（机械电子工程专业论文）大变形的链式算法及其在柔顺机构分析中的应用.pdf

摘要 柔顺机构因具有零件少、摩擦少、维护少等优点，其应用越来越广泛，但由 于大部分柔性构件都要经受大变形，引入了几何非线性，使其在机构的分析设计 方面面临很大挑战。本文介绍了一种简单而高效的大变形分析方法一链式算法， 详细阐述了该方法的基本思想和应用方法。 论文首先详细论述了链式算法的基本思想和实现过程，给出了载荷增加法和 迭代法与链式算法相结合的具体方法，从而提高了链式算法的计算精度，弥补了 链式算法在分析大变形中存在的不足。其次，本文以对柔性悬臂梁的分析为例， 结合打靶法思想，重点阐述了位移载荷情况下链式算法的应用方法，同时说明了 加载方式的不同对算法的影响，并通过对一个部分柔性机构的分析，指出了改变 加载方式可以提高算法求解收敛性的特点。进而利用a n s y s 软件、椭圆积分法验 证了用链式算法分析大变形的正确性。最后，论文通过对一个杨氏双稳态机构的 运动学分析，建立边界约束方程，采用打靶法满足边界条件，运用链式算法分析 出了其稳态特性，并将分析结果与a n s y s 软件的结果进行了对比，得出了链式算 法求解柔顺机构的正确性。 关键词：链式算法大变形打靶法双稳态柔顺机构 a b s t r a c t c o m p l i a n tm e c h a n i s m st h a th a v em a n yp o t e n t i a la d v a n t a g e ss u c ha sr e d u c e dp a r t n u m b e r , r e d u c e dw e a r , a n dd i m i n i s h e db a c k l a s ha n de r r o r , a r ew i d e l yu s e di ns o m e s p e c i a li n d u s t r i e sa n de v e r y d a yl i f e m a n yf l e x i b l e l i n k s i nc o m p l i a n tm e c h a n i s m s u n d e r g ol a r g ed e f l e c t i o n , w h i c hb r i n g sg e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y , s ot h ea n a l y s i sa n d d e s i g no ft h ec o m p l i a n tm e c h a n i s m sf a c e sah u g ec h a l l e n g e as i m p l ea n de f f e c t i v e m e t h o do fa n a l y s i so f l a r g ed e f l e c t i o n , s o - c a l l e dc h a i na l g o r i t h m ，i sd e v e l o p e di nt h i s p a p e r , w h i c hd e t a i l st h eb a s i ci d e aa n dt h em e t h o d so fa p p l i c a t i o n f i r s t l y , t h eb a s i ci d e aa n di m p l e m e n t a t i o np r o c e d u r eo ft h ec h a i na l g o r i t h ma r e d i s c u s s e d , a n dt h es p e c i f i cm e 嬲u r e so fc o m b i n a t i o nt h ec h a i na l g o r i t h mw i t ht h e1 0 a d i n c r e m e n tt e c h n i q u ea n dt h ee n di t e r a t i o na r ep r o p o s e di no r d e rt oi m p r o v et h ea c c u r a c y o ft h er e s u l tc o m p u t e d , w h i c hc o u l dc o v e rt h es h o r t a g eo fu s i n gc h a i na l g o r i t h m s e c o n d l y , t a k i n gs o l v i n gc a n t i l e v e rb e a mu n d e rd i s p l a c e m e n tl o a d sa sa ne x a m p l e ，t h e m e t h o do fu s i n gc h a i na l g o r i t h mt os o l v et h eb e a mi se l a b o r a t e dw i ma d o p t i n gt h e t h e o r yo fs h o o t i