（基础数学专业论文）banach空间中一类lidstone奇异边值问题的解.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者躲玉悼柏导师替沈麓并 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权趁可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：未竺掐导师签字沈慧芹纸) 签字日期：2 0 03 年中月伊日签字日期：2 0 0 ，年俨月9 日 山东师范大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中一类l i d s t o n e 奇异边值问题的解 摘要 近年来，由于b a n a d b 空间中的奇异边值问题在气体动力学、流体力学、边界 层理论、非线性光学等应用学科的研究中具有较高的实用价值，该问题逐渐成为国 内外数学工作者和其他科技工作者所关心的重要问题之一( 见【9 - 1 1 、【1 5 ) 随着 研究的深入，上下解方法、近似逼近方法、锥理论和拓扑度理论等新的研究方法也 逐渐被用来论证奇异边值问题正解的存在性 新近，姚庆六教授在文【6 中通过研究2 n 阶微分方程边值问题，利用控制函数 及锥拉伸与锥压缩不动点定理得到边值问题的多个正解的存在性本文则是在此基 础上运用锥拉伸与锥压缩不动点定理，m 饥c 不动点定理和算子的不动点指数理 论更深入地研究一类特殊的奇异边值问题一一l i d s t o l l e 边值问题主要包括以下三 个方面的内容： 第一章考虑了b a n a c h 空间中2 n 阶奇异边值问题 ， i ( 一1 ) “z ( 2 ”) ( ) = ，( ，z ( t ) ) ，( o ，1 ) ； lz ( 2 t ( o ) = z ( 2 ) ( 1 ) = p ， o i n 一1 正解的存在性，其中，( ，z ) 在t = o ，1 处具有奇异性( 这里口表示b a n a c h 空间e 中 的零元) 近年来，奇异边值问题获得了广泛研究并得到了许多好的结果( 参见 8 - 【9 】 及其后的参考文献) ，目前对二阶和四阶奇异边值问题的研究结果较多，而对2 n 阶 奇异边值问题的研究成果较少因此，本章考虑了此问题，通过构造特殊的锥，然 后利用锥拉伸与锥压缩不动点定理得到了正解的存在性 第二章在抽象空间e 中仍然考虑第一章中的2 n 阶l i d s t o n e 奇异边值问题的解 的存在性，其中，c ( o ，1 ) p ，卅( p 为e 中的正规锥) ，且在t = o ，1 处具有奇异 性运用m 锄c 不动点定理，得到了方程解的存在性本章与第一章相比，去掉 了，的一致连续性 第三章研究了奇异边值问题 臻蝥揣? 亡( 0 ，1 ) ； 0 z n 一1 多个正解的存在性，其中，( ，z ) 在t = o ，1 ，z = 日处具有奇异性本章通过构造特 殊的锥，来克服厂( t ，z ) 在z = p 处的奇异性，然后利用严格集压缩算子的不动点指 山东师范大学硕士学位论文 数理论，讨论了该问题的正解及多重正解的存在性 关键词：奇异边值问题；不动点定理； 锥； 正解 分类号： 0 1 7 5 8 ，0 1 7 5 1 5 2 山东师范大学硕士学位论文 s o l u t i o n so nac l a s so fs i n g u l a rl i d s t o n eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mi nb a n a c hs p a c e s a bs t r a c t i nt h el a s tt h i r t y ”a r s ：s i n g m a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c eh a sb e c o m e0 1 1 eo ft h em o s ti m p o r t a mp r o b l e m st h a ta t t r a c tt h ea t t e n t i o no fm o r ea n dm o r e m a t h e m a 七i c i a j l sa n do t h e rt e c h l i c i a n sf s e e 。