（基础数学专业论文）一类高阶边值问题的解.pdf

摘要 本文主要研究高阶微分方程边值问题解的存在性与多重性论文分三 章对一类高阶微分方程两点边值问题进行了讨论在第一章中，我们利用 不动点指数理论和孤立零点指数研究一类高阶自治微分方程两点边值问题 变号解的存在性，在非线性项，满足一定条件时，我们得到问题至少存在 一个变号解，一个正解和一个负解在第二章中，我们利用不动点指数及 l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论研究一类非线性项带偶数阶导数的高阶微分方程 两点边值问题变号解的存在性，在非线性项，满足一定条件时，我们得到问 题至少存在六个不同的非平凡解，即两个变号解，两个正解和两个负解 当，是奇函数时，问题至少存在八个不同的非平凡解，即四个变号解，两 个正解和两个负解在第三章中，我们主要利用强单调映象原理和临界点 理论研究一类高阶非自治微分方程两点边值问题解的存在性与多重性我 们对非线性项，进行一些适当的限制，得到了边值问题解的存在性，唯一 性以及多解性 下面，我们对本文的主要结果加以具体阐述 在第一章中，我们主要讨论以下高阶两点边值问题： j ( 一1 ) “u 帽“0 ) = ，( “( ) ) ，t 0 ，1 1 ，、 1 “( 2 z ( o ) ：“( 2 州( 1 ) ：0 ， - 0 ，1 ，2 ，ml ， 。叫 其中f c ( x 1 ，r 1 ) 首先作下列基本假设： ( h 。) f ：碾1 一职1 连续，严格单增，且f ( 0 ) = o ； ( h z ) l i p ，( z ) 肛= 阮且存在正整数n 0 ，使得 2 。3 0 a z 。，这里 a 。) 黑。 是相应的线性问题的特征值； ( h 3 ) l i mf ( x ) x 1 a 1 主要结论如下： 定理l 3 1 假若条件( h 。) 一( h 3 ) 都成立，那么两点边值问题( 11 1 ) 至少有 一个变号解，此外还至少有一个正解和一个负解 在第二：章中，我们讨论以下高阶两点边值问题： 二j ) ”u 往m ( ! i ，( 札o ) ，一札“( 2 ) ， ，( 一1 ) m 一1 “2 m2 ( 。) ) ：f 0 ，1 j ， f 211 1 iu ( 2 2 ( o ) = ( 2 1 + 1 ( 1 ) = 0 ，i = 0 ，1 。2 ，m 一1 ， 其中，g ( r ，碾1 ) 给出下列条件： 摘要 ( b 1 ) f ( 0 ) = 0 ，当u r ? 时，( u ) 0 且，( “) o ；当“豫! 时，( u ) 0 且，( u ) o ； ( b 2 ) ，在0 有连续偏导数，且存在正整数n o 有a 。 1 a + 1 ) 其中 k ：蕙篆筹蒿，。，2 e 覃丽了面严厕一l 。 “t = i f ( o ) ，“z = 矗( 口) ，o 。= 臻( 口) 非负，不全为零； ( b 。) 存在m 个非负不全为零的数风，胁，风，使得 l i r a 趔二娶! 盟：o ， u t 一+ o ol u l 且存在正整数n - 有k 。 1 0 ，当sz i = 1 ，2 ，m ，有i ，( u ) i t 主要结论如下： 定理2 3 1 假若条件( b 。) 一( b a ) 都成立，那么两点边值问题( 21 1 ) 至少有 六个不同的非平凡解，其中两个正解，两个负解和两个变号解 定理2 3 2 假若条件( b ，) ( b a ) 都成立且，是奇函数，即，( 一u ) = 一，( u ) ， 那么两点边值问题( 211 ) 至少有八个不同的非平凡解 在第三章中，我们主要讨论以下高阶两点边值问题： j ( 一1 ) m u ( 2 m ( ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t 【0 ，1 】，、 1 “( 2 ；( o ) ：( 2 l 十1 ( 1 ) ：0 ，i ：0 ，1 ，2 ，m 一1 ， _ 解的存在性、唯一性及多解性，其中f ： 0 ，1 】r 1 一r - 连续 主要结论如下： 定理3 3 1 假若对任意t 【0 ，1 】，f ( t ，“) 关于u 是递减的，即对于任意 “ t 2 碡1 ，当l 0 ，有1 1 0 ，“) ：= s o f ( t ，v ) a v 卢u f ( t ，u ) ，l u l2 m ，t ( 0 ，璩 ( d 2 ) l i r as u p 。of ( t ，“) “ ( 7 r 2 ) 2 ，对t 0 ，1 1 一致成立， 那么两点边值问题( 31 1 ) 在g 2 “ o ，1 中至少有一个非零解 定理3 3 5 假设f ( t ，u ) 关于 t g 是奇的，即f ( t ，一) = 一f ( t ，) ，t 0 ，1 j ，“ 瓞，若条件( d ，) 成立且 11罢严，tz)“(”2)“，唧磐巾，u)“=+。un _ - ”。”一 对t 【0 ，1 一致成立，那么两点边值问题( 3 l1 ) 在g 2 “ o ，1 中有无穷多个 解 定理3 3 6 假设条件( d ，) 成立且满足 ( d 3 ) l i m s u p 。