（基础数学专业论文）clifford型指标为2的曲面分类.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 l e o s 艺 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 1 9 d r 仇n z 主艺秒 研汜优o s s 访c n 坑o n 酊s 让咖c e s 埘搋 a 咖记h d e z 2 d e p 眦m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： p u r em a t h e m a t i c s f 池e a r c hd i r e c t i o n ： a l g e b r a i cg e o m e t u d i r e c t o r ： p r o f s h e n g l it a n n 啦e ： l e c t u r e rj u nl u d 龋伦ih e f i n i s h e di na p r i l ，2 0 1 1 0m 6 舢0m 30 9枷1 肿y 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文c l i 肋r d 型指标为2 的曲面分类，是 在华东师范大学攻读硕生博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行 的研究工作及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：望盘狮期：日期：知1 年角冶 华东师范大学学位论文著作权使用声明 c l i 舫r d 型指标为2 的釉面分类系本人在华东师范大学攻读学位期 间在导师指导下完成的顶左博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果 归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学 位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学 位论文的印刷版和电子版：允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库 被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位 数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者 其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于f 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学 月日解密，解密后适用上述授权 适用上述授权 导师签名： 讹嘲 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保 密委员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论 文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学 位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 贺大为硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 壬建篼密彬聋孝，勿昆天骘 主席 日a 经趁槛挑鲜马。脚茏艄 呙和乒苏辔碑吻、炸凫犬，李 目录 中文摘要i 英文摘要i i 1 问题背景及主要结果 1 1 1问题背景1 1 - 2主要结果3 1 3符号说明4 2 预备知识5 2 1二次覆盖5 2 2典范解消6 2 3曲面上的线性系8 3 c l i 肋r d 型指标为2 的曲面分类( i ) 1 0 3 1极小c l i 舫r d 型指标的线束1 0 3 2极小c l i 肋r d 型指标的非线束1 2 4 c 1 j 肋r d 型指标为2 的曲面分类( i i ) 1 6 4 1像曲面为h i r z e b r u c h 曲面1 7 4 2像曲面为v e r o n e s e 曲面1 9 4 3像曲面为舻1 9 4 4像曲面为锥面2 1 5c h 肋r d 型指标为2 的曲面的例子 2 5 6 附录：奇点解消的数值计算2 7 6 1程序设计的理论依据2 7 6 2奇点解消的数据列表2 7 6 3程序3 3 参考文献3 4 致谢3 7 摘要 在代数曲线的理论中我们有熟知的c l m r d 定理根据c l i 肋r d 定理，我们可以定义曲线的c l 证o r d 指标它们在曲线理论中占 有很重要的地位，并由此产生了很多重要而优美的结果如何将 c l i 肋r d 定理和c l i 舫r d 指标推广到曲面上去，是代数几何中一个 