f o ri 【l s t a n c e ，【9 - 【1 1 、 ( 1 5 a n dt h e i rr e f e r e n c e s ) s i n c ei th a s 如【u 【hp r a c t i c a lv z l l u ei nt h ef i e l d so fg a sd y n a l r n i c s 丑u j dm e c h a n i c s ，t h e t h e o r yo fb o u n d a r yl a y e r ，n o n l i n e a ro p t i c sa n ds oo n t h ea p p r o a c h e su s e dt os t u d ys u ( h p r o b l e m sa r et h em e t h o do fu p p e ra n d1 0 陀rs o l u t i o n s ：t o p 0 1 0 百c a ld e g r e e ，c o n et h e o r y ， a n dt h em e t h o do fa p p r o 丽m a t i o n ，e t c w h a tt h e yo b t 献n e di st h ee 姬s t e n c eo fs 0 1 u t i o n o nt h eb a s i so ft h ea b a v er e f e r e n c e s ，t h i sp a p e ra t t e m p t st om a k eu s eo fc o n ec o m p r e s s i o n a n de x p a n s i o nm c e dp o i n tt h e o r e m ，m 饥c f k e dp o i n tt h e o r e ma n df i x e dp o i l l ti n d e x t h e o r e mt od i s c u s sas p e c i a 】l ( i n do fs m g u l 缸b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m l i d s t o n eb o m l d a r y v a l u ep r o b l e m c h 印t e r1 i n v e s t i g a t e st h ee ) 【i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ef o n o w i n g2 n - o r d e r s i n g u l a u rl i d s t o n e 、试u ep r o b l e mi nb a n a n c hs p a c e l ( 一1 ) “z ( 2 “( t ) = ，( t ，z ( ) ) ， t ( o ，1 ) ； iz ( 2 i ( o ) = z ( 2 i ( 1 ) = 日，o i 礼一1 w h e r e ，( f ，z ) i ss i i l g u l a u ra t = o ，1 pi st l l ez e r oe l e m e n to fb a n a c hs p a c ee b yc o l l - s t r u c t i n gas p e c i a lc o n ea n du s i n gc o n ec o m p r e s s i o na n de x p a n s i o nf 波e dp o i n tt h e o r e m ， r eg e tt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n s i nc h 印t e r2 ，w ec o n s i d e rt h es 砌：n es i n g u l a rl i d s t o n ev a l u ep r o b l e ma si nc h 印t e r 1 b yu s i i l gm 6 n c h 矗x e dp o i n