_ o f ( t ，“) u ( ( n + 1 2 ) 7 r ) 2 1 对te 【0 ，1 一致成立； ( d 4 ) f ( t ，g ) “2 ( 2 ( ( n 一1 2 ) ”) 2 ”) ，t 【0 ，1 ，“碾1 ， 那么两点边值问题( 31 1 ) 在c 2 o ，1 】中至少有一个非零解 关键词：孤立零点指数；l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论；强单调映象原理 临界点理论；变号解；不动点指数 a b s t r a c t w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n st oak i n do fh i g h o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si nt h i sp a p e r t h i st h e s i si sm a i n l yc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ri ，w em a i n l ys t u d y t h ee x i s t e n c eo fs i g n c h a n g i n gs o l u t i o n st oac l a s so fh i g h o r d e ra u t o n o m o u sb o u n d a r y v a l u ep r o b l e i n sb yu s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n dt h ei n d e xo fi s o l a t e dz e r o p o i n t m o r e o v e r ，t h ep r o b l e ma l s oh a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o na n do n en e g a t i v e s o l u t i o ni nc h a p t e ri i ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs i g n c h a n g i n gs o l u t i o n so fak i n do f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw h e r et h en o n l i n e a r i t yh a se v e n o r d e rd e r i v a t i v e s m a k i n g u s eo ft h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n dl e r a y - s c h a u d e rd e g r e e ，u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s o nn o n l i n e a r i t y ，w eo b t a i nt h er e s u l tt h a tt h i sp r o b l e mh a sa tl e a s ts i xd i f f e r e n t n o n t r i v i a ls o l u t i o n sf u r t h e r m o r e ，i ft h en o n l i n e a r i t y ，i so d d ，w eo b t a i nt h a tt h e r e e x i s ta tl e a s te i g h td i f f e r e n tn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rt h i sp r o b l e m i nc h a p t e ri i i ， w em a i n l yu s et h es t r o n g l ym o n o t o n eo p e r a t o rp r i n c i p l ea n dt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r y t od i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n st oak i n do fh i g h - o r d e rn o n a u t o n o l n o u so r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w