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摘要基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 摘要 本文研究的目的是针对我国的动态利率市场应该如何选择合适的动态利率模型 对利率相关的衍生产品定价，主要是针对债券定价理论和利率期限结构模型进行研 究，分别是在基于单因素c i r 模型以及多因素动态利率模型基础上做出讨论的。 本文主要包括以下内容，第一章介绍本文的背景和意义；第二章是对已有的动态 利率模型作出总结，分析动态利率模型与债券定价、利率期限结构模型之间的理论关 系：以便更进一步讨论。接着第三章分析c i r 模型的统计特征，为后面讨论做准备。 通过前面充分的准备，在第四章我们提出本文的核心模型，即基于c i r 多因素动态利 率模型，将其应用到我国的国债回购利率市场，通过实证比较该模型与经典的c i r 动态利率模型的拟合效果，最后说明该模型更适合于拟合我国的动态利率市场。第五 章我们利用已有的债券定价理论，采用鞅定价和无套利定价方法，并将其结论分别应 用于单因素和多因素动态利率模型。最后我们分别推导出基于经典单因素c i r 模型以 及基于c i r 多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型，最后比较基于 单、多因素动态利率模型债券定价理论和利率期限结构模型，分析二者的优缺点。最 终得出结论，针对我国的动态利率市场以及相应衍生产品的定价究竟该如何选择动态 利率模型。 关键词：c i r 模型，多因素动态利率模型，债券定价理论，利率期限结构，有效矩估 计 a b s t r a c t 基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st of i n dt h em e t h o do fh o wt oc h o o s et h ed y n a m i c i n t e r e s tr a t em o d e lt op r i c et h ed e r i v a t i v ep r o d u c t so fi n t e r e s tr a t e w e m a i n l ys t u d yt h eb o n dp r i c i n gt h e o r ya n dt e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e sm o d e l i nc h i n a sm a r k e ti n t e r e s tr a t e ，b a s e do nc i rm o d e la n dm u l t i f a c t o rd y n a m i c i n t e r e s tr a t em o d e l t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i s t s o ft h ef o l l o w i n gw o r k i nc h a p t e r1 ，w e i n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c e i nc h a p t e r2 ，w es u m m a r i z et h e d y n a m i ci n t e r e s tr a t em o d e l st h a th a v eb e e np u tf o r w a r d ，a n a l y z i n gt h e r e l a t i o n s h i p sa m o n gt h ed y n a m i ci n t e r e s tr a t em o d e l 、b o n dp r i c i n gt h e o r ya n d t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys t a t i s t i c a l c h a r a c t e r so fc i rm o d e lt om a k ep r e p a r a t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gc h a p t e r i n c h a p t e r4 ，w ep u tf o r w a r dt h ek e r n e lm o d e l ，w h i c hi sm u l t i f a c t o rd y n a m i c i n t e r e s tr a t em o d e l ，b a s e do nc i rm o d e l b ya p p l y i n gt h i sm o d e lt ot h eb o n d r e p u r c h a s er a t em a r k e t ，w ec a nc o m p a r et h ef i t t i n gp i c t u r e sb