（工程力学专业论文）应用MR阻尼器的滞迟系统的非线性随机最优半主动控制.pdf

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滞迟系统胍阻尼器，随机平均法，随机最优控制，动态规划原理，l q g 控制- 精确平稳解。 i - i 0 l 一 - “ 0 a b s t r a c t i n e l i a p t e rl ，t h ep r e s e n ts t a t u so f t h es t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r yi sb r i e f l yr e v i e w e d ，a n d m a n ym e t h o d sf o rp r e d i c t i n gt h es t o c h a s t i cr e s p o n o ft h eh y s t e r e t i es y s t e ma n n e i n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 t h ew o r k i n gp r i n c i p l eo ft h em rd a m p e ra n di t s m a t h e m a t i c a lm o d e l sa r ee x p a t i a t e d ，a n dt h ec o n t r o ls t r a t e g i e sf o ru s i n gm r d a m p e r s a r ee n u m e r a t e d i nc h a p t e r3 ，t h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o do fe n e r g ye n v e l o p ea n d s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g ya n n ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r4 ，b a s e do nt h eb a s i c p f i n c i p l e sd e s c r i b e di nc h a p t e r3 ，m rd a m p e ri s u s e dt os e m i - a c t i v e l yc o n t r o lt h e h y s t e r e t i es y s t e m f i r s t t h es y s t e mi s c o n v e r t e di n t o 觚e q u i v a l e n tn o n - h y s t e r e t e n o n l i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m ，f r o mw h i c hap a r t i a l l ya v e r a g e d t bs t o c h a s t i ce q u a t i o n i sd e r i v e db yu s i n gt h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o do fe n e r g ye n v e l o p e f o rt h e e r g o d i ec o n t r o lp r o b l e m ，ad y n a m i c a lp r o g r a m m i n ge q u a t i o ni se s t a b l i s h e db a s e do n t h es t o c h a s t i cd y n a m i c a lp r o g r a m m i n gp r i n c i p l ea n ds o l v e dt oy i e l dt h eo p t i m a l c o n t r o ll a w t h ef u l l ya v e r a g e d 肪e q u a t i o ni so b t a i n e db ys u b s t i t u t i n gt h eo p t i m a l c o n t r o lf o r c ei n t op a r t i a l l ya v e r a g e d 肪e q u a t i o na n dc o m p l e t i n gt h ea v e r a g c f i n a l l y ，t h er e s p o n s eo ft h ec o n t r o l l e ds