n gm e t h o d , a n dt h ei m p a c to nt h ea l g o r i t h mb yt h ed i f f e r e n tf o r mo f l o a d si sc o m m e n t a t e d t h e nt h r o u g ht h ea n a l y s i st oa p a r t i a l l yc o m p l i a n tm e c h a n i s m , t h ep r o p e r t yt h a tt h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h mc o u l db ep r o m o t e d b yc h a n g i n gt h e l o a di sf i g u r e d , a n dt h et e s to ft h ec o r r e c t n e s so f u s i n gc h a i na l g o r i t h mt os o l v el a r g e d e f o r m a t i o ni sa l s od i db yt h ea n a l y s i si na n s y sa n do f u s i n ge l l i p t i ci n t e g r a lm e t h o d f i n a l l y , t h eb i s t a b l e - c h a r a c t e r so fy o u n gb i s t a b l em e c h a n i s mi sa n a l y z e db ya p p l y i n g c h a i na l g o r i t h ma f t e rl e a r n i n gi t sk i n e m a t i c sc h a r a c t e r s ，t h r o u g hs e t t i n gc o n s t r a i n t e q u a t i o na n ds a t i s f y i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sb ys h o o t i n gm e t h o d a f t e rt h ec o m p a r i s o n b e t w e e nt h er e s u l t sg o t t e nf r o mc h a i na l g o r i t h ma n da n s y s ，w ec a nc o n c l u d et h a ti ti s r e a s o n a b l et ou s ec h a i na l g o r i t h mt os o l v ec o m p l i a n tm e c h a n i s m k e y w o r d s ：c h a i na l g o r i t h m l a r g ed e f l e c t i o n s h o o t i n gm e t h o d b i s t a b l ec o m p l i a n tm e c h a n i s m 第一章绪论 第一章绪论 对于许多机械设计问题，柔顺机构以其特殊的性能往往能提供更好的解决方 案。在2 0 世纪8 0 年代后期，柔顺机构开始引起了许多机械科学家和工程师的高 度重视。在降低成本和提高性能方面，柔顺机构比传统的刚性机构有明显的优势， 如减少零件数目、减少装配时间、简化制造过程及提高机构精度、减少摩擦、减 轻重量等，其研究成果已经在日常生活和生产以及有特殊要求的行业中逐步得到 应用。 柔顺机构虽然具有很多优点，但也面临挑战。其中，最大的挑战就是柔顺机 构在分析和设计方面的困难，解决这些困难，需要有机构分析和综合、柔性构件 变形方面的知识，对于柔顺机构，不仅要了解以上两方面的知识，而且要懂得在 复杂情况下两方面的相互影响。由于大部分柔性构件都要经历大变形，线性梁方 程已不再适用，必须用非线性方程来描述大变形引起的几何非线性。尽管现在已 经发展了一些可以简化柔顺机构分析与设计的理论，但柔顺机构的分析与设计还 是要比刚性机构困难得多。 1 1 柔顺机构及其研究现状 1 1 1 柔顺机构简介 柔顺机构是一种不仅由运动副传递运动，还至少从其柔性部件的变形中获得 一部分运动的装置【1 1 。 图1 1 往复发动机部分 柔顺机构不同于传统的刚性机构也不同于传统的结构f 2 1 。传统的刚性机构是由 运动副连接的刚性杆组成的，其运动是通过运动副来传递的，如图1 1 所示，为往 复发动机的一部分，线性输入通过构件间的运动副相连传递到输出端，转换成转 2 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 动输出。又如图1 2 ( a ) 所示，为一扁嘴钳，其将能量从输入端传递到输出端，若不 计摩擦损失，根据能量守恒，输出功等于输入功，也即有当输出力可能比输入力 大得多，但输出位移要比输入位移小得多。