e t w e e nt h i sm o d e l a n dt h ec l a s s i c a lc i rm o d e l ，a n dt h e nw ec o n c l u d em u l t i f a c t o rd y n a m i c i n t e r e s tr a t em o d e li sm o r es u i t a b l ef o rt h ed y n a m i ci n t e r e s tr a t eo fo u r c o u n t r y i nc h a p t e r5 ，w ea p p l yt h eb o n dp r i c i n gt h e o r yt ot h em u l ti f a c t o r d y n a m i ci n t e r e s tr a t em o d e la n dc l a s s i c a lc i rm o d e l w ed i s c u s si tb yu s i n g m a r t i n g l ep r i c i n gm e t h o da n dn oa r b i t r a g ep r i c i n gm e t h o d f i n a l l y ，w ec a n d e r i v et h ec o n c l u s i o n sa b o u tt h eb o n dp r i c i n gt h e o r ya n dt h ei n t e r e s tr a t e t e r ms t r u c t u r em o d e l b a s e do nt h ec l a s s i cs i n g l e f a c t o rc i rm o d e la n dm u l t i p l e f a c t o r si n t e r e s tr a t ed y n a m i cm o d e l ，t h e nw em a k ec o m p a r i s o n sb e t w e e nt h e s e t w om o d e l s ，a n a l y z i n gt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h e m f i n a l l yw e c a nd r a wc o n c l u s i o n st h a ti nc h i n a sm a r k e ti n t e r e s tr a t eh o wt oc h o o s et h e s u i t a b l em o d e lo fi n t e r e s tr a t ea n dp r i c et h ec o r r e s p o n d i n gp r o d u c t sd e r i v e d f r o min t e r e s tr a t e k e yw o r d s ：c i rm o d e l ，m u l t i f a c t o rd y n a m i ci n t e r e s tr a t em o d e l ，b o n d p r i c i n gt h e o r y ，t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e s ，e f f i c i e n tm e t h o do f m o m e n t se s t i m a t i o n 声明尸j ! j 了 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：马蔓硷伽辟f 月；o 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：氮金 潮年佃知日 硕士学位论文 基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 1 绪论 利率是资金的时间价值，同时也反映资金的供求状况，并受到物价水平、经济周 期和预期的影响。利率是一个重要的经济指标，是连接货币因素与实际经济因素的中 介变量，是国家调节国民经济的一个重要的、强有力的经济杠杆。 1 1 研究背景 自2 0 世纪7 0 年代以来，世界金融体系发生了巨大的变化，竞争的压力和寻求新 的盈利点的能力，使金融创新浪潮席卷了世界金融的每一个角落。市场环境的变化和 科学技术的影响及金融业竞争的态势和金融监管的变革，对金融产品和工具产生了极 大的需求，为金融工程学的产生和发展提供了内部和外部的动力。 金融工具和方法的创新也日新月异，先后出现了金融期货和期权及其他的衍生品 市场。现代金融市场的发展实质上是一个金融产品不断地快速创新的过程。随着金融 产品的不断创新，金融交易的范围和层次更具多样性，同时也使金融产品的交易价格 更具不确定性。 随着金融市场化和全球化的发展，利率、汇率及证券价格的大幅度频繁波动给国 家和工商企业带来巨大的风险，风险管理也日益要求用金融工程的数量化观点来有效 的管理，理论与实际的需要推动了对动态利率模型以及利率期限结构的研究，特别是 互换期权、帽式期权、地板期权及其他复杂利率衍生品市场的发展，对期限结构理论 的发展提出了新的要求。