y s t e mi so b t a i n e db ys o l v i n gt h ef i n a l d y n a m i c a lp r o g r a m m i n ge q u a t i o na n d t h e f o k k e r - p l a n c k - k o l m o g o r o ve q u a t i o n a s s o c i a t e dw i t ht h ef u l l ya v e r a g e d 肪e q u a t i o n s i m u l t a n e o u s l y , l q gc o n t r o l s t r a t e g yi sa l s ou s e dt oc o n t r o lt h es a m es y s t e m t h en u m e r i c a lr e s u l ti n d i c a t e st h a t b o t ht h ee f f e c t i v e n e s sa n de f f i c i e n c yo ft h ef o r m e rc o n t r o ls t r a t e g ya r eb e t t e rt h a n t h o s eo f t h el a t t e r 4 卜f1_幸p 气 1 芝 卜 ： i _ 第一章滞迟系统的非线性随机振动控制概述 一随机控制理论发展概况及研究内容 l 随机控制理论的发展概况 随机控制系统的量测量和被控量都是随机过程，因此，随机控制理论的发展 是与随机过程理论的发展密切相关的。随机过程理论产生于2 0 世纪初期，是为 适应物理学、生物学、通信与控制等方面的需要而逐步发展起来的。最初在布朗 运动、电话信息量和电子管的散粒效应噪声等问题的研究中取得成果。1 9 3 1 年， k o l m o g o r o v 奠定了随机过程的数学理论基础。1 9 5 3 年，d o o b 的著作论述了随机 过程的数学理论。以后，有关随机过程理论和应用的著作大批出现，并取得丰硕 的成果。1 9 5 1 年，k i t o 发表了论随机微分方程一文。随后，对随机微分方 程的研究受到了广泛的重视，并渗透到很多领域。随机过程的研究和发展，为随 机控制的发展提供了理论基础 2 】。 自动控制理论是由于军用和民用工业的需要而提出和发展起来的。1 9 2 7 年 已有b l a c k 负反馈放大器，1 9 3 2 年n y q u i s t 提出的稳定性判据是频率法的标志， 1 9 4 5 年b o d e 提出的反馈放大器理论奠定了自动控制理论的基础，1 9 4 8 年出现 根轨迹法，至此，形成了经典控制理论。在此期间，作为自动控制理论一个分支 的随机控制也得到了发展。 n w i e n e r 和k o l m o g o r o v 发展起来的滤波和预测理论，使从信号加噪声的观 测中提取有用信号成为可能，这是随机控制理论的一个重要基础，有重大的理论 价值。但由于w i e n e r 和k o l m o g o r o v 理论需要求解一种难于求解的积分方程( 维 纳霍普夫方程) ，所以未能得到广泛应用。 1 9 5 6 年p a n t r y g a i n 提出了极大值原理，1 9 5 7 年r b e l l m a n 提出的动态规划 法，以及1 9 6 0 年r e k a l m a n 提出的滤波和预测理论使自动控制理论有了重大突 破1 9 6 0 年在美国的自动控制的第一届联合会上，首次提出了“现代控制理论” 这一名称，标志着现代控制理论的正式产生而这些理论与随机最优控制直接相 关。 5 _，j，1$p j _ i h 数字计算机的广泛应用大大加速了随机控制理论的发展。r e k a l m a n 和 i 乙s b u c y 在1 9 6 0 年提出了求解滤波和预测问题的递推算法，对滤波和预测理论 作出了特殊的贡献。求解随机控制问题紧密地依赖于动态规划的概念和方法。 1 9 6 1 年e d j o s e p h 和j t t o u 提出了分离定理，根据分离定理可把线性随机控制 问题分为两部分分别求解，一部分是状态估计器，另一部分是求解最优控制策略。 还可以证明，对线性系统的线性控制，随机最优控制策略与确定性最优控制策略 是相同的，这就是确定性等价原理。 自校正自适应控制与模型参考自适应控制的发展，丰富了随机控制内容，使 之得到更广泛的应用。 随机控制理论对于具有集中控制器和状态完全能观测的线性系统已经具有 相当完善的理论。几十年来，随机控制理论在很多领域已有广泛和成功的应用。 随机控制理论既有广阔的应用前景，也有很多富有挑战性的研究课题。自动 控制理论的传统模型已不满足要求，应向非线性、随机、分布参数模型等更广的 范围扩展。实际系统很少是线性的，高度非线性对象更是如此。