（基础数学专业论文）几类多点边值微分方程问题的正解.pdf

山东大学硕士学位论文 几类多点边值微分方程问题的正解 徐娟娟 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 近年来，在数学，物理，化学，生物学，医学，经济学，工程学，控制理论等许 多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中， 逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支一一非线性泛函分析它主要包括 半序方法，拓扑方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性问 题提供了富有成效的理论工具，尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分 方程问题中发挥着不可替代的作用1 9 1 2 年l e j b r o u w e r 对有限维空间建立 了拓扑度的概念，1 9 3 4 年j l e r a y 和l s c h a u d e r 将这一概念推广到b a n a c h 空间 的全连续场，后来e r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ，p h r a b i n o w i t z ，h a m a n n ， k d e i m l i n g 等等对拓扑度理论，锥理论及其应用进行了深入的研究，国内张恭庆 教授，郭大钧教授，陈文源教授，定光桂教授，孙经先教授等在非线性泛函分析的 许多领域都取得了非常出色的成绩( 这方面的内容参见f 1 1 2 1 ) 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度理论，锥理论和单调迭代方法等研究 了几类微分方程多点边值问题的解的存在性以及多解等主要内容如下： 本文第一章列出了后面几章用到的有关不动点指数的几个引理，这些引理在 本文主要结果的证明中是至关重要的 第二章考虑了下述半正奇异多点边值问题： z ( 4 ( ) = p ( t ) f ( t ，z ( ) ) + g ( ) ，0 t 0 ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) 为常数且0 a l & l ，0 扛：l m - 2 现磊 l ，f ( 1 ，扎) c ( ( o ，1 ) xf 0 ，+ 。) ： 0 + o 。) ) ( ，( ，u ) 可能在z = 0 ，1 奇异) ， i - - - - 1 p ( t ) c ( 【0 ，l 】，【o ，+ 。) ) ，口( ) ：( 0 ，1 ) _ ( 一o 。，+ 。) 是连续的且q ( t ) 极限可能为 负无穷我们利用不动点指数理论得到了至少一个正解存在的充分条件 第三章利用算子特征值以及不动点指数理论的相关知识研究了下面带两个 参数的广义s t u r m - l i o u v i l l c 边值问题： ( 4 ( ) 一p u 盯+ a ，珏= f ( 1 ，毯( ) ) ： m - 2 n 札( o ) 一乩，( 0 ) = n t ”( 黝： i - - - - - l m - 2 a u ( o ) 一阮小( o ) = 刚( ， 0 t 1 优( 1 ) + 岬) = i = 1 粼t ) ，( 1 2 ) 既( 1 ) + d u 胛( 1 ) = 厦t f ( ， ：二：竺7 ：，二：譬：兰：盂，- ，： 。 1 ，( 如) 一1 = 九，；1 + 1 。= 1 ，t k ( k = 1 ，2 ，：m ，其中m 是一个固定的正整数) 是固定的点并且0 t l t 2 t k t 。 1 ，矗( i = l ，2 ，z ，其中z 为正整数) ( 0 ，1 ) ， 0 6 已 6 1 并且已如，i = 1 ，2 ，z k = 1 ，2 ，l i t ，t i 拄k 表示钍( ) 在t = t k 的跃度，即 训扛= u ( t - ：) 一u ( t - i ) ， 其中u ( 者) ，u ( i ) 分别表示u ( t ) 在t = t k 的右极限和左极限 关键词：不动点指数；半正奇异多点边值问题；广义s t u r m - l i o u v i l l e 边值问 题；p - l a p l a c i a n 算子；多点脉冲边值问题；多解；正解；存在性 山东大学硕士学位论文 p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e v e r a l k i n d so fm u l t i p o i n tbo u n d a r yv a l u e p r o b l e m s0 fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j u a n j u a nx u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t