，厂= 0 ，卢= 1 ， g ( a ，0 ) = k i ( 口) s i i l 吾，则对应问题的精确解为仳( n0 ) = 一k ；( r ) s i n 吾 首先，考虑网格大小对误差的影响引入r = 2 的人工边界f 。，分别采用 佗= 8 ，1 6 ，3 2 ，6 4 ，1 2 8 ，以及相应于他的m = 4 ，8 ，1 6 ，3 2 ，6 4 网格对区域g 进行 剖分，简记为h ：8x4 ；鲁：1 6 8 ；i h ：3 2 1 6 ；：6 4 3 2 ，南：1 2 8 6 4 无穷级 数中截断的项数为n = 1 0 0 ，计算的误差如表1 5 1 所示 表1 5 1 网格大小h 对误差的影响 网格 2481 6 | l u u 则o m 。 0 4 2 7 80 1 8 5 50 1 0 6 90 0 6 3 50 0 2 5 7 l u u ：；，1 1 ，f z t 2 2 8 2 41 1 5 1 20 6 7 1 60 2 7 5 30 1 5 2 7 其次，考察人工边界条件级数中截断的项数对误差的影响令r = 2 ， u 笔表示n = 1 0 0 时的有限元解图1 5 1 给出取不同值时，6 4 3 2 网格剖 1 2 仲鹏硕士学位论文 分下的误差e n = i u 笛一钍k n 。( 七= 0 ，1 ) 和之间的关系 一i n ( n + 1 ) 图1 5 1 级数的截断项数对误差的影响 最后，考察人工边界r 。的选取对误差的影响在6 4x4 ，6 4 8 ，6 4x1 6 ， 6 4x 3 2 ，6 4x6 4 的网格剖分下，取r = 1 5 ，2 0 ，2 5 ，3 o ，3 5 u 岛表示取不同 值时的有限元解，u 曼是当n = 1 0 0 时的有限元解误差点1 r = i i 札曼一u 品l l o 舯； 和r 之间的关系由图1 5 2 给出 i n ( r o r ) 图1 , 5 2 人工边界的位置对误差的影n 向 硕士学位论文 2 0 1 0 年3 月 第二章椭圆外凹型区域p o i s s o n 问题 的人工边界条件方法 2 1 引言 科学与工程计算中常常遇到无界区域问题，数值求解这类问题一直是人们 关注的热点问题由于区域的无界性，这给数值计算带来了一定的困难一种行 之有效的方法被称之为人工边界条件方法，即引入一条人工边界，将无界区域问 题转化为有界区域问题再进行数值求解人工边界条件的获得有多种方法，其中 利用冯康教授和余德浩教授首创并发展起来的自然边界归化理论 5 ，1 1 ，1 7 ，1 8 深 受研究者的青睐用有限元与自然边界元耦合法求解外问题时，人们通常选取圆 周( 二维) 或球面( 三维) ，或者圆弧作人工边界，但对具有“凹角长条型”内边界 的外问题，以圆弧作人工边界显然并非最佳选择，它会导致计算量过大，甚至不 能获得满意的数值结果可以预测，用一个接近于凹角长条型区域边界形状的人 工边界( 如椭圆弧) 可能会更好既可直接拓广自然边界元方法的应用范围，也可 为数值求解某些具有凹角长条型内边界的外问题提供一条新的更有效的途径 文 2 0 】中给出了l a p l a c e 方程和线弹性方程外问题的误差估计，文 2 1 】中 研究了圆外区域和半无限长条区域外问题的人工边界条件方法给出的误差估计 刻画了误差与人工边界条件的级数截断的项数及人工边界的位置的关系 设椭圆外凹型区域q = ( 弘，妒) lp 万，( 0 ，q ) ) ，a q = f duf n ，f d = ( p ，) ip 百，= o 或矽= q ) ) ，f n = ( p ，) ip = 瓦，( 0 ，o ) ，考虑问题 - - a u = 厂，q 内，( 2 1 1 ) u = g ，f o 上，( 2 1 2 ) 癸： ， r 上， ( 2 1 3 ) d 佗 无穷远处适当边界条件，( 2 1 4 ) 其中，g 是给定函数，g 日( t o ) ，l 2 ( q ) 并满足s u p p ( f ) 是紧的 2 2 非局部人工边界条件 为研究问题的需要，引入椭圆坐标( p ，) ，它与直角坐标( z ，y ) 有如下关系 z = s oc o s h p c o s ，y = f 0s i n h 肛s i n ， ( 2 2 1 ) 1 3 仲鹏硕士学位论文 其中矗为正常数当p 取不同的正常数时，它描述了平面上的一族共焦椭圆， 它们的公共焦点是( + f o ，0 ) 引理2 1 ( 【1 0 ，1 3 】) 变换( 2 2 1 ) 有下列性质： ( 1 ) 变换( 2 2 1 ) 的j a c o b i 行列式为 ，( p ，) = 后c o s h 2 # s i n 2 咖+ 靠s i n h 2 # c o s 2 = 后( c o s h 2p c o s 2 ) ， 而j ( 肛，) = 0 当且仅当( z ，y ) = ( 士f o ，0 ) ( 2 ) 对u c 2 ( r ) ，成立 茅+ 家= m q a 甜0 2 u + 券) ( 3 ) 设r p 。= ( p ，) ip = 加) 为椭圆外区域q p 。= ( p ，妒) lp i t o ) 的内 边界，他为r 肛。