（基础数学专业论文）直纹面的等距曲面问题研究.pdf

e ：、r ：、i l i i i ii i ii l l li ill lll l iil y 17 3 6 8 5 3 t h er e s e a r c ho n0 f f s e ts u r f a c eo fr u l e ds u r f a c e at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：w e iw e n w a n s u p e r v i s o r ：p r o f w uc h u a n x i h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明、 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：委魅女圣克 签名日期：年月日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：勇氆女碗 日期：年月 日 指导教师签名：乳 日期：纠。年，月3 1 日 中文摘要 摘要 在机械加工与数控技术应用中，常常涉及到凸轮的设计问题，其核心可归纳 为弄清其理论廓面与实际廓面之间的关系在实际工程应用中，凸轮的理论廓面 ， 一般为直纹面，其实际廓面为该直纹面的等距曲面，所以，以直纹面为基础，研究 其等距曲面的有关分析性质对于凸轮设计与加工具有较强的应用价值 文章首先以直纹面的有关理论为基础，定义了直纹面的等距曲面并给出了方 程表达式，计算出原直纹面与其等距曲面第一类基本量，第二类基本量之间的关 系，进而得到直纹面的等距曲面的法曲率，平均曲率，高斯曲率的计算公式其结 果表明，一个直纹面等距曲面的分析性质完全可由与之相对应的原直纹面的第一 类基本量，第二类基本量，法曲率，平均曲率，高斯曲率表出通过证明得到，直纹 面上的诸多性质，特别是可展直纹面性质可推广到其直纹面等距曲面上，为凸轮 设计提供了较强的数学理论支持 除此之外，文章给出了常用的弧面凸轮，槽凸轮构造原理与数学理论模型，并 利用空间凸轮理论廓面的概念，得到了理论廓面与实际廓面是互为等距曲面的结 论对其应用背景也进行了较深入地阐述 关键词：直纹面，等距曲面，分析性质，凸轮设计，理论廓面，实际廓面 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ea p p l i c a t i o no ft h em a c h i n i n ga n dn c t e c h n o l o g y ，t h ed e s i g no fc a m i su s u a l l yr e f e r e d t h ek e yc a l lb ei n d u c t e dt om a k e c l e a ra b o u tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e 一 。 t h e o r e t i c a ls u r f a c ea n dp r a c t i c a ls u r f a c e i nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no fe n g i n e e r i n g ，t h e t h e o r e t i c a ls u r f a c eo ft h ec a mg e n e r a l l yi sr u l e ds u r f a c ea n dp r a c t i c a ls u r f a c ei so f f s e t s u r f a c eo fr u l e ds u r f a c e t h e r e f o r e ，t h e r ei sg r e a ta p p l i c a t i o nv a l u ef o rc a md e s i g na n d m a c h i n i n gt od or e s e a r c ho nt h er e l a t e da n a l y s i sc h a r a c t e ro fi t so f f s e ts u r f a c e f i r s t l y , o nt h eb a s i so ft h er e l a t i v et h e o r yo fm l e ds u r f a c e 。