（基础数学专业论文）irrgn与可解群的结构.pdf

i 玎( g f n ) 与可解群的结构 学科专业：基础数学 指导教师：张广祥教授 4 8 1 3 2 g 研究方向：代数学 研究生：孙光洪 内容摘要 从群的特征标的某个子集畲出发来探讨群的结构，这是群表示理论的重要课题。 本文主要研究了非核特征标集合雠( g | n ) = lz h r ( g ) in 萋k e r z 对正规子群n 的性质和结构的影响。我们证明了下面的定理： 定理2 2 设n q g 。若每h r ( g i n ) 都是单项特征标。则n 可解且d l ( n ) c d ( g 1 n ) l 。 定理2 6 设n n l m ，l m = 1 使n i + 1 为n 的正规a 一 补，a 互不相同，i = 0 ， 一l 。 定理3 1 设g 为整群，夕为素数，n qg ，每口c d 。( g i v ) 均有声i 口。则n 可解 且n 有正规p 一补。 定理3 5 设n q g 若每z i r r ( g l n ) ，存在h g ，a i r r ( h ) 。使a ( 1 ) 户( h ) = m i n ( ”( h ) ) ，y = 则n 可解。 定理4 3 设s 是单群的一个非空集合，n q g ，若每z h r ( g l n ) 。存在h g 。 i r r ( h ) ，使y = a 6 且h k e r a 为s 一群( 合成因子含于s ) 。则n 是s 群。 定理4 6 设n 司g 。口；m m x ( c d ( g j n ) ) ，如果对任意z h r ( g i n ) ，z ( 1 ) 口均 有y = a 6 ，a h r ( h ) ，h g 且h k e r a 可锯，则n 可解。 由于n = g 时h r ( g i n ) u 1 g - w ( g ) ，因此上面这些结果都可以看成特征标理 论中相应研究结果的自然的推广。1 一 ， 关键词：群表示；可解群；单项特征标；整特征标 第一节引言 从群的特征标的某个子集合出发来探讨群的结构，这是群表示论的重要研究课 题。 i m l s a a c s 在其著作 8 第1 2 章中详细地研究了利用不可约特征标维数的集合c d ( g ) = jz ( 1 ) iz 6 h r ( g ) 刻划g 的群论结构，i m i s c s 本人与s c g 2 豳等人获 得了以下重要结果： 定理1 1 ( i s 姐c s g a l r i n ，1 9 7 3 ) 6 1 如果若i c d ( g ) i 3 ，则g 可解，且g 的导 长d l ( g ) 3 。进一步若g 可解且ie a ( g ) i _ 4 ，则d l ( g ) 4 。 定理i 2 ( g a 而8 ，1 9 7 3 ) 8 】如果g 可解，则g 的幂零长( f i t t i n gh e i g h t ) n ( g ) fc a ( g ) 。 一般地我们有下面的i s a a c s s e i t z 猜想：假定g 可解，则d l ( g ) ic d ( g ) j 。当g 是奇阶群时这一猜想已获证明。 定理1 3 ( b e 躇e r 1 9 7 6 ) t m 】若g 是奇阶群。则d l ( g ) i c d ( g ) l 。 1 9 9 8 年i m i s a a c s 与他的一位博士研究生研究了非核特征标集合t r r ( g jn ) = z i r r ( g ) in 苎k e r y 对于正规子群n 的结构的影响。 因为n 司g 时，我们有h r ( g ) = h r ( g i n ) u i r r ( g n ) 。但是。显然特征标集合 i n ：( g n ) 只能决定商群g i n 的结构，因此正规子群n 的结构以及n 对g 的扩张性 质应该由特征标子集h r ( g l n ) 来决定。 在文 7 中i m i s a a c s 与g k n u t s 证明了以下两个重要定理： 定理1 4 ( i s a a c s k n u t s o n 。1 9 9 8 ) 若n q g k n 可解，设c d ( g i n ) = z ( 1 ) iz i r r ( g i n ) i 。n ：i c d ( g i n ) l 。则存在二次函数，( n ) 使d l ( n ) ，( h ) 。进一步假定g 可解，则存在线性函数g ( n ) 使d 1 ( n ) g ( n ) 。 