i nl a t e ry e a r s ，a l ls o r t so fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y ，m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e r n e t i c sa n ds oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a s b e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si nm o d e r nm a t h e m a t i c s i tm a i n l yi n - c l u d e sp a r t i a lo r d e r i n gm a t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o da n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d a l s oi tp r o v i d e sam u c he f f e c tt h e o r e r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si n t h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y a n dw h a ti sm o r e i tj sa ni m p o r t a n ta p p r o a c h f o rs t u d y i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm a n ya p p l i e dm a t h e m a t i c s l e j b r o u w e rh a de s t a b l i s h e dt h ec o n c e p t i o no ft o p o l o g i c a ld e g r e e , f o rf i n i t ed i - m e n s i o n a ls p a c ei n1 9 1 2 j l e r a ya n dj s c h a u d e rh a de x t e n d e dt h ec o n c e p t i o nt o c o m p l e t e l yc o n t i n u o u sf i e l do fb a n a c hs p a c ei n1 9 3 4 ，a f t e r w a r de r o t h e ，m a k r a s - n o s e l s k i i ，p h r a b i n o w i t z ，h a m a n n ，k d e i m l i n gh a dc a r i e do ne m b e d d e dr e s e a r c h o nt o p o l o g i c a ld e g r e ea n dc o n et h e o r y m a n yw e l lk n o w nm a t h e m a t i c i a n si nc h i n a ，s a y z h a n gg o n g q i n g ，g u od a j u n ，c b e nw e n y u a n ，d i n gg u a n g g u ia n ds u nj i n g x i a ne t c ， h a dp r o u dw o r k si nv a r i o u sf i e l d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ( s e e 【1 - 1 2 1 ) t h ep r e s e n tp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e se x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，m u l t i p l i c i t yf o rs o m e b m m d a r yv a h l ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e e ，c o n e t h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e a n dt h em a i nc o n t e n t sa r ea 8f o l l o w s ： c h a p t e r1g i v e ss e v e r a ll e m m so i lf i x e dp o i n ti n d e x ，w h i c hw i l lb eu s e di nn e x t c h a p t e r s w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nn e x tc h a p t e r s c h a p t e r2c o n s i d e r st h ef o l l o w i n gs e m i p o s i t o n es i n g u l a rm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a u e p r o b l e m ： 。