有趣的问题 孙浩 1 】给出了曲面的一个类似于c l i 助r d 定理的一般结果进 而定义了曲面x 上的c l i 舫r d 型指标口( x ) 同时，孙浩分别给出 了q ( x ) = 0 ，1 的曲面的分类 本文在【1 】的基础上希望给出a ( x ) = 2 的曲面分类主要研究 方法是利用曲面上的线性系性质以及二次覆盖的理论我们详细分 析了具有极小c 1 i 骱r d 型指标的线性系所诱导的映射 对于线束的情形，我们确定了由该线束所诱导纤维化的性质：底 曲线的亏格不超过1 ，纤维的亏格不超过3 特别地，底曲线是椭圆 曲线时，纤维是亏格2 曲线 对于非线束的情形，我们证明了该线性系所诱导的映射必是到 一个极小次数曲面的二次覆盖该线性系无基点，并且它的除子自 交数为2 根据极小次数曲面的经典分类 2 3 】，我们分别对每一种 情形进行了讨论，证明了该映射的像曲面只能是p 2 此外我们证明 了不变量满足以下条件：1 1 醍1 8 ，2 x ( 魄) 1 0 关键词： c l i 勖r d 型指标，线性系，二次覆盖，不变量， 典范解消 a b s t r a c t w b 盯ef a m i l i a rt oc l i 舫r d st h e o r e m b yw h i c hw ec a nd e f i n et h e c l i f f o r di n d e xo fc u r v e s t h e yp a l ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo f a l g e b r a j cc u r v e s m a 皿yi m p o r t a n ta 肌db e a u t i f u lr e s u l t sa r ei n d u c e d f r o mt h i st h e o r e m h o wt og e n e r a l i z ec l i 肋r d st h e o r e mo ns u r e s i sa ni n t e r e s t i n gp r o b l e mi n 劬驴b r a i cg e o m e t r y h a 0s u nh a sg i v e nar e s u l ts i m i l a rt oc l i 舫r d st h e o r e ma n dd e - 丘n e dt h ec 1 i 肋r di n d e xo fs u r f 如e s 口( x ) m o r e o v e r h eh a sc l a s s i 丘e d t h es u r f a c e s 而t hc l i 舫r di n d e x0a n d1 i nt h i sp a p e r 晡r e 、7 l r a 习tt og i v eo u tt h ec l a s s i 矗c a 七i o no fs u r f a c e 8 w i t hc l i 肋r di n d e x2 o u rm a i nm e t h o di st ot a k ea d v a n t a g eo ft h e p r o p e r t i e so fl i n e a rs y s t e ma n dt h et h e o r yo fd o u b l ec o v e r i n g w r e s y s t e m a 土i c a u ya n a l y z et h em a p p i n gi n d u c e db yl i n e a rs y s t e mw i t h m i n i m a lc l i f f o r di n d e x i nt h ec a 8 eo fp e n c i l s ，w ep r ( ) 、r et h ep r o p e r t i e so ft h e6 b r a 土i o n i n d u c e db yt h ep e n c i lw i t hm i n i m a lc l i f f o r di n d e x ：t h eg e n u so f t h ec u n 厂ei si l om o r et h a n1a n dt h eg e n u so ff i b r e si sn om o r e3 e s p e c i d 【l ：w h e nt h ec u r v ei se l l i p t i cc u r v e s ，t h ef l b r ei so fl r e n l l s2 i nt h eo t h e rc a s e s ，w ep r o 、，et h a tt h em a p p i n gi n d u c e db yt h e h n e 盯s y s t e m 呱tb ead o u b l ec o v e r i n go n t oa s u r f 如ew i t h1 1 1 i