tt h e o r e m ，、v eg e tt h ee 妇s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n s c o m p a r i n gw i t hc h a p t e r1 ，t h eu n j f o r mc o n t i n u i t yo f ，i sd e l e t e d i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h e2 n o r d e rs i n g m a l rl i d s t o n eb o u n d 邺7 、赳u ep r o b l 锄 w h e r e ，( t ，z ) i s t h en x e dp o i i l t f ( 一1 ) n z ( 2 n ( ) = ，( t ，z ( ) ) ， 1z ( 2 ( o ) ：z ( 2 t ( 1 ) ：口， t ( 0 ，1 ) ； 0 i 几一1 s i i l g u l a ra t = 0 ，1 ，a n dz = 目b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o n ea n du s i n g i n d e xt h e o r e m ，w ep r e s e n t st h ee ) 【i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o i l sf o r s u c hb o i m d a r yv a l u ep r o b l e m 3 山东师范大学硕士学位论文 k e yw b r d s ：s i n g u l a rb o u i l d a r y 词u ep r o b 】e m ；f 妇d p o i n tt h e o r e m ；c o n e p o s i t i v es o l u t i o 4 c l a s s i f l c a t i o n ：0 1 7 5 8 ，0 1 7 5 1 5 山东师范大学硕士学位论文 _姿-l 目i j昌 近年来，由于b a n a c h 空间中的奇异边值问题在气体动力学、流体力学、边界 层理论，非线性光学等应用学科的研究中具有较高的实用价值，该问题逐渐成为国 内外数学工作者和其他科技工作者的研究热点( 见【9 】- 1 1 、 1 5 ) 在研究过程中， 非线性泛函分析方法被广泛运用，成为研究奇异微分方程理论的重要方法，特别是 国内郭大钧教授【1 、孙经先教授1 3 等撰写的一系列专著的问世，为它的发展提供 了雄厚的理论基础和强有力的工具 然而，对有关抽象空间中的奇异边值问题，尤其是当方程的非线性项，( t ，z ) 在 = 日处奇异时的研究还比较少( 这里p 表示b a n a c h 空间e 中的零元) ，刘衍胜教 授在文【9 、 1 6 中做过一些探讨此外，自从v l a k s h m i k a n t h a m 等人首先用单 调迭代方法研究常微分方程的解的存在性以来( 见 4 】、 5 】) ，已有大量关于二阶和 四阶微分方程的研究成果问世( 如【1 3 ) 但关于更高偶数阶微分方程的研究的文献 就少得多了，仅见f 2 3 等少数文献新近，姚庆六教授在文 6 中通过研究2 n 阶微 分方程边值问题，利用控制函数及锥拉伸与锥压缩不动点定理得到边值问题的多个 正解的存在性本文则是在此基础上，在第一、二、三章分别利用锥拉伸与锥压缩 不动点定理、m 饥c 忍不动点定理及算子的不动点指数定理考虑了b a n a c h 空间中 2 n 阶l i d s t o n e 奇异边值问题 淼篙， 解及多重正解的存在性 t ( o ，1 ) ； 0 is 礼一1 本文始终使用如下术语： 设( e ，i ) 是一个b a i l a c h 空间，令，= 【o ，1 ，p 为e 上的一个正规锥，它引入 了e 中一个偏序关系。”，zs 剪当且仅当可一z p 在c ，蚓上考虑问题 i ( 一1 ) n z ( 2 n ) ( ) = ，( ，z ( ) ) ， ( o ，1 ) ； iz ( 2 ) ( o ) = z ( 2 ) ( 1 ) = p ， o i n 一1 ， 对比c f ，矧，令恻j 。