因此，这种系统 的非线性滤波器和非线性信号处理器的数字实现，可同时辨识位置参数和系统参 数的自适应随机控制就成为重要而困难的研究课题。在许多实际随机控制问题 中，传感器和控制器都受所处位置噪声的干扰，在处理这类因素或分散式随机控 制问题时，还缺少模型、概念体系和分析方法，这也是重要的具有挑战性的研究 课题。到目前为止，尚未解决兼顾优化和状态估计的集成控制律问题，从而影响 了随机控制的进一步发展，这又是个重要的研究课题。 2 随机控制的研究内容 以状态空问模型为例，完整的随机控制系统如下图所示，图中各部分及有关 问题都是随机控制理论的研究内容，具体包括下列各部分： 图l 一1 随机控制系统 6 ： _ h ( 1 ) 分析动力学系统和系统变量的统计特性 随机动力学系统中存在噪声，噪声是一种随机过程，这就使状态向量和量测 向量在噪声作用下，也变成随机过程。随机过程不同于确定性过程，要用统计特 性描述。因此，为了分析和研究随机动力学系统，了解随机动力学系统和系统变 量的统计特性是必要的，这是研究随机动力学系统的数学理论基础。 ( 2 ) 系统辨识和参数估计 为研究和设计随机控制系统，首先要列写出受控对象的数学表达式，确定系 统结构和参数，这就是本部分的内容。在某些场合，系统模型和参数可通过理论 计算得到，而在另外一些场合，如对复杂的生产过程，则必须通过实验辨识方法 得到。 ( 3 ) 状态变量的估计( 滤波) 像确定性控制系统一样，对随机控制系统，人们感兴趣的是受控对象的状态 向量了，但不同的是，随机控制系统的状态向量变成了随机过程，得到的量测向 量y 也是随机过程。状态估计的方法就是由量测向量y 求出状态向量x ，计算过 程中滤掉噪声信号，得到有用的最优状态向量估计叠。 状态估计与系统辨识相比较，两者的方程形式相同，不同的是，前者把参数 作为己知量求状态，后者把状态作为已知量求参数。 ( 4 ) 最优随机控制 最优随机控制就是利用最优状态估计曼，求出一个状态反馈，实现给定性能 指标为最小的目标。 完整的随机控制系统包括上述各个部分，但具体的随机控制系统不一定都包 括每一部分，某些部分可能变得简单一些。如有的系统可通过理论计算，而不需 用复杂的实验辨识方法来得到系统的模型 3 。 3 振动控制的分类 随机控制按照其振动控制的方法一般分为被动、主动、半主动3 个类型。 振动被动控制又称为无源控制，由于振动被动控制不需要外界能源，装置比 较简单，易于实现，经济性好。可靠性高，已广泛应用在各个工程领域中主要 研究：( 1 ) 以线性无源元件构成的减振装置的最优参数设计，比如弹簧、阻尼器 7 等。( 2 ) 在以无源元件减振的前提下，研究如何求得减振装置的最佳传递函数 1 6 。但是由于传统被动减振器只有阻尼力和速率的单值函数关系，粘度不可调 节，且当速率增加时，由于流体温度升高，其粘度反而会降低。因此，随着人们 对振动环境、对产品与结构的振动特性的要求越来越高，被动控制已经远远不能 满足要求 随着科学技术的发展，以及人们对振动环境的要求越来越高，振动的主动控 制成为一条新的途径。振动主动控制系统由以下几个环节组成： ( 1 ) 受控对象：是控制对象一一产品、结构或系统的总称。 ( 2 ) 作动器：也称为作动机构。它是一种能提供作用力( 或力矩) 的装置。 ( 3 ) 控制器：它是主动控制的核心环节，由它实现所需的控制律。控制律就是 控制器输入与输出之间的传递关系。 ( 4 ) 测量系统：包括传感器、适调器、放大器乃至滤波器等将受控对象的振动信 息转换并传输到控制输入端的各个环节。 ( 5 ) 能源：它是用来供给作动器工作所需的外界能量，与作动器形式相对应的有 液压油源、气源、电源等。 ( 6 ) 附加子系统：它是附加的控制子结构或子系统的总称。 不是任何的振动主动控制系统都必须有附加子系统，但是前面五个环节却是必不 可少的。 振动主动控制具有明显的优越性，可以很好地提高结构振动控制的效率和操 纵的平稳性，但是由于其价格昂贵、能耗高、结构复杂、可靠性差，大大限制了 主动控制的推广。 半主动控制系统相对于主动控制系统，结构相对简单，能量消耗小，价格低 廉，所以具有良好的应用前景。但是，半主动机械式阻尼减振器通过调节截流孔 的开口改变通流面积来调节阻尼系数，不易实现细微调节。磁流变液具有表观粘 度随剪切速率和外加场强的变化而变化的特性，根据这一性质制作的磁流变阻尼 器能够作为结构减振器进行隔振。在外加磁场作用下，磁流变阻尼器的阻尼力可 在几毫秒之间实现调节，与微机结合，能够实现结构振动的在线半主动控制。本 文将利用磁流变阻尼器对滞迟系统进行半主动控制。 0 二滞迟系统及其研究概况 许多工程结构在强烈的地震作用下，由于材料的屈服。内摩擦或者构件结合 面间的摩擦等原因，往往呈现出滞迟特性。滞迟系统的恢复力是一个多值函数， 不仅取决于系统的瞬时位移，而且取决于系统响应的历史。滞迟效应主要表现为 刚度的减少与能量耗散能力的增加 1 。 