（基础数学专业论文）具有不对称连接矩阵的时滞复杂动态网络的同步性质.pdf

中文摘要 摘要 复杂网络的研究涉及到各种科学领域，从物理的到生物学的，甚至涉及到 到社会科学。最近，关于由复杂网络或图所表示的大规模复杂系统受到了广泛 的关注。在这种复杂系统中，节点是它的元素，而边表示它们之间的相互作 用。而南耦合的动力系统组成的网络，即复杂动态网络非线性动力学性质也已 经受到很多的注意。复杂动态网络中存在着的多种同步，尤其涉及多种类型的 广义同步，是非常复杂的，其产生的物理机制迄今尚不清楚，需要进一步深入 探索。另一方面，由于各部分之间的数据传输和处理速度有限，许多带有异地 交互作用的大型网络模型不可避免地需要将连接的延迟考虑在内。在这篇论文 中，较全面地介绍了复杂网络研究的背景，发展和现状，着重讨论了动态网络 模型的同步性质，应用l y a p u n o v 泛函，考察了带有更一般的不对称连接矩阵以 及时滞的复杂动态网络的同步性质，给出了局部和全局同步的充分条件。 关键词：复杂网络，时滞，同步，不对称连接矩阵，l y a p u n o v 泛函 中图分类号：0 1 7 5 2 t 英文摘要 a b s t r a c t t h ec u r r e n ts t u d yo fc o m p l e xn e t w o r k si sp e r v a d i n ga l lk i n d so fs c i e n c e st o d a y ，r a n g i n gf r o mp h y s i c a lt ob i o l o g i c a l ，e v e nt os o c i a ls c i e n c e s r e c e n t l y ，m u c h w o r kh a sb e e nd e v o t e dt ot h es t i l d yo f al a r g e s c a l ec o m p l e x s y s t e md e s c r i b e db ya n e t - w o r ko rag r a p hw i t hc o m p l e x t o p o l o g y ，w h o s en o d e sa r et h ee l e m e n t so f t h es y s t e m a n dw h o s ee d g e sr e p r e s e n tt h ei n t e r a c t i o n sa m o n gt h e m t h ed y n a m i c a lf e a t u r e so f t h ec o m p l e xn e t w o r ka l s od r a wi n t e r e s to f t h es c i e n t i s t s s y n c h r o n i z a t i o ni nd i f f e r e n t d y n a m i c a ln e t w o r km o d e l sh a v eb e e nc a r e f u l l ys t u d i e d o nt h eo t h e rh a n d ，r e a l i s t i c m o d e l l i n go fm a n yl a r g en e t w o r k sw i t hn o n l o c a li n t e r a c t i o ni n e v i t a b l yr e q u i r e sc o n - n e c f i o nd e l a y st ob et a k e ni n t oa c c o u n t ，s i n c et h e yn a t u r a l l ya r i s ea sac o n s e q u e n c e o f f i n i t ei n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o na n d p r o c e s s i n gs p e e d sa m o n gt h eu n i t s i nt h i sp a p e r ，w er e v i e ws o m eb a c kg r o u n da n dr e c e n ta d v a n c e si nt h ef i e l do fc o m p l e xn e t w o r k s ，a n dg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sg u a r a n t e e i n gt h el o c a la n dg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o ns t a b i l i t yo ft h ec o m p l e xc