ee s t a b l i s h s o n i cs u f f i c i e n tc o n d i t i o n so i l n o n l i n e a r i t yj w h i c ha r ea b l et og u a r a n t e et h a tt h e p r o b l e mh a sau n i q u es o l u t i o n ，a tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o n a n di n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n s i nt h ef o l l o w i n g ，w es t a t et h em a i nr e s u l t so ft i f f st h e s i sc o n c r e t e l y i nc h a p t e ri ，w em a i n l yd i s c u s st h ef o l l o w i n gh i g h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) ： ( - 1 ) m u 怛”( t ) = m ( t ) ) ，t ，1 ) iu ( 2 4 ( o ) = “( 2 1 + 1 ( 1 ) = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 ， 、7 w h e r ef ：r 1 _ r 1i sc o n t i n u o u s c o n c e r n i n gt h eb v p ( 1 11 ) ，w em a k et h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ： ( h 1 ) f ：r 1 一r 1i sc o n t i n u o u sa n di n c r e a s i n g ，f ( 0 ) = 0 ( h 2 ) ! i mf ( x ) x = f l ua n dt h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n t e g e rn os u c ht h a ta 2 n o f l o a 2 n a + 1 ； ( h a ) l i r a ，( z ) z 1 a 1 p 眙h a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e m1 3 1 a s s u m et h a t ( h i ) 一( h 3 ) h o l dt h e nb v p ( 11 1 ) h a sa tl e a s t o n es i g n c h a n g i n gs o l u t i o n sm o r e o v e r ) b v p ( 1 11 ) a l s oh a so n ep o s i t i v es o l u t i o na n d o n en e g a t i v es o l u t i o n a b s t r a c t v i nc h a p t e ri i w em a i n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gh i g h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m ( b v p ) ： ( 一1 ) “u 2 7 n ( t ) 一f ( i t ( t ) ，一u ，( t ) ，( 一1 ) 一1 u 2 2 ，。，( 2 1 1 ) iu ( 2 。( o ) = u ( 2 ( 1 ) = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 ， w h e r ef ：r _ r 1i sc o n t i n u o u s c o n c e r n i n gt h eb v p ( 2 t1 ) ，w em a k et h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ： ( b 1 ) ，( 口) = 0 ，( u ) 0a n d ，( ) 0o n 瓞? ；，( “) 0a n d ，( u ) 0o i l g ! ( b 2 ) ，h a sc o n t i n u o u sp a r t i a ld e r i v a t i v e s a ，t0 ，a n dt h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n t e g e r 7 1 0s u c ht h a ta ：n 。 