n i - m 址d e g r e e m o r e o v e r ，t h el i n e a rs y s t e mh a sn o 缶矧p o i n ta n dt h e s e l f - i n t e r s e c t i o nn 1 】m b e ro “t sd i v i j s o ri s2 w i t ht h ed a s s i c a lc l a s _ s i f i c a t i o no fs u r f 如e s 而t hm i n i m a ld e g r e e 【2 3 】，磺陀d i s c u s st h ec a s e s o i l eb yo n e a n dp r o v et h a tt h ei m a g eo ft h em a p p i n gm u s tb e 俨b e s i d e s ，w eg e tt h eb o u n d so ft h ei n 、r a r i a 础s ：1 1 酸1 8 ， 2 x ( p x ) 1 0 k e y 、o r d s ： c l i 舫r di n d e x ， l i n e a rs y s t e m ，d o u b l ec o v e r ， i n 、r a r i a n t s c l a s s i c a lr e s o l u t i o n l l l问题背景及主要结果 1问题背景及主要结果 1 1 问题背景 在曲线理论中，我们有以下经典结果具体细节请读者参见f 1 0 1 ， 【1 3 】 定理1 1 ( c l i 肪r d 定理) 令c 为一条亏格为夕的光滑代数曲线d 是c 上一个有效除子如果d e gd 2 夕一2 ，则 1 胪( d ) 去d e gd + 1 二 如果等号成立则下列情形之一成立：( 1 ) d = o ；( 2 ) d = ；( 3 ) d = r 姥，r 为正整数 c l i 肋r d 定理在曲线理论中具有起了基础性作用根据c l i 仃o r d 定理，可以对一个线丛l p i c ( c ) 定义c l i 肋r d 指标 一y ( 三) = d e g l 一2 危o ( c ，l ) + 2 曲线的c l i f ! ；0 r d 指标定义为 7 ( c ) = m i n ，y ( l ) i 胪( c ，l ) 2 ，危1 ( c ，l ) 2 】 c l i 舫r d 指标是与曲线的性质密切相关的一个量因而，如何将 c l i 肋r d 定理和c l i 肋r d 指标推广到曲面上一直是代数几何关心的 问题 为了在曲面上推广c l i 助r d 指标，孙浩给出了曲面的一个类似于 c l i 肋r d 定理的一般结果： 定理1 2 ( 【1 】) 若x 是一个复光滑极小射影一般型曲面，l 为x 上 的一个除子，使得九o ( l ) o ， o ( 版一l ) o 并且l 和鲰，则 九o ( l ) 竿+ 1 二 若不等式等号成立，则下面的情形之一成立： ( 1 ) 胪( l ) = 1 并且l 是一些( 一2 ) 一曲线的和； ( 2 ) i l l 的移动部分无基点并且妒：x p 1 是一个射影满态射， 它的一般纤维是光滑不可约亏格二曲线； ( 3 ) 的移动部分无基点并且妒是一个到p 护( 工) 一1 中极小次数 曲面的一般二次覆盖 在这个定理的基础上，可以定义曲面x 上的一个除子l 的c l 氓 f o r d 型指标 q ( l ) = j 奴l 一2 九o ( l ) + 2 令 s = l p i c ( x ) l 危o ( l ) 2 ，九o ( k 又一己) 2 ) ， 1 1 问题背景 1 问题背景及主要结果 则可以如下定义曲面的c 1 i 舶r d 型指标 、f 啊碧q ( l ) ，s o ； 乜( x ) 2 嚣一s 二i l o o ， j2 蝴 对于曲面x 上的一个线性系，我们称计算了q ，如果 q ( 己) = q ( x ) 在定义了曲面的c l i 舫r d 型指标之后，孙浩还给出了曲面的c l 谗 f o r d 型指标a ( x ) 的一些基本性质，首先是关于c l i 怕r d 型指标的 上界 命题1 3 ( 【1 】) 如果q ( x ) ，则 o q ( x ) 磁一2 x ( p x ) + 6 它说明了曲面的c l i 舫r d 型指标与曲面的不变量之间的关系因 此，对达到这个上界的曲面有着很好的刻画 推论1 4 ( 【1 】) 如果q ( x ) = 酸一2 x ( 魄) + 6 ，除子l 计算了q ( x ) ， 则l l i 无基点并且下面的情形之一成立 ( 1 ) 九o ( l ) = 2 ， 1 ( l ) = o 以及戤一l 也计算了q ( x ) ； ( 2 ) 九o ( l ) 3 并且l l i 是线束，它的一般纤维是亏格2 曲线； ( 3 ) 危1 ( l ) = o ，鲰一l 也计算了a ( x ) 并且妒l 是到( l ) 一1 中 极，j - 