上的单位外法向量，则 a u1a u o n 丽舡。 在区域q 内选取人工边界r 。，记r 。外的区域为q 。，q t = q 砭下面建立 问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 在r e 上的精确边界条件 为了简便起见，假设g = 0 易知问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 在q 。内具有如下形式 的解 让( p ，咖) = 如e 一半s i n 孚 ( 2 2 2 ) 由 乱( 万，西) = l i m ( p ，) ：a n e - 警s i n 型， ( 2 2 3 ) “面十_o t 小兰e 警小砷t n 警触 比州= 兰薹e 掣小则，) s i n 警s i n 警 瓦o u 一_ 一万2 7 r 善+ c 。nj ( o a u ( 可) s i ni n 7 r s i n 警彬兰矿 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 5 ) 式即为所求人工边界r 。上的准确边界条件令 筹= 一豢三nn o 口u ( 硼咖譬咖n t a r d e - g 知， ( 2 2 7 ) n = 1 ，2 ， 则就得到当n 取不同值时一系列近似人工边界条件 第二章椭圆外凹型区域p o i s s o n 同题的人工边界条件方法 2 3 有限元逼近 利用人工边界条件方法， 内的问题 一”= f ，q 内， u = g ， f d 上， o _ u ：h ，f 上，石2 ，上， 挲：9 ，r 。上 瓦2 1 ，1e 上 利用( 2 2 6 ) ，问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 就转化为区域q 记 y = 口h 1 ( s 2 i ) iv l o n 。= o ) ， 则问题( 2 3 1 ) 一( 2 3 4 ) 在区域q 内的变分问题为：求u v ，使得 a ( u ，v ) + b ( u ，口) = 厂( u ) ， vv k 其中 a ( u ，u ) = v u v v d x ， 川= 一警薹几腰蟛川啦) s i n 警s i n 警删 ，( u ) = f v d ：r , 应用( 2 2 7 ) ，则问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 转化为 一a u = f ， s 2 内， u = g ， r d 上， 挲： ，r 上， 璧粕，r e 上 d “ ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) 若令 6 ( 叩) _ - 豢薹礼o q f o az t ( 脚( m 咖譬咖警酬帅3 “) 则问题( 2 3 1 0 ) 一( 2 3 1 3 ) 在区域哦内的变分问题为：求u v ，使得 ，a ( u l v ，v ) + b n ( u n ，仃) = ，( u ) ， vv 矿 ( 2 3 1 5 ) 设y h 为y 的有限元子空间，则( 2 3 1 5 ) 的逼近问题为：求u v h ，使得 n ( u ，v ) + 6 r ( “，口) = ，( u ) ，vv v ( 2 3 1 6 ) 易知o ( 乱，v ) 是定义在v v 上的对称、有界、强制的双线性形式若定义 空间y 中的等价范数为 l i v l l 。= n ( 口，口) 】，vv v( 2 3 1 7 ) 1 6 仲鹏 则存在正常数m 1 ，m 2 ，使得 l o ( u ，口) i m 1 i 。l 。， v 钍，口k o ( u ，u ) m 2 1 l v l 2 ， vu v 硕士学位论文 定理2 3 16 ( u ，u ) 和b n ( u ，口) 是定义在vxv 上的有界双线性形 在与无关的常数c ，使得 b ( u ，u ) i c i l u l i。l 。，vu ，u k b n ( u ，u ) i c l l u l l 。i 。，vu ，v 在边界r 。上， 则 可得 0 0 秽( 可，7 ) = b ( u ，v ) 6 ( u ，u ) 矿 v v 有界，对任意的 = 孑2 7 1 笔- + - o on 0 aj 0 0 au ( 脚( m 幽警咖 = 警薹礼o j ：o ( 三+ o o 一警) ( 薹即t n 警) s t n 警s t n 警删 = 孑2 7 1 笔+ c o 佗0 ( 薹雩) s i n 警螂 z 0 ( 塾s i n 等) s i n 警酬 2 r 口2 + n a 。玩n a n 鼠 + 0 0 n a 。