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2010级高数(二)(专)期末试卷(A) 共4页 第4页2010级高等数学(二)期末试卷(专)(A)评分参考标准 考试时间:2011.5 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1. 设,则其定义域为(); ();(); (); 答( A )2. 直线和平面的交点为(); ();(); (); 答( A )3. 空间曲线在处的切向量为 (); ();(); (); 答( D )4. 及存在是在处可微的()充分条件; ()必要条件; ()充要条件; ()既不是充分条件,也不是必要条件;答( B )5. 下列级数中收敛的为(); ();(); (); 答( B )二、填空题(本大题共5小题, 每小题3分,共15分) 6. 二重积分 7. 假设向量、两两垂直,且,则 8. 假设且函数在点可微,则 9. 已知级数的前n项部分和,则此级数的通项 10. 设为连续函数,则累次积分交换积分次序后变为 三、解答下列各题(本大题共7小题,每小题8分,共56分)11(8分) 求与两平面和的交线平行且过点的直线方程.解: 直线L的方向向量4分故直线方程为8分12(8分) 求解初始值问题.解:特征方程为,解得特征根为,2分 从而通解为 4分求导得5分 将初始条件代入得解得,.7分所以初值问题的解为8分 13. (8分) 设方程确定隐函数,证明:.解:2分,5分6分7分故8分14(8分) 假设是顶点分别为的直角梯形,求.解: 4分 6分8分15(8分) 求函数的极值.解:由,得驻点为,2分又,4分在点处,且,故为极小值;在点处,故不是极小值;在点处,故不是极小值;在点处,且,故为极大值8分16. (8分) 讨论无穷级数的敛散性,并判断是条件收敛还是绝对收敛且说明理由.解:记,则且2分 故由莱布尼兹定理知收敛4分 又因6分 故发散.即条件收敛8分17. (8分) 求幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域. 解:记,则 2分故收敛半径为,收敛区间为4分当时,级数为是收敛的,当时,级数为是收敛的6分所以的收敛域为8分 四、解答下列各题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)18(7分) 要造一个体积等于的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,使得它的表面积达到最小.解:令长方体的长,宽,高分别为,则表面积且2分作Lagrange函数 4分由,有6分故,7分19(7分) 假设级数满足条件: (1); (2)收敛; 证明:级
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