我们知道，传统的对债券的风险进行管理的常用方法是采用 凸性和久期，用数学方法估计债券价格对其收益变动的敏感性和变动的速度性。实际 上，这种风险衡量理论隐含地忽略了利率的期限结构，在贴现时对所有的现金流使用 同一个因子，也不管这些现金流何时收到。这种作为利率风险计量和管理的传统方法 是不充分的，因为它没有认识到债券中隐含期权的提前到期执行的可能对证券价格的 影响，没有考虑到现金流随利率动态变化而调整的事实，因而会导致对债券的利率敏 感性和预期的期限的误判，从而在管理上造成巨大的风险。 因此，金融交易过程实际上就是一个以金融产品价格为核心的风险和收益的度量 与决策问题，本质上是一个如何把交易行为量化并研究量与量的问题，且任何一项金 融决策特别是金融交易决策都要面对许多不确定性因素，这些不确定性因素都将影响 并反映在金融产品的风险与收益上，所以如何精确地度量交易过程中的收益和风险， 就成为金融交易的核心。 无风险利率是金融市场中最基本和最重要的价格之一，大量金融衍生工具的定价 和设计从根本上来说都依赖于它的变化过程，许多金融理论和应用的研究也离不开 1 绪论硕士学位论文 它。因此对动态利率模型以及期限结构的研究成了重要的课题，研究者们先后提出了 各种无风险动力学模型来刻画其行为。以动态模型为基础的现代利率期限结构理论对 暴露在利率风险下的固定收益证券和衍生证券的定价和套期保值提供了大量新的研 究思路和方法，使得该领域目前的研究水平远远超出了利用利率风险管理标准的静态 方法所能达到的研究广度和深度。在固定收益证券和衍生证券领域需要解决的两个基 本问题是：( 1 ) 如何确定在未来的预期的现金流的现值( 资产定价) ；( 2 ) 如何才能使 得该现金流保持稳定，不随时间变化而随机波动( 套期保值) 。 金融衍生工具最初作为套期保值工具应运而生，并大量地用于金融机构和公司的 市场实践中，后来又用于风险管理和套利交易。在金融市场发达的国家，动态利率模 型广泛地用于固定收益证券和利率衍生品及含有嵌入期权的金融产品的定价分析，并 大量地用于金融资产的套期保值和风险的控制与管理。特别地，随着近年来新的特种 和复杂的金融工具的创新，产生了基于远期、期货、期权和互换四种基本衍生工具的 更复杂的结构性票据和其他特种衍生证券，这些金融资产的价格与利率变化密切相 关，如利率期权、互换等的支付既不固定也不确定，他们的支付取决于未来的利率水 平或标的债券的价格，在对这类资产定价前支付是无法确知的，为对这些衍生品定价， 我们需要对利率随时间的动态演化过程进行建模。 1 2 国内外研究现状 由于债券定价和利率期限结构模型是先对利率的动态过程做出假设，再推导债券 价格和利率期限结构模型的，所以对债券定价和利率期限结构模型的研究可以说就是 对动态利率模型进行建模估计。在研究市场利率动态规律的过程中，国外学者们通过 对国外的利率数据的实证研究发现，市场利率存在显著的均值回复( 线性漂移) 现象， 而利率的波动则存在所谓的“水平效应( 1 e v e le f f e c t ) 一( 即利率波动受到利率水平 的影响) 。 如果假设利率的漂移项为线性形式，v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 1 2 9 1 和c i r ( 1 9 8 5 ) 1 4 1 都是采用的 这种假设。然而c k l s ( 1 9 9 2 ) 佟l 利用一个月美国国库券收益率的月观察值和对波动性 的不同假设，得出利率的均值估计为0 1 8 到0 5 9 ，且在统计上并不显著。a i r s a h a l i a ( 1 9 9 6 ) 1 1 l 利用一星期欧洲美元利率的日观察值，发现均值为0 0 1 4 到0 0 3 8 。因此可以 说，目前国际上对利率是否存在均值现象并没有肯定的结论。 同时，利率的漂移是否为线性形式在国际上也没有一致的意见。a i t s a h a l i a ( 1 9 9 6 ) 1 1 l 采用非参数估计方法对模型进行了广义的识别检验，结果拒绝了线性漂移的存在。在 4 到2 0 的利率水平之间不存在均值回复，而在这个区间之外存在很强的均值回复。 s a n t o n ( 1 9 9 7 ) 仁剐采用不同的数据和估计方法也得到了相似的结论。e l e r i a n 、c h i b 、 s h e p h e r d ( 2 0 0 1 ) 1 1 2 1 和j o n e s ( 2 0 0 0 ) 1 2 2 l 发现，对短期利率的均值回复难以得到统一的结 2 硕士学位论文基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 论。d u r h a m ( 2 0 0 i ) 1 1 1 】和l i 、p e a r s o n 、p o t e s h m a n ( 2 0 0 1 ) 2 s 】则发现漂移项的非线性特 点并不存在。 文献中对利率的波动性问题进行了大量的研究，c k l s 和n o w m a n ( 1 9 9 7 ) 1 2 6 l 在 c k l s 模型框架下对瞬时利率的波动项进行了实证，得出利率波动性对利率水平都比 较敏感的结论。