o n n e c t e dd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t ha s y m m e t r i c a l c o u p l i n gm a t r i xa n dt i m ed e l a yi nc o u p l i n gb yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l k e yw o r d s ：c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k ，t i m ed e l a y ，s y n c h r o n i z a t i o ns t a b i b i t y ，a s y m m e t r i c a lc o u p l i n gm a t r i x ，l y a p u n o vf u n c t i o n a l c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 一一 第一章介绍 第一章介绍 从2 0 世纪七八十年代开始，复杂性问题的研究引起国内外关注，并与非线 性科学及其混沌动力学的复杂性研究交错在一起，在国际上形成了非线性科学 和复杂性问题的研究热潮。国内外以非线性和复杂性命名的研究所或中心纷纷 成立。最引人注目的是，1 9 8 4 年由3 位诺贝尔奖得主盖尔曼( m u r r a y g e l l m a n n ，物理) ，安德森( p h i l i pa n d e r s o n ，物理) 和阿罗( k e n n e t ha r r o w ，经济) 组建 的美国桑塔菲研究所( s a n t a f ei n s t i t u t e ) ，这是一个国际性的不同领域的科学家 关于复杂性问题的研究中心。该所向全世界开放，研究人员来自各国的不同学 科的科学家，包括物理学家、生物学家、计算机科学家和经济学家，等等。他 们在一起自由讨论和研究感兴趣的几乎所有的复杂性问题，例如自组织现象和 自组织临界性、自适应问题、计算机与智能问题、生命与生物的演化( 包括人工 生命) 、全球经济的演化、人类文化和语言的演变，等等。 今天复杂网络的研究涉及到各种科学领域，从物理的到生物学的，甚至涉 及到到社会科学。对复杂网络的定性特征与定量规律的深入探索、科学理解以 及可能的应用，已成为网络时代复杂性科学研究中一个极其重要的挑战性课 题。 一般而言，一个网络可以简单的定义为一组互相连接的节点，其中节点是 一种基本的元素或一个基本的单位，其内容依赖于所考虑的网络的特定性质。 网络的节点根据其考察的对象的不同，可以是不同的事物。在英特网中，节点 可能是路由器( 或子网络) ，由一些物理连接，如光学纤维，相互连接【1 2 】；在全 球信息网( w w w ) 中，节点可能是文件( 举例来说网页) ，由所谓的超级连接相 互联编【1 3 ，1 4 】；在由化学交互作用连接的代谢网络中，节点也可能是酶作用物 和酶【1 5 】；甚至是科学引证网络的科学论文也可以作为节点，连接即为不同的论 文之间的引用f 1 6 节点也可能是科学的合作网络中的科学家，如果二位科学家 有合作的工作，比如合作的文章，两个节点就有连接【1 7 ，1 8 ，1 9 】；节点可能是社 会人的个体，组织或国家，由社会交互作用连接的网络 2 0 可以列出的例子还有很多。最近其中的一些典型的有代表性的例子吸引了 学术界的研究。现在的研究已经把重心集中在反映不同复杂网络的形式和拓扑 结构的一般特征上。 过去复杂网络较多的是通过图论来研究的。复杂拓扑结构的网络是通常由 第一章介绍 一个随机的图表示，可能最受广泛研究的随机图是e r d s sa n dr d n y i 给出的随机 图【2 1 1 虽然我们的直觉清楚地觉得，许多现实中的复杂网络是既非完全规则也 不完全随机的，但由于缺少对于真实网络拓扑结构的了解e r 随机图模型已经支 配了科学家对复杂网络的认识几乎4 0 年，【2 2 】 在过去几年中，计算机化数据获得和高度有效计算能力的出现，产生了包 括上述的例子的有关各种不同的现实网络复杂拓扑结构大型数据库，这些大量 的实际数据的获得刺激了对于复杂网络的一般特性的研究兴趣【2 3 在这努力 中，两个最近的发现是小世界和大部分的无标度特征合成物网络。 1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 在 n a t u r e ) ) 杂志上发表文章，引入了小世界( s m a l l w o r l d ) 网络模型【2 4 ，3 9 】，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变。小 世界网络既具有与规则网络类似的聚类特性，又具有与随机网络类似的较小的 平均路径长度。 