图1 2 ( b ) 所示为一个柔顺卷边机构，与 扁嘴钳很相似，输入力传递到输出端的过程中，输入力产生的能量并没有全部传 递到输出端，其中有一部分能量以应变能的形式储存在该柔顺机构的柔性部件中， 当松开手柄后，该应变能将释放出来，使得钳口恢复原状。 ( a ) 扁嘴钳卷边机构 图1 2 刚性机构与柔顺机构对比 传统的刚性结构也可能是由铰链连接刚性杆件组成的，一般都设计成刚而强 的，杆件不允许有变形，各杆件间不允许有相对刚体运动，所以不能传递能量。 而柔顺机构是为了获得某一特定的运动而设计成柔性的，可以传递运动、力和能 量。图1 2 ( b ) 中，若整个装置都是刚性的，它将不能运动而变成一个结构。 柔顺机构中，若机构所有的运动都来自于柔顺构件的变形，这种机构称为全 柔顺机构，它没有传统的运动副。还有一种柔顺机构，叫做部分柔顺机构，这种 机构含有一个或一个以上的传统意义上运动副【j j 。 柔顺机构由于没有运动副或有很少的运动副，而具有很多优点，主要表现在 以下几个方面：( 1 ) 柔顺机构可以做成一体，或使用较少的运动副，这样大大减 少了构件的数目，减少了加工和装配的时间，降低了成本。( 2 ) 柔顺机构较少的 运动副，使得摩擦磨损降低，所需润滑减少，且柔性构件之间连接无间隙，提高 机构的精度，可用于精密仪器的设计。( 3 ) 柔顺机构质量小，易于小型化、大批 量生产。( 4 ) 柔性部件能储存能量，使得机构具有回程反力等 4 1 。 柔顺机构具有的这些优点，使其在很多特殊应用场合下都可以考虑使用【5 】。如 柔顺机构易于实现微型化，在微机电系统( m e m s ) 中显现出广阔的应用前景， 用于制造简单的微型结构、驱动器和传感器等。使用柔顺机构比刚性构件可大大 减轻重量，这点在航空及其他领域中是一个至关重要的因素。柔顺机构的另一个 重要应用就是在仿生领域的应用 6 1 。自然界中很多生物体都是利用柔性来传递或转 化能量的，柔顺机构的柔性部件具有可存储和释放能量的特性，利用柔性部件的 变形来传递运动和能量，且柔性构件的连接间没有间隙和摩擦，从而能达到真正 意义上的仿生，因此，柔顺机构在仿生领域起着不可替代的作用。 第一章绪论3 1 1 2 柔顺机构分析设计方法的国内外研究进展简介 柔顺机构的概念是在1 9 6 8 年由b u e n s 和c r o s s l e y 提出的，并由h e r 在其博士 论文中规范了柔顺机构的概念，率先开展了在柔顺机构设计方面的研究。柔顺机 构的系统性研究始于2 0 世纪8 0 年代，迄今为止，已经经过了2 0 多年的研究，其 设计分析方法取得了很多成就。 柔顺机构的主要特点是依靠机构中的柔性构件的变形来实现机构的主要运动 和功能，其分析与设计方法和传统的刚性机构的分析设计方法既有联系又存在不 同之处。而且，柔顺机构由于其既有机构的特点又有结构的特点，这使得在柔顺 机构的设计与分析过程中既可以将它作为机构对待，也可以作为结构对待。美国 b d g h r a i ly o u n g 大学的h o w e l l 教授被认为是现代柔顺机构研究的重要奠基人之一， 他在柔顺机构的分析方法方面取得了重要进展。2 0 世纪8 0 年代末，h o w e l l 教授 提出了“伪刚体模型法 ，其思想是基于刚体机构的设计，这在柔顺机构在分析方 法方面的发展占有非常重要的地位，加快了柔顺机构的研究进展。到9 0 年代，美 国p e n n s y l y a n i a 大学a n a n t h a s u r e s h 首先将结构的连续体拓扑优化方法中的均匀化 。 方法应用到柔顺机构的分析和设计当中，此方法把柔顺机构看作是柔性连续体， 将结构优化技术运用到柔顺机构的分析与设计中，开创了应用拓扑优化方法进行 柔顺机构设计的先河。随后，又有研究学者提出了其他几种柔性机构的分析及设 计方法，如约束设计法、基于旋量理论的拓扑综合法、模块法、基于屈曲原理的 设计方法掣z s , g j 。目前，国外从事柔性机构研究的学者和机构很多。除了b y u 大学， 美国密歇根大学、宾夕法尼亚大学、新加坡南洋理工大学和丹麦理工大学等都在 从事着柔性机构的基础性研究工作，在理论研究和实际应用方面均取得了成果。 国内开始进入柔性机构研究领域的时间较晚，大约比国际上滞后十多年，但 也取得了一些成果。余跃庆等将一般平面柔顺机构等效成为有刚性杆件和弹性元 件组成的简单刚体机构，建立了相应的伪刚体动力学模型。于靖军等提出了扩展 伪刚体模型法，以解决空间柔顺机构的设计与分析问题。基于结构优化的方法方 面，国内的研究也大有进展。谢先海等应用均匀化方法，以机械效率为目标函数， 采用准则优化方法建立柔顺机构的拓扑设计的数学模型。张宪民分析和比较了基 础结构和均匀化方法两种物理模型描述方法，给出了拓扑结构的提取及过滤算法。 另外，北京航空航天大学、华中科技大学、大连理工大学、华南理工大学等在柔 性机构的结构和运动分析及设计上也取得了可喜的成果。 这些方法对柔顺机构的分析与设计起了非常重要的作用，并经过几年的发展 得到了完善与拓展，但这些方法也存在不足。如伪刚体模型法只适合于一些简单 结构，且计算结果偏差较大；结构优化方法能得出比较准确的结果，但建模难度 大，计算量大，优化出的形状边界连续，没有规律，难于加工。 