（基础数学专业论文）时标上几类动力方程和动力包含解的存在性与振动性.pdf

中文摘要 由h i l g e r 引入的时标理论，不仅在连续分析和离散分析间架起了一座桥梁， 而且能更好地洞察两者之间的本质差异它更精确地描述了有时在连续时间有 时在离散时间出现的现象为了进一步发展时标理论与应用，本文的工作主要致 力于动力方程和动力包含解的性质，包括以下三个方面：动力方程解的存在性， 动力包含解的存在性，动力方程解的振动性 在第一章中，我们给出了本文研究的背景，介绍了本文的结构安排，并且给 出了处理动力方程和动力包含解的存在性和振动性的主要工具和时标上有关的 基本运算公式 第二章讨论了三类时标上动力方程解的存在性我们选择了时标上四阶四 点边值问题，并进一步研究了一阶和二阶脉冲动力方程分别运用k r a s n o s e l s k i i z a b r e i k o 不动点定理和s c h a e f e r 不动点定理，我们得到了这三类方程解的存在性 值得指出的是，对于四阶动力方程，我们得出g r e e d 函数的表达式，这个计算 方法适合时标上其它高阶动力方程对于一阶和二阶脉冲动力方程，所得结果 弥补并拓展了已有结论 在第三章，利用多值映射的不动点定理和上( 下) 半连续的选择定理，我们考 虑了时标上两类带有边值条件的动力包含解的存在性，得到了一些新的结论我 们给出了例子来说明主要结论的有效性第三章的结果拓展了在现有文献中关 于时标上二阶动力包含的结果 第四章研究了时标上动力方程解的振动性本章分两个小节第一小节给 出了二阶半线性动力方程解的振动性，而第二小节主要考虑了二阶非线性动力 方程主要工具包括r i c c a t i 转换技巧和一些不等式第三章的结果统一并扩展 了文献中的已有结论 关键词：时标，解的存在性，振动性，动力方程，动力包含，不动点理论，边值问 题，r i c c a t i 转换技巧，多值映射，半线性，非线性 a b s t r a c t t i m es c a l e st h e o r y , i n t r o d u c e db yh i l g e r ，n o to n l ye s t a b l i s h e sab r i d g eb e - t w e e nt h ec o n t i n u o u sa n dt h ed i s c r e t ea n a l y s i s ，b u ta l s ou n d e r s t a n d sd e e p l yt h e e s s e n t i a lb e t w e e nt h e m t h et h e o r e mo nt i m es c a l e sd e s c r i b e sm o r ea c c u r a t e l y t h ep h e n o m e n aw h i c hh a p p e ns o m e t i m e si nc o n t i n u o u st i m ea n ds o m e t i m e si n d i s c r e t et i m e i no r d e rt od e v e l o pt i m es c a l e st h e o r e ma n da p p l i c a t i o nf u r t h e r ， o u ra t t e n t i o nf o c u so dt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o rd y n a m i ce q u a t i o n sa n dd y - n a m i ci n c l u s i o n s ，i n c l u d i n gt h et h r e ea s p e c t so ft h et i m es c a l e st h e o r y ：e x i s t e n c e o fs o l u t i o n sf o rd y n a m i ce q u a t i o n s ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rd y n a m i ci n c l u s i o n s ， o s c i l l a t i o nf o rd y n a m i ce q u a t i o n s i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h eb a c k g r o u n do fo u rt o p i c so ft h i st h e s i s ，s h o w t h eo u t l i n ea n dg i v et h em a i nt o o l sf o rd e a l i n gt h ee x i s t e n c ea n d o s c i l l a t i o n so f s o l u t i o n sf o rd y n a m i ce q u a t i o n sa n dd y n a m i ci n c l u s i o n sa n ds o m eb a s i cc a l c u l u s o nt i m es c a l e sr e l a t e dw i t ht h i st h e s i s c h a p t e r2i sd e a l i n gw i t ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h r e ec l a s s e so fd y - n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s t h u s ，b ym e a n so ff i x e d p o i n tt h e o r e m sd u et o k r a s n o s e l s k i i z a b r e i k o ，a n ds c h a e f e r ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r f o u r t h - o r d e rf o u r - p o i n tb o u n d a r yp r o b l e m s ，ac l a s so ff i r s t o r d e ri m p u l s i v ed y - n a m i ce q u a t i o n sa n dac l a s so fs e c o n d o r d e rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ， r e s p e c t i v e l y i t i sw o r t hp o i n t i n go u tf o rt h ef o r t h - o r d e rd y n a m i ce q u a t i o n ， t h eg r e e nf u n c t i o ni sn e wa n dt h i sm e t h o dc a nb ea p p h e dt os t u d ys o m eo t h e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rh i g h - o r d e rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s f o r t h ef i r s t o r d e ro rs e c o n d - o r d e ri m p u l s i v ed y n a m i ce q u a t i o n s ，t h eo b t a i n e dr e s u l t c o m p l e m e n ta n de x t e n ds o m ek n o w n r e s u l t s i nc h a p t e r3 ，c o m b i n i n gf i x e d p o i n tt h e o r e m so nm u l t i v a l u e dm a p p i n g