( 4 ) ( t ) = p ( t ) ( t ，z ( t ) ) + g ( ) ，0 t 0 ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) a r ec o n s t a n t sw i t h0 啦& 1 ，0 i - - - - 1 m - - 2 6 i 6 1 ，y ( t ，u ) c ( ( 0 ，1 ) f 0 ，+ o o ) ，【0 ，+ o o ) ) ( ，( t ，t 正) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，1 ) ， p ( t ) c ( 【o ，1 1 ，f 0 ，+ o o ) ) ，q ( t ) ：( 0 ，1 ) 一( 一。o ，+ o 。) i sc o n t i n u o u sa n dt h el i m i to f q c t ) m a yb e 一。o w eo b t a i n t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n e p o s i li v es o l u l i o nb yt h e o r yo ft h ef i x e dp o i n ti n d e x c h a p t e r3c o n s i d e r st h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e ds t u r m - l i o u v l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e mw i t ht w op a r a m e t e r s ： u ( 4 ) ( ) 一卢+ 口“= f ( t ，u ( ) ) ，0 t 0 ，& ( 0 ，1 ) ，倥t ，屈【0 ，十) ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) a r e c o n s t a n t s c h a p t e r4i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l i c i t yo ft h em u l t i p o i n ti m p u l s i v e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hp - l a p l a c i a no p e r a t o r ： ( 如( ) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，t l ( t ) ) = 0 ，t t k ，0 t 1 ，( 如) _ 1 = 九，石1 + ；= 1 ，t k ( k = 1 ，2 ，m ，w h e r em i saf i x e dp o s i t i v ei n t e g e r ) i sf l x e dp o i n t sw i t h0 t l t 2 t k t m 1 ，e ( i = 1 ，2 ，z ，w h e r ezi sap o s i t i v ei n t e g e r ) e ( o ，1 ) v f o厶 一甜 = z 山东大学硕士学位论文 ，0 1 已 6 0 使得口( ，r ) ) u ，而b ( 6 ，r ) = z e zi l 0 ，x a x + a e 则 i k ( a ，d k ) = 0 ( 3 ) 令u 在k 中为开的使得一ucd k 如果旗( a ，d k ) = 1 及i k ( a v k ) = 0 ，则a 在d 七矾中有一个不动点当砝( a ，d 七) = 0 及t 七( a ，v k ) = 1 时同样的结论成 立 2 山东大学硕士学位论文 第二章半正奇异多点边值问题的正解 2 1 引言 近年来，由于四阶边值问题在应用中的重要性，人们对四阶微分方程作了许 多研究工作，得到了一批好的结果文【1 3 】研究了下面的边值问题： z ( 4 ( t ) = g ( t ) ( t ，z ( t ) ，z ( t ) ) ，0 t 0 ( i = l ，2 ，m 一2 ) 为常数且满足0 啦已 l ，0 l = 1 m - - 2 玩 0 ( i = 1 ，2 ) 3 d + q 邶 睁 川 叫 眦 咖 删 她 归 垆 邗 邻 蝴 