4 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 1 2 大变形非线性结构的几种研究方法的优缺点 传统的运动学分析，假设机构的杆件是完全刚性和没有变形的。当变形很小 时，这种假设是合理的，但实际中，材料在受到载荷作用时是会发生一些变形的。 柔顺机构是依靠变形来完成其运动和功能的，因此它的变形是不能忽略的。柔顺 机构的许多柔性构件要经受大变形，发生结构非线性变形，在这种情况下，必须 进行非线性分析。结构非线性包括材料非线性和几何非线性，其中几何非线性又 有大变形、应力硬化和大应变，大变形是指应变不大，但整体变形很大的情况。 柔顺机构大变形非线性结构分析的主要方法有： ( 1 ) 一般解析法根据e u l e r 梁理论，建立杆件的b e r n o u l l i e u l e r 微分方程， m ：e i 霉( 1 - 1 ) 口s 通过求解微分方程，得到其解析解【l o l 。该方法对于简单的机构且载荷条件也比较 简单的情况，能得到精确解，但对于机构或载荷情况稍微复杂的结构，就很难得 到其解析解。 ( 2 ) 椭圆积分法该方法也是根据e u l e r 梁理论，经过推导得到下面的表达式： a = 疆1j 万i 丽d o 萧面 ( 1 - 2 ) 利用椭圆积分法来求解上式，得到杆的变形。椭圆积分法属于数值方法，但可以 获得很精确的解，常作为其他方法求解精确度的比较对象，且能计算载荷情况较 为复杂的机构，但推导过程复杂，难于理解【1 1 ，1 2 1 。而且，椭圆积分法在计算杆件变 形有拐点的情况，需要分开计算，比较麻烦。该方法还要求有一些简化的假设， 包括线性材料属性及不能伸缩等。对于复杂的机构，椭圆积分求解变得困难。 ( 3 ) 非线性有限元法该方法利用刚度矩阵理论建立非线性刚度方程【1 3 】，通 过迭代求解获得最终结果。已经有许多有限元分析的商业软件可以直接使用。该 方法的不足之处在于，所得的系统方程非常庞大，需要强大的计算机算法及硬件， 且需要进行多次迭代才能收敛到某个解。 ( 4 ) 伪刚体模型法伪刚体模型概念是用具有等效力变形关系的刚体构件来 模拟柔性部件的变形，利用刚性机构的理论分析柔顺机构，对于实现和改进已有 初始设计的柔顺机构是非常有效的方法。伪刚体模型法可以简化一些简单的柔顺 机构，但计算结果一般偏差较大。 ( 5 ) 链式算法链式算法对于分析已知几何形状和边界条件的柔顺机构是一 种非常有效的数值方法，它跟有限元法很类似，但在很多应用场合有较高的计算 效率，且原理和推导过程比较简单，很容易实现，可以作为其他方法的替代方法。 本论文将对该方法的基本实现过程及其在柔顺机构的大变形分析中的应用方法进 第一章绪论5 行详细的阐述和说明。 1 3 论文选题背景及意义 1 3 1 选题背景 柔顺机构的大变形分析方法有很多，其中链式算法是非常有效的数值方法， 在许多应用场合有较高计算效率，可以分析更为一般的柔顺机构。基于这个原因， 研究人员将该方法用于柔顺机构的分析【1 4 1 。链式算法( c h a i na l g o r i t h m ) 最早由 h a r r i s n 在1 9 7 3 年用于机构分析，但并没有形成正式的定义。1 9 8 6 年，h e r 在其博 士论文中对链式算法的具体过程作了较为系统性的描述。1 9 8 8 年m i l l e r ，c o u l t e r 采用应变和曲率计算变形的理论计算单元的变形，然后用链式算法的思想进行了 整个柔顺构件的变形分析，将结果与椭圆积分的结果做了对比，误差在可接受的 范围内。h e r 和m i d h a 等使用该方法进行了柔顺机构的运动学分析。普渡大学 s a l a m o n 教授在1 9 8 9 年，提出了后迭代法( e n di t e r a t i o n s ) ，对链式算法做出了改 进，进一步提高了链式算法的精度。1 9 9 3 年，h o w e l l 阐述了将链式算法用于材料 非线性机构的分析中，并与其他方法所得出的解析解进行了对比，结果符合得很 好i l 引。p a u l y 在2 0 0 6 年提出将链式算法与伪刚体模型相结合求解机构的大变形， 在这之前，运用链式算法求解大变形时，主要采用刚度矩阵的理论求解每个单元 的变形，而p a u l y 采用了伪刚体模型法求解单元的变形【1 6 1 刀。 运用链式算法求解大变形的研究中，前人已取得了不错的成果，但大部分都 是对简单的机构进行了分析，对较复杂的机构有待于进一步的研究和探讨，而且 对链式算法的应用方法缺乏系统性的研究和介绍。本论文将详细介绍链式算法的 基本过程及其应用方法。 1 3 2 选题意义 机构学的主要任务是通过对机构分析和综合方法的研究来实现新机构的设 计。机构的设计本身是一个不断进行综合、分析、决策的过程。柔顺机构的设计 也是如此。利用伪刚体模型等方法，我们可以得到给定目标的柔顺机构的初步近 似设计，在获得初步设计之后，需要对其进行进一步的分析和简化。但对于某些 几何条件的柔顺机构进行分析时，用伪刚体建模比较困难，且存在误差，因此需 要用其他方法改进这些设计。链式算法原理简单，实施容易，是分析柔顺机构非 常有效的手段。 柔顺机构是利用其柔性元素自身的弹性变形来传递或转换运动、力或能量的 装置。由于许多柔性构件都要经受大变形，所以线性梁方程不再适用，而必须用 非线性方程来描述大变形带来的几何非线性。