l 心叶l ，w h e r e f 一t 2 ) 2 ”2 ” 2 ln ； 一1 2 ) 2 ( “) 7 r 2 ( ”1 ) a n do l = 爿( 口) ，n 2 = 矗( 口) ，o 。= y ( 0 ) a r en o n n e g a t i v ea n dn o ta l lz e r o ( b 3 ) t h e r ee x i s tn o n n e g a t i v ea n dn o ta l lz e r on u m b e r s 卢l ，历，一，3 , ，- s u c ht h a t h l i m 4 + 0 0 盟晋出_ o i u ll i a n dt h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n t e g e rn ls u c ht h a t 肛；t l l 1 0 s u c ht h a t1 ，( 珏) 1 tf 。ra 1 1 t ，i = l ，2 ，m w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m2 3 1i f ( b 1 ) 一( b 4 ) h o l d ，t h e nb v p ( 2 11 ) h a v ea tl e a s ts i xn o n t r i v 。 i a ls o l u t i o n s ，t w oo ft h e ma r ep o s i t i v e ，t w oa r en e g a t i v ea n dt w oa r es i g n c h a n g i n g s o l u t i o n s t h e o r e m2 3 2i f ( b i ) 一( b 4 ) h o l d ，a n dfi so d d ，ic ，( 一u ) = 一f ( i t ) ，t h e nb v p ( 2 11 h a sa tl e a s te i 【g h tn o n t r i v i a ls o l u t i o n s i nc h a p t m l i i ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gh i g h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) ： j ( 一1 ) ”u m ( t ) = 巾，u ( t ) ) ，t m ， f 3 11 1 1u ( 2 0 ( 0 ) ：“( 2 1 ( 1 ) 一0 ：# 0 ，1 ，2 ，m 一1 ， w h o r e ，：【0 ，1 】r 1 _ r 1i sc o n t i n u o u s t h em a i nr e s u l t sc a nb es t a t e da st h ef o l l o w i n g t h e o r e m3 3 1 s u p p o s et h a t ，f o re a c ht 【0 ，叱f ( t ，i t ) i sn o n i n c r e a s i n gi nu ic ，( ：m ) ，? 1 2 ) f o ra l l 】a n d 1 2i nr 1w i t h 啦0s u c ht h a tf ( t ，u ) ：= 片f ( t ，v ) d v # u f ( t ，n ) f o ra l lt 0 ，l 】a n di u i r ； ( d 2 ) l i ms u p 。一of ( t ，让) 钍 ( 丌2 ) 2 mu n i f o r m l y f o r t 【0 ，1 】 t h e nb v p ( 3l1 ) h a sa tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o ni nc “ o ，1 t h e o r e m3 3 5 s u p p o s et h a tf ( t ，“) i so d di nu ，ie ，f ( t ，一“) = - f ( t ，“) f o r m lt f 0 ，1 】a n d “r 1 a n ds u p p o s et h a tt h ec o n d i t i o n ( d 1 ) i nt h e o r e m3 34i s s a t i s f i e da n dt h a t l i m s u p 。一of ( t ，u ) u 0 存在d = d ( u ，e ) 0 ，使当 c o ，1 且 一“0 0 ，存在d 0 ，当( 0 ，d ) 时，有i f ( x ) x 从而 l f ( x ) 一风。l e l z f ，l z i 0 ，d ) 于是，当u c o ，1 且i i “l l o ( 0 ，d ) 时，有i u ( t ) l 0 ，d ) ，t 【0 ，1 】，所以 i i f “- 酬”啡m a x ，jf ( “( ) ) 一, j o u ( 。) 