定理1 5 ( i s a a c s k n u t s o n 。1 9 9 8 ) 若n qg ，c d ( g 】n ) 2 ，则n 可解，且d l ( n ) 2 。 1 9 9 2 年y b e r k o v i c h ，d c h i l h g ，m h e r z c g 等人研究了非线性不可约特征标维数都 互不相同的群，证明这样的群必可解，且具有比较简单的群论结构。 定理1 6 ( t 3 e _ r k o v i c h c h i u a g h e r g ，1 9 9 2 5 有限群g 的非线性不可约特征标 维数互不相同当且仅当下列条件之一发生： ( 1 ) g 为a b e l 群； ( 2 ) g 是超特殊2 一群； ( 3 ) g 为2 一可迁f r o b e n i u s 群。且f r o b e n i u s 一补循环； ( 4 ) g 为7 2 阶2 一可迁f m b e n i u s 群且f m b e n i u s 补为四元数群q 8 。 m 一群是一类特殊的可解群，1 9 3 0 年k t a k e t a 发现个有限群6 只要每个不可 约特征标都是单项特征标，则g 必可解。后来发现t a k e t a 定理的证明过程实际上可 以得到g 的导长d l ( g ) lc d ( g ) i 。 近年来有一系列关于m 一群推广的研究。广义m 一群把问题的焦点集中在满足 某种广义单项特征标条件的群是否可解。是否仍满足关系d l ( c ) ic d ( g ) l 。1 9 9 5 年 y b e d u ) v i c h 在其文 1 中发现不必g 的每个不可约特征标都是单项特征标时，g 可 解，只须在z ，i r r ( g ) 。k e r x = k e r # 且z ( 1 ) ( 1 ) 时z 是单项特征标，则g 即可解。 文【1 得到下面定理： 定理1 7 ( b e r k o v i c h ，1 9 9 5 ) 设b ( g ) = m a x ( c d ( g ) ) ，对每z i r r ( g ) ，若z ( 1 ) n k 一1 m = 1 使m + 1 为n 的正规a 一 补，a 互不相同i = 0 ，。 一1 。 定理3 1 设g 为整群，p 为素数，n q g ，若每a c “( g i n ) = c d 。( g ) nc d ( g i n ) 有声l n 。则n 可解且n 有正规户一补。 定理3 2 设g 为整群，n 司g ，p 为素数，若每口c d ( g m ) ，均有p 不整除d ，则 n 有正规s y l o w p 一子群。 定理3 5 设n q g ，若每z h r ( g i n ) 。存在h g ，a i r r ( h ) ，使a ( 1 ) p ( h ) = i n i n ( ”( h ) ) ，x = a 6 ，则n 可解。 定理3 柏设n 司g ，g n 可解，又若h 。( g i n ) 中所有特征标维数不同，则n 可解。 定理4 3 设s 是单群的一个非空集合，n 司g ，若x h r ( g j n ) 存在h g 。 i r r ( h ) 使z = a 6j j h k e r a 是s 一群( 合成因子含于s ) 。则n 是s 一群。 定理4 6 设n qg ，a = m a x ( e d ( g i n ) ) ，如果对任意z i r r ( g i n ) ，z ( 1 ) n 7 1 。由于h r ( g n 7 i n n 7 ) h f ( g i n ) ，h r ( g i n 7 ) 量h r ( g j n ) 且h r ( g n 7 n n 7 ) n h r ( g n ) = p ( 事实上，设z i r r ( g l n ) n i f r ( g n 7 n n 7 ) ， 则x h r ( g n i n n ) ，从而z i r r ( g n 7 ) ，故n k e r x ，于是z e i r r ( g i n 7 ) ，矛 盾) 。因此i i r r ( g n i n n 7 ) i + i l , - r ( g fn ，) i | h r ( g i n ) i ，即j h r ( g i n ) i i i r r ( g i n ) i 。对l n l 归纳，d l ( n 7 ) i t r r ( g i n ，) l 。故 d l ( n ) = d l ( n ) + l | i r r ( g i n ，) f + l i i r r ( g f n ) i 。 