t h et h e s i sd e f i n e so f f s e ts u r f a c eo f 删1 1 e ds u r f a c ea n dg i v e si t se q u a t i o ne x p r e s s i o n i tc o m p u t e st h ef i r s ta n ds e c o n df o u n d a t i o nm e a s u r eo ft h ei n i t i a lr u l e ds u r f a c ea n di t so f f s e ts u r f a c e 。a n dt h e no b t a i n st h e c a l c u l a t i n gf o r m u l ao fi t sn o r m a lc u x n a t u r e ，m e a nc u l n a t u r e ，a n dg u a s s i a nc u r v a t u r e t h er e s u l tp r e d i c t st h a tt h ea n a l y s i sc h a r a c t e ro fo f f s e ts u r f a c e0 fm l e ds u r f a c ec a l lb e e n t i r e l ys h o w nb yt h ef i r s ta n ds e c o n df o u n d a t i o nm e a s u r e ，n o r m a lc u r v a t u r e ，m e a nc u r - v a t u r ea n dg u a s s i a nc u r v a t u r ei nc o m p a r i s i o nw i t hi t so r i e n t a lm l e ds u r f a c e t h r o u g h t h ep r o v i n g ，w ec a n 赋圮t h a tv a r i o u sc h a r a c t e r i s t i c so nn n e ds u r f a c e ，e s p e c i a l l yo n eo f w h i c hi st h a te x t e n d a b l er u l e ds u r f a c ec a nb ee x p a n d e dt oo f f s e ts u r f a c eo fi t sr u l e ds u r - f a c e ，s u p p l ys 仃o n gs u p p o r to fm a t ht h e o r yt ot h ec a md e s i g n b e s i d e s ，t h et h e s i sg i v e s a st h ep o p u l a rs t r u c t u r et h e o r ya n dm a t ht h e o r ym o d e lo fg l o b a i d a lc a i na n dc a mw i t ha s l o t , a n db ym a k i n gu s e o ft h ec o n c e p t i o no fs p a c i a lc a mt h e o r ys u r f a c e ，i tc o m e st ot h e c o n c l u s i o nt h a tt h e o r e t i c a ls u r f a c ea n dp r a c t i c a ls u r f a c ea r ee a c ho t h e r so f f s e ts u r f a c e a n di tm a k ed e 印e x p l a n a t i o no nt h ea p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d k e yw o r d s ： r u l e ds u r f a c e ，o f f s e ts u r f a c e ，p r o p e r t yo fa n a l y s i s ，c a md e s i g n ，t h e o r e t - i c a ls u r f a c e ，p r a c t i c a ls u r f a c e 目录 目录 摘要 i a b s l i 懈( 英文摘要) l 引言1 2 直纹面的定义和分析性质2 3 直纹面等距曲面的定义和分析性质6 4 直纹面等距曲面的性质1 5 5 直纹面等距曲面分析性质在实际计算中的应用1 8 6 直纹面及其等距面在现代制造业中的应用2 1 7 结论2 3 参考文献2 4 致谢2 5 1 引言 1引言 直纹面是由直线在空间运动得到参数直线集直纹面具有特殊的几何性 质，在工程中得到了广泛应用如齿轮滚刀、某些特种回转刀具的刀槽曲面部 分通常都采用直纹面作为型面；汽轮机叶轮、飞机机翼、流体机械中的叶片 类零件等也是直纹面随着现代c a d 技术( 即计算机辅助几何设计技术) 的发展， 在c a d 软件u g n x 环境下，航空工业、汽车工业等领域中很多实际机械加工制造 的问题。