怪啪m a x l l 5 i = 洲h 从而有 3 口 ：0 n k ” 风l 0 ， ”( t ) = 一k 一1 u ( ) 0 ，当w b ( “，d 。) n f 一时，有 一( i i u l l o 2 ) e w t t = a v a u 茎( i l u l l o 2 ) e ， 其中b ( u ，文z ) = u e ：i i v 一刮o 0 ， 使得当r ( 0 ，丁b 时，有 r 咖 r 同理可证存在丁2 o ，当r j ( 07 2 时，有 a ( 一t ) 一 u 有 0 毗在存理同 6第一章一类高阶自治微分方程两点边值问题变号解的存在性 1 3 定理的证明 有了阻上准备，本节我们来证明下面定理： 定理1 3 1 假若条件( h 1 ) ，( h 2 ) 和( h 3 ) 都成立，那么两点边值问题( 1 1 1 ) 至少 有一个变号解，此外还至少有一个正解和一个负解 证由引理12 3 知a ：c o ，1 一c o ，1 】全连续且严格递增由引理1 22 知 是方程( 11 1 ) 的解当且仅当u 是“= k ”f u 的解，当且仅当 是a 的不动 点显然u o ( f ) ；0 是方程( 1 1 1 ) 的一个解叉由条件( h 3 ) 知，存在m 0 ，使得 f ( m ) m 1 ，_ 厂( 一m ) ( m ) 1 令u l ( t ) ；一m ，v 2 ( t ) = m ，那么有 a u i ( t ) = k “，1 ( 一m ) k ”( 一m ) = 一m e ( t ) 一m = 1 0 ) ，t ( o ，1 a v 2 ( ) = k “f ( m ) k ”m = m e ( t ) s m = u 2 0 ) ，te f 0 ，1 】 上两式说明“1 a u l ，a v 2 啦，即“l ， 2 分别是4 的下解和上解 令x = u l ，u 2 ，则a ( x ) cx 根据引理1 2 5 ，我们有 咖a l = k ”| | 毋i i o e = e ( 1 31 ) 取t ( 0 ，m i n r o ，n o a i ，m ) ) ，令 1 = 一t ，u 2 = r e ，则有u l l 口 “2 现，而 且根据引理1 28 有 a v l o 使得a u a u 2 + a e ) 由于，：职一爬严格递增，所以 a 1 ( 1 ) 一a u l ( 1 ) = k ”( f u l ( 1 ) 一f u i ( 1 ) ) 0 因此l l a y ，一a u l l l o ( a v l 一 - ) ( 1 ) o 根据引理12 5 有 | | a v l a u i o e k “( f v i f u i ) = a v i a u l 这说明1 qe 喝，从而n l 0 ( 1 32 ) e 0 ua一 a 一”a 0 ，使得a “o a v l 一a o e 根据引理123 知 使得当“b ( u o ，d ) n x 时，有- a o e 2 a u a u o a o e 2 于是有 a u a u o + ) 、o e 2 a v l a o e 2 ，“b ( u o ，d ) n x 这说明u q 1 所以n 1 是一个相对于x 的开集 同理可证也是相对于x 的一个非空开集 下面证明 “t a u + ( 1) “i ， k q 】，t 0 ，l 】， 其中致q 1 指q 1 相对于x 的边界 假没存在7 1 , 0 o x f 2 l ，t l 【0 ，1 】，使得u 0 = t t a u o + ( 1 一t 1 ) u l ，那么 u o 墨t l a v m + ( 1 一t 1 ) u l 0 ( 133 ) 这说明“o n 1 ，这与“o 圾n 1 矛盾所以f 133 ) 式成立，因此，根据不动点指数 的同伦不变性，有 i ( a ：q l ，x ) = i ( u l ，n l ，x ) = 1( 1 3 4 ) 同理可得 i ( a ，n 2 ，x ) = i ( v 2 ，n 2 ，x ) = 1 ( 1 3 5 ) ( 1 34 ) 和( 1 35 ) 说明a 至少有两个不动点z 1 和观，其中z 1 n l ，z 2 n 2 于是 2 e l 1 ，x 2 u 2 ，所以，z l 是方程( 111 ) 的一个负解，z 2 是方程( 1 11 ) 的一个正 解 由条件( t 1 2 ) ，根据引理1 24 知a 即) = 阮k “：且1 不是a 即) 的特征值，所以 根据引理128 知，目是a 的一个孤立不动点，且 其中k 表a 7 ( p ) 的实的大于1 的正特征值的代数重数之和另一方面， 大于1 的特征值是 8 0 x 1 ，8 0 ? x 2 ，：8 0 x h 0 因此，根据引理126 得 i n d ( 1 一a ，口) = ( 一1 ) 2 ”= 1 d e g ( ，一a ，目，口) = i n d ( i 一。