o 定理2 2 若n q g ，i r r ( g l n ) 中的所有特征标都单项，则n 可解且d l ( n ) l c d ( g n ) i 。 证明取z ( 1 ) = m i n ( c d ( g i n ) ，z h i ( g i n ) ) 。由于i r r ( g i n ) 中的元素都单 项，则对x 存在h g 使x = a g ， i r r ( h ) ，a 为线性不可约特征标。若h = g 则n h 。下面假设h g ，从而( 1 h ) 6 可约，取为( 1 h ) 6 的不可约成分，, - f p a 假定7 为 非主特征标( 否则n k e r r ) ，则口( 1 ) i 时，i c d ( g n ) f ic d ( g f n ) i 。对i n i 归纳，d i ( n 7 ) ic d ( g i n 7 ) l ，因此， d i ( n ) = d l ( n 7 ) + l lc d ( g r ) i + 1 fc d ( g i n ) i 。 又当n = 1 时定理当然成立。 口 在文 7 中，i m i s a a c sa n d g k n u t s o n 推广了 n l ( 1 2 1 p s o n 定理( 8 t h e o r e m l 2 2 ) ，得 到如下更有意义的结果 定理a 设n 司g ，p 为素数，若每z h r ( g i n 7 ) ，p iz ( 1 ) ，则n 有正规p 一补。 与 l h ( i i l p s o n 定理对偶地还有下面定理： 定理b ( i t o m i c h l e r 1 1 1 h 蒯3 1 3 ) 设p 是一个奇数，若每个z i r r ( g ) 都有p 不整除z ( 1 ) 当且仅当g 有正规的a b e l s y k _ v p 一子群。 下面我们把定理b 作推广，先证明引理： 引理若n m 一1 m = 1 ，使 n + 1 为m 的正规a 一补；或者n = n o n 1 m l m ，m 为a b e l 群，n + 1 为n 的正规a 一补。 ( 2 ) 若( m n ) = 1 ，则n 有f r o b e n i u s 商群。 证明如果( m ，n ) 1 。设p i ( m ，n ) 则由定理2 1 7 ，n 有正规p 一补k 且 k c h a t n m 一1 m = 1 使m + l 为n 的正规p 。一 补，p 。互不相同，i ：0 ，k 一1 。 证明若n q g ，n 为g 的真子群，则由g 的可解性。可得m q g 且n m ，i g ： m l - p ，固定线性特征标a i r r ( g ) ，使k e r , 1 = m 从而n k e r x = m 。故对任意n n ， ( n ) = ( 1 ) = 1 。 断言任意z i r r ( g i n ) ，有奴h r ( g i n ) 。否则，存在x o i r r ( g l n ) 使a x o 亏 i h ( g i n ) ，即n k e “z o ，即任意n x o ( n ) 2a ( ”) x o ( n ) = z o ( n ) = , x o ( 1 ) = x o ( 1 ) 故n 一 k e r x o 矛盾故断言得证。 由于u r ( c t n ) 中所有元素的维数不同，故 z = z ，因此任意g eg m 。z ( g ) 2 o ，故z m 可约。设日 z m 的不可约成分。由推论1 1 2 9 8 。裂苦il g ：m i ，但口( 1 ) z ( 1 ) ，而i g ：m i = p ，因此爱曹= p ，即p l z ( 1 ) 。由x 的任意性。可得p 整除c d ( g i n ) 中的所有元素由定理2 1 7 ，n 有正规p 一补k ，且k c h a r n q g 。故k 3 g ，同样地对 k 有类似的结论，因此结论( 2 ) 得证。 若n = g ，i r r ( n ) = i r r ( g ) = i n - ( n i n ) u 1 n ，由于h r ( n ln ) 中所有元素维数不 同。故i r r ( n ) 中所有非线性不可约特性标维数不同，从而由定理a 4 ，结论( 1 ) 得证。 口 注由上面的证明可知，当n g 时为情形( 2 ) ，因此若n = g ，则只能为情形 ( 1 ) ，得到定理1 6 。 