然而，仅仅用单个随机变量来描述利率的波动是远远不够的。同时，由 于我们在推导利率的动态方程时假设其都遵循扩散过程，也就是说这些变量的变化是 连续且密集的，不会有跳跃或不连续，但实际上在某些情况下，突发事件会产生巨大的 经济影响，从而使利率的变化出现跳跃。因此，采用复合的跳跃扩散过程将能更好地 解释利率的动态变化过程。d a s ( 2 0 0 2 ) i s l ，j o h a n n e s ( 2 0 0 0 ) 1 2 2 1 和z h o u ( 2 0 0 1 ) 1 2 1 1 都发现用 这种方法能更好地拟合现实数据。 可以看出，国外在研究利率动态规律和期限结构动态模型方面已有长足的进步， 得出了一些基本结论，并形成了一套完备的理论体系。而在我国，这方面的研究是近 几年才开展起来的。朱世武和陈健恒( 2 0 0 3 ) 4 1 1 对利率的变动进行了主成分分析，研 究了收益率曲线的主要变动形式。谢赤和吴雄伟( 2 0 0 2 ) 1 3 9 1 通过广义矩法，用中国货 币市场的数据，对v a s i c e k 模型及c i r 模型进行了实证检验。林海和郑振龙( 2 0 0 4 ) 瞰j 通过一个可变波动率的纯跳跃模型对中国政府利率变动行为进行了模拟和分析，并 在考虑g a r c h 效应的基础上研究了中国市场利率的动态行为。范龙振( 2 0 0 3 ) p 3 l 使用两因v a s i c e k 模型对上海证券交易所的国债利率进行了实证分析。这些学者对研 究我国市场利率变动规律和如何建模等问题进行了初步而有益的尝试。 1 3 本文研究的目的及意义 随着金融市场化的深化和加入wt0 ，中国金融市场将进一步按照国际惯例的要 求进行改革和发展。在利率市场化方面，中央银行已经做了很多有益的探索并有加快 的趋势。随着金融机构自身改革的加快，利率风险管理将成为金融机构风险管理的重 点。另外，随着中国金融市场的发展，新的金融产品将陆续推出，由此而产生的定价 问题又将成为人们关注的焦点。实践需要理论来指导，市场环境的变化也对理论研究 有了现实的需求。 因此，无论是从理论研究角度，还是从实际运用角度，我们都需要对理论动态模 型进行深入的研究，尤其需要探讨如何把国际上已有的理论方法与我国实际情况相结 合。尽管国外对动态利率模型的研究取得了大量的成果，产生了各种相关的模型，但 模型又各自有自身的优点和局限性，还有许多问题有待解决，需要进行深入的研究和 分析。 在中国稳步推进利率市场化和中国金融衍生品市场刚刚起步的现实背景下，研究 动态利率模型，并将模型运用到我国利率市场进行实证检验，找出适合我国利率市场 3 1 绪论硕士学位论文 的模型，这将是非常有必要的。主要体现在以下三方面： 1 、促进中国资本市场的完善。一个完善的市场应该是一个定价合理、不存在套 利机会的市场。通过对动态利率模型的准确估计，就可以为政府提供有关市场价格是 否合理的信息，为减少市场套利，促进市场的完善提供指导性的理论建议。 2 、为利率风险管理提供重要的信息。利率市场化后，金融市场资金的供求关系 变成决定利率变动的主要因素，而资金的供求关系又是受诸多因素制约和影响的，所 以必然会导致利率的频繁变动。由于利率与固定收益证券价格的关系十分紧密，使得 利率风险成为金融投资者所面临的一个重要市场风险。因而，研究利率以及中国利率 市场现状，对利率进行建模，有效地刻画利率的动态变化的特征，就能够为设计出有 效规避利率风险的投资策略和金融工具提供重要的理论依据和信息来源。 3 、为中国的资产定价尤其是利率衍生品定价提供一个坚实的理论依据。随着中 国金融期货交易所股份有限公司的成立，新的金融衍生产品将陆续推出，由此而产生 的金融资产定价问题将会成为人们关注的焦点。资产定价依赖于对市场利率及其变动 的准确估计。以利率相关资产或者直接以利率作为标的资产的利率衍生产品的定价更 是要基于这种未来利率变动的预期，对利率建模的研究给资产定价提供理论基础。 1 4 本文研究的内容及方法 本文研究的内容及方法主要分为以下四部分： 第一部分：对已有的动态利率模型作一个总结，最后说明动态利率模型与债券定 价、利率期限结构模型的理论关系。 第二部分：对c i r 模型的统计特征作一些讨论，主要针对该模型的相关性质和统 计推断，为后面的实证模型估计做准备。 第三部分：由于国内研究很多都集中于验证某些模型，如v a s i c e k 、c i r 、c k l s 等，而对这些模型加以扩展的则比较少。所以本文希望对已有模型进行改进扩展，主 要是研究基于c i r 多因素动态利率模型，并将该模型应用到我国金融市场上证交易所 国债回购利率变化行为过程中，其中对模型的估计采用有效矩估计方法来进行参数估 计。通过实证比较该模型与单因素c i r 利率模型的拟合效果，最后得出相应的结论。 第四部分：主要是讨论债券定价理论以及利率期限结构模型。首先讨论债券定价 的相关理论，分别采用无套利定价方法和鞅定价方法推导出债券价格所满足的偏微分 方程。接着将单因素仿射扩散利率模型的债券定价理论以及利率期限结构模型扩展到 两因素甚至多因素仿射扩散利率模型。