（基础数学专业论文）关于brauer代数β4（3）的一些结果.pdf

摘要 设y 是3 维的不可约s h ( c ) 一模对任意正整数n n ，记玩( 3 ) 是定义在 复数域上的参数是3 的b r a u e r 代数【1 1 l e h r e r - z h a n g 【8 】证明了，存在一个代 数满同态叩：羁。( 3 ) 斗e n d 。b ( c ) ( y 跏) 为了刻画l 【e r ，7 ，l e h r e r - z h a n g 构造了玩( 3 ) 的双边理想玩( 3 ) 垂级( 3 ) ，这 里圣是绒( 3 ) 中的一个元素他们猜测：k e r t = 玩( 3 ) 圣玩( 3 ) 当n = 4 ，5 ，6 时， l e h r e r - z h a n g 在【8 】中验证了他们的猜测 我们将证明玩( 3 ) 圣级( 3 ) 是一个c 6 加一模并将给出一个猜测，描述玩( 3 ) 圣瓯( 3 ) 作 为c 6 加模的分解从而我们有可能利用对称群的表示理论去刻画l c e r 刁当n = 4 时，我们验证了这个猜测 关键词：b r a u e r 代数，s 2 ( c ) ，同构，m u r p h y 元素 a b s t r a c t l e tvb et h et h r e e - d i m e n s i o n a li r r e d u c i b l e5 1 2 ( c ) 一m o d u l e f o ra n yn n ， l e t 玩( 3 ) b e t h eb r a u e ra l g e b r a 【1 】1o v e rt h ec o m p l e xf i e l dcw i t hp a r a m e t e r3 i th a sb e e np r o v e di n 【8 1t h a tt h e r ei sa na l g e b r a i ce p i m o r p h i s m 田：玩( 3 ) 一 e n d 。1 2 ( c ) ( y 跏) i no r d e rt od e s c r i b et h ek e r n e lo f ，7 ，l e h r e ra n dz h a n gc o n s t r u c t e dt h et w o - s i d e di d e a l 玩( 3 ) 圣吸( 3 ) f o rn 4 ，w h e r e 圣i s 柚e l e m e n ti n 级( 3 ) t h e y c o n j e c t u r e dt h a tk e rr = 百( 3 ) 圣百( 3 ) t h i sc o n j e c t u r eh a sb e e nv e r i f i e df o r 似= 4 ，5 ，6 ，i n 【8 】 w ew i l lp r o v et h a t 百( 3 ) 西百( 3 ) i sac 6 加一m o d u l ea n dw i l lg i v ea c o n j e c t u r e t od e s c r i b et h ed e c o m p o s i t i o no f 百( 3 ) 垂羁，( 3 ) i n t oi r r e d u c i b l ec 6 2 n - m o d u l e t h e ni tw i l lb ep o s s i b l ef o ru st ou s et h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo ft h es y m m e t r i c g r o u pt od e s c r i b ek e rr w ew i l lv e r i f yo u rc o n j e c t u r ef o r 礼= 4 k e yw o r d ：b r a u e ra l g e b r a ，与【2 ( c ) ，i s o m o r p h ，m u r p h ye l e m e n t 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：埘日期：西l 吐 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：垒已屈龟叁 导师签 日期：避：，2 e t , 垮i ： 1 引言 设y 是3 维的不可约阜【2 ( c ) 一模对任意正整数n n ，记玩( 3 ) 是定义在复 数域上的参数是3 的b r a u e r 代数【l 】l e h r e r - z h a n gf 8 】8 证明了，存在一个代数 满同态 ( 1 1 )刁：级( 3 ) 叫e n d 。