在大变形的分析方法中，传统的方 6 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 法如对构件建立其b e r n o u l l i e u l e r 微分方程，通过求解微分方程，能够得到其封闭 解。对于大变形和载荷情况稍微复杂的结构，可以采用椭圆积分法来求解分析。 但这些方法的缺点是推导过程复杂，且对几何形状和载荷相对简单的问题才能求 解。基于这个原因，需要寻求一种替代方法来分析更为一般的柔顺构件。有限元 分析和链式算法都是非常有效的数值分析方法。有限元分析是将对象分割成有限 数目的小单元，将单元刚度矩阵组合在一起形成系统刚度矩阵，然后利用刚度方 程进行求解。但由于所得的系统方程非常大，解决复杂问题需要强大的计算机算 法及硬件，同时柔顺机构中普遍存在的几何非线性使得问题更具有挑战性。目前， 有限元软件已经很普遍，但软件使用起来如同一个黑箱子，很不方便。链式算法 单独计算每个单元的变形，无需整个系统的方程，使它在许多应用场合有较高的 计算效率，而且由于链式算法可以对每个单元赋予不同的属性，因此可以计算更 为一般的柔顺机构，如构件为几何形状不规则，材料不同等等。另外，链式算法 易于人工编程，对算法的具体过程可实时监控，可方便地进行参数的变化，是很 好一种替代方法。许多研究人员已经将链式算法用于机构的分析，但其应用范围 还不是很广泛，有待进一步的开发和研究。 1 4 论文主要工作 本论文系统地介绍了链式算法的基本原理及其实现过程，依据大变形柔顺构 件的非线性本质，将链式算法应用到其非线性变形分析当中。论文详细阐述了链 式算法在分析大变形的柔顺机构中的应用方法，指出了运用打靶法思想满足链式 算法在分析柔顺机构时所需要的边界条件，并通过对一个杨氏双稳态机构的运动 学分析，建立边界约束方程，将链式算法应用到了柔顺双稳态机构的分析中。 本论文的章节安排如下： 第一章简要介绍了柔顺机构的概念及其在实际应用中的优缺点，概述了柔顺 机构分析设计方法的国内外研究进展，给出了链式算法的研究历史和发展现状， 并将几种常用的柔性构件大变形的分析方法做了对比。 第二章首先简要介绍了结构非线性的概念和分类，然后详细阐述了链式算法 的基本原理和过程，将载荷增加法和迭代法运用到链式算法中，以进一步提高链 式算法的分析精度。 第三章以柔性悬臂梁为例介绍了链式算法的应用方法，研究了不同的加载方 式和计及轴向变形时链式算法在大变形分析中的应用情况，着重介绍了位移载荷 形式下如何采用打靶法思想满足边界条件，并将链式算法运用到一个部分柔性机 构的变形分析中，指出了改变加载方式可以提高机构求解的收敛性。 第四章概述了稳定性的概念和柔顺双稳态机构稳定性的分析方法，运用链式 第一章绪论7 算法对柔顺杨氏双稳态机构进行了分析，实现了稳态性能的分析，并将分析结果 与a n s y s 软件进行了对比。 第五章总结论文的研究工作成果，并对以后进一步的研究工作提出展望。 8 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 第二章链式算法基本原理9 第二章链式算法基本原理 链式算法对于分析己知几何形状和边界条件的柔顺机构是一种高效的方法， 可以用于求解几何非线性、材料非线性以及几何非线性和材料非线性混合的问题。 本论文主要讨论链式算法在几何非线性分析中的运用。 柔顺机构的大变形分析方法中，链式算法是非常有效的数值方法，它与传统 的有限元方法的基本理论相同，采用相同的基本梁单元和刚度矩阵理论，但运用 不同的方法来合成和分解相应的方程，这使得它在许多应用场合的计算更加有效。 链式算法可以用来验证和完善由伪刚体模型法得到初始设计；也可用于分析沿杆 长方向上变截面的柔顺片段，且比有限元法简单，计算效率高。 2 1 结构非线性简介 在一般结构的大多数变形分析中，都假设相对于结构的几何尺寸来说其变形 很小、材料是弹性的、应变与应力成正比关系。这类问题通常采用材料力学来研 究杆件承载变形的问题，先忽略受载后的小变形，进行杆件内力分析，再计算杆 件变形量。小变形问题属于线性弹性体系，即指位移与载荷呈线性关系的体系， 且当载荷全部撤除后，体系将完全恢复原始状态。在分析线性弹性体系时，可以 按照体系变形前的几何位置和形状建立平衡条件，并且可以应用叠加原理【1 8 】。 当发生结构非线性变形时，小变形假设将不再适用，需进行非线性分析。结 构非线性包括材料非线性和几何非线性。材料非线性主要研究相应于应力与应变 的非线性关系，即构件的材料不遵从h o o k e 定律，其本构关系是非线性的。材料 非线性行为有非线性弹性、塑性、超弹性变形和蠕变等。几何非线性主要研究相 应于应变与位移的非线性关系，几何非线性通常包括以下几种情况：位移比较大， 材料已进入塑性变形范围；应变比较大，致使应变与位移导数之间不再保持线性 关系；位移引起的应变虽不大，但转动很大，以致在建立平衡方程时必须计及这 种转动。 大变形是指应变不大，但整体位移很大的情况。大变形中，刚体位移和转动 对整体变形影响很大，有时转动比形变占有更重要的地位。大变形问题在施加载 荷后，结构在一个新的位置上平衡，新的平衡点远离初始位置，必须依照杆件变 形后的位形建立平衡方程【1 9 1 。另外，大变形中的杆件应力低于材料的弹性极限， 杆件仍服从h o o k e 定律。