第三节整群与整特征标 我们在运用极小反例方法研究有关群论问题时，经常将问题归结为已知群只含唯 - - n 极d , i t ! 规子群的情形。按文 2 和 4 中i m i s a a c s 和y b e r k o v i c h 所引入的术语， 称这样的群为整群( “啪i i “cg r o u p ) 。进一步，若x i r r ( g ) ，g k e r ：z 为整群，称z 为 整特征标。从整群的定义知，整群一定存在忠实的不可约特征标。 为方便论述，我们在这里引入下面经常运用到的些符号。 r r 。( g ) 表示群g 的所有整特征标集合。 i r r 。( g i n ) = z h k ( g ) i n 善k e r z 。 c d 辨( g ) = x ( 1 ) ix i r e m ( g ) ，c d m ( g l n ) = x ( 1 ) lx i r r , ( g l n ) 。 在前面我们已经看到了m 哪和i t o m i c h l e r 定理的两种推广形式，还可以将 上述两定理分别推广为： 定理3 1 设g 为整群n q g ，p 为素数，若每n c “( g i n ) 均有p i 口，则n 有 正规户一补，且n 可解。 证明由于g 为整群。故g 只有唯一极小正规子群m 且m n ，又i r r 。( g l m ) i n 。( gj n ) 。i r r , ( g m | n m ) i ( g i n ) ，因此若m n ，对l n i 归纳m 有正规p 一 补q 且m 可解；n m 有正规户一补且n m 可解，从而n 可解。 由于q c h a rm qg 故q qg ，由m 的极小性m = q 。即m 为p 7 一群，设n m 的 正规p 一补为k m ，由于m 为p 一群故k 为p7 群，又l n ：k l 为户一方幂故n 有正 规p 一补k 。 因此下面我们可以假设n 为g 的唯一极小正规子群。若z i r r ( g n ) ，则n 善 k e r z 从而x h k ( g i n ) 。显然。i r r m ( g i n ) c z i r r ( g i n ) 。故h r ( g l n ) = ( g i n ) 。 从而由 7 t h e o r e md ，n 有正规户一补且可解。结论得证。 口 定理3 2 设g 为整群，n 司g ，户为素数，若每n c d 。( g i n ) ，均有p 不整除n ， 则n 有正规s y l c w p 一子群。 证明由于g 为整群，故g 只有唯一的极小正规子群m 从而m n 。由于h k ( g i m ) 匕_ i r r 。( g i n ) ，i r k ( g m i n m ) i r r 。( g l n ) ，故若m n ，则我们对1 n i 归 纳，n m 有正规s y l c w p 一子群p m m 有正规s y l o w p 一子群q ( m ) 。又q ( m ) c h a r m qg ，从而o p ( m ) qg 。由于m 为极小正规子群，故瓯( m ) = m ，即m 为户一群。又 由于p m 为户一群，从而p 为p 一群，p m , a n m 且i n ：p i _ i n m ：p m i 为p 一 数，故p 为n 的正规s y l o w p 一子群。 因此下面我们可以假定为g 的极小正规子群则由于g 为整群，从而由定理 3 1 的推理知i f r 。( g l n ) = i r r ( g i n ) ，即我们只需证明若任意) h r ( g i n ) 。p 不整除 z ( 1 ) ，则n 有正规s y l o l j vp 一子群即可。事实上，显然i r r ( n ) = u i i t x n ix i r r ( g i n ) u 1 n ) ，由于任意z i r r ( g i n ) ，p 不整除z ( 1 ) ，故任意口i r r ( n ) ，p 不整除口 ( 1 ) ，因此由i t o 一1 v h c h l e r 定理1 3 1 3 1 1 】，n 有正规s y l o w p 一子群，故结论得证。 口 在下面，我们记i r r l ( o ) = ； i r r ( o ) i ( ( 1 ) 1 ，b 1 ，。( g ) = i r r l ( g ) n i r r 。( g ) 。 文 2 证明了若l h k ( g ) i 3 。则g 可解。我们可以进一步证明下面的定理。 定理3 3 若ih r l 。( g ) i 3 ，则g 可解。 证明我们可以假设g 为整群。