= 弓￥忙( 圳，则( c ，剀，”l j c ) 成为一b a n a c h 空间 以下谈到问题 茹鬻篙n 芒( o ，1 ) ； 0 i n 一1 5 6 山东师范大学硕士学位论文 则称抽象广义积分 用q ( ) 和口。( ) 分别表示b a n a c h 空间e 和c f ，司中有界集的k t l r a t d s l c i j 非 紧性测度有关非紧性测度的定义及性质见 1 - f 2 蚋 制品鼢 限 议 嗯瓤 卅 溯媚 潞 譬一 相联 聪 现1 - 泓 q 类 c ： 引_ _ 敛 z 收 指z 出 山东师范大学硕士学位论文 第一章一类l i d s t o n e 奇异边值问题正解的存在性 1 1 引言及预备知识 近年来，奇异边值问题获得了广泛研究并得到了许多好的结果( 参见【8 - 【9 及 其后的参考文献) 目前对二阶和四阶奇异边值问题的研究结果较多，而对2 n 阶奇 异边值问题的研究成果较少本章利用锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了b a n a c h 空间中2 n 阶奇异边值问题 淼冀篙埙 ( o j1 ) ； ( 1 1 1 ) 0 i n l 正解的存在性，其中n 1 ，c ( o 1 ) 尸，p 】，且厂( ，z ) 在t = o ，1 处有奇异性， 即： 。绦帅，训= 眠。蟀l i ，( t ，训= o 。 问题( 1 1 1 ) 的正解是指z c 【j 捌，满足问题( 1 1 1 ) ，并且z ( ) 曰，z ( ) p ，o o ， 设a ：辟。一p 为严格集压缩算子且满足下列两条之一 ( i ) 当z p ，fj z | f = r 时，a zgz 且当z p f i z | | = s 时，a z 芝z ； 7 山东师范大学硕士学位论文 ( i i ) 当z p f z | f = r 时， a zzz 且当z 只z 4 = s 时， 触gz ， 则a 在锥p 中有一不动点z ：满足r o ，且j 6 ( o ，；) 使黑掣_ f ( 州m ) 可为删对v t 厶邛】1 - 司一致成立，且 z p ，1 一d s u p g n ( t ，s ) f ( s ) 如 1 o t o ，算子t ：c f j ，p 】n 目一c 【，p 连续有 8 山东师范大学硕士学位论文 界 证明首先证明t 为映c f j ，卅n 研到c ，爿的有界算子 对比c ，p n 研，由引理1 1 3 有 归z ) | i c2 器怒 i ( 儿) ( ) i i 2 踌吆瓯( ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s | | 上躐慨( ，s ) ，( s ，z ( s ) ) 怯 z 1 南s ( 1 叫如) d s 刈川 + 。 故t 为c ，引nb 到c 【，p 1 的有界算子 下证t 为从c 【，p n 屏到c ，p 的连续算子 对v t l ，t 2 【0 、1 ，z c j ，p 】n b ，有 | i ( t z ) ( 1 ) 一( t z ) ( t 2 ) | f = | | ( g 。( t 1 ，s ) 一g 。( 2 ，s ) ) ，( s ：z ( s ) ) 酬l lg 。( 1 ，s ) 一g 。( 2 ，5 ) 厂( s ，z ( s ) ) l l 幽 z 1z 1 【g m ( ) 一g 池- l ( ) d ( 1 删叭如驯协 s z 1z 1 g ( t 1 一g ( t 2 ) g ( s ) 1 d 9 ( s ) ( s ) 洲d s z 1z 1g 一g ， o ，t 为映c 【j ，卅n 毋到叫j ，p 】 的严格集压缩算子 证明v r o ，设scc ，p n 研，由( h 1 1 ) 和引理1 2 2 的证明易知t s 为有 界集且在，上等度连续 根据引理1 1 1 ，知 q ( 丁s ) = s u pa ( ( 丁s ) ( t ) ) ， ( 1 2 2 ) o 1 其中( 丁s ) ( ) = ( t z ) ( t ) ：z s ) ，t j 令 广1 d = g 。( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ：z s ) ， ，0 ，1 61 风= g 。( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ：z s ) ，o r 时，有 1 i 危( z ) | | c ，z 从而对比p 有 | 1 ( z ) | | c 川z i i + m ， 其中m = s u p 州h ( z ) i i ：z 耳np 卜 令刁= 1 + ( 1 一6 ) - 1 g ，其中g = m 么1 击s ( 1 一s ) 夕( s ) d s 则可证 t z 芝z ，v z q ，i | z | i 。= 刁 ( 1 2 7 ) 事实上，若存在z q ，忙+ l | 。= 五满足t z + 之z + ，则 ，l p z ( t ) ( t z + ) ( t ) = g 。( t ，s ) ，( s ? z + ( s ) ) d s ， 山东师范大学硕士学位论文 利用( h 1 1 ) 及刁的取法得 s 驯z 1 嘉s ( 1 叫m ( s ) ) 酬i z 1 击s ( 1 叫酬州s 川陋 s z 1 击s ( 1 叫如) ( c 州s 川+ m ) d s 1 ( 1 2 8 ) 0 1 i ，占 这样就存在o o ，再由( 1 2 8 ) 式即得矛盾，故( 1 2 1 0 ) 式 成立 这样由( 1 2 7 ) 和( 1 2 1 0 ) ，并结合引理1 1 2 得结论成立 口 1 3 应用 例1 3 1 考虑定理1 2 1 在有限维奇异l i d s t o n e 边值问题中的应用 j 哪1 6 协志压扣m ) 1 挺1 k iz i ( o ) ：翰( 1 ) ：z ，( o ) = z ? ( 1 ) = z 乳o ) = z h l ) = 8 ， t = l ，2 ，m 、 ( 1 3 1 ) 其中z m + t = z 1 在m 维欧氏空间r m 中考虑问题( 1 3 1 ) ，对z = ( z 1 ，z 2 ，：z m ) ，令恻i = 苎恢| ，易知i 为r m 的范数将( 1 3 1 ) 看成( 1 1 1 ) 的形式，相当于n = 3 ，= 1 ， z ( t ) = ( z 1 ( t ) z 2 ( t ) ，z 。( ) ) ， 厂( t ，o ) = ( ，1 ，2 ，：，仇) ， 以厶叫2 而高慨扣i + 1 ) 可以看出，( t ，z ) 在t = 0 ，1 处有奇异性，注意到 z 1 俩习拈吾， 以而一 取 1 4 鲋) = 而禹， 、c 【l c j ( z ) = ( l ， 2 ，九m ) ， ( z ) = 、面+ z t ， 山东师范大学硕士学位论文 则c = 1 ，故( h 1 1 ) 满足 ( h 1 ，2 ) 显然成立 由于r m 是有限维空间，故( h 1 3 ) 满足且其中的l 三o 至于( h 1 4 ) ，可取歹= ( 1 ，l ，1 ) ，贝0f ( ) = + 。，v f 正1 一卅( j ( o ：；) ) 易看出( h 1 4 ) 成立 由定理1 2 1 可知，l i d s t o n e 边值问题( 1 3 1 ) 至少存在一个正解 例1 3 2 考虑定理1 2 1 在无穷维奇异l i d s t o n e 边值问题中的应用 2 焉( 1 1 1 ( 3 + 争细s i n 1 ) ( 0 1 ) ； 【z ( o ) = z ( 1 ) = z ，( o ) = z ：7 ( 1 ) = 秽， = 1 ，2 ， 由此容 口 ( 1 3 2 ) 结论：l i d s t o n e 边值问题( 1 3 2 ) 至少存在一个正解 证明在f 。中考虑( 1 3 2 ) ，p = z f 。