（电路与系统专业论文）整系数滤波器组研究及其在通信中的应用[电路与系统专业优秀论文].pdf

北京邮电大学硕士毕业论文 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特另t l d n 以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中刁i 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 日期 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 酎并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期 日期 盘! ：z ：兰二正 北京邮i 电大学硕士毕业论文 整系数滤波器组研究及其在通信中的应用 摘要 在过去十多年中，两通道的整系数滤波器组已经得到了广泛的研究。线性相 位、低延迟的整系数两通道滤波器组的设计在不少文献中都有不同程度的结论。 然而对于m 通道的整系数滤波器组还很少有关于其设计的研究报告。 本文首先介绍了滤波器组的基本理论，其中主要包括多通道滤波器组的多相 实现和余弦滤波器组的准确重建条件。后部分是对整系数数字滤波器组进行研 究，主要研究基于完全重建的m 通道余弦调制滤波器组的整系数的实现。 本文在整系数滤波器组的实现上主要参考了a l f r e dm e r t i n s 的子空间方法 17 ，并在原型滤波器的设计方法上对 1 7 中的算法加以了改进，提出了一种能 够得到更低阻带衰减的原型滤波器的设计方法。该方法的改进之处便是利用r q i 算法求得子空间矩阵最优的特征值与特征向量，并且在量化加权系数时，每次都 选取能保证目标函数最小的加权系数。实际的仿真结果验证了改进算法后设计的 原型滤波器有更好的阻带衰减特性，并且第一旁瓣的衰减比以前提高了大约3 个d b 。然后，将改进后的原型滤波器结合合适的整数调制矩阵，最后可以得到 满足极好重建条件的整系数滤波器组。整个设计过程始终都是满足p r ( p e r f e c t r c - c o n s t r u c t i o n ) 条件，而且整个设计实现过程都是整数计算的，所以非常有利 于处理器和硬件上的快速实现。 最后，介绍了整系数滤波器组在多载波中通信中的应用。 关键词：整系数滤波器组予空间方法完全重建整数调制 北京邮电大学硕+ 毕业论文 r e s e a r c ho ff i l t e r b a n k sw i t hi n t e g e r c o e f f l c i e n t sa n di t sa p p l i c a t l o n si n c o m m u n i c a t l 0 n s a b s t r a c t t 、v o c h a n n e lf i l t e r b a n k sw i t hi n t e g e rc o e f f i c i e n t sh a da l r e a d yb e e nw i d e l y r e s e a r c h e dd u r i n g1 a s td e c a d e t h ed e s i g nm e t h o d so fl i n e a rp h a s e 1 0 w - d e l a y t w o c h a n n e if i l t e r b a n k sw i t hi n t e g e rc o e f f i c i e n t sh a v es o m ec o n c l u s i o n si np a d e r s f o rt h ec a s eo fm c h a n n e lm o d u l a t e df i l t e r b a n k s h o w e v e r , o n l yv e r yf e wd e s i g n m e t h o d sh a v eb e e nr e p o r t e d f i r s to f a l l w ei n t r o d u c et h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo f f i l t e r b a n k s ，w h i c hi n c l u d i n g t h ep o l y p h a s er e a l i z a t i o na n dt h ep rc o n d i t i o no f c o s i n e m o d u l a t e df i l t e r b a n k s t h e n ， w es t a r ts t u d y i n go ni n t e g e rm o d u l a t e df i l t e r b a n k s m a i n l yo nt h ei m p l e m e n t