事实上，若g 的极小正规子群不唯一，设m - 、 m 2 为g 的极小正规子群，则i r r l 。( g 舰) l i t l 。( g ) 。i = 1 ，2 ，从而l i h l 。( g m ) l 3 ，i = 1 ，2 ，故对i g i 归纳，g m ( i = 1 ，2 ) 可解，又由同构定理有g = g m 1 f l m 2 同构于 g 毛g m z 的子群，因此g 可解故可假设g 为整群。 设m 为g 的唯一极小正规子群，则m 不可解。否则，由于岫。( g m ) i r r t 。 ( g ) ，对i g l 归纳，g m 可解，从而g 可解，设妒t ，伊2 ，仇i r r l ( m ) 使得p l ( 1 ) p 2 ( 1 ) 仇( 1 ) 。若f i r k 孝) ，则由f m b e n i u s 互反律，z 1 ，z 2 ，矿为g 的不同的 非线性整特征标( 只需证明m 篓k e r x ，否则存在i ，使m k e r x l ，则m k e r 幽k e 体， 从而能= 1 m 矛盾) 。由于m 不可解，故由定理1 2 1 5 1 8 ，k 3 ，又i 蛔。( g ) f 3 ，故 k 3 。因此k = 3 。 由于g m 可解。因此可取h m 为g m 的极大正规予群，则l g ：h i = p ，p 为素 数。若( z 1 ) h i r r ( h ) ，则由习题6 2 1 8 ，( z 1 ) 导= z + + z ；，x j i r r l , m ( g ) 为具有 相同维数的不同的特征标。由于z 2 ，z 3 z i ，x ； ，故ii r q ，。( g ) i 户+ 2 4 ，矛 盾。因此( ) h 可约，i = 1 。2 ，3 。从而由c l i f f o r d 定理( f ) h = 巩+ + 砖，g i r k h ) i = 1 ，2 ，3 ，j = 1 ，2 。，户。故pj z ( i ) ，i = 1 ，2 ，3 。因此m g ( p 7 ) ，g ( 声7 ) 为p 不整除 z ( 1 ) 的所有z h n ( g ) 的核的交，但g ( 户7 ) 可解( 设p 剐p ( g ) 则p i ( 1 ) ，非线性 i r r ( f g ( p 7 ) 。故g ( p 7 ) 为p 一幂零群。从而可解) ，故m 可解矛盾，因此g 可解。口 定理3 4 若n q g ，i i t r l 。( g i n ) i 3 ，则n 可解。 证明对l g j i n i 归纳。取m n 使m 为g 的极小正规子群，则h 。( g m l n m ) 譬h r l 。( g i n ) 。i r r l ，。( g l m ) i r r l 。( g i n ) 。因此。若m n ，由归纳，m ，n m 均 可解，从而n 可解。 因此我们假设n = m 为g 的极小正规子群，若g 的极小正规子群不唯一，设n l n 为g 的极d x e 规子群，则n c o l w l n 1 ，从而k 1 。( g n 1 1 1 w l n 1 ) h n 。( g i n ) ，由归纳，小n 1 n 1 c o n 可解。故g 的极小正规子群唯一，即为n ，则此时易证i r r l ，。 ( g i n ) = i 盯1 ( g i n ) 。 若i r r ( g i n ) 中无线性特征标，则h n ( g l n ) = h r ( g i n ) ，从而由引理1 1 ，n 可 解。 若h r ( g i n ) 中含有线性特征标 ，则g 7 k e r a ，n 篓k e r a ，故n 7 g 7 k e r a 。从而 n 7 。因此a 芒h r ( gj n 7 ) ，又i r r ( gj n 7 ) h r ( gj n ) ，故j i r r ( g ln ，) l 3 ，由引理i 2 ，n 7 可解，故n 可解。 一 定理3 5 设n ig ，若( g i n ) 中所有特征标z ，存在h g ， h r ( h ) ，使a ( 1 ) p ( h ) ，z = a g ，则n 可解。 证明对i g i i n l 归纳。设m n 为g 的极小正规子群，则i r r 。( g i m ) h r 。( g i n ) ，i r r , ( g m i n m ) h m ( g f n ) ，故若m n ，由归纳，m 。m 均可解。从而n 可 解。因此，我们可以假设n 为g 的极小正规子群。 