本论文主要讨论了链式算法在大变形的柔顺杆件的变形 分析中的应用。 结构的非线性分析实际上是建立在一连串线性分析的基础上实现的，通过线 1 0 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 性分析逐步迭代得到接近于真实解的数值解。在非线性分析中，区分载荷是保守 力还是非保守力是非常重要的，保守力问题是指最终变形与加载的次序以及载荷 增加的次数无关的情况，几何非线性是保守问题的例子。保守系统的势能仅仅取 决于最终的变形，而与获得该变形的路径无关。利用保守系统的这一特性，对于 几何非线性问题，我们可以采用有利于提高求解方法的收敛方式来加载，从而简 化几何非线性的分析过程。 2 2 链式算法具体过程 链式算法处理大变形问题的基本原理是将分析对象离散成多个单元，来模拟 杆件的变形形状，应用刚度矩阵理论分析每个单元的变形情况，通过相邻两单元 间的相关性，即先计算第一个单元的变形，后一个单元的变形计算是建立在前一 个单元变形的基础上的，将后一个单元处理成前一个单元的悬臂梁，前一个单元 的末端作为该单元的固定端，以此类推，实现整个对象的变形。各个单元之间通 过杆件内部的相互作用力保持着一致性，以满足杆件的整体性【2 0 2 1 1 。 下面以悬臂梁为例具体说明链式算法的分析原理，部分推导公式来源于柔 顺机构学一书【l 】。 取一根柔性悬臂梁，将其离散为n 个单元，采用梁单元模型，如图2 1 所示。 取固定端为世界坐标系o x y 的原点且为第一个节点( 标为节点o ) 。 0 节 l 节点2 可点 沙 图2 1 离散悬臂梁 点 2 2 1 等效载荷的计算 先计算任意节点i 处的等效载荷。由梁的静力平衡方程可得固定端的反力为 ( 只) r = 一( 只) ， ( 2 1 ) i * l ( 0 ) r = - z ( 0 ) ， ( 2 2 ) i - i 其中，( 只) ，( p v ) ，分别为节点f 处沿世界坐标系x 轴和y 轴方向的外力。则节点 第二章链式算法基本原理 i 处的等效载荷为 ( 只) ，= 一( 只) 尺一( 只) ，= ( 只) ， j 斌j - i i - i打 ( 0 ) ，= 一( 0 ) 尺- x ( 0 ) - - x ( 0 ) ， i - if m ，= 一m r 一m 厂【( 0 ) d ) 。 ( x o ，y o ) 图2 6 带载荷增加法的链式算法的变形计算图 如图2 6 所示，图中曲线o a ，o d 分别表示柔性梁的初始状态和受力后的最 终变形状态；曲线o b ，o c 表示两个中间变形位置，分别对应于第( n - 1 ) ，n 级载 荷的变形位置。o a ，o d 上的坐标g 。，y ，) ，g 。，y t ) 分别表示节点f 在初始状态和 最终变形后的坐标位置，y ? ) 表示n 级载荷时节点f 的坐标位置。 在第n 级载荷的变形位置o c 的计算过程中，力矩的力臂计算是基于( n 1 ) 级载 荷的位置o b 。因为有刀缸级载荷，所以要调用聆船次链式算法，每级载荷的计算变 形的过程类似于2 2 节所介绍的链式算法的过程，但也有不同之处。即：除了要变 化外载荷的级数外，更要注意的是，分别用角度变量吖和o h 片，坐标b ，y ，) ， - 1 刃_ 1 ) ，力臂x 4 ，y ”代替式( 2 - 1 7 ) 到式( 2 - 3 2 ) 中的帆，o ，- l ，g ，y ，) ， 第二章链式算法基本原理 1 9 b ，y ) ，a x j , 、y 。图2 6 中未画出j f 节点，j f 。部分计算式如下： 飞：= e t + a 0 0 ( 2 - 4 1 ) a x j t n = ( x ；_ 1 - x , 。) c o s ( a 0 7 _ l 一o = ) 一( y ；- 1 一y ? - 1 ) s i n ( a 0 7 _ l 一o ，n - l i ) ( 2 - 4 2 ) a y “= ( x ；- 1 一x ? _ 1 ) s i n ( o ：l 一o = ) + ( y 芦1 - y 7 一) e o s ( z x 7 _ l 一o ，n 一- l i ) ( 2 - 4 3 ) g ，y ，) ，g ，y ，) 为( n 1 ) 级载荷计算所得的新的节点坐标，o h ”为第n 级载荷时所得的( i 1 ) 节点的角度变形量。在n 级载荷作用时新的力臂的计算过程 中，因为已经使用了最新的节点坐标值，所以节点“，坐标差需要旋转的角度为 n 级载荷与( n 一1 ) 级载荷节点( f 1 ) 角度变化量的差。 2 3 3 后迭代法 为了进一步提高链式算法的精度，可以将所谓的后迭代法( e n di t e r a t i o n ) 和 载荷增加法结合起来使用 3 0 1 。其具体过程是，当用载荷增加法增加到满载时，采 用此时杆的变形位置来估算新的力臂，建立其静态力学平衡方程，根据力与变形 的关系计算满载时的新变形。以后的每次迭代，仍给杆施加满外载，利用上一次 迭代出的变形位置估算力臂，计算杆的新变形，以此类推，一直迭代下去，直到 满足精度为止。 根据所要求的效率和精度，可以调整载荷增加和迭代的次数，例如若载荷次 数设置较多，则减少所需迭代的次数，反之亦然。 