1 2 ( c ) ( y 跏) 通过张量表示y 舰他们把b r a u e r 代数的表示与$ t 2 ( c ) 的表示联系起来紧接 着一个很自然的问题是如何求出这个同态的核这将有助于理解吸( 3 ) 的结构和 表示 在f 8 】中，l e h r e r - z h a n g 辅i $ l k e r= 玩( 3 ) 圣级( 3 ) ，其中垂是觋( 3 ) 中的一个 元素我们将证明级( 3 ) 圣玩( 3 ) 是c 6 2 n - 辛莫我们猜测级( 3 ) 圣吸( 3 ) 有一 个6 孙模的分解结合他们的猜测，从而我们有可能弄, i g l 对称群的表示理论去刻 画k e r 叩当佗= 4 时，我们验证了这个猜测，进而得到k e r y 笺s ( 2 ，2 ，2 ， 2 2 b r a u e r 代数 在本节中，我们将叙述b r a u e r 代数的定义和一些基本性质首先我们回 忆n - b r a u e r 图的定义 定义2 1 n - b r a u e r 图是由2 n 个点构成的图，它的每条边由2 个不同的点相连而 成，并且每个点仅对应唯一的一条边 记所有n - b r a u e r 图构成的集合为b 如我们将一个n - b r a u e r 图中这2 n 个 点平均分成上下两排，则每排有礼个点把这n 个点从左到右标为1 ，2 ，n 我 们给出一个5 - b r a u e r 图d 定义2 2 两个n - b r a u e r 图d ，的合成do 是将d 的下排点与d ，的上排 对应的点等同起来，再去掉所得到的图中的圈后，得到的图 显然，dod ，是一个n - b r a u e r 銎设d 如上图所示，d 是下列5 - b r a u e r 药： 则do ：y 由下图给出 下面的定义由b r a u e r 给出【1 】 1230 40 5 3 定义2 3 假设z c 定义在复数域上的b r a u e r 代数玩( z ) 是由所有m b r a u e r 图张成的一个复线性空间，且定义两个n - b r a u e r 图d l ，d 的乘积为： ( 2 ，4 ) d 1 d 2 = x n ( d l ，d 2 ) d lo 岛， 其中n ( d l ，d 2 ) 是d l ，见的合成中出现的圈的个数 通过s c h u r - w e y l 对偶，以及关于b r a u e r 代数的表示的结果，b r a u e r 得到 复辛群( c ) 与复正交群d n ( c ) 的自然表示的张量表示的分解这是r i c h a r d b r a u e r 【1 】弓l 入b r a u e r 代数的出发点 假设冗是一个交换环，茹是r 中的元素如果用r 替换定义2 3 中的复数 域c ，就得到定义在交换环r 上的b r a u e r 代数 b r a u e r 代数玩( z ) 还可以通过生成元和关系式定义 定义2 5 假设r 是一个含单位元的交换环，z 是r 中的一个元素磊( z ) 是 由8 l ，8 n 一1 ，e 1 ，e n l 生成的一个带单位元的结合r 代数，满足如下关系 s 2 = 1 ，e 2 = x e i ，e i s i 。e i 。8 i e i ，v 1si n 一1 s i 勺= s j s i ，8 i e j = 勺岛， e i e j = e j e i ，v 1 i 为了便于说明，我们经常将y o u n g 图表示 为一些格子，如果入= ( 3 ，2 ，1 ) 则y ( a ) = 将数字 1 ，2 ，佗) 不重复地填入y ( 入) ，得到一个a 一表t 如入= ( 3 ，2 ，1 ) ， 则酽和酽均为域 i6ii3l 设矸n ，一个c 袤t 称为是标准的，若每行元素从左到右依次增大且从 准a 表，事己为p 如a = ( 3 ，2 ，1 ) 则p = 设入卜死，t s t d ( a ) 定义g ( t ) 6 n ，使( t ) 6 n 的y o u n g 子群6 = 6 a l 6 k 是p 的行稳定子 令p k = 入= ( a 1 ，a 2 ，入。) i 入卜n ) ，v 入= ( a 1 ，a 。) 尹k 则2 a ：= ( 2 入1 ，2 入。) 卜2 扎 己2 尹k ：= 2 ala 尹k ) 接着我们回忆一下对称群6 n 表示理论中的定义和结论 9 设入卜n ，定义t l l 。t = d ( 与) 一1 m a d ( t ) ，其中( 与，t ) s t d ( x ) s t d ( a ) ，m a = u 蛾u 则对称群的群代数z g n 有一组基： m 。