滞迟系统是一种复杂得非线性系统，人们曾经提出了很多描述滞迟恢复力特 性的模型，如双线性模型 4 ，5 ，分布弹塑性元件模型 6 】，拉姆伯格( r a m b e r g ) 一奥斯古德( o s g o o d ) 模型 7 ，b o u c - - w e n 的辅助微分模型 8 ，9 等。其中以双 线性模型最为简单，因而应用较多。但是b o u c - - w e n 的辅助微分模型变通性最大， 可通过适当调节参数值来描述各种滞迟特性，且便于与运动微分方程一起进行处 理，近来已经越来越普遍地被采用。本文所讨论的滞迟系统就是基于b o u c - - w e n 的辅助微分模型。 由于滞迟非线性是工程领域中( 尤其是地震工程中) 一类非常普遍的非线性 现象，该问题的解决具有重要的理论意义和实用价值，引起学者们的普遍关注。 许多方法被用来解决滞迟系统的随机响应问题，如基于克雷洛夫一博戈留波夫假 设的等效线性化法 4 、般的等效线性化法 1 0 、功率平衡法 7 、f p k 方程法 9 】、高斯截断法 1 1 、累积量截断法 1 2 、标准随机平均法 1 3 ，1 4 及能量包线 随机平均法 1 5 j 等。其中一般等效线性化法能给出较为满意的均方响应值，而能 量包线随机平均法则同时能给出较为满意的响应概率密度与各阶矩。本文第四章 第二部分将会叙述能量包线随机平均法在滞迟系统中的应用。而关于等效线性化 法在同一问题中的应用将在第四章第三部分进行阐述。 我们研究滞迟系统的响应特性最终还是为了对滞迟结构的随机振动进行有 效的控制，目前已经提出了许多关于滞迟系统的主动控制策略，如多项式控制， 渭移模型控制以及最优非线性随机最优控制，然而关于时滞系统的半主动控制还 没有进行过任何研究工作。如上所述。半主动控制比主动控制和被动控制具有更 好的应用前景，因此本论文结合磁流变阻尼器特性，将基于能量包线随机平均法 和动态规划原理的非线性随机最优控制策略应用于滞迟系统进行半主动控制，研 究其响应和控制效率。 9 三小结 本章简单介绍了随机控制的发展概况、研究内容以及振动控制的分类，并回 顾了求解滞迟系统随机响应的各种方法。最后针对目前滞迟系统控制研究情况， 提出了本文研究的内容为利用躲磁流变阻尼器对滞迟系统进行半主动控制。 参考文献 1 王军，林家浩剪切型非线性滞迟系统随机地震响应的虚拟激励分析，固体力学 学报，2 0 0 1 ，2 2 ( 1 ) ：2 3 3 0 2 刘豹现代控制理论，机械工业出版社，2 0 0 0 3 郭尚来随机控制，清华大学出版社，2 0 0 0 4c a n g l a e ytk ，r a n d o me x c i t a t i o no fas y s t e mw i t hb i l i n e a rh y s t e r e s i s j a p p l m e c h ，2 7 ( 1 9 6 0 ) ，6 4 9 - 6 5 2 5a s a n oka n d1 w a nw d ，a na l t e r n a t i v ea p p r o a c ht ot h er a n d o mr e s p o n s eo f b y l i n e a r h y s t e r e s i ss y s t e m s e a r t h q u a k ee n g s t r u e t d y n ，1 2 ( 1 9 8 4 ) ，2 2 9 - 2 3 6 61 w a nw d ，ad i s t r i b u t e de l e m e n tm o d e lf o rh y s t e r e s i sa n di t ss t e a d y - s t a t ed y n a m i c r e s p o n s e , j a p p l m e e h ，3 3 ( 1 9 6 6 ) ，8 9 3 - 9 0 0 7j e n n i n g spc ，e a r t h q u a k er e s p o n s eo f ay i e l d i n gs t r u c t u r e ，j e n g m e c h ，9 1 ( 1 9 6 5 ) ， 4 1 6 8 8b o u e & f o r c e dv i b r a t i o no fm e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hh y s t e r e s i s ，p r o c 4 mc o n f n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n ，p r a g u e ，c z e c h o s l o v a k i a , 1 9 6 7 9w e nykm e t h o df o rr a n d o mv i b r a t i o no fh y s t e r e t i es y s t e m s , j e n g m e e k ， 1 0 2 ( 1 9 7 6 ) ，2 4 9 - 2 6 3 1 0w e ny 磁e q u i v a l e n tl i n e a r i z a t i o nf o rh y s t e f e f i es y s t e m su n d e rr a n d o me x c i t a t i o n , j e n g m e c h 。