六年级奥数培训教材.doc

武汉博奥学校 六年级拔尖数学 超越自我 铸就辉煌六年级拔尖数学目 录第1讲 定义新运算第2讲 简单的二元一次不定方程第3讲 分数乘除法计算第4讲 分数四则混合运算第5讲 估算第6讲 分数乘除法的计算技巧第7讲 简单的分数应用题（1）第8讲 较复杂的分数应用题（2）第9讲 阶段复习与测试（略）第10讲 简单的工程问题第11讲 圆和扇形第12讲 简单的百分数应用题第13讲 分数应用题复习第14讲 综合复习（略）第15讲 测试（略）第16讲 复杂的利润问题（2）第一讲 定义新运算在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B表示 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 例3：规定 求21010的值。例4：设M*N表示M的3倍减去N的2倍，即M*N=3M-2N（1） 计算（14 *10）*6（2） 计算 （*） *（1 *）例5：如果任何数A和B有AB=AB-（A+B）求（1）107 （2）（53）4（3）假设2X=1求X例6：设PQ=5P+4Q，当X9=91时，1/5（X 1/4）的值是多少？例7：规定X*Y=，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？例8：表示一种运算符号，它的意义是已知 那么200882009=？ 巩固练习 1、已知23=2+22+222=246； 34=3+33+333+3333=3702；按此规则类推（1） 32 （2）53 （3）1X=123，求X的值2、已知14=1234；53=567计算（1）（42）+（53） （2）（35）（44）3、如果A*B=3A+2B，那么（1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4）4、如果AB，那么A，B=A；如果AB，那么A，B=B； 试求（1）8，0.8 （2）1.9，1.9011.195、N为自然数，规定F（N）=3N-2 例如F（4）=34-2=10 试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+F（100）的值6、如果1=1！ 12=2！ 123=3！ 1234100=100!那么1！+2！+3！+100！的个位数字是几？（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）7、若“+、-、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。下面四个算式（1）87=8 （2）777=6 （3）（7+8+3）9=39 （4）33=3 那么应该是我们通常的哪四个算式？8、如果2*4=2345 5*3=567，请按此规定计算（1）（3*4）-（5*3） （2）（4*4）（3*3）9、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2 则计算（1）（56489） （2）（92045）+（905）（12）10、规定64=222222表示成F（64）=6； 243=33333表示成G（243）=5；试求下面各题的值（1） F（128）= ( )（2） F（16）= G（ ）（3） F（ ）+ G( 27 )=611、如果1=1！ 12=2！ 123=3！ 试计算（1）5！ （2）X！=5040，求X 12、有一种运算符号“”使下列算式成立 23=7 53=13 45=13 97=25 求995 9=？13、A*B= 在X*（5*1）=6中，X的值是多少？ 14、对于任意的整数X、Y定义新运算“￥”X￥Y=（其中M是一个固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=？ 第二讲 二元一次不定方程一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。三、例题解析：（一）基本方法例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。设小明付了X枚贰角和Y枚伍角列方程，得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。这样，Y只能取1，3，5，7，9这五个数。2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不小于49219=29，这样，可得Y大于6。方法二 观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？ 分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件以后，答案的变化。试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。例4 、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？分析与解：设他出生于19XY年，那么199119XY=1+9+X+Y1991（1900+10X+Y）=10+X+Y9110XY=10+X+Y（二）能力拓展例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。试一试：一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长宽高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。分析与解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。练习一、基本题1、求方程6x+9y=87的自然数解。2、求方程2x+5y=24的自然数解3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？二、综合题8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足70人）来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。结果平均每个学生坐1.35个座位。求有多少个学生？思考题10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？第三讲 分数乘除法计算 分数乘除法的计算方法用字母表示为：（a，c都不等于0）；（a，c都不等于0）。一、课前准备：1、 计算下列各题：（1）10 （2） （3） （3）9 （4） （6）（+）2、在或里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？（1） 25= ( )（2） =( ) （3） (15)= ( )（4） 254= + （5） 7= （6） 125= （7） 54(- )= 二、例题讲解例1：计算：； 。【分析】认真观察这两道题的数学特点：第(1)题中的与1只相差，如果把写成的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。同样，第（2）题中的27可以写成（26+1）。