忡 旷 山东大学硕士学位论文 本章为文【1 3 1 1 4 】的继续，主要考虑下面的边值问题： z ( 4 ( ) = p ( t ) f ( t ，z ( ) ) + g ( ) ，0 t 0 ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) 为常数且0 毗6 1 ，0 i - - - - 1 m - - 2 玩& 0 ，( i = 1 ，2 ，i n 一2 ) ，0 l 2 m 一2 1 为 常数且0 1 6 1 ，0 1 ，使得对任意t ( 0 ，1 ) ，扎 0 ，+ o o ) ，0 c 1 ， 其中 4 - s ( t ：“) s ( t ，c ) s 矿2 s ( t ，札) ( h 2 3 ) p ( t ) g ( 【o ，1 1 ，1 0 ，+ o 。) ) ，q ( t ) ：( 0 ，1 ) _ ( 一o 。，+ o 。) 是连续的，并且 。 z 1 “郴s 悯 口+ ( s ) = m a x q ( s ) ：o ) ，g 一( s ) = m a x - q ( s ) ，o ) * z 玩 一：l = z 山东大学硕士学位论文 ( h 2 4 ) 1 ( 1 一下) 加( 丁) ，( l1 ) + “( 7 - ) 打 中吲小打 m - 2m - 2 ( 1 一a i f i ) ( 1 一玩6 ) r 2 2 基本引理 ( r + 1 ) a - + 1 ，其 令x = c 2 【o ，1 1 ，定义1 1 2 1 12 o m 。a x 。i z ( t ) l ，则( x ，”i i ) 为b a n a c h 空间记 p = z x ：x ( t ) 0 ：t 【0 ，1 1 ， k = z 只x ( t ) t ( 1 一t ) l l x ( t ) l l ，t 【0 ，1 】) ， k l = z ，i i z 0 r t 【0 ，l 】) ，挣杆= z k ，i i x l i = r ) 显然，p k 都是x 中的锥 为了建立和证明本节的主要结果，我们还需要下面的引理： 引理2 2 1f 1 5 】若( t ，牡) 满( h 2 2 ) ，则，关于u 是增的并且对任意陋，纠c ( 0 ，1 ) ， l i mm i n 丝：型：+ o 。 u _ + o 。n t s 口 u m - 2 引理2 2 2f 1 6 】设l 一n i 6 0 若h c ( o ，1 ) 且h ( t ) 0 ，则问题 i = l 有唯一解： 其中 ( ) + h ( t ) = 0 ，0 t 1 ， z ( o ) ：o ，z ( 1 ) ：m - 2 叩( 釉， ( 2 2 1 ) 础) = z 1 g 啪( s ) d s g ( t ，s ) = g 1 ( t ，s ) + 啦g 1 ( 矗，s ) ， 仇一z 1 一啦已扛1 5 山东大学硕士学位论文 同理，问题 ft ( 1 一s ) ，0 g 1 ( ，s ) = 【s ( 1 一) ，o t5s 冬1 ， s t 1 x r l ( ) + h ( t ) = 0 ，0 t 1 ， z ( o ) ：，z ( 1 ) ：m - 2 06 熊) ， ( 2 2 2 ) z ( o ) = ，z ( 1 ) = 6 t z ( 钏， r 7 的g r e e n 函数为h i t ，s ) = g 1 ( ，s ) + _ 熹f 一6 t g l ( 6 ，s ) 1 一6 t 已i = 1 性质2 2 3c i t ，s ) ，h i t ，s ) ，g l ( ：8 ) 在【0 ，1 】【0 ，1 】上连续且满足下面的性 质： o g ( t ，s ) 孚，0 h i t ，s ) 1 一a g i1 一阢 t = = 1i = 1 ( 2 ) 0 g l i t ，s ) g l ( ，t ) 虿1 ， 引理2 2 4 设( 1 1 2 3 ) 成立，则边值问题 f z p k d 。口一( ) ，。 1 ( 2 2 3 ) iz 1 ( o ) = z 1 ( 1 ) = z ：( o ) = z ：( 1 ) = o ， 、。7 有一个正解 州) - 石1 16 1 ( 如) g 。( ) “丁) 捌s 1 2 2 4 ) 并且0 x l ( t ) 十o 。 证明显然( 2 2 4 ) 定义的z l ( ) 满足b v p ( 2 2 3 ) 于是x l ( ) 是b v p ( 2 2 3 ) 的一 6 山东大学硕士学位论文 个正解又由( h 2 3 ) 以及性质2 2 3 知， z - ( ) 0 i 0 1 s ( 1 一s ) 丁( 1 一丁) g 一( 下) d 丁d s 丢z 1r ( t 一丁) g 一( r ) d f 丢z 1 q 一( 丁) 打 + 。o 记阿c c ，+ = 耖三： 三三三： 对任意z p ，定义算子t ：尸_ p ， 口 ( t z ) ( ) ：f l 厂1g ( ，s ) 日( s ，下) i p ( 7 ) ，( 下，【z ( 7 - ) 一z ，( 丁) r ) + q + ( 7 ) 】d 丁d s ( 2 2 5 ) j 0j 0 对任意z p ，取0 a 1 使得n i f 1 ，则 于是， 陋( ) 一z l ( ) 】+ a x ( t ) s ( l l x l i 1 ， ，( t ，k ( t ) 一z 。