4 7 ( 1 9 8 0 ) ，1 5 0 1 5 4 1 1i y e n g a rrna n dd a s hpks t u d yo f t h er a n d o mv i b r a t i o no f n o n l i n e a rs y s t e m sb y t h eg a u s s i a nc l o s u r et e c h n i q u e ，j a p p l m e e h ，1 9 7 8 ，4 5 ( 0 ，3 9 3 - 3 9 9 1 2 余锟，沈德安滞回系统随机振动的累积量截断法，振动与冲击，1 9 8 9 ， 4 2 ( 2 ) ：1 - l l 1 3r o b e r t sjb 。1 h cr e s p o n s eo fa t lo s c i l l a t o rw i t hb i l i n e a rh y s t e r e s i st os t a t i o n a r y r a n d o me x c i t a t i o n , j a p p l m e c h ，4 5 ( 1 9 7 8 ) ，9 2 3 - 9 2 8 1 4r o b e r t sjb n l ey i e l d i n gb e h a v i o ro far a n d o m l ye x c i t e de l a s t i c p l a s t i cs t r u c t u r e ， j s o u n dv i b ，7 2 ( 1 9 8 0 ) ，1 5 0 - 1 5 4 1 5 朱位秋，雷鹰能量包线随机平均法在双线性迟滞系统随机响应分析中的应 用，航空学报，1 9 8 01 0 ( 1 ) ：2 8 - 3 4 第二章磁流变阻尼器实现非线性随机振动控制概述 磁流变液简介 磁流变效应( m r e ) 是磁流变技术的基础。在2 0 世纪4 0 年代，r a n - n o w j 首 次发现磁流变现象：在外加磁场的作用下，某些流体的黏度会迅速发生显著变化， 流体的流动屈服应力增大，从而改变其流变特性，当去掉外加磁场时，流体又恢 复到原来的状态，其响应时间仅为几毫秒，这种现象称为磁流变效应，而能产生 磁流变效应的流体，称为磁流变液( m r f ) 【4 】。磁流变液是一种随着外加磁场的 变化而具有可控流变特性的特定的非胶体悬浮液体，能在毫秒级时间内实现自由 流动、线粘性n e w t o n 流体和具有一定剪切屈服强度的b i n g h a m 流体之间的快速 可逆转化。在这一过程中，磁流变液的黏度保持连续、无级变化，并且能耗极小 可实现实时主动控制。在外加磁场的作用下，能产生磁流变效应的磁流变液通常 由三部分组成：可在磁场中产生极化的离散磁性微粒、温度效应较小的绝缘载体 液和防止离子结团和降沉的稳定剂。磁流变液是一种具有良好工程应用和市场前 景的新型智能材料，正日益引起人们的关注，美国已经有实用化的产品问世，其 中d e l p h i 公司利用磁流变阻尼器开发的汽车悬架系统，实现了首家系统阻尼可 调，提高了汽车的安全性和平顺性，该项目被评为1 9 9 9 年度世界1 0 0 大科技成 果之一。除此以外，建筑结构的振动的控制也是磁流变阻尼器应用的一个重要课 题，l o r d 公司的研究人员利用混合工作模式开发的建筑抗震阻尼器已经得到了 广泛的应用。 因此，磁流变液是一种具有良好工程应用和市场前景的新型智能材料，其研 究及应用是当前的热点之一。在磁流变液的众多应用中，磁流变阻尼器是一个熟 悉而重要的应用。 二磁流变阻尼器的工作原理 磁流变阻尼器的工作原理是：在外加磁场作用下，磁流变液中随机分布的磁 极化粒子沿磁场方向运动，磁化运动使粒子首尾相联，形成链状或网状结构，从 而使磁流变液的流动特性发生变化，进而使阻尼器阻尼通道两端的压力差发生变 化，达到改变阻尼力的目的。磁流变液能制成各式各样的阻尼器件，磁流变阻尼 器的最大阻尼力依赖于磁流变液的特性、流动模式以及磁流变阻尼器的尺寸。目 前直线运动的磁流变阻尼器件都是基于下列3 种工作模式进行设计的：流动模 式、剪切模式和挤压模式，这三种模式的工作原理如下所示： ( 1 ) 流动模式：当磁流变液在压力作用下通过固定的磁极时，磁流变液流动的方 向与磁场方向垂直，可通过改变励磁线圈的电流来控制磁流变阻尼器件的阻尼 力。多用于开发伺服阀、阻尼器、减振器和制动器。 ( 2 ) 剪切模式：当磁流变液在可移动磁极的作用下通过可控磁场时，磁极移动方 向与磁场方向相互垂直，多用于开发离合器、制动器、夹具、阻尼器等。 ( 3 ) 挤压模式：当磁极移动方向与磁场方向相同时，磁流变液在磁极压力的作用 下向四周流动，磁极方向与磁流变液流动方向垂直。因为磁极移动位移较小，磁 流变液产生的阻尼力较大，多用于小位移大阻尼的磁流变器件，主要是一些小幅 振动的阻尼器。 三磁流变阻尼器的阻尼力模型简介 1 b i n g h a m 模型的近似光滑表示 磁流变阻尼器阻尼力模型的内核是b i n g h a n l 体力学模型，它由一个黏性阻 尼器与一个c o u l o m b 摩擦元件并联而成。其模型为： c = q 毒一zs g n ( 茸) ( 1 ) 茸是阻尼器两端的相对速度，c ，为黏性阻尼系数，- c ，鼻为被动控制力，z 表示 磁流变液屈服应力对应的最大摩擦力，与磁感应强度有关。 b i n g h a m 体用在不同结构的器件中，由于期间本身的动力特性影响，使得与 b i n g h a m 体耦合后的宏观力学特性极为复杂，出现了阻尼力在交变速度作用下的 复杂滞后环行为，这种滞后环行为不是b i n g h a m 体的本质特性，是由阻尼器结 构以及复杂激励引起的。该模型已被许多研究者的实验所证实，利用该模型能很 好地拟合阻尼器的力位移响应，但是不能很好地模拟力一速度的非线性响应， 尤其是速度很小且位移与速度同向时的情况。 2 b o u c w e n 模型 该模型在数值上容易处理，并能表现出广泛的滞迟性能，已被广泛应用于滞 迟系统的模拟。该模型由b o u c 提出，w e n ( 1 9 7 6 ) 推广，最简单的b o u c - - w e n 模 型示于图2 1 。该模型的控制方程如下 f = c o i + k 0 ( x x o ) + a z ( 2 ) 式中c o ，k o ，口，分别为阻尼系数、弹簧刚度、输入电流函数和初始位移。滞迟变 量2 为 j = 一，i 叠l z i z i ”1 一卢童i z r + 血( 3 ) 式中a ，行为滞迟参数。 研究表明【l 】，该模型不能模拟惯性效应引起的低速阻尼器阻尼力的衰减现 象和极限速度时的两个顺时针滞迟环为此在b o u c w e n 模型的基础上引入一个 质量单元，如图2 - 2 所示。改进后的模型在模拟极限速度时的两个顺时针滞迟环 方面有所进步，但是仍不能描述低速时阻尼器阻尼力的衰减现象。 口i d v n上 r l ，氕 e j 亡牟 取 - m 七o b x c - w n r 嗣 瞄u 一 - 4 卜 2 1b o u c w e n 模型2 - 2 引入质量单元的2 - 3 修正的b o u c w e n 模型 b o u c - w e n 模型 b o u c w e n 模型能很好地拟合力一位移曲线与力速度曲线，与实验数据接 近。但在位移与速度相反或速度很小时，该模型就不能描述力一位移的非线性关 系，并且参数较多，物理概念不清楚。 3 修正的b o u c w e n 模型 1 4 为了准确地模拟m r 阻尼器的动态性能，在总结前人提出的阻尼器力学模型 的基础上，关新春和欧进萍 5 提出了修正的b o u c - w e n 模型，见图2 3 。在此模 型中，耗能可看作是粘滞力与b o u c - w e n 滞变阻尼力之和的形式，应用b o u c w e n 滞变力模型，可描述m r 阻尼器在低应变下的粘弹性以及高应变下的库仑特性表 现出复杂的非线性特性。 由图2 - 3 可知，m r 阻尼器的阻尼力可以表示为 f = 啦+ q z( 4 ) 式中滞变位移z 由( 2 ) 决定，q 为粘弹性系数，q 为滞迟力系数，它们是关于过滤 电压h 的方程 c i = c p + c “q = 口p + o r s u ( 5 ) 其中，q ，吒是常数，过滤电压“由下述一阶微分方程确定 t=-r0一力(d 式中v 为外加电压，r 为滤波器参数，积分方程( 6 ) ，可得过滤电压“关于外加电 压v 的函数 “= 8 - 4 1 伽“ ( 7 ) 由 7 在大应变下，b o u e w e n 滞变力相当于摩擦力，而在低应变下，则具有粘弹特性。 通过调节参数4 ，可以调节滞变模型的初始刚度。 四应用磁流变阻尼器结构振动控制策略简介 在地震作用下n 个自由度受控结构的运动方程可表示为 m s | + c 。i + k 。x = 一m i 玫| + 珏f q 门 式中j l t 、e 和五分别表示结构的质量、阻尼和刚度矩阵；x 为结构相对于地面 的位移反映向量；墨为一维地面加速度输入 ，一，正，l r ，为由n 个胍阻尼器产生的控制力向量； j 为单位列向量； 日为由结构中胍阻尼器的位置所决定的位置矩阵。 与式( 8 ) 相应的状态方程为 2 = 4 z + a f + 正毪 ( 9 ) 式中z 为状态向量；a ，b 和e 分别为状态矩阵、输入矩阵和地震作用位置矩阵。 