经常需要解决如何生成一个直纹面的等距曲面，例如在弧面凸轮设计和 加工中，弧面凸轮分度机构中从动轮滚子的中心线在空间形成的轨迹曲面是凸轮 的理论廓面，它是由一族直线”织成”，是一个直纹面：根据空间凸轮理论廓面的 概念，可以分析出圆柱滚子从动件凸轮理论廓面与实际廓面的点映射关系，得出 实际廓面与理论廓面互为等距曲面的结论，则问题转化为研究直纹面与其直纹面 等距曲面的问题那么对于直纹面等距曲面分析性质的研究就具有很大的意义， 现阶段对于直纹面等距曲面的研究国内外的文献并不多，对于直纹面等距曲面的 第一、二基本形式、高斯曲率、平均曲率、法曲率等分析性质与原直纹面相关 分析性质的关系没有较系统的研究本篇论文给出了直纹面等距曲面的定义，较 全面地研究了直纹面等距曲面的第一、二基本形式、法曲率、高斯曲率、平均 曲率的具体表达式，对直纹面等距曲面的一些特殊性质也进行了研究和证明，在 此基础上给出了直纹面等距曲面在弧面凸轮设计与制造方面的应用背景，可望对 包装、制药、烟草、电子、化工等行业中弧面凸轮分度装置等问题提供较好的 数学理论支持和数学模型计算方法 湖北大学硕士学位论文 2 直纹面的定义和分析性质 如果在曲面s 上有一族单参数直线( 随着一个参数变化的一族直线) ，而s 的 每一点都在这族直线上，则称s 为直纹面这族直线中的每一条直线都称为直母 线常见的直纹面有柱面、锥面、二次曲面中的单叶双曲面( 纸篓面) 和双曲抛 物面( 马鞍面) 、空间曲面的切线曲面，如下图2 1 筚盼双披瓶 般麴撇物瓣 协线麴睡 图2 1直纹面类型 定义2 1 直纹面的参数方程： ，- = a ( u ) + v b ( t ) 其中，a ( 札) 为直纹面上的一条曲线z ，曲线z 与所有的直母线相交，称z 为直母线 的导线6 ( 牡) 是过导线f 上d ( u ) 点的直母线上的单位向量，导线f 上n ( 钍) 点到直母 线上任一点q ( 缸，可) 的距离为口 根据直纹面的参数方程可以得到如下直纹面的分析性质 定理2 1 直纹面的第一基本形式 ，= ( 口+ 移6 ，) 2d u 2 + 2 ( a t + v b ) b d u d v + b 2 d v 2 2 2 直纹埘的定义和分析性质 证明对直纹面参数方程r = o ) + 口6 ( 牡) ，枣 r u = a i ( 仳) + v b ( 心) 则直纹面的第一类基本量 直纹面的第一基本形式 = b ( t ) e = 飞气= ( 口，+ 6 ，) 2 f = 氏= ( 口，+ v b ) b g = h = b b = b 2 ，= ( n ，+ 6 ，) 2d u 2 + 2 ( 口，+ 矽) - b d u d v + b 2 d v 2 定理2 2 直纹面的第二基本形式 i i ：! 竺! 竺! 竺! ：【f 竺：竺丝兰垒垒：剑竺! 竺! 垡! 竺砒2 + 2 丝兰些砒如 2 _ 蕴萨彳f 一叫州一、e g - f 2 叭删 证明对直纹面参数方程r = a ( u ) + v b ( t i ) ，有 u = + 6 ，r u n = 6 ，= 0 直纹面在点q ( t ，口) 单位法向量 气 a 7 b + v l g b 佗。丽r u2 弋蕴万in i、彭g 一，誓 则直纹面的第二类基本量 l 一一型业业糍拦笋幽 3 湖北大学硕士学位论文 m = 一器 n = n = 0 直纹面的第二基本形式 肚型监业篇箬掣幽掰+ 2 丝v e g - f 2 蛐 川2 弋压乒币广一叫“一u u 删 定理2 3 直纹面的法曲率 ，世出逆【( 譬篇拦髻业妞世业砒2 + 2 尘、e 丝g - 笔f 抛咖， 、e g 一产 。一o 2 了2 下i 荔甄万可瓦丽万赢i 丽矿 定理2 4 直纹面的高斯曲率和平均曲率 k = 一l n - m 2 = 卷并 日= 1 l g 面- 2 瓦m f 面+ n 厂e 一盟竺! 竺! 堕芝! 【竺! 竺：竺! 笙：垡! 堕3 竺! 竺：垡! 坠! 二兰! 竺：垡! 竺：! ! ! 竺! ：!= - _ 。