a t i o no f m b a n dc o s i n em o d u l a t i o nf i r e r b a n k sw i t hi n t e g e rc o e f f i c i e n t s i nt h i sp a p e r , t h ea l f r e dm e r t i n s s u b s p a c ea p p r o a c h 17 】i su s e df o rr e f e r e n c eo n t h ei m p l e m e n t a t i o no fi n t e g e rc o e m c i e n tf i l t e rb a n k s w ji m p r o v et h ea r i t h m e t i cb a s i s o nf o r m e rd e s i g no ff i l t e rp r o t o t y p e ，a n dp u tf o r w a r da ni m p r o v e da r i t h m e t i c ，w h i c h c a ng e tb e t t e rs t o p b a n da t t e n u a t i o n ，o nt h ed e s i g no fp r o t o t y p ef i l t e r t h en e w a r i t h m e t i cu s e st h er q if o rc o m p u t i n gt h eb e s te i g e n v a l u ea n de i g e n v e c t o r w h e n q u a n t i z et h ec o e f f i c i e n t s ，w es e l e c tt h es u i t a b l ew e i g h t sc o e f f i c i e n t sw h i c hc a n g u a r a n t e et oa c h i e v et h em i n i m a lo b j e c t i v ef u n c t i o n t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t n e wp r o t o t y p ef i l t e rh a sb e t t e rs t o p b a n da t t e n u a t i o n ，a n dt h ea t t e n u a t i o no ff i r s t s i d e b a n di m p r o v e s3d b t h e nw ec o m b i n et h ei n t e g e rp r o t o t y p ea n dm o d u l a t i o n m a t r i xt o i m p l e m e n tt h ei n t e g e rm o d u l a t i o nf i l t e rb a n k s t h ep rp r o p e r t yi s g u a r a n t e e dt h r o u g h o u tt h ew h o l ed e s i g np r o c e s s a n dt h ew h o l ed e s i g np r o c e s sw i t h i n t e g e ra r i t h m e t i ca l l o w sf o rf a s ta n de m c i e n tc o m p u t a t i o no ns i g n a lp r o c e s s o r sa n d i nd e d i c a t e dh a r d w a r e i nt h ee n d ，w ei n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o no fi n t e g e rc o e f f i c i e n t sf i l t e r b a n k si n m u l t i c a r r i e rc o m m u n i c a t i o n k e yw o r d s ：f i l t e r b a n k sw i t h i n t e g e r p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n 4 c o e f f i c i e n t s s u b s p a c e a p p r o a c h i n t e g e rm o d u l a t i o n 北京邮电大学硕：l 毕业论文 第一章绪论 1 1 滤波器组的发展历史及分类 多抽样率数字信号处理涉及的问题是个数字系统中需要多于一个抽样率 的一些问题。