然后利用单因素仿射动态利率模型及多因素仿 射动态利率模型的相应结论分别推导出c i r 以及基于c i r 多因素动态利率模型下的债 券定价理论以及利率期限结构模型，并比较基于不同利率模型下债券定价理论以及利 率期限结构模型。最终得出结论针对我国的利率市场如何选择合适的动态利率模型来 4 硕士学位论文 基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 对利率相关的衍生产品定价。 其中第三和第四部分是本文的核心部分。 5 2 动态利率模型简介 硕士学位论文 2 动态利率模型简介 由于对债券定价和利率期限结构模型的研究首先是要对利率的动态过程做出假 设，所以对债券定价和利率期限结构模型的研究可以说就是对动态利率模型进行研 究。对动态利率模型的研究始于2 0 世纪7 0 年代初，由于影响利率变化的因素很多， 利率的变化呈现出较为复杂的特征。为描述短期利率的随机行为，学者们提出了不同 的随机模型。迄今为止，人们把利率模型分为单因素模型和多因素模型两大类。 2 1 单因素利率模型 单因素模型一个简单和常用的模型如下： d x , = ( 工) 西+ 盯( 五) 鸩 ( 2 1 1 ) 其中，z ：时刻t 时被观测的经济变量( 利率，股价，股指，债权收益率等) ：e ： 标准一维布朗运动：( ) ：漂移( 即时回报率) 函数：盯( ) ：扩散( 波动率) 函数。这里，我 们研究的对象是无风险瞬时利率，。 早期研究动态利率模型的文章见m e r t o n ( 1 9 7 5 ) ，在该文中，m e r t o n 研究的是一 个随机增长模型，并不是直接研究利率波动模型，但该文章的一个结果表明，短期无 风险利率服从一个非线性扩散模型，该模型是单因素模型的基础。m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 释放 b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式中的常数无风险利率的假设，提出随机利率条件下的期 权定价公式。其中无风险利率服从一个有漂移的简单布朗运动： 咖= a d t + ( t d b , ( 2 1 2 ) v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 在推导贴现债券价格的均衡模型时使用了o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程，研究了利率均值回复的现象，认为短期利率会以向长期利率收敛，利率过程为： 咖= ( 口+ ) 出+ 仃鸩 ( 2 1 3 ) c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 、b r o w n 和d y b v i g ( 1 9 8 6 ) 、g i b b o n s 和r a m a s w a m y ( 1 9 9 3 ) 假设短期利率变动是一个平方根过程，利率变动服从非中心卡方分布，让短期 利率保持均值回复的特点，同时允许利率变化的条件波动率与其当前水平有关，研究 了这样的利率模型： 三 础= ( 口+ ) 廊+ 盯2 r i b , ( 2 1 4 ) d o t h a n ( 1 9 7 8 ) 假设利率变化满足没有漂移项的随机扩散方程，在此条件下所推导 的短期利率服从对数正态分布。利率模型为： 6 硕士学位论文基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 础= o - ，；a b , ( 2 1 5 ) b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 假设利率服从几何布朗运动： 疵= p r , d t + o - r , d b , ( 2 1 6 ) b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) 在对可转换债券定价时假设利率服从以下过程： d r , = 位+ p r , ) a t + o - r , d b , ( 2 1 7 ) c o x ，i n g e r s o ll 和r o s s ( 1 9 8 0 ) 在研究可变利率证券时采用的利率模型是： 三 咖= 吖2 皿 ( 2 1 8 ) c o x ( 1 9 9 6 ) ，c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 ) 使用常数方差弹性过程( c o n s t a n te l a s t i c i t y o f v a r i a n c e ，c e v ) ，利率方差的弹性为2 7 ，与利率无关： 疵= f i r , t i t + o - r , ，鹕 ( 2 1 9 ) c h a n 等( 1 9 9 2 ) 为不同的利率期限结构模型建立了一个共同框架，提出一个一 般的随机微分方程( 这个模型简称为c k l s 模型) ，c k l s 模型包括了很多著名的连续时 间利率模型： 疵= + 以) d r + a t , 7 r i b , ( 2 1 1 0 ) 事实上在学术界和实际应用中最著名的单因素动态利率模型是c i r 模型 ( 2 1 4 ) 。