r ”一一 2 ( e g p ) 互 直纹面7 = a ( 让) + 曲( 乱) 可分为可展曲面和不可展曲面， 第一种情况：a 6 不平行6 ，6 ，即( n ，b ，6 ，) o ； 第二种情况：a i 坪行b f l j ( a ，b ，6 ，) = 0 ； 把第- 种情况的直纹面称为可展曲面 定理2 5 一个直纹面为可展曲面的充分必要条件是高斯曲率恒为零 4 2 直纹血的定义和分析性质 证明：如果直纹面是可展的，则沿同一直母线的单位法向量n 不变，h p d n = 0 ，零向量与任意另外的向量共线，因此有 - 咖平行于打 根据罗德里格定理，沿直母线的方向是主方向，并且主曲率七1 = 0 或= 0 ， 于是k = 忌l 如三0 设如三0 ，对应它的方向是主方向也是渐近方向，所以这一族渐近曲线也是曲 率线 根据罗德里格定理沿渐近曲线有 d n = 一办， d n = 0 即扎：常向量，则单位法向量沿渐近曲线保持常向量，因此，所有渐近曲线上 曲面的法线都互相平行 又对渐近曲线的切向量咖有 d r 7 1 = 0 所以沿渐近曲线有，n = 常量 设r o 是渐近曲线上某定点的向径，则上式r 佗= 7 0 n ，即( r r o ) - 亿= 0 由此得到连结渐近曲线的定点m o 和渐近曲线上任意点的向量r 一伯垂直于m 因此必在点m o 的切平面上 渐近曲线的所有点都在点m o 的切平面上 这个包含渐近曲线且垂直于沿它的常法向量n 的平面，就是渐近曲线所有点 的切平面曲面是一个单参数平面族的包络面，所以是可展面 5 湖北大学硕士学位论文 3 弋直纹面等距曲面的定义和分析性j 贾 定义3 1 直纹面等距曲面扩的参数方程： r = a ( u ) + v b ( u ) + a n ( t ，移) 其中，假设已知直纹面s 的参数方程：，- = a ( t ) + v b ( t i ) ，n g 直纹面s 的单位法向 量，a 表示从直纹面s 上的任意一点r ( t ，口) 沿法线方向移动的一段距离，a 为一个 常数，可以取正也可以取负伊表示r ( t ，移) 对应点r ( 让，t ，) 的轨迹曲面 定理3 1 直纹面s 在某一点的法矢量与其等距曲面s 在对应点的法矢量平 行 证明对于直纹面s 有 氏= 口，+ v b ，= b 则与其对应的等距曲面9 有 r ：= a t + v b + a ，吒= b + 入 吒吒= ( a 7 + v b + a 佗u ) ( 6 + 入竹u ) = ( a t + v l ，) b + 入【( 口，+ v g ) + 6 】+ 入2 ( n u n v ) ( 3 0 1 ) = r u r v + a ( r u n + n u r v ) + 入2 ( t i t s n v ) 因为r u r v 和佗u 平行，即有 n u n p = 入l ( 气r v ) 为确定因子入l ，两边点乘向量r u r v ，根据拉格朗日恒等式有 l 佗u l i 。气 气i 1 。1 i l 6 u 廿 n n 又 则上式可以写为 l ；r u 口礼= 一n u ，、 m 2 p - 礼= - r u n v = 一死u ， n = r w 佗= 一； 一lm m n = 入1 ef fg 得入l = 面l n 亨- 万m 2 = k ( 高斯曲率) 即 n u = k ( r u ) 又因为气和n u r v ，即有 r u = a 2 ( ) 为确定因子入2 ，两边点乘i r u ，根据拉格朗日恒等式有 则上式可以写为 得a 2 = 1 - e 否n 万+ f m 即 r u 气气 n v 。r u礼u e f m n = 入2 = a 2 r u 。 ef 。 fg m ：- 面e 虿n = + f f m ( h ) m2 西虿= f 【h j 再因为r u 和r u 平行，即有 n u n = 入3 ( r u ) 7 ( 3 0 2 ) ( 3 0 3 ) 湖北大学硕士学位论文 为确定因子入3 ，两边点乘向量，趄据拉格朗日恒等式有 l i i 气l l l 则上式可以写为 。 。 l f lg - ml = 入3 e 丢l 气：- l 历g 亍+ i f r m ( 气) ( 3 o 4 ) 气2 瓦歹= 7 ；r 【气j p u 哪 将( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 代入( 1 ) 式，得 i f , 吒= r u r v + 入( r u + ) + a 2 ( n p ) = 1 + 入( 1 - e 雨n + f m + 薇f m i 万- l g ) + x 2 k ( 氏r ) = ( 1 2 a h + a 2 k ) ( r u r v ) 则吒吒和r u r v 平行 即直纹面s 在某一点的法矢量与其等距曲面s 。