4 ，= 1 a7 ( p ) 的实的 ( 1 36 ) 8 第一章一类高阶自治微分方程两点边值问题变号解的存在性 丽x = 一m ，m ，所以我们可以假设马cx 又根据不动点指数的定义 。( a ，b ，x ) = d e g ( i a or 巩n t - i ( 耳) ，日) ，( 1 3 ，7 ) 其中r ：c o ，1 】一x 是任意一个保核收缩且b rcb r = t c o ，1 ：忙 a ，u 0 ，a ( 0 ，1 ) 推论假若条件( h ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 和( h 4 ) 都成立，那么两点边值问题( 11 i ) 至少有 一个变号解，此外还有唯一正解和唯一负解 第二章非线性项带偶数阶导数的边值问题变号解的存在性 2 1 引言 这一章我们考虑下面的两点边值问题 ( 一j ) “。”( ) = ，( “( ) ，一u ”( ) ，。，( 1 ) 一1 “2 2 ( 。) ) ，。( 0 ，1 ，f 211 ) 【u ( “( o ) = ( 2 m ( 1 ) = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，m l ， 、7 其中，c ( x “，r 1 ) 由于两点边值问题在应用数学和物理学的许多领域中都有着广 泛的应用，从而它引起了许多人的注意然而，就我们所知，大多数论文仅考虑一个， 两个非平凡解或正解的存在性 1 8 ，1 6 _ 最近有人利用上下解的方法来研究它【1 9 ，3 】 在这一章中，我们利用l e r a y - s c h a u d e r 拓扑度理论与不动点指数理论来研究高阶两 点边值问题( 21 1 ) 非平凡解的存在性和多重性 2 2 准备 在这一章中我们将使用下列记号 设r 为m 维欧氏空问，其范数记为l “i = ( 垩。“；) ，u = ( “t ，u 。，u 。) r ”，目是它的零元素再记琏? = 爬+ x 豫+ x xr + ，爬! = r 一r 一r 一，其 中豫十= 0 ，+ 。) ，瓞一= ( - - o o ，0 1 为了方便，我们假设条件 ( b 1 ) f ( o ) = 0 ，当u r ? 时，f ( u ) 0 且，( “) o ；当“瓞! 时，m ) s0 且，( u ) o ； ( b 2 ) ，在口有连续偏导数，且存在正整数n 0 使得a ：。 1 a ：。其中 、，( 一1 1 2 ) 2 ”7 r 2 ” “2ei2,ai(k-12)2(i-br2(-一) “- = 爿( 目) ，“z = e ( 目) ，。= 岛( 目) 非负，不全为零 ( b 3 ) 存在，n 个非负不全为零的数觑，觑，卢。满足 川l i m 盟扎l u l 一+ 。l “l 且存在正整数? z 1 使得p ：。， 1 0 ，使得当i 1 i i t ，i = 1 ，2 ，m 时，有 厂( u ) l t 定义2 2 1 1 0 1 设x 是实b a n a c h 空间e 中一个收缩核，u 是x 的相对有界开 集，a ：u x 全连续，定义 i ( a ，x ) = d e g ( i a tr ，b r nr - 1 ( u ) ，口) 其中r ：e x 表示一收缩核，b rd 可，b r = 扛l d ：岭i i 0 ， 使得当0 口时，有i ( a ，p n b n ，p ) = 0 引理2 2 2 1 1 0 1 漫a ：e e 全连续，a 口= 口又设a 在口处f r g c h e t 可微，并 且1 不是导算子j 4 ( 的特征值，那么8 必是a 的孤立不动点，并且对于充分小的 r 0 ，有 d e g ( i a ，b ，p ) = ( 一1 ) “， 其中k 表4 7 ( p ) 的实的大于1 的全部特征值的代数重数之和 引理2 2 3 1 0 1 设a ：e e 全连续，且a 在。处f r d c h e t 可微，1 不是导算 子a7 ( 0 0 1 的特征值，那么对于充分大p 有 d e g ( i a ，b p ，0 ) = ( 一1 ) 其中k 表a ( o o ) 的实的大于1 的全部特征值的代数重数之和 引理2 2 4 1 1 1 1 设p 是b a n a c h 空间e 的体锥， q 是相对于p 的有界开集， a ：p 一尸全连续若a 在q 内的不动点是p 的内点，那么存在e 的开子集0 有 a e g ( r a ，o ，口) = t ( a ，哦p ) 容易证明，“是边值问题( 2 11 ) 在c 2 “ o ，1 】中的解等价于u = ( 一1 ) 一1 ( 2 ”。) 是下列边值问题 一翟旷1 蝌俨2 u ( ，k 蚺，。