c i r 模型不仅具有均值回归的性质，并且瞬时利率大于0 的概率等于l 。 这个特征与利率非负相吻合，它将代表单因素模型与本文提出的多因素模型做比较。 在后面的第三章我们将详细讨论c i r 模型的相关统计特征。 2 2 多因素利率模型 单因素模型把动态利率r ( t ) 作为唯一变量，而多因素模型是单因素模型一个自 然的发展，其背后的思路是利率的动态变化是受多个因素驱动的，这些因素可以是宏 观政策的冲击、当前的利率水平等等。 r i c h a r d ( 1 9 7 8 ) 提出一个两因素模型，其中实际利率和预期通货膨胀率7 作为 状态变量。每个状态因素的变化均服从平方根过程： 匆= 毛( 口一r t ) d t + e r l d w k ，oo1 、 d 五= k 2 ( 一万t ) d t + o 2 4 n t d w 2 , b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) 认为长期利率的变化包含了短期利率的预期变动信 息，考虑了一个两因素模型，其中短期利率为一个因素，另外一个因素是长期利率 7 2 动态利率模型简介硕士学位论文 1 t ，联合这两个因素来刻画利率的变化特征。 扯= 【口1 1 1 ( 芒i - ) + 盯2 d r + r , o d w l t q z ( 2 2 2 ) d l t = l 。( 1 t - - r t + ) , 2 i t - _ i 符7 ) d t + 7 1 , d w 2 。 l a n g e t i e g ( 1 9 8 0 ) 假设短期利率是n 个状态变量的和，状态变量没有明确的经济 解释，每个状态变量都服从v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 中短期利率所服从的过程，由此推广了 v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 的模型。该模型所推导的动态利率能够刻画复杂的多驼峰形状。 d x i t = k i ( 包一x i t ) d t + o i d w i t i = 1 ，2 ，n( 2 2 3 ) c o x ，i n g e r s o l l 和r o l l ( 1 9 8 5 ) 沿用了r i c h a r d ( 1 9 7 8 ) 的思想，进一步假设两个 状态变量：实际利率i 和预期通货膨胀率互是相关的，且使得债券价格依赖于实际利 率r t 直至当前时刻t 的变化路径。 扯= k ( 0 - ) d t + 仃以d w t ( 2 2 4 ) d ； r t = 2 。( t ) d t + o - 石( t ) d w a j a c o b s 和j o n e s ( 1 9 8 6 ) 把短期利率的均值回复水平作为一个状态变量来描述， 从而在不增加其他具有具体经济解释的因素的条件下改进了单因素模型。 扯d e , 驾kr , 崛o n 乩- l n d a t ) d t + o 2 8 州t d w 2 t ( 2 2 5 ) 2 2 f o n g 和v a s i c e k ( 1 9 9 1 ) 受j a c o b s 和j o n e s ( 1 9 8 6 ) 的启发，认为短期利率1 t 的波动 率更能增强对利率变动方差的解释能力，提出了包含短期利率及其条件波动率的两因 素利率模型。 d r , 2 q ( q 一) d + 吼d 里( 2 2 6 ) d c r t = 口2 ( 0 2 一吼) d t + r 4 0 - t d w 2 , l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 对一类两因素利率模型进行广义化，假设每个因素 均服从带均值回复的平方根过程，其中状态变量x 和y ，无具体经济解释。该模型能 够产牛许多形状较为复杂的利率曲线。 似t = k - ( 日一x t ) m + q 羔d w t( 2 2 7 ) d y = k 2 ( 岛一y t ) d t + o r 2 4 y t d w 2 t k r a u s 和s m i t h ( 1 9 9 3 ) 建立了以短期利率：及其漂移率从和以的漂移率q 为因 素的三因素利率模型，并证实该模型能够较好的解释实证研究中所出现的种种形状复 杂的收益率曲线。 8 硕士学位论文基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 扯= , u t d t + q d w t d 似= c o t d t + a 2 d w 2 t ( 2 2 8 ) d c o , = a d t + o - 3 d w 3 t c h e n ( 1 9 9 6 ) 的三因素模型，其相应的因素也是短期利率及其均值回复水平铱和 波动水平，但假设短期利率的均值回复水平和波动水平共同决定了这三个因素的条 件波动性。 ( k = k l ( 幺一r t ) d t + k d w , t d o , = k 2 ( 0 - o t ) d t + o d w a ( 2 2 9 ) d v t = k 3 0 v t ) d t + r i 4 v , d w 3 t t i c e 和w e b b e r ( 1 9 9 7 ) 研究了一个三因素利率过程，三个状态变量分别是短期利 率，短期利率回复水平x t ，反馈参数p t 。 d 42 a ( x 。) d t + q d w 0 d x 。= p ( p 。+ ( 1 一p 。) 一x 。) d t + c r x d w 0 ( 2 2 1 0 ) d p 。= 7 ( 万一( x 。一) ( 一) 一p 。) d r + o p d w v t 通过对已有多因素模型的总结，我们很容易看出多因素模型由于因素选择的不同 会形成不同的模型，一般需要选择两个或者三个因素的利率模型来描述动态利率。本 文所提出的多因素动态利率模型是对c h e n ( 1 9 9 6 ) 的三因素模型( 2 2 9 ) 的改进。 2 3 动态利率模型与债券定价、利率期限结构模型的理论关系 债券定价与利率期限结构模型的研究一直是密不可分的，研究者们先后提出了各 种期限结构理论和模型。研究认为，在确定期限结构时，许多因素都在同时起作用， 实证分析的结果也指出利率的运动过程表现出随机性，收益率曲线的形状也会随着时 间而改变。为更好地描述利率的随机行为，人们在研究中引入随机过程，结合现代期 权理论，对债券定价理论和利率期限构模型进行了新的探索。 对债券定价理论和利率期限构模型的研究首先要弄清楚动态利率模型与债券定 价、利率期限结构模型的理论关系。在以下的讨论中，假设今天的时间为o ，o t t ， 利率按连续复利计算，而投资均指投资于零息无风险债券。p ( t ，t ) 表示在时刻t 到 期的票面值为1 的零息无风险债券在时刻t 的价格。，w 表示t 年期即期利率，即投资 于今天开始的第t 年到期的零息无风险债券的收益。r ( t ，t ) 表示将来即期利率，即 t 时刻开始，t 时刻结束的投资的收益，也即是利率期限结构。按照定义存在以下关系： p ( t ，乃= e x p 一r ，( “) 如) 9 2 动态利率模型简介硕士学位论文 1 0 p ( t ，t ) = e x p 一r ( t ，丁) ( 丁一f ) ) 因此e x p 一r ( t ，r ) ( 丁一f ) ) = e x p f ，- ( ”) 幽) 从而，( f ) = l r i 州m r ( t ，乃 硕士学位论文基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 3c i r 模型统计特征 c i r 模型( 2 1 - 4 ) 是1 9 8 5 年f q c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s 提出来的，在实际应用中我 们经常将( 2 1 4 ) 改写成如下形式： 设动态利率过程z 满足c 瓜模型 码= 七。一r ) 出+ 盯z d 形0 f t ( 3 1 ) 其中k ，i t ，仃都是大于0 的常数。i t 是一个临界值，又可以看成z 的长期水平。 当r , 时，漂移率为负，r 就有向下运动的趋势。这就体现了利 率均值回复的特征。k 值表示均值回复的速度，k 值越大，z 在偏离长期水平i t 后的 回复速度就越快。同时在c i r 模型中动态利率不小于零，且动态利率的波动率不是常 数，而是z 的增函数。当z 的值比较高时，波动率也比较大，从而较好地描述了利率 运动变化的水平效应。 通过上面分析，我们知道c i r 模型具有均值回复的特点，其波动率是z 的增函数。 在c i r 模型下，z 不可能小于0 。即对于不同的参数，z 的取值空间为【0 ，佃) 。 3 1c i r 模型的相关统计性质 t 生n 3 1 1 如果z 服从c 瓜模型( 3 1 ) ，则在市场概率测度下，对给定的z ，耳的期望 和方差分别为 e ( 写) = i t + i f , 一i t ) e 一r 叫 哳( 驴t o 2 r , ( e - k ( r - o _ e - 2 k ( r - o ) + 害( 1 _ e - k ( r - t ) ) 2 证明：首先定义一个新的过程e = g ( z ，f ) = p 灯誓，根据n o 定理，可以得到 妲= 打y t + e 矗( k i t k r , ) l a t + o - , 何, e 打d 形 = k i t e 蔚a t + a , f f i , e 詹d 形 从而弓= 互+ i k , u e h 如+ p 不h d 呒 lf = f t + i t ( 1 - e k ( r - f ) ) + 仃胁h d 呒 3 c i r 模型统计特征 硕士学位论文 将互= p 打z 带入上式得 耳= y t e - k ( t - t ) + ( 1 一e - k ( r - t ) ) + 盯p - k ( t - u ) 厨呒 由于随机积分的均值为o ，即e p p - k ( r - u ) j 呒】- 仃p 【e - k ( t - u ) 撕呒】_ o 因此， 可以得到i 的均值和方差。 