：z = ( z 1 z 2 ，甄，) ，z t2 日) ，对 z = ( z 1 ，z 2 ) ，令i = s u p 恢i ，则”ij 为f 的范数将( 1 3 2 ) 看成( 1 1 1 ) 的形 式，相当于n = 2 ，= 1 z ( ) = ( z 1 ( ) ，z t ( ) ，) ， ，( t ，z ) = ( ，1 ，2 ， ，) ， 肌) = 焉( 1 n ( 3 + 争扣s i n f ) 可以看出厂( ，z ) 在= o ，1 处有奇异性，注意到 z 1 厕5 = 吾， 取 揶) - 焉，、( 1 一) ( z ) = ( 1 2 ， i ，) ， 玩( z ) ：l n ( 3 + 掣) + 华， 则c = o ，故( h 1 1 ) 满足 ( h 1 2 ) 成立是显然的 至于( h 1 3 ) ，由文【4 r 3 例2 1 2 中所使用的办法，可取l = o ，使得( h 1 3 ) 成 立 最后再说明( h 1 4 ) 亦成立对z 尸取歹p 满足歹( z ) = 暑，显然有当 1 5 山东师范大学硕士学位论文 磐掣谤尚塑一， 1 6 山东师范大学硕士学位论文 第二章b a n a c h 空间中2 n 阶l i d s t o n e 奇异边值问题的解 2 1 引言及预备知识 近年来，高阶微分方程边值问题的研究已经有了许多好的结果( 参见 1 2 】、【1 8 - 2 0 】， 2 3 、 3 0 ) 本章仍讨论第一章的问题( 1 1 1 ) 但与第一章不同的是：本章将， 的一致连续性去掉，利用m 饥c 不动点定理讨论了l i d s t o n e 奇异边值问题( 1 1 1 ) 解的存在性，其中n 1 ，c 【( o ，1 ) x 只p 】且厂( ，z ) 在t = o ，1 处有奇异性 下面给出以下引理 引理2 1 1 1 4 设y = z n ) l ，捌，且存在夕l mr + ，使对一切z 。v 有 | i z 。( t ) | | 9 ( ) ，n e ，贝0 ， ， q ( z 。( s ) d s ：扎) ) 2 q ( y ( s ) ) d s ，z ，口，口 这里j = n ，6 引理2 1 2 4 】( m 6 n 如不动点定理) 设e 为b a n a c h 空间， kce 为闭凸集， f ：k k 为连续映射，若对某一z ，有dc 可数且dc 历( z ) uf ( d ) ) 蕴 含着d 是相对紧集，则f 在k 中有一个不动点 2 2 主要结果 为了方便先给出以下假设 ( h 2 1 ) 设，c 【( o ，1 ) p ，p ，且 i l ，( ，z ) | l 9 ( ) | | ，l ( z ) l i ，( 0 1 ) j z p ， 其中9 l o ，1 ，九：p p 有界， 1 石而 ( h 2 2 ) 存在f l o ，l 】满足 a ( ，( t ，d ) ) 且 s ) 夕( s ) d s f ( t ) q ( d ) ，耽【o ，1 ，dcp ， 吉小训州s p ，o t 1 在本章中不妨设e 中正规锥p 的正规常数为1 ，p + 表示锥p 的对偶锥 下面给出以下引理 引理3 1 1 f 4 】设p 为b a n a c h 空间e 的一个锥，p r = z p ：恻f o ) 为严格集压缩算子，且存在如p p ) ，对v z a p r 和a o ，有 z f z 入t 吣，贝0t ( f ，p r ，p ) = o 引理3 1 2 vt ，s o ，1 ，有g 。( ，s ) ( 1 一) g 。( 7 ，s ) ，v 7 - o ，1 证明由f 4 】知： vt ，s o ，1 ，有g l ( ，s ) ( 1 一) g 1 ( 7 - ，s ) ，v 7 - o 1 】 g 。( t ，s ) = g ( t ，( ) 瓯一l ( ( ，s ) 武 ，o t ( 1 一t ) 厂1g ( 7 ， o ，有 南z 印- s ) 9 ( s ) 吣( 1 - s ) 剐d s o ，使 南z s ( 1 一s ) 9 ( s ) 危 s ( 1 一s ) r ，r + 1 】d s o 酉b j ( h 3 3 ) ，( ，z ) 在 6 ，1 一卅石b ，上关于t 一致连续，这里6 ( o ， ) ，r 1 r 1 o 任意 ( h 34 ) 对v ( o ：1 ) 和有界集dc 瓦p r ，有 q ( 厂( t ，d ) ) l q ( d ) ， 其中osl r 1 o 任意 ( h 3 5 ) 存在p + ，l | 毋+ j | = 1 ，西l 【o ，1 ，使 l i mi i l f 咖( ，( ，z ) ) 2 西( ) 主昌 关于t ( o ，1 ) 一致成立，且 击z s ( 1 - s ) 如) d s 0 ( h 3 6 ) 存在妒+ p + ，i i 妒| | = 1 和 n ，6 】c 【o ：1 ，使 忙墨。