e r 随机图和w s 小世界模型的一个显着的共同特征是网络的连接性的分布 函数在其平均值达到最大值并随即以指数衰退。具有这种特征的网络称为指数 网络。指数网络在自然界中是同源的：即每个节点差不多有相同连接的数。最近 这方面的另外一个重要的发现是很多大规模的复杂网络是无测度的，包括英特 网，全球信息网，及新陈代谢网络也就是，他们的连接性分布是幂形式的【2 5 一个无刻度网络是不同质在自然中：大多数的节点有少许的连接而且只有一些 节点有许比较多的连接。1 9 9 9 年b a r a b a s i 和a l b e r t 在( ( s c i e n c e ：) 上发表文章指 出 4 0 】，许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律形式。由于幂律分布没有 明显的特征长度，该类网络被称为无标度( s c a l e f r e e ) 网络。 人们相继提出并研究了多种复杂网络模型及其性质，特别是这类网络的拓 扑结构与网络行为之间的关系、它们的同步问题，以及复杂网络对于随机性 “故障”、“错误”和“攻击”的“鲁棒性”与“脆弱性”的关系，等等。但 是，关于小世界网络模型和复杂网络的连接度分布具有幂律形式的两项发现， 正如a l b e r tf f 1 b a r a b a s i 所指出的，“迄今为止的研究只是尝到了一杯冰淇淋的尖 端而己”。 作为研究复杂网络的动态行为的下一个步骤，可以在网络节点加入动态的 元素。近几年来，由耦合的动力系统组成的网络非线性动力学性质已经受到很 多的注意，因为它们能展现许多有趣的现象，比如，自动波，螺旋形波，和时 间空间的混沌，而且他们在模拟许多大规模的真实系统方面很重要【2 6 】尤其， 一2 一 第一章介绍 在过去的1 年以来，对同步混沌动力系统的研究已经引起许多科学家考虑大尺 度混沌耦会振动的网络的同步现象( 举例来说 2 7 ，2 8 ，2 9 1 两个典型的例子是离散 时间的耦合格点( c m l ) 【3 0 】和时间连续细胞神经( 或非线性) 网络( c n n ) 【3 l 】这 些简单模型的主要好处是它允许我们把重心集中在由节点非线性动力学所引起 的复杂性，不考虑其他网络结构的复杂因素。另外引起人们兴趣的是可以用这 种方法构建集成电路的网络，而这是有明显的经济利益的。 如上所述，复杂非线性动态网络的特点之一是：不仅网络上节点具有非线性 和复杂性( 它取决于具体研究或应用的对象，其内容、形式可以多种多样) ，而 且复杂动态网络系统的连接结构和时空演化更是错综复杂、丰富多彩。这就向 复杂性科学、非线性动力学和复杂网络理论等交叉科学提出了一系列极富挑战 性的新课题。特别需要强调的是：其中复杂动态网络系统的时空演化中出现的复 杂性，尤其是各类同步问题，包括广义同步的物理机制及其控制方法等问题， 是迄今尚未解决的一类难题，也是众多领域中都存在的值得共同研究的复杂性 课题。这些研究将在复杂网络系统中占有头等重要的位置。 长期以来，同步一直是科学技术中的一个重要的基本概念，耦合振子之间 的同步化运动是解释许多自然界中同步现象的基础。因为自然界及实验室里存 在着大量的同步现象，具有相当大的普遍性。同步研究的最早发明者是惠更 斯。历史上为了弄清不同领域的同步机理，科学家们经历了漫长的探索道路， 从2 0 世纪6 0 年代开始，数理生物学家利用计算机的突破与实验者合作，借助于 物理学中的概念及数学的新成就，一直n 2 0 世纪8 0 年代末才取得了突破性进 展。特别是，应用物理学中的对称破缺理论，对相同的表面上对称的振荡子相 互耦合时所出现的一般模式进行了分类，而且把同步与相变类比，从统计力学 的新高度认识存在于自然界及实验室中的同步现象及其原理。这些表明：生物学 与物理学及其它领域之间存在一种内在的联系，物理学的耦合振子理论和对称 破缺理论为研究同步现象提供了理论基础。 1 9 9 0 年初p e c o r a 和c a r r o l 从电子学线路实验证明了混沌同步。他们的论文 在物理评论通讯上发表后，立即在全球引起了轰动，打开了混沌应用的新 天地，特别在利用混沌复杂性的同步特性进行秘密通讯等方面显示了应用前 景。然而这些同步仅限于两个或少数小系统之间。复杂动态网络中存在着的多 种同步，尤其涉及多种类型的广义同步，是非常复杂的，其产生的物理机制迄 今尚不清楚，需要进一步深入探索。目前绝大多数关于大型动态网络同步的工 作均假设网络具有完全规则的连接结构，如最近邻耦合和全局耦合结构等，极 第一章介绍 少数工作探讨了具有完全随机的连接结构的动态网络的同步化问题。 网络的拓扑结构，在另一方面，通常在决定它的动力学性质时扮演一个决 定性的角色。尽管已有的研究结果表明，当网络祸合强度足够大时，网络节点 之间会产生同步化行为，但这一结果并不能解释为什么即使在网络耦合相当 弱的情形下，一些实际的复杂网络的节点之间仍会产生同步化行为。举例来 说，尽管有足够证据证实足够强的广泛联结会在相同的节点网络里面形成同 步【3 2 】，这不能够解释为什么许多真实的复杂网络联结相对较弱，但仍能趋向 于同步。