r 群】- 耳铲n 堋一h ) + 仃户止细 = r e - k ( r - t ) + p ( 1 - e - k ( t - t ) ) + e af e - k ( r - u ) 厨呒】 = + ( z 一z ) e 一r 叫 r 勋【写】- 研( p e - k ( r - u ) 厨既) 2 】 = 盯2p m 口q e y , , l d u = 仃2 - 2 k c r - ) ( + ( z 一) e - k c t - t ) ) d u = 盯2f e - 2 k ( t - u ) d u + o 2 ( r 一) j f rp 训m 协 = 瓦1 0 - 2 ( 1 _ e - 2 k ( r - t ) ) + 譬( z 一) ( e - k ( r - o _ e - 2 k ( r - o ) = - 盯t 2 z - ( e - ( r - t ) _ e - 2 t ( t - o ) + 瓦 o - 2 ( 1 - e - k ( r - t ) ) 2z 尼 注：当丁专佃时柚写】寸，勋吲专害； 当k 专佃时，研巧卜，v a r y r 】专0 ； 当七一0 时，e y r 一z ，脚 写卜仃2 z ( 丁一f ) ； 硕士学位论文 基于多因素动态利率模型的债券定价理论和利率期限结构模型 性质3 1 2 如果r 服从c 瓜模型( 3 1 ) ，z 的风险市场价格g ( z ) ：盟，s 为常数， 则在风险中性概率测度下，c 戚漠型可以转化为 d r = 尼( - y , ) d t + o r d r r 4 , + 其中矿= ( 七+ s ) ，= 兰，形= 形+ g ( i ) f k+s 且在风险中性概率测度下， e ，；】= + ( z a t ) e 以卜o v a r y r = 睾( e - f ( r - t ) _ e - 2 f ( 7 - 0 ) + 等( 1 - e - f ( t - o ) 2 证明与性质3 1 1 类同。 注：在风险中性概率测度下，c i r 模型仍具有均值回复性，但调整速度和长期回 复水平与市场概率条件下相比都发生了变化。 3 2c i r 模型的统计推断 本节我们首先考虑c i r 过程的转移概率密度和不同时刻的相关系数的性质，为进 一步进行统计推断做准备。 由于下面会提至l j o r n s t e i n - u k l e n b e c k ( o u ) 模型，因此首先介绍o r n s t e i n - u h l e n b e c k ( o u ) 模型：设r 满足o u 模型 d r , = 七( 一r ) 出+ 仃d 形0 f t 其中七，仃都是大于0 的常数。 3 2 1c i r 模型的转移概率密度和相关系数 首先针对转移概率密度，c i r 模型的转移概率密度p ( 只，s ，以，t ) ，即对任意两个时 刻s f ，在给定的时刻s 状态e = 只的条件下，z 的概率密度。关于c i i 过程转移概 率密度的具体表述，c o x r o s s ( 1 9 7 6 ) 已经给出了结论，这里我们从c i i 过程的构造 特征入手。 引理3 2 1 1 3 l l 在c 瓜模型( 3 1 ) 中，取刀：掣，若刀为整数，则】，可表示为玎+ o u 仃。 过程的平方和。 注：由引理3 2 i 可知，我们可通过o u 过程的统计性质间接地推导c i r 过程的统计特征。 引理3 2 2 1 3 l l 设z 满足c 瓜模型( 3 1 ) ，力= 掣为整数，则对任意两个时刻s o ) 从。时刻的初值而出发达到稳定所需的时间 决定。当n 充分大时，p 可以很，j 、于是t 0 - 2 = 等， = 等龛 七 p户 这就得到了当过程的平稳均值与平稳方差确定时，参数k 与盯的关系为了估计参数k ， 由推论3 1 1 得 e ( k 。嘭) = 石0 - 2p 雩( 1 一p 呶r ) i + ( 1 - e - l ( t m ) ) f = 0 ，1 ，一1 记当= e ( k 。k ) i = 0 ，1 ，n - 1 ，上式可看作点关于r 的非线性回归模型，只要得到 磊= e ( k 陬) ，i = 0 1 。一1 的估计量，则利用非线性最小二乘法可得到k 的估计值。 下面考虑条件期望毒= e ( k lk ) ，i = 0 ，1 ，一1 的估计，1 9 8 3 年r o b i 9 0 n 给出了时 间序列r ，i = 1 ，2 ，的条件均值孝( y ) = e ( k 。i t , = j ，) 的核估计并讨论了它们的渐近性 质。孝( y ) 的核估计为 ，、而1 n 乙- i 诎y z ) ) k | _ 见1 ( y z ) 如卜案卷k 着 土yl 见。1 ( y z 】i 智l “。 ”j 其中k ( ) 为核函数，为带宽，满足条件：当甩一时，一0 ，而力专0 0 。r o b i g o n 通过模拟指出，当z ，i = 1 ，2 ，具有平稳性，几何遍历性及平滑性时，渐进地有 ( 嘲抛【f 珏删山( o ，罴肌 3c i r 模型统计特征 硕士学位论文 其中p ( y ) 为过程 z ，f o ) 的一维概率密度函数。”_ ”为依分布收敛。 将z 代替y 就得到估计量点= 善( z ) 。 3 2 3c i r 模型参数的极大似然估计 对于c i r 模型 a t , = 七( 一y , ) d t + c