这是现代数字通信理论的一个重要的部分，因为我们要求现代通信 中的数字传输系统能处理若干不同抽样率的数据( 比如，语音、图像处理等等) 。 多抽样率数字信号处理的主要问题是设计一个有效的系统，使一个信号的抽样率 提高或者降低任意倍。我们把降低信号拙样率的过程叫做抽取，而把提高信号抽 样率的过程叫做内插。在许多信号处理技术和信号处理的应用中，抽样周期t 是 一个基本考虑，它常常决定实行信号处理是否方便，高效等。某些场合下，输入 信号可能己被抽样，抽样周期t 是某预先决定的值，我们的目的是将这个抽样信 号变换成。个新的、具有不同抽样周期的抽样信号，所得的信号仍要对应于原来 的模拟信号，这时就可能有必要将系统中信号的抽样率从一个抽样率变到另一个 抽样率。我们称这样的系统为多抽样率系统。 子带信号处理从提出概念到今天大约3 0 年的历史，期间经历以下几个阶段： ( 1 ) 提出概念阶段 滤波器组的研究最早起源于2 0 世纪7 0 年代，主要应用在多速率采样，减少计 算复杂度以及减少传输数据率和存储单元的要求。开始受到人们的关注时期是在 1 9 8 0 年，提出了两通道正交镜像滤波器组( q u a d r a t u r em i r r o rf i i t e r ，简称q m f ) 。 由于子带滤波器组中存在：( 1 ) 分析综合滤波器( 2 ) 上下采样器，所以子带重构信 号一般存在三种失真，幅度失真，相位失真，混叠失真。一般存在混叠失真的滤 波器组是线性周期时变系统，而完全消除混叠失真的系统是线性时不变系统。如 果滤波器组的输出是输入的纯延时，则称为完全重构系统。 ( 2 ) 基本理论发展的初步阶段 在1 9 8 6 年，s m i t h 和b a r n w e l l 提出的共扼正交滤波器组首次实现了完全重构 1 。在1 9 8 6 年由v e t e r l i 和在1 9 8 7 年由v a i d y a n a t h a n 分别独立研究了滤波器组的 完全重构条件，并将两通道子带延 o 至d m ( m ) 2 ) 子带。他们引入了多桐分量分析 滤波器组的方法使得滤波器组的设计和分析大大简化，从而推动了这学科的发 展 2 3 。特别是v a i d y a n a t h a n ，他和他的研究组提出了f i r 无损系统的格型结 构，用于设计完全重构的正交滤波器组，可以实现功率互补的滤波器组，简化了 滤波器的优化设计 4 。这些极大地推动了滤波器组的理论和应用的发展。 ( 3 ) 丰富完善理论阶段 2 0 世纪8 0 年代末到9 0 年代中期，小波分析研究成为热点。小波的多分辨分 北京邮电大学硕士毕业论文 析理论研究表明，满足一定j l = ：则条件的滤波器组可以迭代计算出小波，m a l l a t 提出了双尺度方程以及塔式分解算法，这些成果将滤波器组和小波紧密联系在一 起，使得滤波器组与小波理论及设计有了非常紧密的联系。众学者开始重视利用 滤波器组设计小波，以及滤波器组自身理论的研究。在此期间，众人公认的最有 代表性的人物是v a i d y a n a t h a np p ，他系统地提出了m 通道正交滤波器组的理 论 5 ，他将当时的研究成果汇集成册，成为当时将从事此领域研究者的必读 之书。按照滤波器组所具有的特点，滤波器组分成如下几类： ( 1 ) m 带均匀滤波器组 自从引入多相位量分析滤波器组后，许多学者开始了在这方面的研究。余弦 调制m 带滤波器组的出现是一次重要飞跃。得出了完全重构条件并用格形结构进 行了实现。大大简化了m 带滤波器组的设计而且出现了类似f f t 的快速算法，即 快速离散余弦变换。用调制的方法实现m 带滤波器组的方法得到广泛的应用。其 中提出的没计方法有：非余弦任意正交渊制的m 带滤波器组，扩展高斯函数的余 弦调制滤波器组，用d f t 调制的m 带滤波器组等 ( 2 ) 线性相位滤波器组 在某些应用中希望滤波器组是线性相位的，所以线性相位的滤波器组成为了 人们研究的热点之一。线性相位一般是通过f i r 滤波器实现的，所以由f i r 滤波 器做原型滤波器的滤波器组得到了广泛的研究。自从1 9 9 3 年， i 通道线性相位 正交滤波器组理论诞生以后，余弦调制滤波器组被延伸到线性相位滤波器组领 域，从而大大简化了线性相位滤波器组的设计，后来提出的用矩阵分解的方法设 计线性相位的两通道滤波器组使得设计更加简洁。后来研究的任意长度任意通道 的线性相位滤波器组的理论、结构、及设计方法更具一般性。 ( 3 ) 过采样滤波器组 当子带抽取因子l 小于通道数m 时，称为过采样滤波器组。与临界采样滤波器 组相比，它具有如下优点：( 1 ) 增加了设计的自由度，完全重构条件比较容易满足。 ( 2 ) 增加了系统抗噪声能力。( 3 ) 可以设计任意时延的滤波器组。( 4 ) 方便设计线 性相位滤波器组。 1 2 本研究课题的理论及实际意义 滤波器组白提出以来就产生了许多的设计方法，而且有些是很成熟的方法。 包括两通道滤波器组的理论及其相应的格型结构以及m 通道仿酉滤波器组的理 论。早在2 0 世纪8 0 年代就已经有人提出了m 通道余弦调制滤波器组的概念， 只不过所得到的滤波器组不是完全重建的。