练习：“挑战自己！”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？ 26 32例2：计算：分析仔细观察因数的特点可知，可转化为，这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。练习：计算：例3：计算：【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。在本题中，把与的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、结合律就可以很快算出结果。例4：计算：；。【分析】同学们都会计算带分数除法。不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成假分数太繁了。如果我们动一下脑筋，就会发现：可以把题(1)中的分成一个41的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题（2)中的化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。例5：计算：例6：计算：一、基本练习1、下面各题，怎样简便就怎样算。 2. “考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？101- 99 + 325 36 ( - )( + ) + - 4. 分数四则混合计算：（1）（）1000 （2）（） （3） （4）（0.19+0.19）0.05二能力提高 （4） （5） 第四讲 分数四则混合运算一、课前准备：9 （） （）24二、例题讲解例1：计算：练习：例2：计算：（598.13759816.26）1190例3、 例4；计算； 练习：1. 下面各题怎样算简便就怎样算。 （）27 （） 4 5 2. 用简便方法计算。11310091 1.1440.954.093、计算下面各题。 第五讲 估 算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一法）。其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”； （2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。一、去尾法和收尾法（进一法）例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？（精确到1千米）解：设该飞机最远能飞出x小时，依题意有此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到x1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。例2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。二、放缩法与省略尾数法例3、有三十个数：1.64，1.64+，1.64+，1.64+1.64+，如果取每个数的整数部分（例如：1.64的整数部分是1，1.64+的整数部分是2），并将这些整数相加，那么其和是多少？分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2例4、 A=1234567891011121331211101987654321，求 A的小数点后前3位数字。分析：本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。方法一：放缩法：A12343122=0.3952A123531210.3957所以0.3952A0.3957方法二：省略尾数法：近似值：将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有12343121例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么？分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40与12.50之间。原来13个数的总和最小应该是12.4013=161.2，最大应该是12.5013=162.5之间，从而可求出这 13个自然数的总和，从而知道正确答案例6、 已知：S=，求S的整数部分。分析与解：如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几，就能知道它的值在某个范围内。当这个范围很小时，就容易判断出s的整数部分了。设A=说明：本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。上面的“分析”中，我们采用了“放大缩小”的方法，就是先把s的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。练一练：求的整数部分。练习一、基本题1、（1+）+（1+2）+（1+3）+（1+10）+（1+11）的结果是x，那么，与x最接近的整数是多少？2、求算式0.123450510.51504321的小数点后前二位数字是多少？3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料，以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？4、用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件上衣？5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是21.83，正确答案应是多少？6、求下式中S的整数部分：二、综合题7、 计算：（提示：注意385= 5711，可以先用乘法分配律化简，再估算。）三、思考题：8、在1，中选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要选几个数？ 第六讲 分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。（一）一般分数乘除法的计算：（二）分数的简便计算1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。 例3、计算：2.约分法：例4、计算：分析：仔细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出123，分母的每一项都可以分解出135。把它们作为公因数提出来后，括号内的和是相等的。例5、计算：分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分毋中的被减数362548可以变形为：（3611)548=361548548，同时发现548186=362。这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子，简化运算。例6、计算：例7、计算： 2、 分组法例8、计算：分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。