举个例子，从英特网中相互独立的路由器传输的路由信息会很容易地 同步化，而路由器的同步趋向可能非常仰赖于英特网的拓扑结构【3 3 1 一个打 破同步的方法是为每个路由器在两个路由信息之间增加一个( 足够大的) 随机成 份。然而，英特网的同步趋向是非常强，以致由变更一个确定性的协议改正同 步可能会产生另外的一个同步。这意味着更有效的解决需要较好的理解复杂网 络中同步行为的性质。最近，不同的小世界动力学网络模型的同步问题得到了 仔细的研究，包括小世界状态振动子的网络【3 4 1 ，小世界交互作用耦合映射格 点 3 5 ，小世界神经网络【3 6 1 ，和小世界网络混沌振动子【3 7 1 最近，一个类连 续时间无标度动力学网络的同步性也被详细地研究了【3 8 这些研究可能弄明白 真实的复杂网络的同步现象。 口 一d 一 第二章复杂网络的一蠛基本概念 第二章复杂网络的一些基本概念 虽然在过去几年中，许多有关复杂网络的度量已经被提出并被研究，三个 量一平均的路径长度，聚集系数和节点度数分布一在复杂网络理论的发展和建模 过程中起主要的作用。事实上，w a t t s 并h s t r o g a t z 在关于小世界网络的工作中的最 初尝试是用小的平均路径长度构造一些网络，如随机图，以及相对大的聚集系 数的网络，如普通格点f 3 6 另一方面，无标度网络的发现是基于观察到许多真 实网络程度节点度数分布具有幂形式【2 5 因此，这三个量是非常重要而且也是 首先被考察的。 2 1 平均的路径长度 在一个网络中，在两个节点i 和。j 之间的距离也，是连接他们的最短路径 的边的数目。另一方面，一个网络的直径d ，是连接它的任何连接节点之间 的最大距离。网络的平均路径长度l ，被定义为在所有节点对之间平均的距 离( 图2 1 ) 。在这里，l 决定网络的有效”大小”，即节点对的典型分离程度。平 均在朋友中网络平均，举例来说，工是连接二个人最短的朋友链的平均数字。 显然，l d 1 ；而i jl d = 1 当且仅当网络完全连接，即网络中任意两个节点 都直接相连接。在复杂网络的领域中最重要的发现之一是大部分真实的大规模 网络的平均路径长度相对较小的，即使他们和节点数相等的完全连接网络相比 只有非常少的边数。这种现象通常称为小世界效应。 2 2 聚集度 在你的朋友网络中，很可能你朋友的朋友也是你的直接朋友；换句话讲， 你的朋友中的两位也是彼此的朋友。这种性质被称为网络的聚集性。更精确 讲，可以定义聚集度系数e ，节点的邻居对也是彼此的邻居。假如网络中的节 点i 有条边，个其他的节点连结。这些节点是节点i 的邻居。显然，他们之 间最多可以有( 一1 ) 2 条边缘存在，而且这种情形只有当每个i 的相邻节点都 与i 的每一个相邻节点连接。节点i 的聚集系数a 定义为这缸个节点之间的实际 边数最与总数( 一1 ) 2 之间的比， g ：煮 ( 2 1 ) “2 可i - = 可 “_ 一5 一 第章复杂网络的一“基本概念 图2 1一个简单网络的直径和平均路径长度 整个的网络聚集系数g 是在所有节点i 的a 的平均。对于友谊网络，a 反 映i 的朋友彼此也是朋友的范围。因此，c 描述一个典型的朋友圈之间小集团 性。显然，c 1 ，且c = 1 当且仅当网络是完全连接的，这意谓每个人在网络 中都认识其他每个人。在一个完全随机网络中，g 一，相对于大多数的大 型网络这是非常小的。大部分真实的大规模网络有聚集趋向，尽管他们的聚集 系数比l 小很多，但还是在某种意义上l e o ( n “) 大不少。 2 3 节点度数的分布 最简单而且被广泛研究的节点的特征节点度数的分布。节点i 的度数觑是它 的连接总数。在所有节点的i 的的平均称为网络的平均度数，以仇) 表示。节 点度数的分布可由分布函数p ( 七) 表示，尸( ) 给出了一个任意节点有七条边的概 率。规则格点有简单的度数序列。所有的节点有相同数量的边，度数的分布只 有一个峰。在完全随机网络情形之中，度数的分布序列服从p o i s s o n 分布， 跗) e 邓) 譬 亿2 ) p o s s i o n 分布的形状是远离最高值( 。) ，以指数衰减。因为这指数衰减，在七 一6 一 第二章复杂网络的一些基本概念 ( 的( b ) 图2 2 ( a ) g u a s s i a n 分布，( k ) = 5 ，1 0 ，1 5 ：( b ) 幂律形式分布 ) 时找到一个有自条边的节点的概率和变得相当小 图2 2 ( a ) 】在过去几年 中，许多经验的结果表明大部分大规模现实网络的度数分布很大程度上脱离 t p o s s i o n 分布。尤其，对于很多网络，包括全球信息网，英特网，和新陈代谢 网络，节点度数分布更多是符合幂律的形式 p ( k 1 = 七1( 2 3 ) 相对指数分布，幂律形式的分布是逐渐下降的，会存在一些节点有非常大的度 数【图2 2 ( b ) 】举例来说，推想一个有n = 1 0 0 0 0 0 个节点的网络服从底为2 的幂律 的度数分布，那么，节点中的九分之一个，或大约1 1 1 1 1 个节点，会有三个连 接，1 0 0 0 0 0 节点中万分之一，总数为1 0 个节点会有1 0 0 个连接。