在这之后，完全重建的余弦调制滤波 北京邮电大学硕十毕业论文 器组也有了研究成果。 除了传统的滤波器组理论外，还有许多新的滤波器组的概念。循环滤波器组、 矢量滤波器组等。有关滤波器组设计的理论极其广泛。在实际应用当中，滤波器 组广泛应用于多载波调制，语音图像信号的子带编码等领域，随着应用的不断扩 展，对滤波器组性能的要求也不断提高，特别是在x d s l 技术上的应用以及高保 真音响等，一般而言，提高滤波器组的阻带衰减可以降低信号之间的相关性，防 止失真的发生。 这里，本课题的主要工作是研究整系数数字滤波器组。通常，如果要想在一 个有限精度计算的处理器上实现滤波器组，则需要量化滤波器的系数。然而，这 样会有损滤波器的特性，从而会导致完全重建性不满足。因此，非常有必要直接 以一种方式去设计滤波器组，就是能通过整数的计算来实现滤波器组的完全重建 特性。另外，具有整数算法的滤波器组能够在信号处理器上和复杂的硬件上快速 和有效的实现。 1 3 本研究课题的主要工作 现在国外对线形相位余弦调制有限精度滤波器组有了一定程度的结论，已有 一些对于整系数滤波器组的实现进行研究的相关文献。 本课题的主要工作是要从目前已有的国外研究出发，对整系数数字滤波器组 的设计方法进行研究。研究基于完全重建的滤波器组的整系数的实现。由于调制 滤波器组特性的好坏很大程度上取决于它的原型滤波器的特性。所以，在对整系 数滤波器组的实现进行研究的同时，对已有的线形相位原型滤波器的设计方法进 行研究改进。 本文在原型滤波器的没计方法上对a l f r e dm e r t i n s 的原算法加以了改进， 提出了一种能够得到更低阻带衰减的原型滤波器的设计方法。该方法的改进之处 便是利用r q i 算法求得予空间矩阵最优的特征值与特征向量，并且在量化加权系 数时，每次都选取能保证目标函数最小的加权系数。实际仿真结果验证了改进算 法后设汁的原型滤波器有更好的阻带衰减特性。然后，将改进后的原型滤波器结 合合适的调制矩阵，最后可以得到满足极好重建条件的整系数滤波器组。 最后，介绍了整系数滤波器组在多载波中通信中的应用。 北京邮电大学硕士毕业沦文 第二章朋通道滤波器组 2 1通道滤波器组的基本关系 图2 - 1 是一个标准的肘通道滤波器组。 ；，圈竺垃亡近芷辑 x ( z ) 图2 - im 通道滤波器组 由信号的采样和抽取原理以及第二章的讨论，我们不难得到图中各处信号之 问的如下相互关系： 以( z ) = 爿( z ) h k ( z ) k ( z ) = 击善瓦( 嘭z 古) ( 2 1 1 ) 1 mi 土上 土m y i = o 以( 呜z ”阿一( 畋z u ) ( 2 1 2 ) 及 乩( z ) 滤波器组的最后输出 令 ( z ) g 。( z ) u 击善x ( z 吮) i 荟d - i 巩。吃慨( z ) 4 ( z ) = 面1 。h 。嘭) g 。( z ) 9 ( 2 1 3 ) ( 2 i 4 ) ( 2 i 5 ) 乜巩) z h 一m 1 1 、j 严 呱 北京邮电大学硕士毕业论文 则 x ( z ) a 心) 并( z 吮) 这样，最后的输出膏( z ) 是x ( z w 。7 ) 的加权和。由于 肖( z 圳，。= ( 8 肋。2 “”1 ) ( 2 1 6 ) f 2 ，17 ) 在z 0 时是( p ，。) 的移位，因此，岩( p - 。) 7 毡x ( e j 。) 及其移位的加权和。由上一 章的讨论可知，在，0 时，x ( p 脚。”) 是混迭分量，应想办法去除。显然，若 保证 a i ( z ) = 0 ，= l m l ( 2 1 8 ) 则可以去除图2 1 所示滤波器组中的混迭失真 再定义 r ( z ) 口4 ( z ) = 万| m 刍- i 巩( z ) q ( z ) ( 2 1 9 ) 显然，( z ) 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。这时，j ( z ) 是否对x ( z ) 产生幅度失真和相位失真就取决于r ( z ) 的性能。若7 1 ( z ) 是全通的，也即 ，( p 。“) i = 常数，川z ，那么滤波器组可避免幅度失真，若7 1 ( z ) 再具有丁( z = c z 一 的形式，那么滤波器组又将消除相位失真。因此，( 2 1 9 ) 式的t ( z ) 称为“失真 函数”。 由( 2 ，15 ) 式，4 ( z ) 厶一，( z ) 能否为零取决于吼( 办瓯( z ) ，k = o m 一1 的 性质。将该式写成矩阵形式，有 令 凡( z ) a l ( z ) 凰( z ) h o ( z w ) e ( z ) h i ( z 肜) h m i ( z ) h m 一1 ( z w ) g o ( z ) g i ( z ) 厶一，( 别l 风( z w “1 ) h l ( z w ”1 ) 乩，( z w “) 1 | 瓯一，( z ) ( 2 1 1 0 ) f ( z ) = m a o ( z ) ，o ，o ng ( z ) = g o ( z ) ，g k1 ( z ) 7( 2 1 1 1 ) 并令( 2 1 1 0 ) 式右边的矩阵为h ( z ) ，则在去除混迭失真的情况下，有 t ( z ) = h ( z ) g ( z )( 2 1 12 ) 北京邮电大学硕士毕业论文 式中日( z ) 的第一行是风( = ) ，g 一( z ) ，第二：至第m - 1 行分别是由这m 个滤波 器的依次移位所构成。