次数曲面的一般二次覆盖 在以上准备工作的基础上，孙浩分类了c l i 舫r d 型指标较小的曲 面对于c l i 舫r d 型指标q ( x ) = 0 的曲面孙浩作出了如下结果 定理1 5 ( 【1 】) 如果o ( x ) = o ，则i l i 无基点并且下面的情形之一 成立 ( 1 ) 存在一个满的射影态射，：x p 1 ，它的一般纤维是光滑 不可约亏格二曲线 ( 2 ) x 是p 2 的二次覆盖的极小解消，它的分歧轨迹是以一个无 穷接近三重点为本性奇点的十次既约曲线在这种情况下，我们有 酸= 7 ，p g = 5 ，g = o 并且鲰一2 l z ，这里z 是一个有效除子 满足l z = 0 以及k k l = 2 l 2 = 4 ( 3 ) x 是2 的二次覆盖的光滑极小模型，它的分歧轨迹是1 8 o + 1 4 r j 中只有可忽略奇点的既约曲线在这种情况下，我们有k 曼= 9 ，= 6 ，口= 0 以及峨一3 d ，这里2 d = 三 ( 4 ) x 是p 2 的二次覆盖的极小解消，它的分歧轨迹是只有可忽 略奇点的十次既约曲线在这种情况下，我们有酸= 8 ，= 6 ，q = 0 并且圾一2 厶 对于c l i 勖r d 型指标q ( x ) = 1 的曲面孙浩给出了如下结果 2 1 2 主要结果l 问题背景及主要结果 定理1 6 ( 1 】) 如果q ( x ) = 0 ，则有一个基点p 若令7 r ：x x 为x 在点p 的爆发，则下列的情形之一成立 ( 1 ) 胪( l ) = 2 并且纠霄l i ：x 呻p 1 是亏格三纤维化 ( 2 ) 舻( l ) = 3 并且妒| 丌l i ：x _ + 俨是一个一般二次覆盖，它的 分歧轨迹b 是l ( 1 1 ) i + 日中的一条既约曲线，这里日是p 2 上 的一条直线b 有两个本性奇点，它们都落在日上，并且它们在典 范解消过程中的奇点重数m t 满足：有两个指标使得【孚】= 2 ，有一 个指标使得【孚1 = 3 ，对于其它的指标都有【孚】1 1 2 主要结果 在本文中我们将解决c l i 助r d 型指标q ( x ) = 2 的曲面的分类， 以下是本文的主要结果 定理1 7 若曲面x 的c l m r d 型指标等于2 ，除子l 满足q ( l ) = q ( x ) ，诱导了映射 ：x 一砂。( l ) ， 则下列结果之一成立： ( a ) 若线性系i l i 是一个线束，则 ( a 1 ) l l i 无基点，映射妒是椭圆曲线上的亏格2 纤维化； ( a 2 ) 无基点，映射妒是p 1 上的亏格3 纤维化； ( a 3 ) 吲有两个基点，在基点处爆发得到的映射妒妒l i 是p 1 上的亏 格2 纤维化 ( b ) 若线性系非线束，则 1r p = 2 ，鲰l = l 2 + 4 ，w = 铲，酽+ 9 k 曼铲+ 8 + 蔫 上厂 在本文中我们主要通过线性系的性质以及二次覆盖的理论，详 细讨论了c l i 肋r d 型指标等于2 的曲面分类情况，我们首先根据曲 面上是否存在极小c l i 肋r d 型指标的线束进行了初步讨论 对于存在极小c l i 舫r d 型指标的线束的曲面，我们通过h o d g e 定 理，首先判断出了该线性系的除子与典范除子的相交数以及自交数 的取值，从而确定该线束是否具有基点对于存在基点的线束，我 们通过爆发得出与基点有关的计算公式，再根据极小c l i 舫r d 型指 标的性质，得出基点的个数，然后再根据亏格计算公式，计算出纤维 的亏格，从而最终确定出线束所诱导的纤维化的信息，如上面的定 理所示 对于不存在极小c l i 肋r d 型指标的线束的曲面，我们先通过一 系列性质的证明确定了在这种情况下的极小c l i 舫r d 型指标的基 本信息：该线性系没有基点和固定部分，并且一定是到一个极小次 数曲面的二次覆盖之后我们根据极小次数曲面的经典分类【2 3 1 ， 对具有极小次数的四类曲面分别进行了讨论，排除了像曲面是 3 1 3 符号说明1 问题背景及主要结果 h i r z e b r u c h 曲面和锥面的情形，并将像曲面是v e r o n e s e 归结到了 p 2 的情形从而，确定了像曲面毕为舻，我们还详细计算了像曲面 为p 2 的典范解消 完成了上述工作之后，我们给出了c l 硒r d 型指标等于2 的曲面 的具体例子 最后我们将前面的理论结果总结起来，利用计算机程序进行运 算，得出了奇点解消的相关数据，并将这些数据按表格的形式列出 1 3 符号说明 现在我们对文中所用到的符号进行一定的说明，此后将不再重 复 设x 是一个光滑复射影代数曲面： ( 1 ) p x 表示x 上的全纯函数层； ( 2 ) q x 表示x 上的全纯微分1 一形式层，口= 舻( x ，q x ) = 危1 ( x ，巩) ； ( 3 ) 蝴表示x 上的全纯微分2 一形式层q x ( 圾) ，即典范层，硒= 九o ( x ，呶) ； ( 4 ) 两个除子间的线性等价用符号三来表示，两个除子间的数值等 价用符号一来表示： ( 5 ) 如果x 上的除子d 满足条件：x 上的任何不可约曲线c 