1 基于l y a p u n o v 稳定型理论的控制策略 根据l y a p u n o v 稳定性理论【6 】，如果矿为正定的l y a p u n o v 函数，它的导数矿 为负半定，平衡点就处在l y a p u n o v 稳定状态。因此，要使系统稳定，响应小t 就应该选择控制输入，使旷尽可能为负值。取l y a p u n o v 函数的形式为【7 】 y ( 力= l z 7 p z ( 1 0 ) 二 式中p 为实对称正定矩阵，可由l y a p u n o v 公式得到 a 7 p + p a = - q p ( 1 1 ) 式中线为半正定矩阵。对线性系统，有 旷= 一专z 7 鳞：+ ，p a f + z 7 噬 ( 1 2 ) 最小化上式，可得施加电压 h = p ，觚月【( 一= ) 7 魍，】 ( 1 3 ) 式中日( ) 为h e a v i s i d e 阶跃函数，为第i 个m r 阻尼器产生的阻尼力，置为( 9 ) 式中的曰矩阵的第i 列。 这种控制策略的难点在于q 。矩阵的选取，由于目前还没有标准方法来选择， 只能利用试算法，无论如何，应保证 矿( z ) = 去z 7 9 z p 按归一化条件确定常数c 之后代入( 1 6 ) ，得 p ( y ，e ，归面耘 再借助于变换( 7 ) ，得到位移与速度的联合概率密度 p 吣力5 等， = 随机最优控制策略 2 】 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 随机最优控制理论主要研究扩散过程m a r k o v 反馈控制。控制的对象模型化 为扩散过程，用舶随机微分方程描述。控制器根据系统状态的最新信息，从满 足约束条件的所有可能的控制中选出最优的，使控制后的系统达到预定目标的最 优期望结果。 解决确定性和随机性最优控制问题的两个主要方法是p o n t r y a g i n 的极大值 原理与b e l l m a n 的动态规划，它们是最优控制的必要条件，在定的条件下，它 们也是充分条件。极大值原理于2 0 世纪5 0 年代由p o n t r y a g i n 与他的研究小组提 出 1 1 1 ，是最优控制理论的里程碑。该原理说，任意最优控制连同最优系统状态轨 迹可通过求解增广h a m i l t o n 方程组得到，该方程组包括原受控系统方程及其初 始条件，伴随方程及其终时条件，以及h a m i l t o n 函数的极大值条件，它是一个 前向后向确定性或随机场微分方程组，是一个初值一终值问题。极大值原理的 数学意义在于，他将无限维的最优控制问题化为比它简单得多的函数极大值问 题。 动态规划于2 0 世纪5 0 年代由b e l l m a n 提出( 1 2 】。其基本思想是，考虑具有 不同初始时刻与初始条件的一组最优控制问题。并用动态规划方程 ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，简称h j b 方程) 将它们联系起来，由该方程中相 应的h a m i l t o n 函数取极小值或极大值条件确定一个最优的反馈控制律，将此最 优控制律代回动态规划方程得到最后的动态规划方程，再求解最后的动态规划方 程得最优控制。古典的动态规划方法要求动态规划方程具有古典解，即足够光滑 的解然而，对随机最优控制问题，当扩散矩阵奇异时，动态规划方程都没有古 典解。2 0 世纪8 0 年代初，c r a n d a l l 与l i o n s 1 3 首先引入了所谓黏性解，是指偏 微分方程的连续但非光滑之解，其关键特性是使用超亚微分取代常用的微分， 使之在适度的条件下维持解的唯一性。 对待随机最优控制问题，动态规划方法比较有效，因为目前关于h j b 方程 之解的理论 1 4 1 6 - 与数值解法 1 7 】已经有了较多的研究成果，而对极大值原理中 前向后向随机微分方程之解的研究尚处于初始阶段。以下我们将基于b e l l m a n 的动态规划原理进一步探讨系统的控制策略问题。 1 随机最优问题的提法： 随机最优控制问题的特定提法取决于受控系统运动方程的类型，对控制所旃 加的约束，性能指标以及受控时间区间等等。 1 ) 受控系统运动方程 设受控系统运动方程为如下形式l t 6 随机微分方程 d r ( t ) 2 玳( x , u , t ) 西+ 盯( x ，雎，7 ) 扭( f ) f 【f o ，f ，】 ( 2 0 ) x ( t 0 1 = x o 、。 式中x ( t ) 为”维矢量系统状态过程；b ( t ) 为m 维矢量标准w i e n e r 过程；u ( t ) 为 同一时刻上状态x ( ，) 的函数( x ( ，) ，f ) ，为r 维矢量m a r k o v 反馈控制过程；t o 为 初始时刻，当m 、盯不显含t 时，常取t o = 0 ；t f 为控制终了时刻，可为有限值、 无限值或随机变量；m 与盯分别为给定的i 1 维矢量函数与栉m 维矩阵值函数， 满足解存在性与唯一性条件。 