因此，日( z ) 又称“混迭分量( a l i a sc o m p o n e n t ，a c ) 矩 阵”。 由( 2 1 1 2 ) 式，我们有 g ( z ) = h “( z ) t ( z )( 2 1 1 3 ) 为保证去除混迭失真，可选f ( z ) = 【脱4 0 ( z ) ，o ，o r = c z ，o ，o 。这样，若h ( z ) 已知，即可求出综合滤波器组g ( z 1 。且整个的m 通道滤波器组还具有p r 性质。 但( 2 1 ，1 3 ) 式在实际应用中有一系列的问题，这是因为： 如) = 篇心) ( 2 1 1 4 ) 式中a d j - ( z ) 是( z 1 的伴随矩阵。 ( 1 ) 若h ( z ) 是f i r 的，显然d c t h ( z ) 也是f i r 的，这时g ( z ) 将变成i i r 的； ( 2 ) 若选择d e t t l ( z ) = c z ”。t ( z ) ，这时g ( z ) 可保证是f i r 的，但由于 g ( z ) = a a jt t ( z ) ，冈此g ( z ) 的阶次将远大于l l ( z ) ； ( 2 ) 若( z ) 有零点在单位圆上，g ( z ) 的幅度将会产生较大的失真。 此外，由( 2 1 1 3 ) 式或( 2 1 1 4 ) 式并不容易找出h ( z ) 、g ( z ) 的关系以及h ( z ) 自身应具有的特点，因此，我们需要采用多相结构的方法来研究如何去除混迭失 真及探讨实现p r 的途径。 2 2 通道滤波器组的多相结构 在多通道情况下的分析滤波器组可表为 写成矩阵形式，有 日，( z ) h ( z ) h ( z ) h 女( z ) z 。臣，肛”) 毛o ( z ”) 巨o ( z “) e o 1 ( z ”) 巨l ( z ”) 吐o ( z “) ( ) 1 1 岛w ( z ”) 巨( z “) ( 2 2 1 ) f 2 2 2 1 北京邮电大学硕士毕业论文 记 倒= 凰倒，凰倒，- ，h m _ ， i e ( z ) - j ，z ，- - ，z 肛“】7 ( 2 2 3 ) 并记( 2 2 2 ) 式右边的矩阵为e ( z “) ，则 ( z ) = e ( z ”) p ( z ) ( 2 2 4 ) e f ) 称为多相矩阵，而，l ( z ) 是由上一节的a c 矩阵口( z ) 的第一列构成的。同 理，对综合滤波器组g 。( z ) 按第二类多相结构展开，有 6 k ( z ) = z 刊+ ，。( z ”) ( 2 25 ) i = o 写成矩阵形式： 【g 。( z ) ，g 。( z ) ，瓯，( ：) 】= p “”，z 叫”，1 口 r oo ( z ”) r i , o ( z ”) r 。( z “) 置z ”) r m - i , o ( ) 。，0 ”) r * l ( z ”) r i ( ：”) ( 8 2 6 ) 记该式右边的多相矩阵为r ( z “) ，则( 2 2 6 ) 式可写为如下更简洁的形式 暑7 ( z ) = z - ( m - i ；( z ) 曰( z ”) ( 2 2 7 ) 式中g ( z ) 己在( 2 1 1 1 ) 式中定义，j ( z ) = p ( z - i ) ，。利用( 2 2 2 ) 和( 2 2 6 ) 式， 图2 1 的m 通道滤波器组可改为图2 2 ( a ) 的形式。再利用恒等变换，又可改成图 ( b ) 和( c ) 的形式。 在图( c ) 中， j p ( z ) = r ( z ) e ( z ) 因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵e ( z ) 和胄( z ) 的分析，或简单的p ( z ) 的分析。若p ( z ) 为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确 重建。 至此，我们已讨论了m 通道滤波器组的两种表示形式，一是用( 2 1 1 0 ) 式 的a c 矩阵表示的形式，二是用( 2 2 2 ) 式表示的多相形式。在深入讨沦e ( z ) 、 月( z ) 的性能对整个系统p r 性能的影响之前，我们先讨论一下，a c 矩阵日( z ) 和 多相矩阵e ( z ) 的关系。 