与除 子d 的相交数恒非负，则我们称d 是x 上的n e f 除子 关于上述模层的详细内容请参见 4 2 预备知识 2预备知识 在介绍二次覆盖之前，我先们介绍几个代数几何的经典结果 首先是h o d g e 指标定理，具体参见【8 】 定理2 1 ( h o d g e 指标定理) 设x 是复数域c 上的非奇异射影代 数曲面，a 是x 上的一个除子，满足a 2 0 ，d 是x 上的另一个除 子，满足a d = o ，则d 2 0 ，等号成立当且仅当d 一0 我们再来回顾一下r i e m a n n h u r 丽t z 定理在本文的讨论中，将 多次用到该公式一特别是二次覆盖的情形，具体参见【1 0 】 定理2 2 ( 硒e m a n n h u 阿i t z 定理) 设，：x y 是一个次数为n 的态射，x ，y 是光滑的，则有 k x = ，+ j o + 出 ( 儿c ( ，) ) 著名的& e m a n n _ r o c h 定理的曲面情形将在本文的不变量计算 中经常被使用，具体参见 9 】，【1 1 】 定理2 3 ( 瞰e m a 舢一r o c h 定理) 设d 是曲面x 上的一个除子，则 有 1 x ( d ) = x ( 魄) + 言( d 2 一鲰d ) 2 1 二次覆盖 二次覆盖最早是由h o r i k a 舳【2 】， 3 】，【4 】进行了系统的研究现在 我们来回顾一下 首先，我们有一个光滑曲面y ，b 是y 上的一个既约的偶除子， 即存在y 上的一个线丛c 使得c 2 = p y ( b ) 设b = 2 正c = p y ( 6 ) 取线丛2 的一个截面6 ，即6 日o ( c 2 ) ，则b = 出u ( b ) = 2 6 通过截面6 ，我们可以定义一个曲面x ，在局部上，x 是由方程 z 2 = 6 ( z ，可) 所给出的，因此，我们即有从曲面x 到线丛c = 问的 一个嵌入映射i ：xq = 【卅同时，我们将从线丛c 到曲面y 的 投影映射记为p ：c = 阁一y 将i 与p 复合，即可得到从x 到 y 的一个二次覆盖7 r ( 见如下交换图) ， x _ c = 闷 上丌上p y y 其中b = 战u ( 6 ) 被称为此二次覆盖的分歧轨迹 由于b 是既约的，因此j e 7 只在有限个点处是奇异的，而p 是x 的奇点，当且仅当g = 7 r ( p ) 是b 的奇点，因此，x 也只在有限个点 处是奇异的，即x 是正规的 5 2 2 典范解消 2 预备知识 下面我们简单回顾一下二次覆盖中x 与y 的曲面不变量( 关于 不变量的详细内容参见 1 4 】， 1 9 】， 2 0 ) 之间的关系 根据代数几何的基础知识，我们知道丌。p x 可以看作是一个仇 模层，且有关系式 以魄= 巩。仇( 名) 竺巩。巩( 一6 ) ， 同时，由于7 r 是有限态射，因此对于x 上的任意一个层一我们有 日。( x ，) = 日。( y ；7 r + 厂) 根据上述这两个基本的关系式，我们可以导出如下的关系式： x ( k 丌。一= x ( x ，厂) 特殊地，我们考虑，= 魄，即有 x ( x ，魄) = x ( 7 r 。p x ) = x ( 巩op y 【一卅) ， 由于是两个模层的直和，进而可得 x ( x ，p x ) = x ( o yo 仇【一司) = x ( 移y ) + x ( 0 y 一司) ， 再根据磁e m a n n - 跏c h 定理，我们最终得到公式 x ( x ，d x ) = 2 x ( p y ) + 去( 6 2 + 6 凤) 2 2 典范解消 设b 有奇点口1 y ；p 1 = 7 r 一1 ( 口1 ) ，则p 1 是x 的奇点，因为p 1 是 除子b 的奇点，所以m l = 仇p 。( b ) 2 现在我们以点q 1 作中心做 y 的爆发吼：k y 令墨= x ym ，其中墨是由z 2 = 盯；6 所定义的再对x 。做正规化7 7 1 ：蟊一蜀，从而可得以下交换 图： 墨与墨= x ym x 、l 亓t 上丌l 上 r 一 m 生_ y 经过以上过程，亓1 ：蟊一m 仍然是一个二次覆盖，其分歧轨迹为： 雪1 ：b l + ( m 1 2 【等】) e 1 ：盯：b 一2 【等】局 ：2 ( 盯：6 一【罢】局) 6 2 2 典范解消2 预备知识 6 。