4、代数法例9、练习： 2005 第七讲 简单的分数应用题（一）一、基础知识：1、分数应用题的一般关系式是：表示单位“1”的量（标准量）分率=分率的对应量。2、解题思路：一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系。）单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1”。表示单位“1”的量是已知的，则该题用“”。表示单位“1”的量是未知的，则该题用“”或方程。解题的关键是：寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。二、例题解析：（一）基本方法例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。一只鸡的重量是鸭的。把( )平均分为3份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的2份，2/3对应的数量是（ ）。甲的相当于乙。把( )平均分为5份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/5对应的数量是（ ）。现价是原价的。把( )平均分为40份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/40对应的数量是（ ）。现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。小红的书比小明少。把( )平均分为8份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的7份，7/8对应的数量是（ ）。小明的书对应的分率是（ ）。例2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 （1）白兔只数的是黑兔的只数。 （2）已经修了公路全长的。（3）二班植树棵数相当于一班的。 （4）今年棉花产量比去年增加。 （4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜。 （6）还剩这堆煤的。 例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是1 元，钢笔的价格比本子的价格多，钢笔的价格是多少元？例4、一条裤子比一件上衣便宜25元。一条裤子是一件上衣价格的2/3，一件上衣多少元？例5、商店运来一批水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的3/4，梨的筐数同时又是桔子的3/5。运来桔子多少筐？例6、学校买来54本新书，其中科技书占 1/6，文艺书占1/3，文艺书比科技书多多少本？（二）能力拓展例7、小强看一本故事书，每天看16页,看了5天后，还剩全书的3/5没有看，这本故事书有多少页？分析：把全书看作单位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5与没有看的页数相对应，看了的已知量165与13/5相对应。例8、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时, 两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇？如果相遇时客车走了600千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?分析：本题的关键是要求相遇时间，我们知道相遇时间=相遇距离速度和，而本题要求的就是相遇距离，怎么办？可以假设全程为单位“1”。练一练：一项工作,由甲单独做需要10天；由乙单独做需要12天.如果两人合做,几天才能完成?练习：一、基本题1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。白兔是黑兔的。把( )平均分为6份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的5份，对应的数量是（ ）。一种毛衣现价是原价的4/7。把( )平均分为7份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的4份,4/7对应的数量是（ ）。现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。九月份的产量比八月份增加了 。单位“1”：（ ）。九月份的产量对应分率（ ）。2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 （1）妈妈年龄的是女儿的年龄。 （2）已经用这根绳子的。（3）男生人数占总数的。 （4）今年车祸比去年减少。 （4）现价比原价增加。 （6）没有看的占这本书的。 3、六年级有男生100人，女生有80人。（1）男生人数是女生的几分之几？（2）女生是男生的几分之几？（3）女生是全年级学生的几分之几？（4）男生人数比女生多几分之几？3、某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的1/4，挖了多少米？还剩多少米？4、某车间五月份生产零件3000个，六月份比五月份多生产了，六月份生产了多少个零件？分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。对应的数量是（ ），六月份生产的对应分率是（ ）。 解答：5、某小学有学生若干人，其中女生占3/8，还已知该校男生有240人，这所小学共有多少人？分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。男生的对应分率是（ ）。解答：6、小亮在银行存了240元，小华存的钱是小亮的5/6，小华存的钱是小新的2/3，小新存了多少元？7、某粮店共有大米2800千克，第一天卖了4/7，粮店还有大米多少千克？8、商店有红气球和黄气球，共有48只，其中黄气球的只数是红气球的3/5 。红气球和黄气球各多少只?9、一只大雁由北方飞往南方要6天, 一只野鸭由南方飞往北方要8天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇?二、综合题：10、王琳看一本连环画共80页，第一天看了全书的1/5，第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看？11、本站有一批货物，上午运走了总数的2/5，下午运走了总数的3/8 ，还剩下2700吨没有运，这批货物一共有多少吨？12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，这时袋里的大米恰好是22千克。这袋大米原来有多少千克？13、小刚读一本书，先读了全书的，又读了全书的，已读的比没读的多70页，这本书共有多少页？14、根据算式写出问题。（说明：35%=7/20）还剩下全长的1/3没有修完，？（1）24001/4 ？（2）240035% ？（3）2400（1/4+35%） ？（4）24001/3 ？（5）2400（35% - 1/4） ？（6）2400（1/3 - 1/4） ？（7）2400（1/4+35% - 1/3） ？