为了能更加清晰地说明了载荷增加法、迭代法与链式算法相结合的求解过程， 我们将整个过程用图绘制出来【1 5 】，如图2 7 所示。图中所示为悬臂梁，离散为四个 单元，使用了两级载荷级数和一次后迭代。 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 一级载荷二级载荷后迭代 图2 7 链式算法中的载荷增加法与迭代法 2 4 小结 本章首先简要概述了结构非线性的概念，阐述了大变形所具有的特点和性质， 使得对研究对象的本质有了一个简单的了解。其次，本章详细介绍了链式算法的 原理和具体过程，并阐述了将载荷增加法和迭代法应用到链式算法中的方法，从 而提高了链式算法的精度。 第三章链式算法的应用方法 2 1 第三章链式算法的应用方法 大多数熟悉的结构都经受力载荷作用，例如受到交通和风作用的桥梁，受到动 载荷的高速连杆机构，以及受到空气动力载荷的机翼等等。所以一般结构分析， 为已知力( 广义) 载荷求解构件的变形和强度等。柔顺机构的载荷形式却大不相 同，其位移是已知的，无需计算由已知载荷引起的变形和应力，而是计算出相应 的应力和运动副反力。一个简单的例子如图3 1 所示，柔性梁的变形是由系统的其 他部分决定的，而且载荷是未知的。又如，柔顺双稳态机构，在分析其双稳态特 性时，须将位移作为输入，查看相对应的力( 或力矩) 的变化趋势。 刚 图3 1 位移已知但力未知的柔顺机构示例 根据链式算法的原理我们能够得到，链式算法可处理一端固定的柔性构件， 且对于已知力载荷的柔性构件可直接运用链式算法来求解杆的变形。但当柔性构 件必须满足某些边界约束条件时，如已知某些几何约束，则需要将打靶法与链式 算法结合使用。 3 1 打靶法 3 1 1 打靶法基本思想 打靶法最早是由k e l l e r 于1 9 6 8 年提出来的，可以用来求解二阶或高阶线性或 非线性常微分方程的两点边界值问题。其基本思想是将微分方程的边值问题转换 为初值问题来求解，通过构造未知初值，就可以采用解常微分方程初值问题的数 值方法来求解，然后检查在一定的误差范围内计算结果是否满足边值条件，若不 满足，更新初值，继续迭代求解，直到满足精度要求，达到收敛，使其射向边值 靶心【3 1 1 。 同求解一般的非线性方程一样，打靶法的关键点也是合理的初值选取和解的 收敛性问题3 2 筇, 3 4 j 。初值的选取一般要根据实际问题来确定接近真实解的数值，这 样才会使得求解收敛性得到提高。 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 打靶法思想的精髓在于将边值问题转换为初值问题，基于这个思想，在分析 某些柔顺机构时，当构件需要满足一定的边界条件时，我们可以采用此思想，将 要满足的边界约束条件先转换成初值问题，通过设定初值，分析机构的性能，迭 代计算，使得最终满足机构的边界条件。 3 1 2 打靶法思想用于链式算法的原理 打靶法用于分析柔顺机构，常用的方法是建立柔性构件的控制微分方程【3 5 1 ， 通过满足边界约束条件来得到整个机构的运动特性【3 0 】。而这里所讲的打靶法是更 为一般化的打靶法，求解结果不仅要满足柔性杆件的微分方程，还要满足某些边 界约束条件，要加进一些参变量，如约束反力，未知外力等，因此方程除了微分 方程，还有其他根据力( 力矩) 平衡、位移约束等建立的方程，需要求解一个非 线性方程组。沿用此思想，可以将打靶法与链式算法相结合来分析柔顺机构，不 同的是，柔性杆件的变形计算不再使用微分方程，而是采用链式算法进行计算。 在柔顺机构中，其柔性构件总是要满足某些边界条件，这些约束条件通常是 在有限节点上的位移约束，也可以是节点所受到的轴向压力，横向载荷，应变能， 弯矩以及其他参变量引入的边界约束条件p 6 , 3 7 。链式算法在计算柔性构件时，假 定构件一端固定，并且需要知道构件所受到的力。因此，运用链式算法分析柔顺 机构，需要估计柔性构件的约束反力。这些估计反力应用于链式算法求解出杆件 的变形后，要满足边界约束条件。设z 为反力矢量，根据边界条件建立约束方程， g 。m = 墨纠一s ； i = l ，2 ，n( 3 1 ) 式中，g ，【z 】为边界条件误差函数，西是所要求的s ， z 】的目标值，n 是边界条件的 个数。式( 3 1 ) 是一个非线性方程组。在求解一般非线性方程时，要求方程的数目 等于未知数的个数。边界条件约束方程的建立具备这种性质，在应用于链式算法 时为隐式求解。 式( 3 1 ) 为n 维非线性方程组，可用n e w t o n - r a p h s o n 法、g a u s s - n e w t o n 法等方 法来求解【3 8 】。n e w t o n - r a p h s o n 法是将函数g 在一点z - 处作一阶泰勒展开，得到方 程g 在该点处线性近似公式 m ，( z ) = g ( z k ) + f 华1 ( z z ) ( 3 2 ) a g 七 记踮( z - z k ) ，j k - 七，蚴办+ 。( 卜咖- o ，可得到z 的修正量乩 此修正量可由下式计算得到： 第三章链式算法的应用方法 廿搂 阻 ( 3 - 3 a ) 或 & = 1 刀七叫g ( z ) ( 3 - 3 ) 式( 3 3 ) 中， 刀七- 1 是误差函数蜀的j a c o b i a n 矩阵的逆矩阵。