：口一【要胁 在亩1 上找个新的奇点p 2 ，沈在雪1 上的重数为m 2 = ( 雪1 ) 2 ，然后重复上述过程，于是可得以下交换图： 墨叫墨一1 叫叫墨叫x 上卜上上霄t上霄 k 上k l 一，m 与y 经过有限次爆发之后，我们可以得到x 的解消墨根据以上的过 程，我们可得如下的关系式： 如= 虻6 一【警】易= 呓仃：6 一【孚】虻且一 警】易； 依次类推， 矗= 醇仃：6 一国邑； 扛1 一 其中， 矗= 旷盯；毋；易= 耳虻易；品= 日 且这些邑满足如下关系式： 辞= 一1 ，最岛= o ( t 歹) 进一步，我们有 k t = 盯+ 凤+ 矗+ + 易， 这里仃= 仃1 x ( 0 墨) = 2 即小妒+ 蜥一漕釉争1 ) 甄= 砰( 地圳= 帕懈删一善( 争1 ； 酸- 2 ( 凤删2 一善( 【争1 ) 2 7 1一 m 一2 r 汹 +蹄+ 训 ，r 、 一l地r 试 + 一 絮 静 l 一2 1 2 + + k 斥 d d x x 2 3 曲面上的线性系 2 预备知识 现在将上述解消过程合并成一个映射，令贾= 墨，y = k ， 盯= 0 r r 一1 盯1 ，我们即有如下定理： 定理2 4 设7 r ：x 叫y 是一个二次覆盖这里y 是光滑射影平 面，x 是正则射影曲面，分歧轨迹j e 7 是既约除子，= p y ( b ) 记 j = 譬，则存在如下交换图： 更上x 上亓上丌 矿上y 这里盯是一系列爆发的复合，x 是光滑曲面亓是一个二次覆盖 此时， 鲰= 砌( 缸+ l ) + 善( 1 一 孚】) 亓+ 厩， 这里邑是盯的爆发过程中例外曲线在】厂中的完全原像同时，x 的不变量满足关系式： 脚加2 脚y ) + 妒+ 嘶一三喜唧争1 ) 礁= 2 ( + 驴一( 孚卜1 严 2 3 曲面上的线性系 设x 是一个光滑复射影曲面，l 是x 上的一个有效除子，所有 与l 线性等价的有效除子构成的集合称为l 的完全线性系，记作： i 三f ：= did o ，d 兰l ) 我们称满足条件：v d i l i ，d f 0 的最大的有效除子y 为线性 系的固定部分从而吲可以记作= i m i + y ，其中m 称为 的移动部分由于日o ( 己) 是一个向量空间，设s o ，s 1 ，s 护( l ) 一1 是日o ( l ) 的一组基，则我们可以定义映射 1 0 】： 妒i l i ：x 一一+ i 矿cp o ( l ) 一1 z 卜 【s o ( z ) ，s 舻( l ) 一1 ( z ) 】 通过一系列爆发，可将有理映射妒变成一个态射，具体过程参见 【1 2 】，【1 7 】 8 2 3 曲面上的线性系2 预备知识 引理2 5 ( 1 】) 在上述条件下， ( 1 ) 如果d i m = 1 ，则存在既约不可约曲线f ，使得f 2 0 ，并且 的移动部分m 兰口f ，这里。是一个正数 ( 2 ) 如果d i m = 2 ，则i l i 的固定部分m 满足： m 2 d e g 妒i l id e g v 旷 9 3 c l m f o r d 型指标为2 的曲面( i ) 3 c l i f f o r d 型指标为2 的曲面( i ) 假设除子l 满足o ( l ) = 口( x ) ，由于 q ( l ) = 五l 一2 九o ( l ) + 2 ， 从而有魄l = 2 舻( l ) 同时， 2 胪( 圾一l ) 堑娶型， 即有k 曼一戤l 4 设线性系所诱导的映射为： 妒f 纠：x 一一+ 仉厂p o ( l ) 一1 下面我们首先对上述映射的像阿的维数进行讨论，从而对 于q ( x ) = 2 的曲面给出一个初步分类 3 1极小c l i 行o r d 型指标的线束 若i l l 是具有极小c l i 肋r d 型指标的线束( 关于线束的详细信息 请参见( 1 6 】， 2 6 】， 2 7 】，【2 4 】， 3 0 】) ，则d i m 彤= 1 ，2 胪( 二) = 鲰厶 存在x 上一条既约不可约曲线f ，使得f 2 0 ，且l o f ，其中 n o ( 己) 一1 从而 2 胪( l ) = k 又l = n k k f ( 九o ( l ) 一1 ) k kf 整理得戤f 2 + 南，因此戤f 的取值范围只可能为1 k x f 4 我们将根据k x f 的不同取值分类讨论 ( 1 ) 当戤f = 1 时，2 九o ( l ) = n ， 酸戤l + 4 = 2 胪( 三) + 4 8 ， 根据h o d g e 指标定理， f 2 酸( 磁f ) 2 = l ， 从而严 ，因此f 2 = o 另一方面，根据硒e m a n n - r o c h 定理， f 2 三级f ( 盐o d2 ) ，矛盾，从而圾f 1 ( 2 ) 当鲰f = 2 时，胪( l ) = n ， k 妥k 文l + 4 = 2 九o ( 三) + 4 8 ， 1 0 根据h o d g e 指标定理， f 2 酸( 玩f ) 2 = 4 ， 从而f 2 ，因此f 2 = o 再根据亏格计算公式 夕( f ) = 去( f 2 + 鲰f ) + 1 = 2 此时妒吲为椭圆曲线上的亏格2 纤维化关于亏格二纤维化的具体 信息请参见【5 】 ( 3 ) 当酶f = 3 时，由原不等式可知， o ( l ) = 2 或者胪( l ) = 3 ， 但n 地f = 2 o ( l ) ，故而扩( l ) 2 ，即有舻( l ) = 3 ，o = 2 此时， k 曼比工+ 4 = 2 ，( l ) + 4 1 0 ， 根据h o d g e 指标定理， f 2 磺( 圾f ) 2 = 9 ， 从而f 2 杀，因此f 2 = o 另一方面，根据硒e m a n n r d c h 定理， f 2 三k x f ( m o d2 ) ，矛盾，从而k x f 3 ( 4 ) 当k x f = 4 