m 铲= 慨 忙| | 一+ i l z | | z p 。 关于【n 6 一致成立 和引理1 2 1 的证明类似，不难得到z c 【j ，p 为( 1 1 1 ) 的正解当且仅当z 为 算子 ( 乳) ( t ) = g 。( ，s ) ，( s ：z ( s ) ) d s ， 2 1 山东师范大学硕士学位论文 在c ，p 中的不动点 考虑问题( 1 1 1 ) 的近似问题 广1o ( z ) ( t ) 2 厶g n ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) + 素) d s ， ( 3 2 1 ) ，0 “ 其中e p ，i = l ，m = 1 2 ，3 ， 为克服奇异性，利用e 中的锥p 在c j ，明中建立一个特殊的锥 k = z c 【j ，p ：z ( t ) t ( 1 一t ) z ( s ) ，v ，s j ( 3 2 2 ) 易看出k 妒且k 确实为c ，司的一个锥由锥的正规性及正规常数为1 知对 v z k ，v t j ，有i | z ( t ) | | t ( 1 一t ) l i z i i 。 下面说明kck ，m = 1 ，2 ，即为锥上的自映射 事实上，由g n ( t ，s ) 矗l _ s ( 1 一s ) 知，对比k ，z c j ，p ，且对v 屯s 0 _ 1 】， 有 g n ( t ，7 - ) ) t ( 1 一) g 。( s ，7 _ ) ，丁【o ，1 ， 故 ( z ) ( ) t ( 1 一t ) ( z ) ( s ) ， 即 露。kc k 口 引理3 2 1 设( h 3 1 ) 和( h 3 2 ) 成立，则对v r o ，为从坼到k 上的连续有 界算子其中坼= z k ：恻l 。 o ，当l ，t 2 ( o ，1 ) 且i l t 2 i 6 时 i i ( z t ) ( t 1 ) 一( 锄) ( 2 ) | | o ，为映厨到k 的严格集压缩 算子 定理3 2 1 设( h 3 1 ) ( h 3 6 ) 成立，则存在r ( o ，r ) ，使对任意充分大的m ，有 山东师范大学硕士学位论文 在k r 瓦和k 丽中分别有不动点 证明 由( h 3 5 ) 知，对v ( o ，1 ) ，有 z 1g 以，s ) ) d s 嘉小1 - s ) 始) d s ， 且 z 1 g 觯俐s 。， 否则咖( s ) = o ，o e s ， 取e 7 o 充分小，使 r ，= z 1z 1 g 。( t ，s ) ( ( s ) 一e 7 ) d s d 。 ( 3 2 4 ) 由( h 3 5 ) 可知存在( o ，r ) ，使当z k 且恻j 。r 时，对v ( o ，1 ) ，有 妒+ ( ，( t ，z ( ) ) ) 咖( t ) 一e 7 ( 3 2 5 ) 取o r ( 3 2 7 ) 但是对v ，由于矿( z ( t ) ) i i 妙”忙( t ) | | s 忙( t ) | | 恻i 。= r ，从( 3 2 7 ) 式得到 矛盾根据引理3 1 1 知当m 充分大时 i ( ，坼，) = 0 ( 3 2 8 ) 下面再利用( h 3 2 ) 说明i ( 了1 m ，j 如，) = 1 由不动点指数的同伦不变性，只需说 明对比a 和v a 1 ：有7 1 m z 妇即可 事实上，若存在z a k 月和某a 1 ，使z = 妇，则z = z ，故由( 3 2 1 ) 山东师范大学硕士学位论文 r = 警懈川= 学i i 去：1g 觯s ) ，( s s ) + 景) l i s 学z 1 g 础，s ) im s ) + 熹川d s t jj o 。 ”一 m 。 嘉z 1s ( 1 - s ) 如川+ 熹川d s萨厶s ( 1 一s ) 州z 【s ) + 磊川如 石b 厂1s ( 1 一s ) 夕( s ) 九【s ( 1 一s ) r ，兄+ 1 d s 一上s ( 卜s 肿帅( 1 s 比肼1 冲 矛盾因此 t ( ，k r ，k ) = 1 ( 3 2 9 ) 取r 7 ( 学口( 1 6 ) e g n ( t ，s ) ) ，则由( h 3 6 ) 知存在m r 使当恻i m 时，+ ( ，( ，z ) ) 兄7 | iz | | 令 一= 一t 赫，而赫k 则对比a 喃，a o !