在对应点的法矢量平行 根据直纹面等距曲面的参数方程可以得到如下直纹面等距曲面的分析性质， 并将它的第一、二基本形式、高斯曲率、平均曲率、法曲率用原直纹面的第一 类基本量( e ，eg ) ，第二类基本量( 厶m ) ，高斯曲率和平均曲率( k ，日) 来表示( 由 直纹面参数方程计算出n = o ) 定理3 2 已知直纹面s ：r = 口) + v b ( 牡) ，则其直纹面等距曲面驴的第一基 本形式为 p = 【e 一2 x l + 入2 ( 2 h l k e ) 】d u 2 + 【f 一2 a m + a 2 ( h m ) 一卅d u d v + ( g a 2 k g ) d v 2 其中，e ，f g ，l ，m ，k ，日都是直纹面s ：r = o ( t i ) + v b ( t ) 的第一、二类基本量 以及高斯曲率和平均曲率，a 为一个常数，可以取正也可以取负 8 h = 3直纹面等距曲血的定义和分析性质 证明已知直绞面s ：r = 口( 缸) + v b ( u ) ，则其直纹面等距曲面驴的参邀方程 为广= a ( t i ) + v b ( u ) + a n ( 珏，口) 对上式两边同时微分有 d r + = ( a t + v g ) d u + b d v + a d n 而直纹面等距曲面扩的第一基本形式可以表示为 j 木= d r d r + = ( a t + 6 ，) 2d u 2 + 2 ( 口，+ 口6 ，) b d u d v + 6 2 咖2 ( 3 0 5 ) + 2 a ( 口，+ v b ) 砒砒+ 2 a b d v d n + 入2 d n 2 结合之前我们计算出的直纹面s ：r = a ( u ) + v b ( 仳) 的分析性质，并且对于上 式进行分析 其中 ( 口，+ 6 ，) 2d t 产+ 2 ( 0 ，+ v b ) b d u d v + b 2 d v 2 = i ( 3 0 6 ) 又因为n 是直纹面s 的单位法向量，则满足关系式n d r = 0 ，对它求微分，便 可以得到咖打+ n d 2 r = 0 ，由此可以得到i = ，l d 2 ，= 一d n d r 2 入( + v 6 ，) d u d n + 2 入胁砒= 2 a r u d u d n + 2 a d v d n ( 3 0 7 ) = 2 a d n ( 砒+ r v d v ) = 2 $ d n d r = - 2 m i d n 2 = i i i = 2 h l i k 其中i i i 表示直纹面s 的第三基本形式， 将( 6 ) 、( 7 ) 、( 8 ) 代入( 5 ) 得 ( 3 0 8 ) ，：i 一2 a i i + 2 h i i a 2 一k i a 2 = j ( 1 一k a 2 ) + i i ( 2 h a 2 2 a ) = ( 1 一 入2 丽l n - m 2 ) ( e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ) + ( 2 旦缶考辫芹一2 a ) ( l d u 2 + 2 m d u d v + n d u d v ) = 【e 一2 a l + 入2 ( 2 h l k e ) 】d u 2 + 2i f 一2 a m + 入2 ( 2 h m k f ) 】d u d v + 【g 一2 a n + a 2 ( 2 h n k g ) 】d v 2 9 湖北大学硕士学位论文 由于我们之前求得在直纹面s 的分析性质中= 0 ，带入上式子可以得出直 纹面等距曲面p 的第一基本形式为 ， i = 【e 一2 a l + a 2 ( 2 日l k e ) 】d u 2 + 2 【f 一2 入m + 入2 ( 日m k f ) 】d u d v + ( g 一入2 k g ) d v 2 则直纹面等距曲面9 的第一类基本量分别为 e = e 一2 x l + 入2 ( 2 h l k e ) = e 一2 入三+ 2 入2 月z k e 入2 = e ( 1 一k 入2 ) 一2 a l ( 1 一入日) = ( 口+ t ，6 ，) a 一2 a 型尘生逆! 也争隽笺錾尝乒盟k 丛笙笸盟b 其中 f + = f ( 1 一k a 2 ) 一2 入m ( 1 一入日) = ( 0 7 + 秽6 ，) b a + 一2 a 黼b g = g a k g = g ( 1 一k 入2 ) = b 2 a a = 1 一a 2 k = 1 + 入2 石翳 b + = 1 一a h ：1 一入世型生螳型竺鳖业生坐：型竺：型型鎏 2 ( e g - f 2 1 季 定理3 3 已知直纹面s ：7 = n ( t ) + v b ( 牡) ，则其直纹面等距曲面伊的第二基 本形式为 i i = 盼k e + ( 1 2 入日) l 】d u 2 + 2 【a k f + ( 1 2 a h ) md u d v + f 入k g d 移2 其中，e ，只g ，厶m ，k ，日都是直纹面s ：，= a ( u ) + v b ( u ) 的第一、二类基 本量以及高斯曲率和平均曲率，a 为一个常数，可以取正也可以取负，= 4 - 1 证明已知n 是直纹面s 的单位法向量，设矿是直纹等距面伊上对应点的单位 法向量，则由定理3 1 直纹面s 在某一点的法矢量与其等距曲面伊在对应点的法矢 l o 3直纹面等足 i 曲曲的定义和分析性质 量平行，对于法答量矿= 和，= 士1 i i 。