( t ) + ) s ，( 九1 。r z k ( ) 一z ，( t ) 】+ ) ( 三) a t ，( ，口【z ( ) 一z 。( ) r ) = 凸a 。一 to z i i a z f ( t , 1 ) ， 。( t x ) ( ) = z 1f 0 1 ( 了r ( 铀) 耶丁) 阶) 竹，姒下) 一州r 矿) + q + ( 训d 丁d s 竺：二到业：! m - 2m - 2 ( 1 一a i i ) ( 1 一魄& ) + o o 即t ：p p 有定义 z 1 ( 1 一下) ) 胞1 ) + 钵( 丁) 灿 7 山东大学硕士学位论文 引理2 2 5 设( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) 成立，则t ：虬_ k 全连续 证明首先由于( t x ) ( ) 0 ，易得对任意t 【0 ，1 】，( t z ) ( ) t ( 1 一t ) l l t = l l ，故 得( 乳) ( 蟛) sk 下面证明丁是一致有界的令dck r 是一个有界集，则存在正常数l 使得 当z d 时，肛| | l ，并且对任意z d ，7 - ( 0 ，1 ) ，由于 可得 k ( 7 - ) 一z 1 ( 7 - ) 】+ z ( 丁) 0 2 0 l l + 1 ， p ( 1 - ) ，( 下，k ( 丁) 一z 1 ( 丁) 】4 ) + q + ( 下) p ( 下) ，( 7 - ，l + 1 ) + 9 + ( 7 ) ( 2 2 6 ) 【( l + 1 ) a 1 + 1 】咖p ) ，( 下1 ) + g + ( 丁) 】 因此， 怖m ) i = z 1f 0 1g 明r ) 附) 竹，姒7 ) 咱( 州+ 州下) 附小 z 1f 0 1c ( ) 耶阶) 竹，l + 1 ) + “丁) 灿d s j=-。；!；二z1o01(1一s)(1一下、lp一7k丁)，(丁，1)+q+(丁)】d丁ds 3 磊j r ；= r 一，n l 1 5 八1 一。j jl 。上，- rq + k 。，j u u 6 ( 1 一a i i ) ( 1 一b i & ) 加 0 ，当i l 一1 2 i 6 时，由v ( t 。s ) 的连续性知， igct。，s，一a(t2，s，l鬻(z1c1一下，pc丁)f0-,1)+g十c丁，d丁)一1，脚，s ) 一2 ，s ) l 面音爷百( 、。厶( 1 一下) p ( 丁+ “( 丁) 】d 丁夕， 8 山东大学硕士学位论文 于是， i ( 乳) ( 1 ) 一( t x ) ( t 2 ) i z 1z 1l g ( 圮s ) 一g ( 坛驯h ( s ，r ) 加( 丁) ，( 丁，k ( 丁) 一z 。( 丁) n + g + ( 丁) 1 d 丁d s ! 墨掣厂1 厂1i c ( 。，s ) 一g ( 。，s ) i ( 1 丁) 咖( 丁) ，( 丁，1 ) ) + g 十( 丁) 】d 丁d s 1 一e 玩已j o j o 因此，t ：群_ 在 0 7l 】上等度连续 最后，证明丁是连续的假设z 。，x 0 瓜且l i z 。一z 0 0 _ o _ + o 。) 则 i l z 。0 r ，i i x o l i r ( n = 1 ，2 ) 类似于( 2 2 6 ) 可得当z k r 时， p ( r ) f ( r ，【x ( r ) 一z 1 ( 7 ) r ) + g + ( 下) 【( r + 1 ) a 1 + 1 】加( 7 - ) ，( 下，1 ) + 弭( 7 - ) 】( 2 2 7 ) 由t 的定义知， j ( 死。) ( ) 一( t x o ) ( t ) l s 1 z 1 印一脚，咖( 刮竹，献丁) 一列例卜m 瞰r ) 一州刊钏捌s ，j ( 1 一t ) p ( r ) l f ( r ，【x n ( 丁) 一z ，( 下) r ) 一，( 丁，p o ( 丁) 一x l ( 下) r ) l d r 0 ，对 任意的z l ，x 2 o ，当i z l z 2 l n 时， 0 z 。一x o l i 0 ，当n n 时有， i r n ( t ) 一0 i = ( 1 一丁) p ( 下) l ，( 下，【x n ( r ) 一z - ( 丁) 】+ ) 一，( 丁：【x o ( r ) 一z l ( 7 - ) 1 + ) i 即h ( 7 ) _ o ( n _ + o o ) ，7 - ( 0 ，1 ) 利用勒贝格控制收敛定理可得 t x n t x o l i r 1 | r n ( s ) d s j o 2 ( 1 一a i f i ) ( 1 一b i i ) - - 1= 1 于是t ：坼_ k 是连续的故丁全连续 1 0 _ 0 _ + ) 由上述讨论显然知b v p z ( 4 ( ) = p ( t ) f ( t ：i x ( t ) 一。