因为幂律没有 特征的标度，一个符合幂律分布的网络称为”无标度网络”。 2 4 典型的例子 我们可以看一下几个有代表性的例子：英特网( i n t e m e t ) 和神经系统。 一7 一 第一二章复杂网络的一屿基本概念 一英特网 英特网可以说是我f f n , - j 代最好的发明。英特网在过去的十年以来的持续飞 速发展已经使它们成为我们的生活和现代的人类社会一个重要部份。 图2 3 英特网的结构 然而，我们对它的了解并不如我们想象的那么多。有两个原因使普通使用 者不用了解英特网真实结构：通过网络协议( i p ) 可以连接不同类型的网络，以及 英特网的运营组织和公司使英特网不同的网络元素之间互相连接。这使得英特 网使用者不用关心网络的复杂性。英特网的构型不同决定了网络度不同特性， 在域级和路由即可得到两个不同的拓扑结构。经验显示着两种拓扑都符合幂 律。从域上看，域作为节点，两个域之间的边界路由器的连接是边。在路由器 层，路由器是节点，路由器之间的物理连接是边( 图2 3 ) 。 路由动作包括两项基本内容：寻径和转发。寻径即判定到达目的地的最佳 路径，由路由选择算法来实现。为了判定最佳路径，路由选择算法必须启动并 维护包含路由信息的路由表，其中路由信息依赖于所用的路由选择算法而不尽 相同。路由选择算法将收集到的不同信息填入路由表中，根据路由表可将目的 网络与下一站( n e x t h o p ) 的关系告诉路由器。路由器间互通信息进行路由更 新，更新维护路由表使之正确反映网络的拓扑变化，并由路由器根据量度来决 定最佳路径。从英特网中相互独立的路由器传输的路由信息会很容易地同步 一8 一 第二章复杂网络的一螳基本概念 化，而路由器的同步趋向可能非常依赖于英特网的拓扑结构。 二神经系统 线蠕虫c e l e g a n t s 神经系统具有2 8 2 个神经元。如果把神经元看成节点，两 个神经元之间是否存在连线决定于它们之间是否有突触或缝隙。对用这种方法 所构成的网络进行研究，发现平均路径长度近似于同样大小随机图所具有的平 均路径长度，而串接系数比同样大小的随机图高很多，即这种网络具有小世界 性质。但它的度分布是在中间大小的k 处有一峰值，然后指数衰减【4 0 】。由于 实验困难，对高级动物的神经系统尚缺乏精确的实验结果，但从大脑中突触所 具有的量级可分析出高级动物的神经系统也应具有小世界网络的性质。加上在 大脑电活动中斑图结构以及神经元电活动中的同步行为的实验结果，使得我们 认识到有可能用复杂系统( 包括复杂网络) 和非线性动力学方法分析大脑活动的 机理【4 2 ，4 3 】。也就是说，大脑是由许多相互作用的基本单元( 神经元和胶质细 胞) 组成的最复杂的网络系统：从复杂性科学的角度来看。大脑确实表现出复杂 网络的非线性和复杂性的许多特点。例如，神经元构成网络就是一种典型的复 杂网络，神经元的电活动表现出各种同步特性。这种同步特性是构成脑中有序 态的基础。因此，可以从复杂网络的同步特性出发，对大脑的复杂性进行交叉 研究，这不仅有利于对大脑活动的理解，而且本身也会丰富复杂性的新知识和 促进复杂性科学的发展。口 9 第二章复杂网络的动力学模型以及同步性 第三章复杂网络的动力学模型以及同步性 3 1 网络的动力学模型 从非线性动力学观点，人们会对网络的拓扑结构在网络的动态行为中所 起的作用特别感兴趣。在之前的很多工作中，都研究了以下的模型。考虑一 个由m 个相同的，线性地且散布性地连接的节点构成的网络，其中每个节点 是n 维的连续时间动力学的系统。这样的复杂网络可以由下列的常微分方程式表 示 1 0 ，1 1 】： j 一 仇 等= m 。) + c o ”r ( 巧咱) ，江1 ，2 棚 ( 3 1 ) 一 3 = 1 ，j 和 令n 。= 一凳1 j ；，这样这个系统可以写成 警训蝴+ 妻啦巧， 3 = 1 其中盈= 陋山x 讲，z 。r g p 是节点i 的状态变量举例来说，在因特网的 路由器层次中，z 。可表示路由器i 的路由表的第j 字节；在神经系统中孔可以 是一个神经细胞内部的葡萄糖浓度，电解质浓度，胞内电压等变量组成的向 量。，：卵一舻，是表示单个节点内部作用的函数。f = d i a g ( 7 1 ，恤，) 舻“，m ，他， 0 是表示连接变量的对角矩阵。常数c 表示网络的连接强 度。连接矩阵a = ( 吼j ) 妒。”表示网络的连接设置：如果节点i 和节点j 之间 有连接，a ；f = 1 ；否则，a q = 0 ，i j 定义 显然，如果节点i 的度数是，则 0 “= 一，i = 1 ，2 ，m ( 3 3 ) ( 3 4 ) 然后，假设网络中没有相互分离的子网络。则联结矩阵a 是对称的不可约 一l o m = ” 口 壹一 一 = n 第三章复杂网络的动力学校型以及同步性 的矩阵。在这种情况下，0 是a 一个重数1 的特征值，且a 所有其他特征值严格 是负的。 