= 一d r d n + = 一【( + u 6 ，) d u + m v + a d n 】d n = “( + 6 ，) d u d n 一6 c 如咖】一$ d n 2 ) = ( i i m i i ) = ( i i 一2 $ h i i + $ k i ) = 队k ，+ ( 1 2 x h ) i i 】 。= f 【$ k e + ( 1 2 $ h ) 别d u 2 + 2 【a k f + ( 1 2 $ h ) m 】砒如一 + 【$ k g + ( 1 2 $ h ) n 】d 2 由于我们之前求得在直纹面s 的分析性质中= 0 ，带入上式子可以得出直 纹面等距曲面9 的第二基本形式为 i i = 【$ k e + ( 1 2 a h ) l d u 2 + 2 a k f + ( 1 2 入日) 】砒如+ $ k g d v 2 则直纹面等距曲面驴的第二类基本量分别为 l 。= f 【$ k e + ( 1 2 $ h ) l 】 = 卜器并( “删2 卜业丝掣糕等幽c ) 其中 m + = 专【$ k f + ( 1 2 x h ) m 1 = 入矗筹g 簪( 口7 + 口6 ，) 6 + 耥c + ) n = 【$ k g + ( 1 2 $ h ) n 】= 入k g = 入k 6 2 = a 啬鳞6 2 c = 1 2 a h = 1 - 2 5 湖北大学硕士学位论文 率为 定理3 4 已趣直纹面s ：r = 口( u ) + 曲( t 1 ) ，则其直纹面等距曲面9 的鎏曲率 雠= 等 = 厨翟精豢篙掣帮鳞溅甚裂端赫鬻钿一旧一2 a l + a 2 ( 2 日l k e ) 1 d t 2 + 2 【f 一2 a 肘+ a 2 ( 2 日m 一k f ) 1 d t i d t ，+ ( g x 瓣) d t 定理3 5 已知直纹面s ：r = 口( t ) j r v b ( u ) ，则其直纹面等距曲面s 的高斯曲 平均曲率为 k = 面瓦币e 瓦_ 石m 巧2 丽f 两 肚丽毒写豢 其中，e ，e g ，厶m 都是直纹面s ：，= n ( t ) + v b ( u ) 白匀j 第一、二类基本量以 及高斯曲率和平均曲率，入为一个常数，可以取正也可以取负，= 4 - 1 证明已知n 是直纹面s 的单位法向量，设矿是直纹等距面上对应点的单位 法向量，则由定理3 1 知矿= 佗，= - 4 - 1 则吃噶= n n 由定理3 1 的证明过程中的( 2 ) 可以推导出 佗：n ：= k 。( 吒r ：) 又由定理3 1 的证明过程中的结论 得到 吒吒= ( 1 2 x h4 - a 2 k ) ( ) 碗噶= k ( 1 2 a h + a 2 k ) ( r v ) 又因为n u = k ( ) ，则 吒亿：= k ( 1 2 a h + a 2 k ) ( r u ) = k ( ) 1 2 3 直纹面等距曲诬的定义和分析性质 直纹面等距曲面伊的高斯曲率 r = i 蘅k 雨丽 篆簪 2 习巫面巫写彗喾b 巫巫昭 一l 以i i 盥盟生世坐业坐坐越攀型生业业坐! 丝尘坐+ 舻芒差喾 k + = i 历函k 瓣= m 2 一m 2 2 ( e g - 。f 。2 。- 。a 。l 。g + 2 a m f 。- a 2 m 2 ) 求直纹面等距曲面的平均曲率 曲面的三个基本形式之间有如下的线性关系： i i i 一2 h i i + k i = 0 那么对于直纹面等距曲面9 即有 h 2 i i i i ! i 一2 h i i + k i = 0 i i i + = d n 。d n + = d n d n = i i i i l i * 历+ k 一* i * = 丝铲=2 i i 2 l l 1 - 2 a + a 2 k 、+ k r j 一2 m i + ) p l l l j 2 ( i i a j j ，) f ( 1 2 a h + a 2 k 百d n d n + k * i * ：型竺业尝掣型 其中从定理3 2 和定理3 3 的推导过程巾可知 j ：i 一2 a i i + 2 h a 2 一k i a 2 1 3 湖北大学硕士学位论文 _ - _ _ _ 一 ，j = ( ，一a i i i ) 1 4 4直纹面等距曲血的性质 4 直纹面等距曲面的性质 常见的直纹面有柱面、锥面、空间曲面的切线曲面、二次曲面中的单叶双 曲面( 纸篓面) 和双曲抛物面( 马鞍面) 对于这些直纹面的等距曲面与原直纹 面之间的性质关系，我们进行研究 定理4 1 若直纹面为可展曲面，则其对应的等距曲面仍是直纹面 对于直纹面s ：r = a ( 札) + v b ( 乱) ，直纹面等距面s 。