时， o ( 三) = 2 ，o = 1 ，k x l = 4 ，此时妒是一 个纤维化 酸败l + 4 = 8 ， 根据h o d g e 指标定理， f 2 碴；( k x f ) 2 = 1 6 ， 从而p 2 ，因此f 2 = 0 或f 2 = 2 ( i ) 当f 2 = 0 时，根据亏格计算公式 夕( f ) = 去( f 2 + k k f ) + 1 = 3 ， 可知妒是p 1 上的亏格3 纤维化关于亏格三纤维化的具体信息 请参见 1 5 】，【6 】 ( i i ) 当f 2 = 2 时，醍= 8 ，此时f 2 酸= ( k x f ) 2 ，根据h o d g e 指 标定理，玩一2 f ，此时竺p 1 且 2 扩( 圾一l ) 型冬望：2 ， 即胪( 鲰一三) = 2 由于l 2 = f 2 = 2 ，故线性系i l i 有基点在 的基点处做b l o w - u p ，则有1 7 r + l i = i m i + e ，其中e 是7 r 的例 3 2极小c l i 勖r d 型指标的非线束3 c l i f f o r d 型指标为2 的曲面( i ) 外除子由于l 的自交数为2 故而e 可能的情况为e = 妨+ 岛 或e = 2 e 1 m 2 = ( 7 r + l ) 2 + e 2 = 三2 + e 2 0 ， 而l 2 = 2 ，因此e 只可能为e = 目+ 易，即矿魄= k 露+ 局+ 易， 从而 k 叉m = k x l 一2 = 2 以及 夕( f ) = 去( 酶m + m 2 ) + 1 = 2 ， 即妒 l i 是p 1 上的亏格2 纤维化 定理3 1 若曲面x 的c l m r d 型指标等于2 ，l 是x 上具有极小 c l i 舫r d 型指标的线束，i l i 诱导了映射 m ：x 砂o ( l ) ， 则下列结果之一成立： ( 1 ) 无基点，映射妒是椭圆曲线上的亏格2 纤维化； ( 2 ) 吲无基点，映射妒是p 1 上的亏格3 纤维化； ( 3 ) 吲有两个基点，在基点处爆发得到的映射妒i 霄l i 是1 9 d 1 上的亏 格2 纤维化 3 2极小c l i 肋r d 型指标的非线束 从现在开始我们假设曲面x 上不存在具有极小c l i 助r d 型指标 的线束 在进行分类之前，我们先给出两个经典结果 定理3 2 ( 【7 】) 令xcp r ，r 2 为一个非退化既约不可约簇 ( 1 ) 如果d i m x = 1 ，则d e g x r ； ( 2 ) 如果d i m x = 2 ，则d e g x r 一1 ； ( 3 ) 如果d i m x = 2 并且x 不双有理等价于一个直纹面，则 d e g x 2 r 一2 引理3 3 ( 【1 】) 令s 为一个光滑射影代数曲面，l 是s 上一个除子， 如果i l i 定义了一个双有理映射，胪( l ) 4 ，吲没有固定部分并且 ( 珞一l ) l o ，则l 2 3 九o ( l ) 一7 下面我们将逐一给出c l i 肋r d 型指标q ( x ) = 2 的曲面的性质 首先，为了简化我们的讨论，我们先对线性系i l i 具有的性质进 行初步的探讨 命题3 4 若除子l 满足q ( l ) = q ( x ) ，则线性系i l i 的移动部分 m 也满足q ( m ) = q ) 证明? 设i l l = i m i + y ，即线性系i i 的固定部分和自由部分分别 为i m i 和y q ( l ) = q ( x ) 但是危o ( l ) = 九o ( m ) 并且y 版0 因此 酞工一2 矿( x ，l ) + 2 = 戤m + 触y 一2 o ( x ，m ) + 2 鲰m 一2 矿( x ，m ) + 2 ， 即乜( l ) 口( m ) 因此q ( m ) = q ( x ) 口 根据上面这个命题，在下文的讨论中我们假定线性系无固定 部分现在我们来考察l 2 与磁l 的关系 命题3 5 若除子l 满足q ( l ) = q ( x ) ，d i m = 2 ，则线性系满 足关系式： l 2 = k 支l 一4 = 2 忍o ( l ) 一4 证明：当d i m 彤= 2 时，首先必须要求 o ( ) 3 ，因而戤l = 2 o ( 己) 6 同样对吲中的基点做b l o w - u p ，有i 矿l i = l m i + e ， 其中e 是7 r 的例外除子设e = m t 忍，则 三2 = ( 丌+ l ) 2 = m 2 + m ；， 从而 l 2 l 2 一m 净m 2 = d e g 即引d e g 形 l 下面我们分两种情况来讨论 当d e g 妒垆l l = d e g 妒= 1 时，因为双有理等价于一个一般 型曲面，故而不是直纹面，因此由定理3 2 可知 d e g 7 2 九u ( l ) 一4 = j t x l 一4 ， 所以l 2 k k l 一4 当d e g 妒 l l = d e g 妒2 时，再次根据定理3 2 ，可知d e g 危o ( l ) 一2 ，从而可以得出 l 2 2 ( o ( l ) 