ti ( $ ，t ) s t d ( x ) s t d ( a ) ，a 卜佗) 定义z 6 是6 n 的由 m 呻l ( u ，d ) s t d ( g ) s t d ( p ) ，p p 入) 生成的z 子 模记m t = n t t x l + z 6 则由 m tit s t d ( a ) 生成的自由z - $ & - - 个z 6 n 一模，称为对偶s p e c h t 一模，记为驴记罐= s a o c g n 踺还有一组特殊的基称为正交基，在具体讲述这组基前，我们先回忆两个概 念：留数( r 酷i d u e ) 和j u c y s - m u r p h y 元素 定义3 3 设a 卜佗，茁= ( t ，歹) y ( 入) ，则z 的留数是一个整数r e s ( x ) = j - i ，t 是一 个k 表，1 k n ，则k 在t 中的留数为r e 8 t ( 七) = r e s ( y ) ，其中y 是y ( 入) 中k 所 在位置的点 定义3 4 设l k ：= l m 4 ，： n s 入 口 1 2 1 2 r l 一 1 2 一 l l ， 一 1 2 1 2 - ， 一 l 一1 2一，l一12 1 2 一 - ， 1一l一1一心 k l 一2 一 l 吼 1 2 l 一2 1 2 一，l一矿 一， 1 2 一 l 一2 1 一1 一r 一， 一 l r 1 2 一，lr 1 2 1 2 一 一， 一 q 1 2 1 分a l 一2 1 2 m m m p 口 p a a a i = i l 争刍 一 m a 1 分a l一2 l一矿l2 l一心l一矿l一心 m o o l 一2 1 2 1 2 i 一 一， 一， 一 l 一2 l 一2 1 2 l 一2 l 一2 一，1分 一， l 一2 一 l 一2 饥 k 1分1分一 一 l l 一2 仉 一 瓯 p 口 p a a a = l | l 薯 黪 舶 鲥 术 掌 木 圣 垂 圣 1 5 利用定理3 6 可知，当n = 4 时，上述猜测成立下面我们从维数的角度去说明 这一猜测的合理性利用对称群的不可约表示的维数公式和k e rt 的维数公式，可 得如下结论： 引理3 9 在n 9 时，d i m i 舱r 叩。e a 。( e 2 ) p n 。d i m s n p r o o f 由，7 ：箩艮( 3 ) 寸e n d i l 2 ( c ) ( y 跏) 知 d i mk e rr = d 洫( 级( 3 ) ) 一d i me n d 。1 2 ( c ) ( y 跏) = ( 2 n 一1 ) ! ! 一d i me n d 。1 2 ( c ) ( y 跏) 8 1 中l e h r e r - z h a n g 给出d i me n d 1 2 ( c ) ( y 跏) 的具体计算公式： 毗郴= ( ：) + 薹( 荔) 等 叉【9 1 中对对称群的不可约表示的维数有如下公式： d i m s a = ( 2 n ) ! i i 土h l ， 刍= 九+ k 一 一j + l , 通过计算我们可得： 佗3 时，左边= 右边= 0 ；n = 4 4 ，左边= 右边= 1 4 ； n = 5 时，左边= 右边= 3 4 2 ；佗= 6 时， 左边= 右边= 6 1 8 2 ； 佗= 7 4 ，左边= 右边= 1 0 4 5 9 8 ；n = 8 时，左边= 右边= 1 7 9 9 5 5 0 ； 礼= 9 时左边= 右边= 3 2 7 2 8 6 3 8 口 如果l e h r e r z h a n g 的猜测是成立的，贝 j d i m k e r 0 = d i m j ( 3 ) 圣霸。( 3 ) 推论3 9 中 的公式说日j l e h r e r - z h a n g 的猜测和我们给出的猜测是相容的这说明我们有可能 利用对称群的表示理论去刻画k e r 刀 1 6 附录i ( 源程序) a - - - t101 0 - 10 00 ，000 0 00 ，00 0 00 ，00 0o ； 00 一l0 ，l000l ，0000 一l0 ，00 000 ，000o ； 00 00 ，000 10 ，0ll0 00 ，00 100 ，00 00 ； 0 000 ，00 一l00 ，l000 0 l ，一10 000 ，0000 ； 0 000 ，00 000 ，000 - j 00 ，0l0l0 ，0 一l00 ； 0 000 ，00000 ，000000 ，00 00 一l ，l0l l ； 00 一l0 ，00ll0 000 - 100 ，00000 ，00 00 ； 0 0 00 ，- 10000 ，i0l000 ，0 1000 ，0000 ； 0 0 00 ，0000 一l ，0l00 0 l ，000 - 10 ，000o ； 一l0 00 ，00 000 1l0000 ，00 00 - 1 ，0000 ； 一10 10 ，00000 ，00 0 0 00 ，00 0 00 ，0l0 一l ； 0 100 。