：r = a ( 钍) + v b ( 缸) + k n ( 钍，t ，) ，当直纹面r ( t ，u ) 为可展曲面时，对于u = u o ，沿着直母线法 向量佗( u o ，u ) 定向，且由直纹面等距曲面的参数方程可以得到 ，( u o ， ) + = a ( u o ) + k n ( u o ) + v b ( u o ) 上式为直线，所以，若直纹面为可展曲面，则其对应的等距曲面仍是直纹面 当直纹面不可展的曲面时，由于法向量n 的方向是不断变化的，所以其对应的等距 曲面一般不是直纹面 定理4 2 若一个直纹面为可展曲面，则其对应的等距曲面也是可展的 证明：定理2 5 已经证明一个直纹面为可展曲面的充分必要条件是高斯曲 率恒为零即若一个直纹面为可展曲面，则这个直纹面的高斯曲率k = 0 由定 理3 4 的证明过程可知直纹面等距曲面的高斯曲率 f = 去 则k + = 0 直纹面等距曲面也是可展的 即若一个直纹面为可展曲面，则其对应的等距曲面也是可展的 定理4 3 若一个直纹面为可展曲面，则其对应的等距曲面与平面成等距对 应 证明首先我们证明可展曲面与平面成等距对应在直角坐标系( z ，可) 中，平 面的第一基本形式为 i = d x 2 + d y 2 进行极坐标系( n p ) 变换，由z = p c o s 0 ，y = p s i n 0 ，得到平面在极坐标系下的第 1 5 。l 湖北大学硕士学位论文 一基本形式为 l = d p 七皆静 我们来考察柱面，柱面参数方程为r = a ( 8 ) + v b ， 其中6 是沿着柱面母线方向上的单位常向量，口= 口( s ) 是与柱面母线正交的 一条曲线，8 表示该曲线的弧长则 r s = a = o l ，r v = b ， e = n r s = 舻= 1 ，f = r s r v = 0 ，g = r v r v = b 2 = 1 ， 柱面的第一基本形式为，= d s 2 + d v 2 ，这与上述平面的第一基本形式具有相 同的形式，因此柱面与平面成等距对应接着我们来考察锥面，锥面参数方程为 r = n o + v b ( 8 ) 其中是6 ( s ) 沿着锥面母线方向上的单位常向量，知是常向量，s 表示单位球面 曲线b = 6 ( s ) 的弧长则= v b ，= b ，其中 b 2 = 1 ，b 占= 0 ，铲= 0 ， e = = 口2 ，f = n = 0 ，g = = 6 2 = 1 锥面的第一基本形式为，= v 2 d s 2 + d v 2 这与上述平面的第一基本形式具有 相同的形式，因此锥面与平面成等距对应 最后我们考察切线曲面，切线曲面的参数方程为r = n + v a ( s ) 其中口( s ) 为 曲线n = 口( s ) 的切向量q ( 8 ) = a ( s ) ，s 表示该曲线的弧长则 r s = a + v k z ，= q ( s ) ， e = r s r s = 1 + v 2 k 2 ，f = r s r v = 1 ，g = r v r v = 1 ， 1 6 4 直纹面等距曲嘶的性质 、 切面曲线的第一基本形式为i = ( 1 + , 0 2 k 2 ) d s 2 + 2 d s d v + d v 2 ，上式中只 出现了曲线的曲率k 而没有出现挠率7 因此如果两条曲线具有相同的曲率， 即七= k ( s ) ，那么即使挠率7 - 不同，他们的切线所构成的切线曲面也具有相同的第 一基本形式，因此是等距的但是对于给定的曲率k = 七( s ) ，挠率7 = 灯( s ) ，其 中0 a 1 ，则有曲线论的基本定理，除了空间的位置外，完全确定一条曲线( c ) 当入从l 到。连续变动时，得到一个连续族的曲线 以) 这些曲线的切线曲面 也是变动的，但是第一基本形式保持不变，所以这些切线曲面是等距的 当入= 0 时，挠率下= a 7 - ( 8 ) = 0 ，此时曲线变为平面曲线，由于平面曲线的切 线仍然在这个平面上，因此此时的切线曲面就是平面曲线所在的曲面，而第一基 本形式保持不变所以切线曲面也是与平面成等距对应的 由以上三种类型的可展曲面与平面成等距对应的证明可以推导出可展曲面 与平面成等距对应 又因为定理4 2 ，若一个直纹面为可展曲面，则其对应的等距曲面也是可展的， 即可以推导出命题，若一个直纹面为可展曲面，则其对应的等距曲面与平面成等 距对应 1 7 1 湖北大学硕士学位论文 5直纹面等距曲面分析性质在实际计算中的应用 上文中给出直纹面等距曲面第一、二基本形式、法曲率、高斯曲率、平均 曲率的具体表达式，下面将举出一个例子对这些公式进行应用以圆柱面为例子， 圆柱面是一个直纹面，则圆柱面的等距曲面的方程为 广= 口( t i ) + v b ( u ) + a n ( t ，t ，) 其中，已知圆柱面s 的参数方程：r = a ( u ) + v b ( t ) ，n 是直纹面s 的单位法向量， 入表示从直纹面s 上的任意一点r ( t i ，口) 沿法线方向移动的一段距离，a 为一个常 数，可以取正也可以取负，b ( 牡) = 常向量 例已知圆柱面r = r c o s 0 ，r s i n o ，o ) + 移 o ，0 ，1 ) = r c o s o ，r s i n o ，t ，) 。 