若g 的极小正规子群不唯一，设n l n 为另一极小正规子群，则n 塑n l n n 1 ， 从而( g n ll 1 n 1 ) h r 。( gln ) ，由归纳，n 塑1 n l 可解。故。下面可以假 设g 的极小正规子群唯一，为n 。从而i ( g i n ) = h r ( g i n ) 。由第四节定理4 2 ，n 可解。一 注定理3 5 从两个方面推广了文 1 的定理7 ： 推论3 6 若对每z i r r 。( g ) ，存在h g ，a i r r ( h ) 使a ( 1 ) 户( h ) 且z = r ， 则g 可解。 推论3 7 设n q g ，若对每t c - h - r ( g i n ) ，存在h g ，a i r r ( h ) 使a ( 1 ) p ( h ) 且z = 舻，则n 可解。 用上面同样的方法，我们可得如下定理。 定理3 8 设n q g ，若i 盯m ( g i n ) 中的所有特征标z ，存在h g ，a i r r ( h ) 使 a ( 1 ) 2 ，z i r r a 6 ，l g ：h i z ( 1 ) 则n 可解。 定理3 9 设n 3 g ，若i ( g i ) 中所有特征标单项，则n 可解。 注此定理为第四节定理4 1 的推广，同时也为t a k e t a 定理 8 】的推广。 定理3 1 0 设n 1 g 。g n 可解。又若h 。( g i n ) 中所有特征标维数不同，则n 1 2 可解。 证明对l g | i n l 归纳。设m n 为g 的极小正规子群，则蛔。( g m l n m ) i r r l , m ( g i n ) ，i r r x , , 。( g i m ) m - i r r l 。( g f n ) 。若m n ，由归纳，我们有n m ，m 可解， 故n 可解。因此下面我们可以假设n 为g 的极小正规子群。 若g 的极小正规子群不唯一，设n l n 为g 的极小正规子群，则n c , o n l n n 1 。 i r r l 。( g n 1 i n n l n 1 ) 蛔。( g i n ) 。故由归纳，得l n l c o n 可解，故可以假设g 的极小正规子群唯一。设为n 。则i r r l 。( g i n ) = i r r , ( g n ) 。 下面证明若h r l ( g i n ) 中的所有特征标维数不同。n 为极小正规子群，则n 可解。 由于n 为g 的极小正规子群由假设g n 可解，故取h n 为g n 的极大正规 子群，则i g ：h i = p ，声为一素数。设z i r r d g f n ) ，若扭i r r ( h ) ，则( x h ) 6 = z 1 + + 洳。断言弘i r r , ( o l n ) ，i = 1 ，。p 。事实上。若存在静使n k e r 静，由于每船= 搬i ，h r ( g h ) 。故n h k e r ，从而n k e r z ，因此n o 。k e r x l = k e r ( x h ) 6 2 。见( k e r x n ) 。旦( k e r x ) 。= k e r x ，矛盾。又由于x i ( i = 1 ，户) 为维数相同的不同特 征标，从而矛盾。故抽可约，由c l i f f o r d 定理，聃= 口l + + 如，吼i r r ( h ) ，i 2 1 ，2 ， p ，且所有只( 1 ) 相等。故p iz ( 1 ) 。由于z h r l ( g i n ) 的任意性。故n g ( p ，) g ( p 7 ) 为p 不整除z ( 1 ) 的所有x i r r l ( o ) 的核的交。而g ( p 7 ) 可解。故n 可解。 e e e 3 注定理3 1 0 中虽然我们假定g n 可解，但当我们特别取n = g 时g n 可解 的条件是当然成立的，这时由定理3 1 0 得g 可解，因此就可解性而言，定理3 1 0 是定 理1 9 的推广。 第四节广义m 一群 这一节我们先讨论两个用单项特征标判定群的可解性的问题，然后从单项特征的 角度讨论集合h r ( g i n ) 对n 的可鼯性的影响，从而相应地推广了m 一群的一系列结 果。 在进行讨论之前我们先引入两个概念。 定义设s 为单群的一个非空集合。若g 的合成因子都是s 一群。则称g 为s 一 群。设x e k r ( g ) ，若存在h g ， ek r ( h ) 使x = r h k e r z 为s 一群，则称x 为s 一单项特征标。显然，若s 为所有素数阶单群集合，则s 一群即为可解群。 