图3 1( a ) 完全连接网络；( b ) 星形连接网络 根据以上的假设，一个有n 个节点的完全连接网络( 即任意两个节点间都有 连接) 【图3 1 ( a ) 】的连接矩阵如。有以下的形式： a g e = 一+ 1 11 1一+ l1。1 1 ： i ( 3 5 ) 1 l n “1 有n 个节点的星形连接网络【图3 1 ( b ) 】的连接矩阵a 。有以下的形式： a s c2 ( 3 6 ) 1 l 1 1 1 1 、 1 0 ；o d l o 0 0 1以o o l+ 1 ；1 l 一 ，f。，。一 第三章复杂网络的动力学模型以及同步性 3 2 动态网络的同步 动态网络被称为是( 渐近) 同步的，如果 z 1 ( t ) = z 2 ( t ) _ - 一。( t ) ，a s t _ o o ( 3 ，7 ) 散布性地连接条件( 3 1 ) 保证了同步状态s ( t ) 渺是方程( 3 1 ) 是一个孤立节点的 解 ( t ) = ，( s ( t ) )( 3 8 ) 这里，s ( t ) 可以是稳定解，周期轨道或混沌吸引子。显然，同步状态 z l ( t ) = x 2 ( t ) 一= z 。( t ) = s ( t ) ， ( 3 9 ) 是取决于孤立节点的动力学性质，连接强度c 及连接变量的对角矩阵r ，连接矩 阵a 对于这种网络模型的同步性，以前的工作f 3 7 ，3 8 给出过以下的结论。 定理：考虑动态网络( 3 1 ) ，设 0 = a 1 a 2 a 。( 3 1 0 ) 为此网络连接矩阵a 的特征值。假设存在一个n n 的矩阵d 0 ，以及常 数孑 0 ，使得 d f ( s ( t ) ) + a r r d + d d f ( s ( t ) ) + d r 】一下i 。 ( 3 11 ) 对所有d d 成立。其中k 舻n 是单位阵。如果 那么系统( 3 1 ) 是渐进同步的。 以2 d 一1 2 一 ( 3 1 2 ) 第二章复杂网络的动力学模型以及同步性 由于a 2 e r i c ，网络可以达到同步 对于小世界网络，我们可以通过w s 模型【2 4 1 或n w 模型 4 3 1 来得到它的连 接矩阵。对于无标度网络，可以通过b a 模型【2 5 来得到它的连接矩阵。相应 的，可以通过数值汁算得到小世界网络的a 2 。无标度网络的a 2 印而计算结果 显示【3 7 】： 1 ，i m a 2 。= 一o 。( 3 1 5 ) 而当一o 。时，a 2 。，趋向于一个略大于1 的数。 口 一1 3 一 第四章带有时滞连接的网络的同步问题 第四章带有时滞连接的网络的同步问题 由于各部分之间的数据传输和处理速度有限，许多带有异地交互作用的大 形网络模型不可避免地需要将连接的延迟考虑在内。 示为 在本章中，我们考虑带有单一时滞7 - 0 的复杂网络。此网络的模型可以表 掣_ ，( 喇) + 妻啦啪叫，i 乩2 7 m ) 3 = 1 在这个模型中，节点i 的状态变量。，表示连接变量的对角矩阵r 与模 型( 3 2 ) 中的一样。而连接矩阵a = ，) g p 。”表示网络的连接设置和强度： 如果节点i 和节点j 之间有连接，a 。 0 ；否则，n ，= 0 ，i j 与模型( 3 2 ) 不同的 是a ；，不但表示节点i 和节点，之间是否有连接，而且也表示节点i 和节点j 之间的连 接强度。换句话说，动态网络模型( 4 1 ) 中各个节点对的连接强度可以使不同的。 在以前的研究中，要求连接矩阵a 是对称的，而在本章中，并没有要求a 是对 称阵。换句话说，两个节点的相互作用可以不是对称的。同样定义 4 1 定义和符号说明 m 0 n = 一，t = 1 ，2 ，m ( 4 2 ) j = 1 , 3 勘 首先，我们给出文中将要用到的一些定义 定义1 定义= z = ( z i ，z ! ，磊) t ，盈忍：孔= ，i ，j = 1 ，2 ，m 为同 步流形 定义2 定义方程( 3 ) 的解为z ( t ) = ( x l ( t ) tz 2 ( t ) r ，( t ) t ) t 定义3 同步流形s 是局部指数渐进稳定的，当且进当存在d 0 ，使得对 一1 4 第网章带有时滞连接的网络的同步问题 所有l | 孔( t o ) 一( t o ) | | d ，存在e 0 ，t t o ，m 0 ，使 | l 以( t o ) 一x j ( t o ) l | m e “ 对所有t t ，i ，j = 1 ，2 ，m 成立。 定义4 同步流形s 是全局指数渐进稳定的，当且仅当存在e 0 ，t t o ，m 0 ，使得对所有z ；( t o ) j p ， i l 翰( t o ) 一x j ( t o ) 临m e “ 对所有t l i ，j = 1 ，2 ，仇成立 定义5 系统( 4 1 ) 是局部指数渐进同步的，如果同步流形s 是局部指数渐 进稳定的 定义6 系统( 4 1 ) 是全局指数渐进同步的，如果同步流形s 是局部指数渐 进稳定的 条件a 1 称秩为m 的矩阵a = ( a 。 