2 ) 性能指标 最优控制的目标常用一个泛函的极小或极大来表示，该泛函称为成本泛函或 性能指标。对随机最优控制，受控系统的状态与控制皆为随机过程，该泛函则为 随机变量。因此，性能指标取为该泛函的数学期望。 被控系统的受控时间区间不同，其性能指标也有区别。对半无限长时间区间 上的随机最优控制问题，可考虑折扣成本泛函【1 6 】，此处只考虑遍历控制。对于长 时间后能达到平稳遍历状态的系统，例如，肘、叽搿皆不显含r 或为r 的周期或 概周期函数时，最终的稳态分布与受控系统的初始状态无关，可考虑如下长期运行 的平均性能指标 ，( 帕= l i r n i f ( 工，口，f ) a t ( 2 1 ) 相应的控制问题称为遍历控制。 随机最优控制问题，就是在允许控制集合中选取一个控制，在满足( 2 0 ) 的条 件下，使性能指标达到最优，即 - ，- 。) = i n f j ，( u ) ( 2 2 ) 0 t u 式中雎称为最优控制，由最优控制产生的系统状态x 。o ) ，称为最优状态或轨迹， u 与x ( f ) 则构成最优对。 2 随机动态规划方法 随机动态规划方法就是对给定的随机最优控制问题，建立并求解随机动态规 划方程，确定最优控制，然后求解最优状态。 1 ) 值函数 值函数，或b e l l m a n 函数，或最优成本泛函是指作为初始时刻与初始状态的 函数的性能指标( 或成本泛函) 的极小值或极大值，它是用动态规划方法分析最 优控制问题的一个工具。对不同的控制问题，它有着不同的含义。 考虑具有不同初始时刻与不同初始状态的一组随机最优控制问题，包括受控 系统运动方程( 2 0 ) 和性能指标( 2 1 ) 。值函数定义为 y i x , t ) = 乎d f ，厂( k 鸬s ) a s 叫) ( 2 3 ) 式中i i l f 表示对u 内所有允许控制取极小值，期望算予e 应理解为如下条件期望 算子艮： 玩【f ( y ) 】= i b f ( y ) p ( y ，s i 工，f ) 西， ( 2 4 ) 其中p ( y ，j i 工，f ) 是扩散过程瓦扣，s ) 的转移概率密度在控制终了时刻，值函数 v ( x ，o ) = g ( 屹( ，) ) ( 2 5 ) 【f ，f + 明上控制“产生的状态x 趣似f + ) 的最优控制 y ( x ，f ) = 譬e f ，( x 。，s ) 幽一t ，( “) = i 鹰e f + 。h f ( x 心s ：l 似鸬渺 ( 2 6 ) = i 。n u f e 1 。“厂( x ，甜，j ) 出 + e 【，( “) 】+ 矿( x o + 矗) ，f + 协 、。 e 旷f ( x ， ) 凼 埘地) ( x o ，) 矿( 工o + 厅) ，r + ) 一矿( x ，f ) + e f “f ( x ，s ) 西 + 研，( 比) 】o ( 2 7 ) 。l i m 坩1 f v ( 、x ( f + ) ，f + ) 一矿( x ，f ) = 1 加l i r a 玎6 掣哗c 剐卜( 2 s ， = 百o v + l , v = t d v ( x , t ) 式中 班丢器+ 鼍 将式( 柳除以h ，并取 一o + 的极限，并将( 2 8 ) 代入有 詈+ t 州( 删h o ( 3 0 ) 式中 y = ，l i m 1 ，。f f 、圳，f p ( 3 1 ) 为最优平均成本。 另一方面，若在时间区间【f ，r + 】也取最优控制n 。，则有 警+ 厶w ( ，f ) 协o ( 3 2 ) 组合( 3 1 ) 与( 3 2 ) 给出 詈= 一h l f u e u f l 肌脚力刊 ( 3 3 ) 一巧矿一，( 工，球，f ) + ， 式中巧是萨口时之厶。 3 ) 随机动态规划方程的求解 建立好随机动态规划方程之后，以下的步骤为： a ) 通过对动态规划方程求打矿或s u p 确定口为v 的函数的表达式( 最优控制律) ； 坊将矿代入动态规划方程得最后动态规划方程，在适当的最终与边界条件下求 解后一方程得值函数，代入的表达式得最优控制； 将最优控制代入原受控系统的l t 6 随机微分方程，求解该方程或相应的f p k 方 程得最优状态轨迹或概率密度。 3 控制效果评测指标 为评价一个最优控制策略，引入如下两个准则。一是控制效果 k = 等 ( 3 4 ) 式中盯表示标准差；c , 表示最优控制引起的系统某响应量的标准差的相对减少 二是控制效率 = 置( o ，2 d i ) ( 3 5 ) 它表示单位标准差控制力的控制效果。显然，k ，z 越大，控制策略越优。 参考文献 l 朱位秋，随机振动，北京科学技术出版社，1 9 9 2 ，1 9 9 8 2 朱位秋，非线性随机动力学与控制，北京科学出版社，2 0 0 3 3s t r a t o n o v i c hr l ，t o p i c si nt