l0 0 00 ，000 0 00 ，00 0l0 ，一l000 ； 0 00 一l ，00 0 0l ，00 0 0 00 ，010 00 ，00 1o ； 0 1 - 00 ，00100 ，00 0 0 0 0 ，00 l00 ，00 10 ； 】； a = a ； b l - - - - t00100 0 0 0l00 0 00 - 1 - 10 0 0 0l0o 】；x l = a b ：1 ； b 2 - - 00 - 10 00l010 0 0 00 - 10 0 0 0 0 00 - 11 ；x 2 = a b 2 ； b 3 - - - o0 0 0000 - 10010l0 0 000 - 1 - 1l0 0o 】；x 3 - - a b 3 ； b 4 - - - 00 - 1010 0l0 00 - 10 0 0 0 0000 - 10 01 ；x 4 = a b 4 ； b 5 = 00 00 0 0 00 - 10l0 010 00 - 10 - 1001o ；x 5 = a b 5 ； b 6 = - t1000 0 0 0 0 010 0 0 0 00 - 1 - 10 0l00 ；x 6 - - - a b 6 ； b 7 = - i110 10 - 10 010 0 00 0000 000 00o 】；x 7 f f i a b 7 ： b 8 = 000 - 1010 010000 - 1 - 110 0 000 0 00 】；x 8 f f i a b 8 ； 1 7 c 1 = x l ；x 2 ；x 3 ：000 - 100 00 0 00000 ：0000 - 1000 0 0 0 0 00 ；00 0 00 - 10 0 0 0 0 0 0o ；x 4 ；o0 0 0 0 00 - 10 000 0 0 x 5 ；x 6 ；x 7 ；000 0 0 0 000 00 100 ；x 8 ；00000 0 00000 0 0 一l 】；b 2 f f i c l ；e i g ( b 2 ) ； c 1 = 0 1000 - i - 10 0 0 001010 00 - 100000 】；y l = a c l ； c 2 = o0 0010 000 - 10 00 - 1010 0 0l - 1000 】；y 2 = a c 2 ； c 3 = 00 0 00 00 00 0010000 - 1 - 100 011 - i ；y 3 = a c 3 ； c 4 = 00l0 - 100 - 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10o ；z 7 ，；00 000 0 0 000 0 00 - t ； b 4 = c 3 + c 2 c 3 c 2 + c 1 c 2 c 3 c 2 c 1 ；e i g ( b 4 ) ； e l = 1 - 1 - 1010100 - 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 】；u l = a e l ； e 2 = 00 010 - 10 - 10 0 0110 00 - 1000 00 00 】；u 2 = a e 2 ； e 3 = 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 - 100 - 101 10 - 1 ；u 3 = a e 3 ； e 4 = 10 - 1 - 10 0 01 10 - 10 0 0 0 0 000 0 0 0 00 】：u 4 = a e 4 ； e 5 = 0100 - 1 - 10 0 0 0 01010 00 - 100 0 00o 】；u 5 = a e 5 ； e 6 = 0010 00 - 10 - 10 000 010 0 0 0 0 0 01 - 1 ；u 6 = a e 6 ： e 7 = 00 0 010 0 00 - 10 00 - 1010 0 01 - 10 00 】；u 7 = a e 7 ； c 4 = - 10 0 0 0 0 0 000 0 0 0o ；u l ；u 2 ； 0 00 - 10 0 0 