第八讲 较复杂的分数应用题（二）本讲继续学习较复杂的应用题两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。例1、一根140厘米长的绳子，第一次用去它的4/7 ，第二次又用了余下的3/5 ，两次共用去多少厘米？分析：本题有2个分率，相对应的有2个单位“1”。例2、小红看一本书，第一天看了全书的4/7 ，第二天又看了剩下的 3/5，还剩下42页没有看，这本书共有多少页？练一练：某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米？例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4，这时瓶内还有1/5千克，问这瓶油原来有多少千克？分析：根据条件“第二次吃了余下的3/4”，我们先确定“1”；再利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。例4、某校男生人数比全校学生总数的4/9少25人，女生人数比全校学生总数的4/7 多15人。求全校学生总人数。分析：利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。而单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。例5、 有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，这时瓶里还剩下90克酒精。求原来瓶里有酒精多少克？分析：本题2个分率，相对应的有2个单位“1”。利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。试一试：东盛化肥厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的3/5还多300吨，第二次运出的是第一次的1/3，第三次运出的450吨，求这批化肥有多少吨？例6、某工厂二月份比元月份增产1/10，三月份比二月份减产1/10问三月份比元月份增产了还是减产了？分析：本题没有告诉我们具体的数量，要求的也是不具体的分率，所以我们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。练一练：有兄弟三个，老大比老二年龄大2/5，老二比老三年龄大2/5，老大的年龄是老三的几分之几？练习：1、某水泥厂第二个月生产水泥2400吨，比第一个月多生产1/4，第一个月生产水泥多少吨？第三个月生产的水泥，比第一个月少生产1/5，那么第三个月生产水泥多少吨？2、小红看一本240页的书，第一天看了全书的1/4 ，第二天又看了剩下的1/3，还剩下多少页没有看？3、某粮店，第一天卖了全部大米的4/7，第二天又卖了余下的3/5，这时还剩下420千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克？4、某车间一月份生产了1000个零件，以后每个月都增产1/10，三月份生产了多少个零件？5、某工厂去年制造一种零件，成本逐渐下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，问第三季度的成本是第一季度的几分之几？6、某班学生中，男生人数比全班人数的5/9 少5人，女生人数比全班人数的3/7多11人，求全班人数。7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去20千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩8千克油问这桶油有多少千克？二、综合题8、两队合修一条水渠，甲队完成的比全长的1/2还多7.2千米，乙队完成的相当于甲队的1/3。这条水渠有多长？9、小王做零件，已经做了240个，比计划还少20%，为了超额25%，小王还应再做多少个？ 10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下的1/3，这时袋里的大米恰好是24千克。这袋大米原来有多少千克？11、向阳村用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公顷，问这个村共有多少公顷土地？12、一种商品，先提价，再降价，现价相当于原价的几分之几？第九讲 阶段复习与考试第十讲 简单的工程问题（一）准备题：修建一条长1200米的公路，甲队需要30天，乙队需要40天，如果两队合修需要多少天？在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作效率工作时间=工作总量（由此还可以变化为工作时间=工作总量工作效率，工作效率=工作总量工作时间），在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。工程问题中的本质关系为：工作效率工作时间=工作总量。分数工程问题的特点，常常不给出具体的工作总量，我们把全部工程看作单位“1”，这样，工作效率=1/工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。一、基本方法例1、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。（1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几？（2）合做3小时完成这批零件的几分之几？（3）合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时？（4）如果合做2小时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完？练一练：现在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要做几天可以完成全部工作？例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小时，客车从乙地开往甲地需要8小时，现货车先行2小时后，客车才出发，求客车出发后多少小时两车相遇？分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙两地路程看做单位“1”，速度用1/时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程速度和。例3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单开甲管12小时可把空池注满，单开乙管20小时可把空池注满，单开丙管15小时可把满池水放空，三管同开，多少小时把空池注满水？分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头60分钟可注满水池，现在两个水龙头同时注水，20分钟可注满水池的1/2，如果单开乙龙头需要多长时间注满水池？ 分析：根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和，再根据甲龙头的工效，就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。