s w i t hc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m sf o ru p p e r ( o rl o w e r ) s e m i c o n t i n u o u s ，w ei n - v e s t i g a t ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt w oc l a s s e so fd y n a m i ci n c l u s i o n sw i t hb o u n d - a r yc o n d i t i o n so nt i m es c a l e s s o m en e wc r i t e r i aa r eg i v e n w | ea l s op r o v i d e e x a m p l e st oi l l u s t r a t eo u rm a i nr e s u l t s t h eo b t a i n e dr e s u l t sf i l l t h eg a pt h a t i v扬州大学博士学位论文 t h e r ea r eo n l yaf e wr e s u l t sa b o u ts e c o n d - o r d e rd y n a m i ci n c l u s i o n so nt i m es c a l e s i nt h el i t e r a t u r e s c h a p t e r4i sd e v o t e dt ot h eo s c i l l a t i o no fs o l u t i o n sf o rd y n a m i ce q u a t i o n s w bd i s c u s st h ep r o b l e m si nt w os u b s e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，s u f f i c i e n tc r i t e r i ao f o s c i l l a t i o nf o rah a l f - l i n e a rs e c o n d o r d e rd y n a m i ce q u a t i o ni se s t a b l i s h e d i ns e c - t i o n2 ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h eo s c i l l a t i o no fan o n l i n e a rs e c o n d - o r d e rd y n a m i c e q u a t i o n t h em a i nt o o l si n c l u d ep d c c a t it r a n s f o r m a t i o na n ds o m ei n e q u a l i t i e s t h er e s u l t si nc h a p t e r3g e n e r a l i z ea n de x t e n ds o m ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r - a t u r e s k e y w o r d s ：t i m es c a l e s ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，o s c i l l a t i o n ，d y n a m i ce q u a t i o n s ， d y n a m i ci n c l u s i o n s ，f i x - p o i n tt h e o r e m ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，r i c c a t it r a n s - f o r m a t i o nt e c h n i q u e ，m u l t i v a l u e dm a p p i n g ，h a l f - l i n e a r ，n o n l i n e a r 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 作者： 题目： 院系： 学位： 日期：2 0 1 0 年4 月1 0 日 杨丹丹 时标上几类动力方程和动力包含解的存在性与振动性 数学科学学院 博 士 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工 作所取得的研究成果除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表的研究成果对本文的研究做出贡献的个 人和集体，均已在丈中以明确方式标明本声明的法律结果由本人承 担 i 作者签名：羽量盘 签字日期：趁应，s 。旌 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档， 允许论文被查阅和借阅本人授权扬州大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存、汇编学位论文同时授权中国科学技术信息研究所 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社 会公众提供信息服务 作者签名：銮勿扭墨 签字日期：j 撕舡抛，j 。v 7 导师签名： 签字日期： ( 本页为学位论文末页如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d a st h er e n o w n e da c a d e m i c i a nv o nn e u m a n np o i n to u t ，t h em a i nt a s ko f s c i e n c el sn o to n l yt oe x p l a i nt h ep h e n o m e n a ，b u tt oe s t a b l i s hm o d e l s a c c o r d i n gt oe n c y c l o p a e d i ab r i t a n n i c a ，am a t h e m a t i c a lm o d e li sd e f t n e da s “e i t h e ra p h y s i c a lr e p r e s e n t a t i o no fm a t h e m a t i c a lc o n c e p t so ram a t h e m a t i c a lr e p r e s e n t a t i o no fr e a l i t y ”i nt h es c i e n t i f i cr e s e a r c ha n di n d u s t r i a lp r o d u c t i o n s ，p c o i ) l e o f t e nh a v et os e e kt h ef u n c t i o n a lr e l a t i o n s h i pb e t w e e n v a r i a b l e sw h i c hs t a n df o r o b j e c t i v et h i n g s d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ef r o mt h e s ep r a c t i c a lp r o b l e n l s e v - c r ys u b j e c t sh a v ed e v e l o p e df a s ti nt h ep a s th a l fc e n t u r y , s u c ha sm e c h a n i c s t h e r m o d y n a m i c s ，b i o l o g y , c h e m i s t r y ，a u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r