。m j 。1 满足条件a 1 ，如果 0 ，i j ，= 一a q ，i = 1 2 m ( 4 3 ) i = 1 j 粕 条件a 2 称，：驼”一舻，f ( x ) = 【，1 ( x ) ，2 ( x ) ，厶( x ) 】r ，满足条件a 2 ，如 果存在常数l p ，使，p ( x ) 一f a y ) l p ( 一蜘) ，v x ，y r 4 2 局部渐进同步性的研究 在本节中，我们讨论连接矩阵a 满足条件a l 的耦合系统( 4 1 ) ，研究其同步 流形s 局部稳定性。 一1 5 第四章带有时滞连接的网络的同步问题 直接计算耦合系统( 4 1 ) 的变分方程，得到 掣- d ，( s ( 咖峨+ 薹州啪叫 ( 4 4 ) 其中d ( t ) = 甄( t ) 一s ( f ) ，d 厂( z ) 是j a c o b i a n 关于z 茅n s ( t ) s 矩阵，满足 五d 8 ：，( s ) t a , 3 、) 磊2 八s j 记j x = 【如1 ，d 勋，d z 。 ，我们有 堂= d r ( s ) 洲删冲叫 ( 4 6 ) 记a 丁= p j p 一1 为j o r d a n 分解，其中，是分块对角矩阵 卜函) 以为对应矩阵a 的特征值k 的j o r d a n 块，k 重数为m k 令j y = d x p ，则有 d g 五y ；( 一t ) = d f ( s ( t ) ) d y ( f ) + r f f y ( t 一7 ) ， ( 4 7 ) 以分量形式表示 些! 丝d t 盟= d ，( s ( t ) ) 曲k ，1 ( t ) + 儿r 6 毛l p 一丁) ( 4 8 ) 一1 6 一 o o k 一 一 o o 1 一 l k o k o 0 一 第网章带有时滞连接的网络的同步问题 d 6 y k 百, p + 一l ( t ) = d f ( s ( 伽+ 1 ( t ) + a k r p + 1 ( t t ) + 嘞p ( t r ) 1 曼p m 一1 ( 4 9 ) 其中七= 2 ，f 定理1 ：假设d ，( s ( t ) ) = 厶( t ) 】。，满足丘( ) 丘对i = i ，几，i f , j ( 亡) i 向 对j t 并且联接矩阵满足条件a l 联接矩阵的特征值为k = n k + j 阮，( k = 2 ，! ) 如果存在e 0 ，( i = 1 ，几) 使得 胁4 - ( i o 膏i + i 风i + 1 ) 已i 仉l e 0 ， ( 4 1 0 ) 对i = 1 ，2 ，n ，k = 2 ，f 成立，其中 胁= 矗五+ 岛i z 。 ， 则系统( 4 1 ) 的同步流形势局部指数稳定的。 证明：我们考虑下面的系统， 其中儿= o l k + j 凤，= 2 ，l ，8 ( t ) 是一个同步轨道。 令d 可，p = + c - c r y , ，其中唧= k ，l ，乱p ，2 ，。】丁，= h l i ，2 ，脚，n p 则可以到 一1 7 一 埘 啪 啪 攀 第四章带有时滞连接的网络的同步问题 掣= d f ( m ) ) 州帆( t 叫一风吼( t 叫 掣= d f ( 雄) ) 删恤m ( t 叫+ 仇r u l ( t 叫 d u 矿升l ( t ) = d r ( s ( t ) ) “舛1 ( t ) + a k f 坼1 。一7 - ) 一伉r + l 。一r ) + r 。一7 _ ) d v p 矿+ l ( t ) = d r ( s ( t ) ) + 1 ( p + t ) + q k r 吨h l ( 一7 ) + 届t r 2 l 。一下) + r 咋 一7 ) ( 4 1 2 ) 考虑下列l y a p u n o v 范函 v ( u ，口) f r i k n ，t n = 到，。l + f ) + 匹岛m ( s ) 一凤仉u u ( s ) i p = 1t _ 1 。c f t ；1 r n t , n + i n k 讯可1 ，( s ) + 1 3 k , u l , , ( s ) i ) + 矗( i a k m 郇，。( s ) - z 7 ：p ，；( s ) + u p - - l ；, ( s ) l p = 2t = l + i o t k t iv p ，。( s ) + 陬仉，；( s ) + m 一1 ，。( s ) i ) 】d s ( 4 1 3 ) 其沿轨道的微分是 d v ( u ，可) 矿 ”札n n = s g n ( u p ，( ) ) 凡( ) 厶，( t ) + s g n ( v p ，。( ) ) 南( t ) 矗吻。( t ) ) p = 1t = l3 = 1 + s g n ( u l , , ( t ) ) ( a 仉矗u 功( t 一下) - f l k y , 6 v l , , ( t ) ) t = l n + s g n ( v l , i ( t ) ) ( 口k m 矗u 1 ，( t ) + 风m 6 u 1 ，( t ) ) z = l m kn + s a n ( u p ，( t ) ) ( o m 6 ( t 一7 - ) 一风仉( ，；o 下) + 7 i , u p 一1 ，。