二、能力拓展例5、一项工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3，再由乙单独做了2天完成了全部工程的1/30 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？例6、一项工程，甲队独做需要45天完成，乙队独做需要60天完成，现在甲、乙两队合作，中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用了30 天，求乙队工作了几天？分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。例7、某项工程，甲、乙两队合做，30天可以完成。今两队合做12天后，剩下的由甲队独做，经过24天才完成。问：乙队独做全部工程需几天完成？ 分析：根据条件可以求出两队工效和。例8、加工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这件零件的1/30，现在两人合作完成这批零件，甲中途休息了2.5天，乙也休息了几天，这样用了15天才全部完成，求乙休息了几天？分析：乙休息的天数可能2.5天多或少或同样多。解题方法多样：按前面例题的思路，可用方程的方法，或假设方法。练习：一、基本题：1、修一栋楼房，甲公司单独做5个月完成，乙公司单独做6个月完成。（1）合做2个月完成这栋楼房的几分之几？（2）如果合做2个月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完？2、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，多少天可以完成？3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？4、做一批零件，甲单独做12天完成，乙单独做16天完成，现在两人合作4天后，余下的由乙独做多少天可以完成？5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管，单开一根进水管30分钟可以将水池注满，单开一根出水管45分钟可以将一池水放完。现在水池有1/2的水，两管齐开，多少分钟水池可以把水池灌满？6、一只大雁从甲地飞向乙地需要10天，一只野鸭从乙地飞向甲地需要12天，现野鸭先飞了3天后，大雁才出发，求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇？7、一项工程，甲队单独做5天完成；乙队单独做6天完成，甲、乙两队合做2天后，甲队因事调走，余下的部分由乙队单独做完，还需要多少天完成？二、综合题8、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合做4天后，余下的乙独做20天可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天？9、有一项工程，甲队独做40天可完成，乙队独做60天可完成，现在已知两队合做这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天，所以经过27天才完成全部工作，甲队离开了几天？ 10、一件工程，甲5小时先完成了1/4，乙接着用9小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成？11、一项工程，先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程，还要几天可以完成？第十一讲：圆和扇形（一）（一）基本知识1、圆：圆周长公式：C=d或C=2r。 圆面积公式：。圆环面积： 图一 图二 图三2、扇形。如上图二，连接两条半径OA、OB，就可得到一个扇形OAB，扇形面积公式是：S=。扇形的圆弧长=所在圆周长的。其中r是指扇形的在圆的面积，n指的是圆心角的度数。例1、图二中n=60，半径为6厘米，扇形面积是多少？弧AB是多少？3、弓形。如上图三， S弓AC= S扇AOCSAOC例2、图三中，直角三角形AOC的直角边OA= 6厘米，求弓形AC的面积。（二）基本运用例3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84米。花坛的面积是多少平方米？例4、计算下图阴影部分的面积(单位：厘米)例5、在一块长4.5米，宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后，剩下的铁板面积是多少平方米？ 例6、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米？剩下的面积是多少？例7、从一个直径为10厘米的圆中，剪去一个最大的正方形，正方形面积是多少？例8、求下图中阴影部分的面积和周长。练 习一、基本题1、一个圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米？2、已知一个圆的面积是28.26平方厘米，求这个圆的周长。3、下图涂色部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，它的面积是多少？4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，阴影部分面积是多少？5、下图圆的半径为6厘米，圆心角为45度，扇形AOC的面积是多少？弧AC是多少？6、下图是一个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。 7、求阴影部分的面积：(单位：分米) （=3）8、右图中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米，以AB为直径画成一个圆，圆心为O，CO垂直于AB，求弓形AC的面积。9、求下图中阴影部分面积和周长（1）等腰梯形的腰是0.8。（单位：厘米）（2）三角形ABC是等边三角形，底BC= 6厘米，扇形圆心角为120度。思考题：10、在下图中左右两个正方形一样大小，且图（2）中四个小圆一样大试问是图（1）中的大圆面积大，还是图（2）中四个小圆的面积之和大？请说明理由。第十二讲 简单的百分数应用题（一）百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。 一般地，我们可以把百分数应用题看作分数应用题来解答。一、一般百分数应用题例1、东风化肥厂去年计划生产化肥60万吨，实际生产了72万吨。实际产量比计划超过百分之几？例2、商店卖一种袖珍收音机, 现在按八折出售，每台是14.4元,这种收音机原价每台多少元?例3、有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮的2/3正好是乙仓库存粮的60%，已知乙仓库存粮1500吨，甲仓库存粮多少吨？例4、工程队挖一条水渠，每天挖1.4千米，10天挖了全长的70%，还剩多少千米没有挖？ 例5、学校去年春季植树500棵，成活率为85，去年秋季植树的成活率为90。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年秋季学校共种多少棵树？分析：成活率是指成活的棵数占