由( 2 2 3 ) 式对 ( z ) 的定义及( 2 1 ，1 0 ) 式对e ( z ) 的定义，我们有 北京邮电大学硕士毕业论文 h 7 ( z ) = 陋( z ) ，h ( z w ) ，h ( z w “1 ) 由( 2 2 2 ) 式，h 7 ( z ) 又可表为 记 h 7 ( 三) = 【e ( z 州) p ( z ) ，e ( z m ) p ( z 阡7 ) ，- 一，e ( z 盯) e ( z w 盯一) = e ( z ”) 【p ( z ) ，e ( z w ) ，e ( z w “1 ) 吨丑匹卜 e ( z ”)匹卫 r ( z ”) 4 可十叶 ( 2 2 8 ) x ( z ) 心 e 乜)r ( z ) 吐网 ( a ) 盖( z ) p ( z ) 图2 2m 通道滤波器组的多相结构：( a ) 直接表示 ( b ) 利用恒等变换后的表示； ( c ) 进一步的简化表示 w = 11 lw 并( z ) ( 2 2 9 ) 北京邮电大学硕士毕业论文 则 或 o ( z ) = d i a g 1 ，z ，z 一“】 h 7 ( z ) = e ( z “) d ( z ) 矿+ h ( z ) = ”d ( z ) e 70 ”) ( 2 2 1 1 ) 式即是混迭分量矩阵t l ( z ) 和多相矩阵e ( z ”) 的关系。 2 3 混迭抵消和p r 条件的多相表示 ( 2 2 1 0 1 ( 2 2 1 1a 1 ( 2 2 “b ) 我们在2 1 节已指出，若4 ( z ) ，a m 一。( z ) 全为零，则可实现混迭抵消。进一 步，若7 1 ( z ) 为全通函数，或t ( z ) = ，则m 通道滤波器组可以实现准确重建。 现在我们讨论这些条件的多相表示。 定理2 1一个m 通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵 p ( z ) = 置( 三) e ( 三) 为伪循环矩阵。 所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵 r ( z )日( z )6 ( z ) 一，( z )r ( z )舅( z ) ：( z ) 一。( z ) r ( z ) 兄一( z ) 一2 ( z ) 一3 ( z ) f ( z )b ( z )只( z ) ( z ) 将其主对角线以下的元素都乘以z 。所得到的矩阵，即 p o ( z )# ( z )b ( z ) z 。1 匕一1 ( z ) p o ( z )只( z ) z 1 一2 ( z ) z 。1 一l ( z )r ( z ) 匕一。( z ) 一：( z ) 一，( z ) z - j 只( z )z 1 6 ( z )z - i e ( z ) p o ( z ) 该伪循环矩阵所对应的时域表示是： p o ( n ) p m l 一1 ) p m - 2 ( h 一1 ) p 。( h ) p ：) p o ( n ) p l ( h ) p m 一， 一1 ) p o ( n ) p m1 ( 心) p m - 2 ( n ) p m 一3 ( n ) p 1 ( 月一1 ) p 2 ( 一1 ) p 3 ( ”一1 ) 一p o ( ”) 现证明定理2 1 。 由图2 - 2 ( c ) ，确 1 4 北京邮电大学硕士毕业沦文 ) = 吉善( 南丁坝南勺 f _ o ，1 ，肛1( 2 3 1 ) 以( z ) = 只，肛) k ( z ) 于是最后的输出 露( z ) = z 一”1 u 。( z ”) f 2 3 2 、 ( 2 3 3 ) 该式是m 通道滤波器组中输入、输出关系的多相表示。交换求和顺序，有 x ( z ) 1 一im - i m 一1 吉x ( z 矿) 。7 z z 一“1 计只，( z m ) ( 2 3 4 ) wk = o i = o s = o 因为( z w 4 ) ，k = 1 ，2 ，m 一1 为混迭分量，为使混迭抵消，我们应设法令其等 于零。也就是说，使混迭抵消的充要条件是使k 0 时的 l 己 则( 2 3 5 ) 式可表为 盯一1 m 一1 矿“zz 1 “。只，心”) = 0 ( 2 3 5 ) k 0s = o 5 只肛”) = q f ( z ) ( 2 3 6 ) m 丢- 1 w “q = f 暑， 3 刀 “q f ( z ) = ：。：二：。j1 ( 2 7 ) k 0i 1 ， 式中c 为不等于零的常数。 为便于观察矩阵p ( z ) 中元素只，的规律，现对( 2 3 6 ) 式作进一步的展丌。 假定m = 4 ，有 q o ( z ) = z - 3 晶o + z r 2 只o + z - 1 昱o + ，o ( 2 3 8 a ) q l ( z ) = 三一4 最1 + z 一3 舅、l + z 一2 最，l + z - 1 b ，l ( 2 - 3 8 b ) q z ( z ) = z5 b2 + z 。4 只：+ z 一3 b ，：+ z 2 b ，： q ( z ) = z “晶，3 + z 一5 日，3 + z 4 b ，3 + z 。3 ，3 ( 2 3 8 c ) ( 2 3 8 d ) 矿 y矿 ， 0 匹 彤 ， ( p 岛 哪 m ， ： c i 上m = = m 三 北京邮电人学硕士毕业论文 注意式中省去了只，( z 4 ) 的( z 4 ) 。