0 0 0 0 0 00 ；00 00 10 0 0 0 0 0 0 00 ；u 3 u 4 ；u 5 ；00 0 0 0 0 00 10 0 0 00 ；00 0 0 0 0 0 00 10 0 0 0 u 6 ，；u 7 ；00 0 0 0 0 000000 - 10 ：00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 - t ； b 5 = c 4 + c 3 c 4 c 3 + c 2 c 3 c 4 c 3 c 2 + c i * c 2 c 3 c 4 c 3 c 2 c i ；e i g ( b s ) ； f l = - i1 10 - 10 - 1001000 0 0 000000 0 00 】；v l = a f l ： f 2 = 00 0 0 0 0 00 - 1010 010 00 - 10 - 10010 】；v 2 = a f 2 ； f 3 = 0000 0 0 0 0 0 0 0000 - 110010 - 1 - 10l 】；v 3 = a f 3 ； f 4 = 00 0 0 0 00 - 10 01010 0 0 00 - 1 - 11000 】；v 4 = a f 4 ； f 5 = - t01 1000 - 1 - 10100 0 0 0 000 0 0 0 00 】；v s = a f 5 ； f 6 = - t001000 0 01000 00 - 1 - 10 0 0 0100 】；v 6 = a f 6 ； f 7 = o - 100 01 100000 - 10 - 1000100000 】；v 7 t a f 7 ； f s = 0 - 1001 1000 00 - 10 - 100 01000 0 00 】；v 8 f a f 8 ； c 5 = v l ；0 - 10 0 0 00000 000o ；v 2 ； 0 00 - 10 0 00000000 ；v 3 ；000 00 1 00 0 00000 ； 0 0 0 0 00 - 10 0 00000 ；00 000 00 - 10 0 0 0 00 ；v 4 v 5 ；v 6 ；v 7 ；000 0 00 00 0 0 00 10 ；v 8 】； b 6 = c 5 + c 4 木c 5 掌c 4 + c 3 木c 4 木c 5 奉c 4 车c 3 + c 2 木c 3 率c 4 宰c 5 幸c 4 丰c 3 宰c 2 + c l 牛c 2 宰c 3 宰c 4 木 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 ；e i g ( b 6 ) ； g l = 00 0 10 - 100 10 0 0 011 - 10 0 0 0 0 0 0o 】；w l = a g l ； 9 2 = 00 10 - 100 - 10 0010 0 0 0 0 0 0 0100 - i ；w 2 = a 9 2 ； 9 3 = 00 0 000 100 - 100 - 10 0 010 0100 10 】；w 3 = a 9 3 ； 9 4 = 00 00 0 0 0 100 1 0 100 0 0 011 - 10 00 】；w 4 = a 9 4 ； 9 5 = 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 00 1 10 0 01 1 1 ；w 5 = a 9 5 ； 9 6 = 100 - 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10 - 10 0 0 100000 】；t 9 = a h 9 ； c 7 = t l ；t 2 ；00 - 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0o ；t 3 ； 0 0 00 100 0 0 00 0 00 ：000 00 10 0 0 0 0 0 00 ； t 4 ；t 5 ；00 0 0 0 0 00 - 10 0 0 00 ；t 6 ；t 7 ；1 ；8 ； 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 - 10 ；t 9 】； b 8 - - c 7 + c 6 c 7 c 6 + c 5 c 6 c 7 c 6 , c 5 + c 4 c 5 c 6 c 7 c 6 c 5 c 4 + c 3 车c 4 宰c 5 木c 6 奉 c 7 * c 6 c 5 c 4 木c 3 + c 2 | c c 3 宰c 4 