y , e c o n o m i c s e l e c t r o n i ct e c h n o l o g y , b i o m a t h e m a t i c s ，w h i c hm a k ei tp o s s i b l ef o ra g r e a tn u m b e to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oc o m et ot h ef o r e w ea r ef a m i l i a r w i t hs o m e f a m o u se x a m p l e s ，m a l t h u sp o p u l a t i o nm o d e li np o p u l a t i o nd y n a m i c s ，p r e d a t o r - p r e yd y n a m i cs y s t e mi nb i o l o g y , s a t e l l i t em o t i o ni n a s t r o n o m y ( 1 0 0 ) a n ds o o n d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，a r ec o n s i d e r e dt od e s c r i b et h ed i s c r e t ep h e n o m e n ai n n a t u r e ，m a n i f e s tt h e m s e l v e sa sm a t h e m a t i c a lm o d e l s p i c t u r i n gr e a ll i f es i t u a t i o n s i np r o b a b i l i wt h e o r y , q u e u i n gp r o b l e m s ，s t a t i s t i c a lp r o b l e m s ，e c o n o m i c s ，p s y - c h o l o g y , s o c i o l o g y , e c t t h et h e o r yo fd i f f e r e n c eh a sg r o w na ta na c c e l e r a t e dp a c e i nt h ep a s td e c a d e a sa g a r w a ls t a t e s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n sn o w a r eo c c u p y i n g ac e n t r a lp o s i t i o ni na p p l i c a b l ea n a l y s i sa n d w i l ln od o u b tc o n t i n u et op l a ya n 1 m p o n a n tr o l ei nm a t h e m a t i c sa saw h o l e w er e f e rt h er e a d e rt o 2 ，3 9 ，6 1 jf o r e x c e l l e n ti n t r o d u c t i o nt od i f f e r e n c ee q u a t i o n s i ti sk n o w nt oa l l t h a t ，u s i n gd i f f e r e n c em e t h o d ，w ec o u l dg e td i 行e r e n c e e q u a t i o n sf r o md i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i t i sn a t u r a lt oa s ki ft h ep r o p e r t i e so f 2 扬州大学博士学位论文 d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r et h es a m ea 8t h o s eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ? r e s e a r c h s h o w st h a t ，m o s tr e s u l t so nt h et w oc l a s s e so fe q u a t i o n sa x es i m i l a ro rp a r a l l e li n t h ef o r m s h o w e v e r ，t h e r ea x es om a n yd i f f e r e n c e s ，e v e ne s s e n t i a l l yd i f f e r e n t w e d e m o n s t r a t et w oe x a m p l e s ( 1 1 1 】) e x a m p l e1 1 1 s i n g l es p e c i e sl o g i s t i ce q u a t i o n 害= 。m 一詈) ，a o ，9 o ，( 1 1 1 ) e v e r ys o l u t i o no f ( 1 1 1 ) i sm o n o t o n e n e v e r t h e l e s s ，t h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n c e e q u a t i o n a x n = a 2 7 n ( 1 一b x n ) ， i ti sp o s s i b l et h a tt h es o l u t i o no f ( 1 1 2 ) i sc h a o t i c e x a m p l e1 1 2 s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 象州w ( 沪。 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) c e r t a i no s c i l l a t i o nc r i t e r i ao f ( 1 1 3 ) c o m p a r i n gw i t ht h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n c e e q u a t i o n 2 蜘一1 + a n f ( y n ) = 0 a r ed i f f e r e n tf r o mt h o s eo f ( 1 1 4 ) ( 1 1 4 ) o no n eh a n d ，t h ei n v e s t i g a t o rt r yt oa v o i de n d l e s sd u p l i c a t i o n s t h e ym a k e ae f f o r tt or e v e a lt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c e e q u a t i o n s i n1 9 3 7 ，b e l l ( 1 5 】) o n c es a i dt h a t ，“am a j o rt a s ko fm a t h e m a t i c s t o d a yi st oh a r m o n i z et h ec o n t i n u o u sa n dt h ed i s c r e t e ，t oi n c l u d et h e mi no n e c o m p r e h e n s i v em a t h e m a t i c s ，a n dt oe l i m i n a t eo b s c u r i t yf r o mb o t h t h i si d e ai s n o tac o i n c i d e n c ew i t hw h a ti se m p h a s i z e db yt u r r