b n c 廊如风 n = 1 汀雨疋) 5 ( 4 - 0 0仃丽瑗) 5 ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) 式，即存 ( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) u ，钉v ，有 ( 2 3 2 2 ) ( 2 3 2 3 ) 在 闱型口 口 n 一 “ 譬d 瞄 只 i i 纠 明 瓦 证“ 令 研h 卜 献文叵 肋，0 【o ，q 】) 时，u 为如下形式 比= 昙薹e 掣小们咖警如警叫 令弘= 面，并将让( p o ，咖) 代入有 u ( 则) ：昙量e 竿 几= l ：呈# e 畔p一 qo n = i f o n u ( m n 警s i n 掣拶 型osll2 o l 口( i = 三- t - o o 知掣s j ni n r 。 仇= 1 ( 2 4 6 ) a m8 i n 掣1s i n 型d ，( 2 4 7 ) qq 佃 1 8 仲 鹏硕士学位论文 将u ( - ) ，u ( 可，咖) 代入b ( u ，u 6 ( u ，u ) 一6 ( 钍，u ) i = l 石2 7 ra m e 里竽8 i n 警) ( - - 0 0 删n 譬) 咖警s ；n 警酬 t 7 l = 1a m e 业乎厂a s i n 掣s i n 掣却 j o nq p j - o o 卜掣s i n 譬彬 = 引n 量- + - o o 。嘛即掣 c 万每 r e c 赤 c ( + 1 ) 一1 扩a 。玩 e 一唑掣( 妻萨泸( - - 0 0n 磷) 5 n = n + 1 n = n + 1 e 一必毕型i u l r o b ，r 。i v ， e 4 l 詹一丢，r o i 定理2 4 1 令乱和u ；：r 分别为问题( 2 3 6 ) ， u r o h 七一 ( 1 1 0 ) ( 七1 ) ，则我们有以下误差估计 i l u 一让；：，l l ，c l1 婴f ，i i u u l v h v h ( 2 4 8 ) ( 2 3 1 6 ) 的解设，l 2 ( q t ) ， e 一生笠生掣l u i r 。i 知一 ，r 。 e a i u l r 。i 一三t 1 1 ( 2 4 9 ) 证明令e = u u ，= v 一u ，e = u 一钍由( 2 3 2 ) ，( 2 3 8 ) 知 n ( e ，u ) + b ( u ，v h ) 一6 ( u ，v h ) = 0 ， v o h ( 2 4 1 0 ) 在上式中令v h = e h 我们有 l i e 川：= a ( e h ，e h ) a ( e h ，e h ) + b n ( e h ，e h ) = o ( e u ，e h ) + b n ( e 秽，e h ) + n ( e ，e h ) + b n ( e ，e h ) = n ( e v ，e h ) + b n ( e 。，e h ) + b n ( u ，e h ) 一b ( u ，e h ) c ”l 。+( + 1 ) k 一1e 一些三掣i 让i r 。i 七一 r 。i | e | | 】， ( 2 4 1 1 ) 佃 凡 佃一 打 | i 佃 第二章椭圆外凹型区域p o i s s o n 问题的人工边界条件方法 长p i l e h i i 。c i l e v i i 。+ 赤e 一掣i u i r 。l 七一 ，r 。 ( 2 4 1 2 ) 由上式及三角不等式，立即可得结论 若假设u h p “( q t ) ，u i r 。h p + 1 2 ( q t ) 及对y 逼近的插值误差 i n fi i u v h l l l ，n t c h p u l p + l ( 2 4 1 3 ) 则由定理2 4 1 及匕式可得 u u l | 1 ，n ， d ，( 0 ，) 取人工边界为 椭圆弧f 。= ( 1 l ，矽) i1 l = p 1 ，( 0 ，o ) ，对有界区域q 作如下有限元剖分：先 将区间( 0 ，o ) 分成n 等分，相应的在椭圆弧n ，r 。上各有n 个等分点，让边界 n 和1 1 。上的节点与等分点重合，连接n 和r e 上对应的节点，得到佗条径向线 段，再将这些径向线段m 等分得其余节点，最后通过这些节点得到哦上的一个 “三角形”单元剖分 例2 5 1 求解外问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) ，其中= 2 1 r ，d = 1 ，f o = 2 ，厂= 0 ， 9 ( d ，) = 丽忑百面西s i n 蕊丽丽， ( 2 5 1 ) 则对应问题的精确解为乱( 肛，) = 磊鑫 首先，考虑网格大小对误差的影响引入肛= 2 的人工边界r 。，在极坐标系 下分别采用n = 8 ，1 6 ，3 2 ，6 4 ，1 2 8 ，以及相应于n 的m = 4 ，8 ，1 6 ，3 2 的网格对区 域q 进行剖分，简记为h ：8 4 ；鲁：1 6 8 ；2 ：3 2 1 6 ；：6 4 3 2 无穷级数 中截断的项数为n = 1 0 0 计算的误差如表2 5 1 所示 表2 5 1 网格大小h 对误差的影响 网格 248 i i 乱一u l l o m 。 0 6 2 5 10 4 0 5 20 2 7 3 50 1 5 2 3 i 乱一u 女，h 2 3 5 1 7 51 8 5 2 40 9 7 3 20 6 3 4 7 其次，考察人工边界条件的级数中截断的项