由于蜀不能用解析形式 来表示，【刀。中含有的偏微分只能用数值计算，如有限差分法。式( 3 3 ) 为线性方程 组，很容易求解。求出修正量后，便可更新反力矢量 z 一= z + 昆 ( 3 _ 4 ) 重复进行上面的过程，直到误差函数充分接近零，满足给定要求。 h i l l 教授曾在1 9 9 0 年发表的一篇论文中阐述了，运用几何。用户驱动牛顿拉 斐逊法( g r a p h i c a l ，u s e r - d r i v e nn e w t o n - r a p h s o n ) 分析柔性机构，提出从两方面提 高n e w t o n r a p h s o n 法的收敛性，即增大定义域( 定义域即指设计空间) 和在定义 域内选择合适的初值p 9 1 。这种方法快而有效地使得方程收敛到正确解，但该方法 需要用户的监控，且未知量不宜过多，否则计算结果的准确性将大大降低。 另外，用g a u s s - n e w t o n 法求解式( 3 1 ) 时，其基本思想是先写出方程组( 3 1 ) 的 线性近似式即同式( 3 2 ) ，然后将问题转化为寻找合适的向量z 使得式( 3 5 ) 最小： m i n 历。( z ) 】2 ( 3 5 ) 将式( 3 5 ) 中的平方展开后，由最小值条件可得 ( 以) 瑟= 一以g ( z ) ( 3 6 ) 求解式( 3 6 ) 得修正量瑟。g a u s s - n e w t o n 法的优点在于充分利用其平方和的特点， 用一阶导数的信息来获取二阶导数的近似值【删。 本篇论文中分析机构所用的是m a t l a b 中的数值计算方法，使用其中的f s o l v e 求解器进行求解【4 l 4 2 】。f s o l v e 内部程序所用基本理论同g a u s s - n e w t o n 法，但在 g a u s s - n e w t o n 法的基础上做了很多改进，如其所采用的t r u s t - r e g i o n - d o g l e g 法，使 得方程求解时，对方程雅克比矩阵的要求不再很高，即使雅克比矩阵接近奇异， 仍能得出解，因此提高了收敛性能。 3 2 链式算法分析悬臂梁的应用 柔顺机构中的分析关键在于分析柔性构件，其变形不同于刚性构件，柔性构件 由于一般都是大变形，因此可能会出现拐点等情况，从而使得分析难度增加。链 豫一吆；氓一识 一 ； 一 2 4 大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 式算法在分析柔性构件时，几乎不受这些情况的限制，并且在计算精度和效率上 比有些方法能更好一些，本节将以悬臂梁为例说明链式算法的具体应用细节。 悬臂梁模型，如图3 2 所示：取柔性梁，弹性模量e = 7 1 7 g p a ，长l = 0 1 m ，横 截面为圆形，直径d = 0 0 0 2 m 。 o 图3 2 悬臂梁模型 3 2 1 不同的载荷形式 1 已知力载荷 当目标对象所受到的外载荷是力为已知时，链式算法可以直接计算出其变形。 链式算法可以计算所有受力情况下的变形，对于力载荷的形式没有限制，而且对 于变形有拐点的构件也能进行分析，无需分开考虑。本小节将介绍链式算法在外 载力的作用下的变形情况，并将结果与有限元法软件a n s y s 的结果进行对比。 下面分几种情况进行计算。纯力情况。梁末端受到垂直力p ；纯弯矩情况。 梁末端受到弯矩m ；力和弯矩混合。末端受力为垂直力p ，水平力n p ，弯矩m 。 链式算法的参数：离散数目q = 5 0 ，载荷增加次数z - = 5 ，后迭代次数e n = 5 ：有限元 软件a n s y s 设置参数，离散数目5 0 ，b e a m 3 单元，大变形选项打开【4 3 , 4 4 1 。将链式 算法与有限元软件的分析的变形结果图绘制出来，如图3 3 ( 炉( c ) 所示，图中黑点 表示链式算法的变形结果，实线表示有限元软件a n s y s 的变形结果。图中坐标系 中各个字母的含义为：l 为悬臂梁的长度，a 和b 分别为悬臂梁自由端在坐标系中 的坐标值，“a l ，“b l 一，表示把a 和b 无量钢化；所标注的受到的外载力的单位 均为n ，弯矩的单位为n m ，下文同样，不在标注说明。 第三章链式算法的应用方法2 5 讥 ( a ) 纯力 刮l ( b ) 纯弯矩 “l ( c ) 力与弯矩混合 图3 3 链式算法与a n s y s 分析受外载力的变形图比较 2 6大变形的链式算法及其在柔顺机构中的应用 从图中可以看出，无论是纯力、纯弯矩还是力与弯矩混合的情况，链式算法 与有限元法( a n s y s 软件) 的变形结果图形都是相吻合的，即使出现拐点，链式 算法也不受限制，证明了链式算法的正确性。图3 3 ( c ) 中，受力为p = 1 7 4 ，n = - i ， m = - i 和p = 1 7 4 ，n = l ，m = - i 的两种情况，梁的变形出现了拐点，如图中圆圈所示 为拐点处。 2 已知位移载荷 很多柔顺机构中的载荷形式都是位移载荷，需要计算出构件受到的反力，因此 分析载荷为位移的情况非常必要。链式算法不能直接用来分析有位移载荷的机构， 必须通过打靶法来满足其边界的位移条件。