刚， ( 221 ) l ( o ) = u ”) = 0 ， 、 在c 2 【o ，1 】中的解而边值问题( 2 2 1 ) 又等价于下列积分方程 v ( t ) k ( k m - 1 u ( t ) ，k m - 2 “( ) ，k v ( t ) ， ( t ) ) ，t ( 0 ，1 1 ， 在c 1 0 ，1 1 中的解 2 2 准备 现令e = u g 1 【o ，1 = u ( o ) = u t ( 1 ) = o ) 在e 上定义范数l l “l l = 1 l u l l o + l l “7 i l o 则e 构成一个b a n a c h 空间 引理2 2 5 对任意“e ，有 证对任意“e ，由u ( o ) = 0 ，有 所以i m i o i l u 7 i l o 证毕 口 由引理225 ，我们可以在e 中取定义等价范数i 一| | u 川o 令p = n e ：u ( t ) 0 ，t 【0 ，1 1 显然p 是e 的一个体锥，而且 p 。= “e ：u ( t ) 0 ，t ( 0 ，球t ，( o ) o 引理2 2 6 假设条件( b 1 ) 成立 ( i ) 若“p 0 是问题( 22 1 ) 的解，则i t p 。； ( i i ) 若u 一p 日) 是问韪( 2 21 ) 的解，则( 一p ) 。 证由条件( b 1 ) 知一1 t ”( ) = f ( k m - 1 “( t ) ，k m - 2 u ( t ) ，k u ( t ) ，“( t ) ) 0 ，t 0 ，1 1 ，再由t 。7 ( 1 ) = 0 ，我们得到 因为( o ) = 0 ，u 0 ，所以u 7 ( o ) 0 ，u ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 故u p 。同理可证( i i ) 成 立证毕口 引理2 2 7 墨ln 。k “和兰1 觑一”1 的所有特征值分别为 1 k ) 墨1 和 1 心 巽- ，其中a ：。和“分别是条件( t 3 2 ) ，( b 3 ) 中定义的，并且l a ；。和1 “：的代 数重数都为1 引理2 2 8 假设条件( b 2 ) ，( b 3 ) 成立，则a 在目和( 3 0 处f r 6 c h e t 可微，且 a ( 目) = e 兰。a i k “，a7 ( 。) = 墨。觑k + 1 证由条件( b 2 ) 知，对任意e 0 ，存在d 0 ，当0 j i d 时，有 地上辈! 剑 。， 即 l m ，静。f 叫乩h “ z 。， 1 2第二章非线性项带偶数阶导数的边值问题变号解的存在性 对任意u e 且当忙0 6 v 俪时，有 a u a o 一k “ i = 1 k f ( k 一1 ( ) ，k 一2 u ( t ) ，k u ( t ) ，w ( t ) ) 一啦k i n - i v ( t ) 于是 ( a u 一4 口一o f 。k 7 + 1 u ) 啦) = ，1 卜”s 归“吣卜删咄小卜善m ( - 1 ) i - l o ：i k m - i u ( 8 ) d s 又根据引理2 25 l l “曼| l u l | 0 ，当i u i r 时，有i ，( “) 一e 芒l 成u “ e l u l 令b = m a x i 。i 1 的正特征函数s i n ( 7 r t 2 ) 且a o = 口，那么根据引理22l 知存在 0 ，当 7 ( 0 ，伯) 时，有i ，p n b ，p ) = 0 用同样的方法可得存在 7 - 1 0 ，当r ( 0 ，丁1 ) 时，有i ( a ，一pn b ，一p ) = 0 令r o = r a i n 7 1 ，r o ，丁1 ) 即得结论( i ) 用同样的方法可 得( i i ) 的结论 2 3 定理的证明 有了以上准备，本节我们来证明下面定理： 定理2 3 1 假若条件( b 1 ) 一( b 4 ) 都成立，那么两点边值问题( 21 1 ) 至少有六个不 l 司的非平凡解，其中两个正解，两个负解和两个变号解 证对任意e ，有 ( a u ) 他) ：，1f ( k m - l t t ( s ) ，k m - 2 u ( s ) ，k u ( s ) ，“( s ) ) d s ，【o ，l 】i 根据条件( b a ) 和( 2 2 4 ) 式，对任意“e ，当她0 = t 时，有l l a 训 t = | 于 是根据不动点指数和l e r a y - s c h a u d e r 度的性质，我们得到 i ( a ，p n 胁，p ) = 1 ，( 2 31 ) i ( a ，一p n b r ，一p ) = 1 ，( 2 , 3 2 ) d e g ( 一a ，b t 0 ) = 1 ( 2 33 ) 由条件( b 。) 和引理2 2 7 知算子a7 ( p ) = 墨，o ：k 十1 比1 大的特征值为 l 托1 a i ，l a ；。 于是根据引理2 227 存在n ( 0 ，r 0 ) 有 d e g ( 1 一a ，b 。口) = ( 一1 ) 2 ”= 1( 2 34 ) 再根据引理2 2 1 0 ，我们得到 i ( a ，p n b ，p ) = 0 ，( 2 35 ) 1 4 第二章非线性项带偶数阶导数的边值问题变号解的存在性 i ( a ，一p n 聩，一p ) = 0 ( 2 - 3 ，