i t t i ni nh i sl e c t u r en o t e sm y m a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n s ( t h ef i r s tc h a p t e ro f 9 9 ) i n1 9 7 3 “o nb e c o m i n g f a m i l i a rw i t hd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dt h e i rc l o s er e l a t i o nt od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， iw a si nh o p et h a tt h et h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sc o u l db eb r o u g h tc o m p l e t e l y a b r e a s tw i t ht h a tf o ro r d i n a r y 杨丹丹时标上几类动力方程和动力包含解的存在性与振动性 3 b a s e do nt h ea b o v em e n t i o n e di d e a s ，i n1 9 8 8 ，h i l g e rs t a n f e ru n d e rh i ss u - p e r v i s o rp r o a u l b a c h ，i n t r o d u c e dt i m es c a l e st h e o r e m - au n i f i e da p p r o a c ht o c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ec a l c u l u si nh i sp h d t h e s i sf 5 3 s o - c a l l e dt i m es c a l e ， a na r b i t r a r yc l o s e ds u b s e to fr e a ln u m b e r s ，i ss u p p o s e dt ob et h ed o m a i no ft h e u n k n o w nf u n c t i o no fad y n a m i ce q u a t i o n t h ec a s e sw h e nt i m es c a l ei se q u a lt o t h er e a l so rt ot h ei n t e g e r sr e p r e s e n tt h ec l a s s i c a lt h e o r i e so fd i f f e r e n t i a la n do f d i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h e r ea l s oe x i s tm a n yo t h e ri n t e r e s t i n gt i m es c a l e s ，w h i c h h a v ee n o r m o u sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n ss u c ha sp o p u l a t i o nd y n a m i c s ，b i o l o g y , e c o - n o m i ca n de n g i n e e r i n g t a k ea ni n t e r e s t i n ge x a m p l ei nb i o m a t h e m a t i c s ( 8 2 1f o r i n s t a n c e ，ak i n do f1 3y e a rc i c a d a a d u l tc i c a d a el a ye g g si nt h et r e e sa n dt h e e g g sw o u l df a l lt ot h eg r o u n da n db e c o m en y m p h so nh a t c h i n gw h i c ha t t a c h t h e m s e l v e st ot h eg r o u n dt r e er o o t sa n ds t a yt h e r ef o r1 3y e a r ，t h e nc o n t i n u e t ob r e e di nt h es p r i n g t h i si sap r o c e s sw h i c hc o n t a i n sc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e c a s e a st oe c o n o m i c s ，s e e 1 1 】，t h e r ea r e , s om a n yo p p o r t u n i t i e sf o ra p p l i c a - t i o n so nt i m es c a l e s t i m es c a l et h e o r y , f o re x a m p l e ，a l l o w sf o rp a y m e n t st h a t a r r i v ea tu n e q u a l l ys p a c e dp o i n t si nt i m e ，n o tm e n t i o nt ou n i f yt h es t a n d a r dd i s - c r e t ea n dc o n t i n u o u sm o d e l s t h et h r e em a i np u r p o s e so ft h i sn e wc a l c u l u sa x e ： u n i f i c a t i o n - e x t e n s i o n - d i s c r e t i z a t i o n ( 6 】) t a k es o m ei n t e r e s t i n gt i m es c a l e sf o r e x a m p l e ，q - d i f f e r e n c ee q u t i o n s ，= q z ：= 州七z ，u o ，f o rs o m eq 1 d i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hc o n s t a n ts t e ps i z e | i = h z ：= h k l k z ) u o ) ，f o rs o m eh 0 p a r t i c u l a r l yu s e f u lf o rt h ed i s c r e t i z a t i o na s p e c ta r et i m es c a l e s t = t k l k z ) ，w h e r et k t k + l ，f o ra l lk z s i n c et h ef i r s ta r t i c l e 【5 4 】b yh i l g e ro nt i m es c a l e sw a sp u b l i s h e di n1 9 9 0 ， t i m es c a l et h e o r yg r a d u a l l ya t t r a c t e dm a n ym a t h e m a t i c i a n sa t t e n t i o n ( 5 8 ，5 9 】) p a r t i c u l a r l y , t h el a s tt e ny e a r s ，t h r e em o n o g r a p h s 【1 9 ，2 1 ，6 0 】a r ec o m p l e t e d t h e w o r l df a m o u sr e p r e s e n t a t i v e so ft h i sf i e l da r ea g r w a l ( 1 ，4 ，6 ) ，b o h n e r ( 1 9 ，2 0 ， 2 1 ，2 4 1 ) ，l a k s h m i k t h a m ( 6 3 ，6 4 1 ) ，e r b e ( 4 1 ，4 2 1 ) ，p e t e r s o n ，a n d e r s o na n ds o 4 扬州大学博士学位论文 o n b r i e f l y , t h e i rr e s e a r c ha r ed e d i c a t e dt o ：i n e q u a l i t yt h e o r y , o s c i l l a t i o nt h e o r y , s t a b i l i t yt h e o r ya n di n i t i a lo rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ag r e a tm a n yr e s e a r c h p a p e r so nt i m es c a l e sa r ep u b l i s h e d s e e 1 ，1 0 ，1 3 ，1 7 ，2 9 ，3 3 ，7 8 ，8 7 ，8 9 ，9 0 ，1 0 5 i nr e s e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sc h o o s et i m es c a l e st h e o r ya st o p i c sf o rt h e i rp h d t h e s e s 【7 ，4 8 ，6 5 ，9 1 ，9 6 i no r d e rt od e v e l o pt i m es c a l e st h e o r e ma n di t s a p p l i c a t i o n s ，o u ra t t e n t i o nf o c u so nt h et h r e ea s p e c t so ft h et i m es c a l e st h e o r y ： e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rd y n a m i ce q u a t i o n s ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rd y n a m i c i n c l u s i o n sa n do s c i l l a t i o nf o rd y n a m i ce q u a t i o n s f i r s t ，w es h o wt h eo u t l i n eo f t h i st h e s i s 1 2o u t l i n e t h eo r g a n i z a t i o no ft h er e s to ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s i ns e c t i o n1c h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h e f o l l o w i n g f o u r t h o r d e rf o u r - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nt i m es c a l e s ( 1 2 1 ) t h eg r e e nf u n c t i o no f ( 1 2 1 ) i sp r e s e n t e d ，w h i c hi san e wm e t h o dt h a tc o u l db e a p p l i e dt oo t h e rh i g h o r d e rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s i nt h ef o l l o w i n g s e c t i o n ，u s i n gs c h a e f e r sf i x e - p o i n tt h e o r e m ，w ea r ei n t e r e s t e di nt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sf o rt h ef i r s t o r d e ri m p u l s i v ed y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s 嚣僦跏t ，e i u ( o ) = p 让( 盯( t ) ) ， 0 ，卅t 似) ，k = 1 ，m ， k = 1 ，m ，( 1 2 2 ) w h e r eti sat i m es c a l e ，w ed e n o t eb y 0 ，卅t = 0 ，t 】n t ，0 ，t t ，p r ， t k 0 ，纠t ，0 = t o t l 0 ， 0 ， 已 0 ，1 i t ，0 1 已 一2 0 ，& 【0 ，0 - 2 ( 6 ) 】w i t h0 1 已 缸一2 1 a l s o ，w en e e dt h ef o l l o w i n ga u x i l i a r yf a c ti nt h e o r e m5 6 8i n 2 1 】t od e a lw i t h t h eo s c i l l a t i o n so fs o l u t i o n so nt i m es c a l e s p r o p o s i t i o n1 3 4 k s ，= ，i f 。 1 n e x t ，w es h a l lp r e s e n ts o m ed e f i n i t i o n sa n dr e l a t e dt h e o r e m sa b o u tm u l t i - v a l u e dm a p s ，w h i c hc o u l db ef o u n di n ( 4 ，5 ，8 1 d e f i n i t i o n1 3 5 l e t ( x ，i 1 ) b eab a n a c hs p a c e t h e nam u l t i v a l u e dm a p 0 ：x _ p ( x ) i sc o n v e x ( c l o s e d ) v a l u ei fe ( x ) i sc o n v e x ( c l o s e d ) f o ra l lz x 0i sb o u n d e do nb o u n d e ds e t si fo ( b ) = u 写be ( x ) i sb o u n d e di nxf o ra n y b o u n d e ds e tbo fx ( i e s u p x e b s u p l y l ：yee ( z ) ) ) 0 ：bcu 舰 a n dd i a m ( 坛) ) i = 1 i sc a l l e dk u r a t o w s k i sm e a s u r eo fn o n - c o m p a c t n e s s t h e o r e m1 3 9 ( 【3 4 】) l e tq db eas u b s e to fab a n a c hs p a c e ，a n d0 ：x p ( x ) b e 1 s c w i t hc l o s e dc o n v e xv a l u e s t h e ng i v e n ( w 0 ，x 0 ) g r a p h ( o ) ，0h a s ac o n t i n u o u ss e l e c t i o n0s u c ht h a to ( w 0 1 = x o t h e o r e m1 3 1 0 ( 4 ) ( s a d o v s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m ) l e tpb eac o n d e n s i n g o p e r a t o ro na b a n a c