定理4 ，1 若群g 的每整特征标单项，则g 可解。 证明如果g 的极小正规予群不唯一取n l n 2 为g 的两极小正规子群，则有 i r r 。( g n ) ( g ) ，f = 1 ，2 。因此，对l g i 归纳我们可得g m ( i = 1 2 ) 可解。由同 构定理g ；g n 1 nn 2 同构于g n 1 x g n 2 的子群，故g 可解。 因此。我们可以假设n 为g 的唯一极小正规子群，断言n 。、k e r t = - 1 。事实上， 在g 中取极大正规子群l 使n n l = 1 ，则g l 为整群。 也l 为其唯一的极小正规子 群。设y 为g l 的忠实不可约特征标( 由于v , g 。l 为g l 的唯一极小正规子群，故 o i l 的忠实不可约特征标存在) ，由于n 的唯一性。n 茎k e r y 。故nk e r 2 1 = 1 ，因此 n ，h ( g j i r r m ( o ) 中有忠实不可约特征标。取z h r m ( g ) 且为忠实不可约特征标中维数最小者。 由题设有存在h g ，线性a i r r ( g ) 。使x = 。 若h ；g 。则显然n h 。 若h g ，取7 为( 1 日) 6 的不可约成分。则7 ( 1 ) ( 1 h ) g ( 1 ) = a 6 ( 1 ) = z ( 1 ) 。如 果7 i n - ( g ) ，则口非忠实。若7 芒砜( g ) ，我们同样断言1 非忠实。否则，k e r r = 1 则由于g 为整群，故r h r 。( g ) ，矛盾。因此由n 的极小正规性和唯一性，n k e r 7 ，由7 的任意性，n k e r ( 1 n ) 6 = n ( k e r l h ) 5 h 。 故n 7 盯k 凹a 又n 7 g 。故n n ( k e r l u ) 。= k e r 2 6 = k e r _ 】c ，由于n 不可解 且极小正规，故；n 7 ，从而n k e r x ，矛盾于x 为忠实不可约特征标。因此n 可解， 从而g 可解。 口 定理4 2 若h r ( g ) 中只有一个特征标非单项，且由户( g ) ( p ( g ) 表示j gj 的最小 素因子) 维不可约特征标导出，则g 可解。 证明若g 的极小正规子群不唯一取n t ：n 2 为g 的两个极小正规子群，则由 同构定理g = g i n l n n 2 同构于g i n l g n 2 的子群。又h r ( g m ) h r ( g ) ，i 2 1 。2 ， 由于只有一个非单项特征标z 故z 至多在i r r ( g n , ) ( i = 1 ，2 ) 中的一个，不妨设z i r r ( g n 1 ) ，则对i g i 归纳。g i n l 可解。但i r r ( g i n d 中的特征标全单项。由t a k e t a 定 理g n 2 可解，因此g 可解。 下面我们假设n 为g 的唯一极小正规子群。同上面的推理g i n 可解，故可设n 不可解，则n = n 且n = n 1 n 2 x m ，m ( i = 1 ，2 ，s ) 为同构的非a b e l 单群，由 于g 的极小正规子群唯一。故h r ( g ) 中存在忠实特征标，取z 为忠实特征标中维数最 小者。若z 单项，则x = a g ，线性a h r ( h ) ，h g 。 若h = g ，则n h 。 若h g ，则( 1 h ) 6 可约，取口为( 1 h ) 6 的不可约成分，则 _ ( 1 ) ( 1 n ) g ( 1 ) = l g ：h i = a g ( 1 ) = z ( 1 ) ， 敞n k e r r ，由7 的任意性，n k e r ( i m ) 6 = 。e g ( k e r l n ) 。h 。故n = n 7 h 7 k e r r 。因此n c l ( k e 以) 。= k e r z = 1 ，矛盾，故z 非单项。 记7 = 萨，口h r ( h ) 。h g ，由题设口( 1 ) = p ( g ) ，同上推理一样可得n h 且 n 7 = n 荽k e r 0 ，故存在i 1 ，2 ，s ，n 苎k e r o 。又钆无线性不可约成分，口( 1 ) = p ( g ) = p ，故知不可约，因此若p s y l p ( n i ) ，由习题3 4 8 】，p 为户阶群，故由b u r n s i d e 正规p 一补定理，n 有正规p 一补，从而n 也有正规p 一补，矛盾于n 为极小正规子 群，故n 可解，从而g 可解。 