1 ( ) 】) - t - q + ( ) ，0 t 1 ， 口 山东大学硕士学位论文 m - 2 = o ，z ( 1 ) = 吼z ( 甜， i = 1 m - 2 ( 2 2 8 ) ) = o ，( 1 ) = 桫( ， 存在正解当且仅当( 2 2 5 ) 定义的算子t 在p 中存在不动点 2 3 主要结果 定理2 3 1 设( h 2 1 ) - ( h 2 4 ) 成立则b v p ( 2 1 1 ) 至少存在一个正解 证明( 1 ) 首先证明i ( r 杆，k ) = 1 令x o a 所，则i i x o l l = r 且z o ( t ) t o 一0 1 1 z o l i = r t ( 1 一) ，t 【0 ，1 】及 州z ) = 0 1z o ig i ( 铀) 吲 ) “丁) 捌ss 三( 1 一c ) f f q - ( 州r 于是对任意t 【0 ，l 】， 故 z 。( ) 一z ( ) z 。( ) 一五1 ( 1 一t ) z 0 1q - ( r ) d 丁 r t ( 1 - t ) 一( 1 一) 1 z o iq - ( 下) d 丁= 。 t 啾圳= z 1 石1 g 化s ) 耶，帕( 下) m ，瞰r ) 一州丁圹) + “训s ( 1 一s ) ( 1 一丁) b ( 丁) ，( r ，跏( 丁) 一z 1 ( r ) ) + q + ( r ) d r d s 王q _ 里m - 2 m - 2 一 一 ( 1 一a i f i ) ( 1 一坟乐) 芸业 心一r ) 【p ( 丁) m ，1 ) + 口+ ( 下) i i 虿；i i 一 l 1 一下j 【p l 7j ，7 _ ，上，十q + l 丁，jq ，7 ， 2 ( 1 一毗& ) ( 1 一玩已) o q 妒 ，iiil_j(，_-【 山东大学硕士学位论文 由( h 2 4 ) 知i t x o ( t ) i 2 a ( 1 一p )。m a xf 0 1 小t ) p ( 7 ) d t d s ， 由引理2 2 1 知，| r 1 2 r ，当陋，明，缸r l 时，厶铲驰厶磐m ，即 对任意t 睁，明，u r 1 ，y ( t ，u ) 2m u 令r 未，显然i t r l 2 r 于 是云 r t ( 1 一) 譬。( 1 一f 1 ) r 。 o 于是， r y l ( t ) t y l ( t ) 即 因此 ，1厂l 2 l ，i ， a ( t ，s ) 爿 下) ( 丁) ，( 丁，【y l ( r ) 一。- ( 丁) 】+ ) + q + ( t ) d t d s f o if 卢g ( ，s ) h ( s ，丁) p ( 丁) m ( 萝，( 丁) 一z ，( 丁) ) d 丁d s 互1r m q ( 1 一p ) z 1z 卢g ( ，s ) ( s ，丁) p ( 丁) d 丁d s r 互1j i ：m 邮一f 1 ) m a x o 1 z g 们丁) 咖) 洲s m 2 【n ( 1 一a ) m a xf 0 1z pg ( ，s ) ( s ，丁) p ( 下) d 丁d s 】一l 山东大学硕士学位论文 这与朋的取法矛盾由引理1 1 知i ( zk r ，k ) = 0 所以，由不动点指数的性质知 i ( z 雎，k ) = i ( t ，k r ，k ) 一i ( t ，坼，k ) = 0 1 = - 1 即在k r b 中t 有不动点x o ( t ) 且r i | z o i i r ，由上述类似 证明可得x o ( t ) 一z 1 ( ) 0 ，t 【0 ，l 】于是x o ( t ) 为b v p ( 2 2 8 ) 的正解 令z ( ) = x 0 ( z ) 一x l ( ) ，【0 ，1 因为z ( 4 ( ) = z 乎( ) 一z 1 4 ( ) = z 5 4 ( ) 一 q 一( ) ，( 0 ，1 ) ，于是z ( ) 满足b v p ( 2 1 1 ) ，即z ( ) 是b v p ( 2 1 1 ) 的正解因 此b v p ( 2 1 1 ) 至少存在一个正解 口 1 3 山东大学硕士学位论文 第三章带两个参数的多点边值问题的正解 3 1 引言 常微分方程多点边值问题出现在应用数学及物理学的不同领域例如由不同 密度的n 部分组成的具有一致横截面的牵索的振动以及在弹性稳定性理论中的 许多问题都可以看做多点边值问题；近年来，非线性常微分方程正解的存在性以 及多解性引起了广泛关注为了区分几种情况，我们参考文献 1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 】及其 中的参考文献 文【2 1 j 研究了下面的边值问题： f ? t ( 4 ( ) + p 乱一q u = f ( t ，( ) ) 0 t 1 ， ( 3 1 1 ) i “( o ) = 仳( 1 ) = ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 其中函数，c ( 【o ，1 】x 【0 ，+ o 。) ， 0 ，+ o 。) ) ：口，酞并且满足 2 1 r 2 ，q2 一譬，昙+ 尝 1 通过应用不动点指数定理，得到了至少一个正解存在的充分条件 文【2 2 】研究了下面边值问题的正解的存在性： 乱( 4 ( ) + o t u 一p u = f ( t ，u ( ) ) ，0 t 1 ， m - 2m - - 2 乱( o ) = q 膨( 纠， i = l m - 2 t ( o ) = 叩( 毛) ， = 1 乱( 1 ) _ e 矧e , u ( 鼢， ( 3 删 其中a ，p r 并且a 0 “= 1 ，2 ，m 一2 ) 为常 数且，c ( ( o ，1 】x 【0 ，+ o o ) ，f 0 ，+ 。