宰c 5 幸c 6 ，i c 7 | c c 6 奉c 5 宰c 4 * c 3 - c 2 + c 1 奉c 2 宰c 3 宰c 4 牛c 5 木 c 6 c 7 c 6 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 ；e i g ( b 8 ) ； e = e y e ( 1 4 ) ；b 2 1 = e b 2 ；b 2 2 = 一e b 2 ；b 3 1 = e b 3 ；b 3 2 = 一e b 3 ； b 3 3 = - 2 * e b 3 ；b 4 1 = e b 4 ；b 4 2 = - b 4 ；b 4 3 = 一2 * e b 4 ；b 4 4 = 一3 * e b 4 ； b 51 = e - b 5 ；b 5 2 = - b 5 ；b 5 3 = - 2 * e b 5 ；b 5 4 = 一3 * e b 5 ；b 61 = 一b 6 ； b 6 2 = - i * e - b 6 ：b 6 3 = - 3 * e b 6 ；b 7 1 = 一i * e b 7 ；b 7 2 = 一3 * e b 7 ； b 8 1 = 一2 * e b 8 ； f o r m a tb a n k 2 1 d 1 - - v e r t c a t ( b 2 1 ，b 3 2 ，b 4 2 ，b 5 3 ，b 6 2 ，b 7 2 ，b 8 1 ) ；r l = r a n k ( d 1 ) ；x l = n u l l ( d 1 ，r 1 ) d 2 = v e r t c a t ( b 2 1 ，b 3 2 ，b 4 2 ，b 5 3 ，b 6 3 ，b 7 1 ，b 8 1 ) ；r 2 = r a n k ( d 2 ) ；x 2 = 咀u l l ( d 2 ，r 2 ) d 3 = v e r t c a t ( b 2 2 ，b 3 1 ，b 4 2 ，b 5 3 ，b 6 3 ，b 7 1 ，b 8 1 ) ；r 3 = r a n k ( d 3 ) ；x 3 = n u l l ( d 3 ，r 3 ) d 4 = v e r t c a t ( b 2 2 ，b 3 1 ，b 4 3 ，b 5 2 ，b 6 3 ，b 7 1 ，b 8 1 ) ；r 4 - - r a n k ( d 4 ) ；x 4 = n u l l ( d 4 ，r 4 ) d 5 = v e r t c a t ( b 2 1 ，b 3 2 b 4 3 ，b 5 2 ，b 6 3 ，b 7 1 ，b 8 1 ) ；r 5 = r a n k ( d 5 ) ；x 5 = n u l l ( d 5 ，r s ) d 6 = v e r t c a t ( b 2 2 ，b 3 3 ，b 4 1 ，b 5 2 ，b 6 3 ，b 7 1 ，b 8 1 ) ；r 6 = r a n k ( d 6 ) ；x 6 = n u l l ( d 6 ，r 6 ) d 7 = v e r t c a t ( b 2 2 ，b 3 1 ，b 4 2 ，b 5 3 ，b 6 2 ，b 7 2 ，b 8 i ) ；r 7 - - r a n k ( d 7 ) ；x 7 = n u l l ( d 7 ，r 7 ) d 8 = v e r t c a t ( b 2 1 ，b 3 2 ，b 4 3 ，b 5 2 ，b 6 2 ，b 7 2 ，b 8 1 ) ；r 8 = r a n k ( d 8 ) ；x 8 = n u l l ( d 8 ，r 8 ) d 9 = v e r t c a t ( b 2 2 ，b 3 1 ，b 4 3 ，b 5 2 ，b 6 2 ，b 7 2 ，b 8 i ) ；r 9 = r a n k ( d 9 ) ；x 9 = n u l l ( d 9 ，r 9 ) d l o = v e r t c a t ( b 2 2 ，b 3 3 ，b 4 i ，b 5 2 ，b 6 2 ，b 7 2 ，b 8 1 ) ；r l o = r a n k ( d l o ) ；x l o - - n u l l ( d l o ，r l o ) d 1 1 - - v e r l l c a t ( b 2 2 ，b 3 3 ，b 4 1 ，b 5 4 ，b 6 1 ，b 7 1 ，b 8 1 ) ；r 1 1 = r a n k ( d 1 1 ) ；x 1 1 - - n u l l ( d 1 1 ，r 1 1 ) d 1 2 - - v e r t c a t ( b 2 2 ，b 3 1 ，b 4 3 ，b 5 4 ，b 6 1 ，b 7