r a = - r s i n o ，r c o s 0 ，o ) ，r v = o ，0 ，1 ) 则 圆柱面的第一类基本量 e = r e 砌= 舻，f = r o r v = 0 ，g = r v r v = b b = 1 圆柱面的第一基本形式 j = ( + t 6 ，) 2d 0 2 + 2 ( + u 矽) b d o d v + 6 2 咖2 = r d 0 2 + d v 2 伽= 口，+ 钞矿= - r c o s 0 ，- r s i n o ，o ) ，= o ，0 ，o ) ，= o ，0 ，o ) 圆柱面在点q ( t l ，移) 单位法向量 n：等等：穹罢笔学：rcos0,rsin0,0)=cos印811一一11叩)r n 2 一= ；= = = = r = 一= 1 口，口，ur i 即i 、e g f 2 。 圆柱面的第二类基本量 三= 伽几= 业业业氅裟等业世出= 一冗 m = n = 器= o n = n = 0 1 8 5 直纹面等距曲血分析件质枉实际讣算巾的应用 圆柱面的第二基本形式 、 j j = 型监业生世弓靛喾箬型丝型业硼2 + 2 端棚咖= 一尉俨 。 j ，世丛业纠世普劣等必幽硼2 + 2 辫硼如一肋2 + d v 2 。了2 百百厕丽再i 再j f 面i 丽矿一_ 万 圆柱面的高斯曲率和平均曲率 h = 群 = 一去 k = 一l n - m 2 = 卷并= 。 圆柱面的等距曲面 r = r c o s 0 ，r s i n o ，o + 口 o ，0 ，1 ) + a n = ( r + 入) c o s 0 ，( r + 入) s i n 0 ，t ，) 圆柱面等距曲面的第一基本形式为 r = 【e 一2 入l + 入2 ( 2 h l k e ) 】d 0 2 + 2 【f 一2 a m + a 2 ( h m k f ) 】d o d v + ( g a 2 k g ) d v 2 = ( r + 入) 2d 0 2 + d v 2 圆柱面等距曲面的第二基本形式为 i i = 队k e + ( 1 2 a h ) 纠d 0 2 + 2 【, x k f + ( 1 2 , x h ) m 】d o d v + f 入k g 如2 = 一( r + 入) d 0 2 其中矿= 扣，f = 4 - 1 圆柱面等距曲面j s + 的法曲率为 k = 面积罱黔粼群舞牒端篇器篙鬻：弼 一( r + ) d 萨 2 ( r + 2 x 1 ) 。2 d o 2 + d 一v 2 1 9 湖北大学硕士学位论文 圆桂面等距曲面p 的高斯曲率为 k = 疆荭z 亡j 蔽_ 耳m 瓦2 而鼍而两= 0 圆柱面等距曲面9 的平均曲率为 日+ = 砸恧孕 l g - 衙m f 觋+ 2 a 丽m ；= j 2 琊，= 一豳 由圆柱面的例子我们可以知道，当已知一个直纹面s 从直纹面s 上的任意一 点r ( 缸， ) 沿法线方向移动的一段距离a ，得到对应点的轨迹曲面即直纹面等距曲 面伊对于直纹面等距曲面扩的分析性质，我们只需要计算出原直纹面s 的第一 类基本量、第二类基本量、高斯曲率、平均曲率就可以利用本文中推导的公式 计算出对应直纹面等距曲面的第一基本形式、第二基本形式、法曲率、高斯曲 率、平均曲率 6 直纹诬及其等距血在现代制造业巾的应用 6 直纹面及其等距面在现代制造业中的应用 直纹面及其等距面在现代制造业中有广泛应用等距技术是c a d c a m 系统 中的关键技术，在数控加工的刀具轨迹生成、带厚度薄片实体( 如汽车的车身、 箱包等) 的计算机辅助设计、机器人的路径规划、实体造型中的混合操作等众多 领域有着广泛的应用 凸轮机构是工程中用以实现机械化和自动化的一种主要驱动和控制装置 它具有结构紧凑、性能可靠等诸多优点，在实现间歇运动、分度运动、较大运动 升程要求或其他任意复杂运动要求方面具有很强的适应性 在空间凸轮机构中，迹线：空间凸轮机构中从动件上的一条理论直线，对 于滚子从动件即滚子的轴线理论轮廓曲面：空间凸轮机构中，当从动件绕 固定的凸轮反向回转时，迹线在空间形成的轨迹曲面，简称理论廓面它是直纹 面实际轮廓曲面空间凸轮机构中，与从动件实际工作表面相接触的凸轮工 作廓面，简称实际廓面实际廓面和理论廓面的互为等距曲面 弧面凸轮分度机构中从动轮滚子的中心线在空间形成的轨迹曲面。也就是凸 轮的理论廓面，由一族直线”织成”，称直纹面它通常被视为由一个单参数直线族 而构成，族中直线称为直纹面的直纹或( 直) 母线该族直纹经过一条参数曲 线一准线，理论廓面是实际廓面的等距曲面，根据等距曲面的性质，弧面凸