o ) ) 主要工具也是不动点指数定理 1 4 受上述结果的启发，本章主要考虑下面的广义s t u r m l i o u v i l l e 边值问题至少 已1 展 一渊 = 气 山东大学硕士学位论文 一个正解的存在性： t ( 4 ( ) 一触，- 4 - n 乱= f q ，t 正( ) ) ，0 _ 1 3 2 引理 l 一妒? o + i 办2 0 。 1 l ：1 ，2 ， 1 t p i ( o ) = c ，t ( o ) = n ， 1 。 三善兰。：纛：二! o ； ( h 3 3 ) a 2 0 ，p 2 一m 扭- 1 2 屈妒2 ( 6 ) 0 ， 类似于【2 3 】，通过直接计算可以得到下面两个引理 引理3 2 2 令( h 3 1 ) 和( h 3 2 ) 成立，则对任意g c 0 ，1 】，下面的问题 i 一( t ) + a l u ( t ) = 9 ( ) ，0 t 1 ， 1 删一b u ，( 0 ) ：妻a 删，c u ( 1 ) + d u ，( 1 ) ：妻刚鼢， ( 3 2 1 ) ln u ( o ) 一，( 0 ) = a t 钍( 黝， ，( 1 ) = 屈u ( 鼢， p 7 i - 扛1b 1 有唯一解：“( ) = g l ( 1 ，s ) g ( s ) d s + a l ( g ) l ，o l ( 1 ) + b 1 ( 9 ) 妒1 ( ) ，其中 g - c t ，s ，= 去 三：竺芝；：兰兰：兰：茎： 山东大学硕士学位论文 a ，( 9 ) ：= 石1 ，、 1 日1 憎) ：= 了 凸1 g l ( 6 ，s ) g ( s ) d sp l 一扛m - - 1 2 口 妒l ( 已) g 1 ( 6 ，s ) g ( s ) d s 一扛m - 1 2 危妒1 ( 已) 一江m - 1 2q i 妒l ( 已)烈m - - 2q t 1 1g - ( 矗s ) 9 ( s ) d s 肌一篙2 屈妒1 ( 黝当2 屈g 1 ( 矗s ) g ( s ) d s ，上 ，o 并且当夕0 时，札( ) 0 ，t 【0 ，1 】 证明通过计算可得证 口 引理3 2 3 令( h 3 2 ) 和( h 3 3 ) 成立，则对任意g u 【o ，1 】，下面的问题 二三：二：兰 夕( ) ，0 0 t ，7 _ s n ，纠 取。u e 使得对任意【0 ，1 】ju ( t ) 0 ，乱( 1 ) 0 并且对于t 【0 ，1 】【a ，雕u ( t ) = 0 于是对t k 纠， 乩= 0 1 1 g 2 丁) g l ( 丁，咖( s ) d s d t - i - z 1 刚) 州u ) 洲丁) d 丁 ，- l + g 2 ( t ，丁) b 1 ) 妒l ( 7 - ) d 丁+ a 2 ( e ) 妒2 ( t ) 十岛( e ) 亿( ) fz pg 2 ( g 灯问小) d s d t + z pg 。丁帅m 灿 r p + g 2 ( t ，7 - ) 口1 ( ，) 妒l ( 7 - ) d 7 - + a 2 ( e ) q 0 2 ( t ) + b 2 ( e ) 妒2 ( t ) 因此存在常数c 0 使得t 【0 ，1 】，c ( l u ) ( t ) u ( t ) 由k r e i n r u t m a n n 定理【6 】 知谱半径r ( l ) 0 并且对应于l 的第一特征值a 。= r ( l ) 一1 有一个正的特征函 数 3 3 主要结果 口 定理3 3 1 假设( h 3 1 ) - ( h 3 3 ) 成立，并且o 九，7 = 九知存在r l 0 使得 f ( t ，钍) x u ，vt 【0 ，1 】，牡 o ：r 1 1 山东大学硕士学位论文 令“a b 。n 只 t u = 0 i 0 1c 2 ( ) g l ( 丁m 州州d s d r + z 1 g 2 ( 州m ，( 下) 打 + z 1 g 2 ( ) b 1 ( 舢( 下) d r + a 2 ( 咖z + 聊啪z 划z 1 o ig 2 丁) g 1 ( 下一赫d s d r + 1 g 2 ( ， r ) 州州丁) d 丁 + 石1g 2 ( 刚纵丁) d r + a 2 ( e ) 以岛螂) 】_ ( f ) 假设t 在a 研，np 上没有不动点( 若否，定理得证) 下面证明钆一t u ，朋。，v1 a 研lnp ，p 0 若否，存在u l o b r ，n 只t o 0 使得u l t u l = t o u