一2 ) = 2 九o ( 三) 一4 = k k l 一4 因此，无论映射妒 l i 是何种情况，我们都有己2 j 奴l 一4 另一方面，由于( 戤一己) l o ，从而o 戤三一己2 4 同时，根据r i e m a n n - r d c h 定理，戤l 兰l 2 ( m o d2 ) ，故而鲰l 与l 2 同奇偶，所以两者之间只可能有以下三种关系：戤l = l 2 ， k x l = l 2 + 2 或者k x l = l 2 + 4 若戤l = l 2 ，则根据h o d g e 指标定理，我们有 k 蔓l 2 ( k 支l ) 2 = ( l 2 ) 2 ， 1 3 3 2 极小c l i 勖r d 型指标的非线束 3 c l i f f o r d 型指标为2 的曲面( i ) 即有碾l 2 ，但k 曼圾l = l 2 ，所以k 曼= l 2 = 鲰l ，再次 运用h o d g e 指标定理，有鲰一厶又由于胪( l ) 0 ，故k x 三厶 矛盾，因此鲰三l 2 若圾l = l 2 + 2 ，同样根据h o d g e 指标定理， k 妥l 2 ( k k l ) 2 = ( l 2 + 2 ) 2 ， 即有 此外 所以 酸l 2 + 丢“ 2 以鲰叫掣， k 曼k 支l + 4 = l 2 + 6 另一方面， l 2 = k k l 一2 = 2 o ( l ) 一2 4 ， 结合上述不等式可得酸l 2 + 5 ，矛盾，因此地l l 2 + 2 经过上述分析，我们得到 l 2 = k k l 一4 = 2 九o ( 三) 一4 现在我们以此来讨论例外除子e 口 命题3 6 若除予l 满足a ( l ) = q ( x ) ，d i m = 2 ，则缌 生系川无 基点 证明? 首先，根据命题3 5 可知 三2 = k k l 一4 = 2 o ( l ) 一4 当d e g 妒= 1 时， l 2 = l 2 一m 净m 2 = d e g 2 胪( l ) 一4 ， 主 从而m ；= o ，e = o ，即无基点 t 当d e g 妒2 时， l 2 = 三2 一m m 2 = d e gm l i d e gw 2 ( 舻( l ) 一2 ) ， i 从而d e g = 胪( l ) 一2 ，d e g 妒i 丌l i 无基点 1 4 = 2 ，m ；= o ，e = o ，即 i 口 注意到，在上述证明的过程中，我们还得到一个结论，即d e g 妒| 丌l 1 只能等于1 或2 ，且当d e g 垆 l i = 2 时，映射妒i 霄l i 的像是砂。( l ) 一1 中的极小次数曲面 下面我们将证明妒i 丌l l 是一个二次覆盖 命题3 7 若除予l 满足a ( l ) = 乜( x ) ，d i m = 2 ，则映射妒矿l i 是一个二次覆盖，且映射妒妒l l 的像w 是砂o ( l ) 一1 中的极小次数 曲面 证明：当九o ( 三) = 3 时，竺p 2 ，此时有 d e g 妒i 霄l l = d e g 妒i l i = 2 ， 否则，俨双有理等价于一个一般型曲面 现在假定 o ( l ) 4 运用反证法，假设d e g 妒p 引= 1 ，则根据定理3 3 可知， 2 o ( l ) 一4 = l 2 3 危o ( l ) 一7 ， 即有胪( l ) 3 ，矛盾因此， d e g 妒i 霄l i = d e g 妒l l l = 2 至此，我们知道无论在何种情况下，d e g 妒i 丌l i = 2 ，即妒”l f 是二 次覆盖，且映射妒i 霄l i 的像是砂o ( l ) 一1 中的极小次数曲面 口 1 5 4c l i f f o r d 型指标为2 的曲面分类( i i ) 4 c l i 助r d 型指标为2 的曲面分类( i i ) 现在我们知道 咖：x 胪。( l ) 一1 是一个二次覆盖，且 k 又l = l 2 + 4 = 2 o ( l ) 根据h o d g e 指标定理， k 曼l 2 ( 蠡& l ) 2 = ( l 2 + 4 ) 2 ， 即有酸l 2 + 8 + 豢 另一方面，由于九。陬一l ) 2 ，我们得到 磺= k 又( k 又一l + l ) k 支( k 支一l ) + 口+ 4 2 九o ( k k 一己) + 己2 + 4 l 2 + 8 但是，若酸= l 2 + 8 ，我们即有戤( 玩一l ) = 2 胪( 鲰一己) 且 九o ( 戤一l ) = 2 ，从而，可以归结到前面d i m = 1 的情况，所以， 我们只需考虑 l 2 + 9 k 曼l 2 + 8 + 芸 l 。 的情形，因此，l 2 1 6 另外，由于l 2 是偶数，所以l 2 的取值只可能为下面几种情况： 2 ，4 ，6 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 6 再从曲面w 的角度进行考虑，为了分析曲面w 的性质，我们引 入一个经典结果如下 定理4 1 ( 2 3 】) 令cp 2 ，n 2 为一个非退化n 一1 次既约不可 约曲面，则彤是下列情形之一：