同时，( 2 3 7 ) 式可表为 w 1 1 o o ( z ) q 0 ) q 0 一( z ) 由于”= m i ，所以上式又变为 q 0 ( z ) q ( z ) q 。( z ) = w 一 o ： 0 c 1 三一 0 o ( 2 3 9 ) 常数c ，包含了常数c 和m 。由于是d f t 矩阵，其第一行和第一列全为1 。因 此，( 3 3 9 ) 式意味着 q 0 ( z ) = q l ( z ) 一一吼一，( z ) = c z “ ( 2 3 1 0 ) 由( 2 3 8 ) 和( 2 3 1 0 ) 式可知，矩阵p ( z ) 中各元素c ，应有如下规律( 以m = 4 为例) 同为z 。的系数应该相等，即 晶。= 日，。= 巴：= 只， 同为z 。2 的系数应该相等，即 日o = 最，= b ，： 同为z 。的系数应相等，即b 。= 只，。 由- - f q o ( z ) = q ( z ) ，因此，在( 2 3 8 ) 的前两个式子中，必应有 b ，。= z _ r ， 同理，由( 2 3 8 b ) 和( 2 3 8 c ) 式，应有 = 。b 1 = z - s p o2 由( 2 3 8 c ) 和( 2 3 8 d ) 式，应有 z 4 b2 = z - 6 p o ，3 因此矩阵p 的各元素之间应有 北京邮电大学硕士毕业论文 p = 【p ， 昂ob ， 日，ob eo最1 boe 1 矗z 最， # z# ， 最：最- e ze ， 晶2 昂 只o z 。1 b3 注意式中由= 。改成z “是因为矩阵p 实际上是p ( z 4 ) 。由此我们可以看出，p ( z ) 确实是一伪循环矩阵。 本定理的证明可参看文献 2 2 ，另一种证明方法可参看文献 6 。 在两通道的情况下，若p ( z ) = r ( z ) e ( z ) = 1 ，则该系统可以实现准确重建。 同样，由图2 - 2 c ，在m 通道的情况下若p ( z ) 为单位阵，那么该系统也必然会实 现p r 。其实，在m 通道情况下，我们不一定要求e ( z ) 为单位阵，条件可适当放 宽。下面的定理给出了m 通道滤波器组实现p r 的充要条件。 定理2 2 一个m 通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是 脚郴珂“怯0 ， s 式中n 0 ，为整数，0 y m i ，0 为不等于零的常数。 汪明：p r 条件意味着混迭抵消条件成立。由( 2 3 4 ) 式，在k - o 时，有 托= 万1x ( z ) m 善- 1 m 争- 1 ，z 刊只) ( 2 3 1 2 ) 由( 2 3 6 ) 式的定义，则 豆( z ) = 击x ( z ) m 荟- 1 9 ( z ) = 万1 x ( z ) q 0 ( z ) + q 】( z ) + + “列 由( 2 3 1 0 ) 式，并定义 q o ( z ) = q l ( z ) = 一瓯一( z ) 口q ( z ) ( 2 3 1 3 ) j j ! | j x ( z ) = x ( z ) q ( z ) 我们希望霄( z ) = c x ( n n o ) ，则q ( z ) = 口。由( 2 3 8 a ) 式，由于 ( 2 3 1 4 ) q o ( z ) = q ( z ) = z - ( u - 1 ) p o ，。( z ) + z - ( m2 ) p i ，。( z ) + + z 一1 岛2 ，。( z ) + 一l 。( z ) 1 7 励肋惕惕 三 孑 踟! ；三惕惕 ： = z ：| e 京邮电大学硕士毕业论文 因此，要求q ( z ) = ，则等效要求q o ( z ) 中只能包含项。不失一般性，设q ( z ) 中下标为( y ，o ) 的元素不为零，该项是：一“。7 只。( z ) 。由于p ( z ) 又是伪循环矩阵， 也即从第- - i t r 开始，以下各行元素都是第o 行元素循环移位的结果，因此，p ( z ) 必然具有如下形式： p ( 三) = 0 0 z - ( m - 1 - r ) p , o ( z ) 0 0 000 z - ( m - r ) p ro ( z ) 0 00- 00 即 于是定理得证。 o z ( m - i - r ) p ro ( z ) 0 0 p c z ，= z 一( “- | 一， ：j ? i m 。_ 7 c z 。s ， 2 4 m 通道滤波器组的设计 定理2 1 和定理2 2 指出，对m 通道最大抽取滤波器组，若去除混迭失真， 则p ( z ) = 曰( z ) e ( z ) 应为一伪循环矩阵。若再做到准确重建，则尸( z ) 的每一行( 或 列) 只能有一个元素不为零，整个的p ( z ) 如( 2 3 1 1 ) 式所示。这样，实现p r 的m 通道滤波器组的p ( z ) 结构已确定，其余的任务即是寻求 峨( z ) ，g 。( z ) ，七= o ，1 ，m - 1 来满, 2 p ( z ) 。