口 定理4 3 设s 为单群的非空集合，n q g ，若k r ( g i n ) 中每特征标s 一单项，则 n 为s 一群。 证明设m 为使n a 成为s 群的n 的正规子群a 的交。则m c h a r n qg ，从而 m 司g 。故h r ( g i m ) 曼h r ( g f n ) 。h r ( g m i n m ) 互h r ( g i n ) 。若m n ，则对i n i 归纳，m 和n m 均为s 一群，从而n 为s 一群。因此我们可用m 代替n 。取y i r r ( o l m ) ，使x ( 1 ) 在c d ( g i m ) 中t b 。由题设存在h g ，a i r r ( h ) t 吏x = a 6 ，h k e r 2 为 s 一群。若h = g ，则g k e r 2 为s 一群。从而m m n k e r r 塑m k e 以k e r a o k e r 2 为s 一群。 若h g ，贝l j ( 1 h ) 6 可约，取口为( 1 h ) 6 的不可约成分，则 7 ( 1 ) ( 1 h ) 6 ( 1 ) = g ：h f l g ：h l ( 1 ) = a 6 ( 1 ) = z ( 1 ) 。 因此汞l , r ( g i m ) ，即m k ”7 ，由7 的任意性。m k e r ( 1 n ) 6 = d ( k e r l n ) 。= n 砰h 。而h k e n 为s 一群，故m m n k e r ；t c o m k e r ；t k e r ；t h k e r a 为s 一群。 由m 的定义，m m n k e r 2 ，即m k e r 2 ，从而m 0 ( k e r a ) 。= k e r 2 6 = k e r x 。矛 5 c u 盾于m = n 。从而m n ，故n 为s 一群。 口 推论若i r r ( g ) 中每特征标s 一单项，则g 为s 一群。 定理4 4 设n q g ，若i r r ( g i n ) 中所有特征标z 。存在h g ， i r r ( h ) 使a ( 1 ) 户( h ) ( p ( h ) 为l h l 的最小素因子) ，z = 铲则n 可解。 证明设m n 为g 的极小正规子群，则h r ( g m i n m ) s h r ( g f n ) ，h r ( g i m ) i r r ( g i n ) 。因此若m n ，我们对i n i 归纳，n m 。m 均可解，从而n 可解。 因此，下面我们可以假设n 为g 的极小正规子群。若g 的极小正规子群不唯一， 设n l v a n 为g 的极小正规子群，则n c ，n 1 n n 1 。从而h r ( g n 1f 小n 1 n 1 ) h r ( g l n ) 。此时，我们对i g i i n l 归纳得n c - 力n l n n 1 可解，故可以假设n 为g 的唯一极小 正规子群且不可解，则n = n 1 ，n = f l x e ，只为同构的非a b e l 单群。由 于n 为唯一极小正规予群且n k e r x = 1 。故g 有忠实不可约特征标。又由l r r ( g f n ) 的定义知，g 的所有忠实不可约特征标均在l r r ( g i n ) 中，因此在k r ( g i n ) 中取维 数最小的忠实特征标z 。由题设存在h g ，a i r r ( h ) 使得a ( 1 ) 夕( h ) ，x = a 6 。 若h = g ，显然。h 。若h g 取口为( i h ) 6 的不可约成分，则 7 ( 1 ) ( i n ) 6 ( 1 ) = i g ：h | i g ：h ia ( 1 ) = ( 1 ) = x ( 1 ) 。 若口h ( g i n ) 则7 非忠实，从而n k “_ ，矛盾因此 i r r ( g i n ) ，故n k e 。7 。由的任意性，n k e r ( 1 u ) g = 。n 。k e r ( 1 n ) 。h 。由于x = a g 忠实，从而n = n 7 墓k e r 2 。因此a n 无线性成分，a ( 1 ) = p ( h ) = p 。 不可约，故户( h ) = ( 1 ) jj nj ， 户( h ) = p ( n ) = p 。而且由于a n 不可约，故必存在i 1 ，2 ，s f 使a f 不可约，设p s y l p ( f i ) 。则由习题3 4 1 8 ，p 为p 阶群。从而由b u r n s i d e 正规p 一补定理，n 有正