( t 一下) ) p = 2t - = l y ? l , k n + s g n ( u p , i o r ) ) ( o 女m 矗，；o 一1 - ) + 凤讯矗吻，；( t ) + 磊一1 ，。 一r ) ) + m 矗v ( t ) 一威m 矗u ( t ) z = l 第四章带有时滞连接的网络的同步问题 + i a m 矗口l ， ( t ) + 凤仉 。u z ，( t ) j t = l m kn + i q k m 矗u ( t ) 一凤饥6 ( 一( t ) + 仉6 让p - - l , ；( ) i p = 2 t = 1 m kn + l 。k m 矗咋p ( t ) + 陬m 矗2 铀一o ) + 饥毛一1 ，( t ) p = 2t = l 一l ( q k 仉矗札t ，o 一丁) 一仇佛矗口1 ，t o 一7 - ) l t = l n 一i 。k 仉矗口1 , 1 ( t r ) + 仇m 矗1 ，t o 一7 ) l m kn 一l 口m 靠， 一1 - ) + 风m 毛嘶一 一下) + m 矗咋一1 ， 一下) 芦= 2t = l ( ；( t ) 矗u ”( t ) + i 厶p ) i 岛t - a o ) p = ll = lj t ，3 = 1 + 厶( t ) 己铷；o ) + i 厶( t ) l 毛。( t ) ) j j = 1 m k n + i o k 饥6 u ( t - r ) 一仇m 矗( j ( 亡一下) + m 邯一l ，i o t ) i p = 2 t = l m kn + i a k 仉6 咋，p r ) + 风仉嘶，t ( t 一7 ) + m 毛唧- 1 , i ( t 一下) p = 2 = 1 + i ( q k m 6 u l ，。( ) 一成已u l ，i ( t ) i = 1 + i a m 毛t ，1 ，；( t ) + 风m 6 u 1 一( t ) i t = l t r k n + i q k m 札( t ) 一仇m 6 ( ，t o ) + m 6 t 扫- - 1 , t ( ) l p = 2 - = 1 m kn + i a k m 6 蜘，；( t ) + 风m 矗2 t ( t ) + m 6 咋一l j ( 亡) 一 o p u 矗仉 + r 一 矗m 风 一r u 已仉k 口 。商 m 衅 一 第四章带有时滞连接的网络的同步问题 一1 。6 u 如( f r ) 一凤7 t 锄，；( t 一7 - ) l = l n 一l q m 已u 功( t 一7 - ) + 3 k t , f , u ( t r ) l 一i n k 仉矗咋。( 亡一7 _ ) + 仇m 矗，。o 一下) + m 矗一1 ，( t 一7 - ) p = 2 皇1 mnn ( 厶岛( ) i + 鳓毫( t ) 1 ) p = l ，2 1 4 d j 。 仇k i q , n + ( 屯3 v p 。( t ) i + i 凡州t ) 1 ) p = l 3 = 1 j ，j + f ( a * m 毛u 1 ，。0 ) 一伉仉6 ”- ，。0 ) | 4 = 1 + j q 跏已u i , z ( t ) + z k t , s u l 删j t = 1 f r t k n + a k m s u c t ) 一风m 已( ，；( t ) + m 矗邯_ 1 t ( t ) 仇kn + a k t , s v v ，( t ) + 玩已。( ) + m 6 “。( t ) f = 2 ；= i n h ( ) i + p , l v ，。( t ) i p = lt = l p = lt = 1 m k - - 1n + e ( 蚓+ 恻+ 1 ) s l t d l u p 荆 + e ( 川+ 恻+ 1 ) s 7 , l l v p 荆 p = lt = l + “q i + i 尻f ) 矗l m i i “。”( t ) l i = 1 + ( i q t i + i 凤i ) 6 i m | t j m 。( t ) l 一 一 & 7 + r一 0 仉 仇 r u 矗仉 o 。嘲 m 础 一 p , l u p ，( 0 1 + p d v p 荆 p = lt - 1 p = 1i = l m n + ( i q t l + l 风i + 1 ) 己i m i i 嘶一( t ) p = 1 仁= l m n + ( 1 q * i + l 仇l + 1 ) & i - ；, , l l v p ，t o ) p = ll = l 这样 由( 4 1 0 ) ，我们得到 从( 4 1 0 ) 我们可以推得 面d v e i i u i i + e 帅l l 面d v 0 m n v ( u ，