直接求出风( z ) ，q ( z ) 是比较困难的。 由于p ( z ) = r ( z ) e ( z ) ，因此，由给定形式后的p ( z ) 来寻求e ( z ) 相对比较容易。 又由于一旦求出e ( z ) 后为求r ( z ) 需要求逆运算，而求逆往往会带来数值上的不 稳定或是使r ( z ) 为i i r 的。因此，为避免求逆运算，我们往往假定e ( z ) 是仿酉 的。这样 r ( z ) = 1 。e ( z ) ( 2 4 1 ) 是一个极简单的计算。同时 1 r 北京邮电大学硕士毕业论文 p 0 ) = 曰( z ) e ( z ) = c z 官0 ) e 0 ) = c z 一“，( 2 4 2 ) 保证了系统的p r 性质。反之，若系统满足p r ，由( 2 4 2 ) 和( 2 4 1 ) 式，e ( z 1 必定是仿酉的。现在的问题是如何设计出e ( z ) 使之满足( 2 4 2 ) 式，一旦e ( z ) 求出，由 峨( z ) = z 。臣胎“) ( 2 4 3 a ) q ( z ) = z 弋“。o q ，。( ：”) 即可求出吼( z ) 和q ( z ) ，t = 0 1 一，m 一1 。 ( 2 4 3 b ) 若要没计出一个满足要求的仿酉矩阵e ( z ) ，可行的方法是将e ( z ) 分解成 一系列简单矩阵的积。在该式中，我们将e ( z ) 分解成旋转矩阵暖和对角矩阵 d ( = ) 的级联。绞中仅包含一个参数。通过最优的方法求出，从而得到e ( z ) ， 也即得到夙( z ) 和q ( z ) 。对多通道情况下的e ( z ) ，将其分解为旋转矩阵和对角 矩阵的级联。但这时的旋转矩阵最将会有较多的正弦和余弦，因此，e 中包含 的参数将远不只一个，这将给后边的优化工作带来困难。文献 1 提出了一个 对e ( z ) 分解的“d y a d i c ”方法。现给以简要介绍。 给定一个范数等于1 的向量，其维数为m x l ，那么吒”是m m 的矩 阵，定义 e ，( z ) = 1 一k k ，”+ 圪”z 一1 ( 2 4 4 ) 则c o z ) 是仿酉矩阵，即 e ，( o ) g ( z ) = i ( 2 4 5 ) 此式的证明见文献 2 2 。这样，每一个e ，( z ) ，m = 0 , 1 ，m 一1 ，都是一个一阶 的仿酉系统，该系统可由图2 - 3 来实现。 北京邮电大学硕士毕业论文 一 7 1 一 一 图23 一阶仿酉系统e ，( z ) 的实现 可以证明，一一个j 阶的仿西矩阵e ( z ) 可由一阶的简单仿酉矩阵c 。( z ) 的级联 来构成，即 f ( z ) = o ( z ) ql ( z ) c l ( z ) u ( 2 4 5 ) 式中u 为常数酉矩阵，即u “u = d l ，那么，e ( z ) 可由图2d 来实现。 叫亘卜吨互卜卜应牙一1 驴 图24e ( z ) 的实现 文献e 6 进一步证明了常数酉矩阵u 可进一步作如下分解： u = , , 2 v 。u 2 一l d ( 2 4 6 ) 式巾d 是对角阵，其元素口，= e “，而矩阵p 可表为 矿= ，一2 u , u , “ ( 2 4 7 ) 式中嵋也是范数为1 的向量，因此u ”u ，= ，u 称为“h o u s e h o l d e r ”阵。这样 矩阵u 可由图2 5 a 来实现，而矩阵u 可由图2 5 b 来实现。无论e ( z ) 的系数是 实的还是复的，上述分解都成立。如果f ( z ) 的系数是实的，那么向量k ，和嵋的 元素都是实的。 将e ( 2 ) 按( 2 4 ，5 ) 式分解，e ，( = ) 出( 2 4 4 ) 式的k ，表示，而将f 可按( 2 4 6 ) 式分解后，u ，又由( 2 4 7 ) 式的u ，表示。因此，决定e ( z ) 的主要是向量屹和珥， 现在的工作是选定一目标函数，然后对k ，和j 求最优，从而得到所需要的“好 的”分析滤波器峨( z ) 。目标函数可选h ( z ) ，k = o ，1 ，m l 这m 个滤波器阻带 能嚣的和，即 ! ! 室业皇查堂堡主望些笙三! ! ； ：窆i h k ( 阻 k = 0 阻带 ( 2 4 9 ) 令将对和h ，最小可得到皿( z ) ，再由g k ( z ) = 凹州_ 1 鼠( z ) 即可得到综合滤波 器组。 吨卜恒 叫卜吨卜p ( a ) ( b ) 图2 - 5 ( a ) 矩阵u 的实现( b ) 矩阵u 的实现 北京邮电火学硕士毕业论文 第三章余弦调制滤波器组 3 1 余弦调制滤波器组的基本概念及伪q m f b d f l l 滤波器组就是给定一个原型滤波器组h ( n ) ，令 口 b a n ) = ( ”) e ( 3 1 a ) 则 峨( e ”) = h o ( e j ( t o - 2 , 。k l m ) ) ，k = o l ，1 ，m 一1( 3 1 b ) 即m 个分析滤波器组是由向( ”) 作调制所得到的，调制因子是p 万“，相应的频谱 是h ( e ) 做均匀移位所得到的。移位距离是2