（基础数学专业论文）dynkin型路代数上的倾斜模.pdf

d 扣j ；【f n 型路代数上的倾斜模 摘要 代数表示理论是卧世纪七十年代初兴起的代数学的个新的分支，而倾斜 理论是研究代致表示理论的重要工具之一倾斜理论起源于b o r n s t e i n ，g e l f a n d 和 p o n o m a r e v 为了证明著名的g a b r i e l 定理所引进的反射函子与c o x e t e r 函子现在， 由于慨斜理论与量子群，李代数等其它代数学科的本质联系，倾斜理论成为国际 研究热点之一1 9 9 8 年，1 r e i t e n 在柏林国际数学家大会匕作4 5 分钟的报告倾 斜理论与拟倾斜代数本文主要对d y n k i n 型路代数慨撇其对应的a r - 箭 图上的结构特点进行研究通过对d y d k i n 型路代数的a r - 箭图分析及利用a p r - 倾斜变换，证明了厶型路代数绶斜模及巩，磊，研，玩型路代数本性倾斜模n 的 个必要条件是，在a 的a r - 箭图r a 的边缘的r 一轨道都有t a 的不可分解直 和项对应的点 关键词t 路代数；倾斜模；底点；顶点 d y n k i n 型路代数上的倾斜模 a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa l g e b r a si sa n e wb r a n c ho fa l g e b r aw h i c hb e g a n a tt h es e v e n t i e so ft h el a s tc e n t u r y t i l t i n gt h e o r yi sa l li m p o r t a n tt o o lt o s t u d yr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa l g e b r a s t i l t i n gt h e o r yo r i g = i n a t e df r o mt h e w o r ko fb o r n s t e i n ，g e l f a n da n dp o n o m a r e v f o rt h es a k eo fp r o v i n gf a m o u s g a b r i e lt h e o r e m ，t h e yi n t r o d u c e dr e f l e c t i o nf u n c t o ra n dc o x t e rf u n c t o r i nt h e r e c e n ty e a r s ，d u et ot h e r eb e i n gi n t r i n s i cr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt i l t i n gt h e o r y a n dq u a n t u mg r o u p ，l i ea l g e b r aa n do t h e ra l g e b r a i cb r a n c h ，t i l t i n gt h e o r yh a s b e e no n eo ft h ei n t e r n a t i o n a lh o tt o p i c s 。i n1 9 9 8 ，i r e i t e nw a sa ni n v i t e d s p e a k e rw h o s et o p i c si s ”t i l t i n gt h e o r ya n dq u a s i t i l t e da l g e b r a s ”a tt h ei n t e r - n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n si nb e r l i n t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e r i 8t os t u d ys t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h et i l t i n gm o d u l eo v e rp a t ha l g e b r ao f t y p ed y n k i ni ni t sa r - q u i v e r i tt a k e sa d v a n t a g e so fa r - q u i v e ra n a l y s i sa n d a p r - t i l t i n gt r a n s l a t i o n w ep r o v e d ：i ft ai sat i l t i n ga - m o d u l eo v e rap a t h a l g e b r ao ft y p ea no rac h a r a c t e r i s t i ct i l t i n ga - m o d u l eo v e rap a t ha l g e b r ao f t y p ed n ，e 6 ，e 7 ，e 8 ，t h e nt h e r ea r ep o i n t sc o r r e s p o n d i n gi n d e c o m p o s a b l ed i r e c t s u m m a n d so f 死i nt h e 卜o r b i to fe a c he d g e k e yw o r d ：p a t ha l g e b r a ；t i l t i n gm o d u l e ；b a s ep o i n t ；t o pp o i n t 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任 责任人( 签名) ：过孰壳 习年歹月r o e l 第一章引言1 第一章引言 1 1 代数表示论是= 十世纪七十年代初兴起的代数学的个新的分 支它的基本内容是研究个a r t i n 代数匕的模范畴经典的结构理论 是直接刻划代数的构造，现代的代数表示论则是用模论的方法研究个 代数的结构以及研究整个模范畴的结构代数表示论在近四十年中，发 展迅速，并逐步趋于完善其中，倾斜理论是代数表示论普遍应用的最 重要的技巧之一，也是最主要研究对象之一 当直接研究个代数的模范畴的性质a 比较困难时，就考虑用个 代数b 代替代数a ，使问题简单化，从而达到研究的目的倾斜理论的 思想是对给定的个代数a ，选择个模乃，叫倾斜模令b = e n d t a ， 使代数a 上模范畴与代数b 上模范畴在一j 竖性质上相当的类似，但在 般情况下不等价这种方法为考虑许多问题提供了广阔的前景，因此 倾斜理论成了a r t i n 代数的表示理论中的中心课题之一它与表示论的 其它一些课题，代数的其它一些分支都有广泛的联系 如无特别说明，本文总假设k 是代数闭域，a 指基的、连通的、有 限维、带单位元的结合代数记a 的右模范畴为m o d a ， 为右 a 一模m a 的不可分解直和项构成的集合r a 是d y e n 型路代数a 的 a u s l a n d e r - r e i t e n 箭图( a r - 箭图) ，7 - 是a u s l a n d e r r e i t e n 变换( a r - 变换) 本文不区分个模和它的同构类，不区分个不可分解a 一模 与代数a 的a r - 箭图的点( r ( i ) 警， ， 则y ( t a ) 和丁( 死) 是m o d a 的满子范畴，x ( t a ) 和y ( 霸) 是m o d b 的满 子范畴由b r e n n e r b u t l e r o h a p p e l - r i n g e l 定理【b g p 知函子f = h o m a ( t , 一) 与g = 一。口t 是t ( t a ) 与x ( t a ) 的互逆等价函子，函子e x - - e x t a ( t ，一) 与g 。= t o r f ( 一，t ) 是r ( t a ) 与x ( t a ) 的互逆等价函子 定义j 5 满足下列关系的的箭图称为对于顶点b 的完全b r a n c h ， 图3 其中点为b i p ，i l ，i 竹 + ，一 ，箭为屈。h 一：b i 。t 。一- - - - - - 4 玩。i 。和 屈1 k + ：b i l 。- 良1 t 。+ ，关系为屈1 t 。一屈1 i 。+ 定义j 6 对于顶点b 的完全b r a n c h 的一个有限的连通满子箭图，若 其有礼个点且包含点b ，并满足所有的导出关系，则我们称此子箭图为 长度是n 的b r a n c h 定义j 7 设a 是路代数，x 是不可分解a 模，则称m o d a 中的满 第一幸引言 8 范畴 称 x 上= me m o d a l h o m a ( x ，m ) = 助破，m ) = o ) 为x 的右垂范畴， 上x = me m o d , a h o m a ( m ，x ) = e x 庐a ( m ，x ) = o ) 为x 的左垂范畴 第二章厶型路代数上的倾斜模 9 第二章a n 型路代数上的倾斜模 当五为厶型有向箭图时，z 五中位于匕边缘r 一轨道匕的点称为 顶点( 如图4 中( n ，n ) ) ，z 云中位于下边缘r 一轨道七的点称为基点( 如 图4 中( b ，1 ) ) 若r 为z 五的子图，则在r 中有相应的顶点与基点 z 五的顶点集与基点集分别记为( z 五) ：与( z 五) 2 ，r 的顶点集与基点 集分别记为q 与r 2 ，显然，( r a ) ：( z 五) ；，( r a y ( z 五) 设尬，必 为z 五中的点，记w m i 为z 五中与含有唯一自入射基点的线性a 型 路代数a 的a r - 箭图n 同构的满子图，且尬对应f 中唯一的自入 射基点( 如图4 中由幸标注的满子图) 记为z 五中与含有唯一自 入射顶点的线隆a n 型路代数a 的a r - 箭图n 同构的满子图，且m 2 对应n 中唯一 我们知道线性厶型路代数的倾斜模与长度为亿的b r a n c h 是一对 应的【r i 】，由这种对应关系，可以得到以下引理： 引理2 j 设a 是线性a n 型路代数，死是倾斜a 一模，则 中至少有一个顶点和一个基点 设左为图5 所示的a n 型有向箭图，a = k 左 a _ ：时f 佃墨：吁f 弋z 图5 第二章a n 型路代数上的倾斜模 l o 其中- 为a t 型有向箭图，2 为a 一型有向箭图若i = l ( i = 馆) 时：，( 2 ) 为空令墨是改变左中与点i 连接的箭头方向得到的箭 图则b = 七a 1 是a = k 五的a p r - 倾斜代数，即b = e n d ( t a ) ，其中 t a = 百1 r ( i ) o ( or u ) ) ，且，( t a ) = r ( 1 ) ) ；7 - ( t a ) = m o d a p a ( i ) ； j 判 x ( t a ) = b ( 1 ) ) ；y ( 死) = m o d b l b ( i ) 将a 的a r - 箭图f a 嵌入z - - p ， 则5 ( 斗r u ) ) f a 5 ( 厶( i 蛾姻，歹= i 一1 ，i + 1 躺图6 ) 图6 显然( r ( i ) ) 上= 上限( i ) ) 为与m o d k 墨om 。d k 芨同构的满子范 畴，且r 七墨为w 丁4 翰神，s o ，一1 ) 与既( m ) 合成的箭图的子箭图 ( 如图7 ) 图7 这样在嵌入的意义下， ( r 七墨) 2 ( z 蓉) 六同理( 0 墨) ；g ( z 蓉) 品 定理2 2 。设a 是a n 型路代数，死是倾斜a 一模，则 中 至少有一个顶点和一个基点 证明：定理在礼= 2 时显然成立 假设定理在路代数底图的顶点数小于礼时成立，下证定理在路代数 底图的顶点数为n 时也成立 设厶型路代数a = k 左的任一倾斜模的不可分解直和项中至少有 第二章厶型路代数上的倾斜模 1 1 个顶点和个基点，b ：ka 。1 为a 的a p r - 倾斜代数，( 云，a 。i 如图 f 所示) 码为倾斜b 一模 若如( i ) 簪 ，则 冬y ( t , o 由f g 是等价范畴歹( 死) 与 y ( t a ) 的互逆等价函子，知 ：r ( t a ) ，且g ( 码) 为倾斜a 一 模这样 中至少有个顶点和个基点，因而 至少 有个顶点和个基点 若b ( i ) ，令t s ：如( i ) o ( n o - 1t j ) ，则n o - - 1 乃上( 功1 8 ( 0 ) ， 而g ( ( 佃b ( i ) ) ) 一i a ( i ) ，上( 厶( 1 ) ) gt 上( r z i b ( i ) ) sy 由垂范畴的基本 性质 5 1 知，上( 厶( i ) ) 与m o d ka lom o d ka 2 同构 s 上 j = 1 -t1嶂 ( 厶( t ) ) 笺m o d ka 1o m o d ka 2 ，不妨设g ( o 乃) 为m o d ka 1 中的 1 = 1 倾斜模，g ( o 乃) 为m o d ka 2 中的倾斜模，由归纳假设，存在j 。 j = i 1 ，i l ，j 2 t ，n 1 ) ，使g ( t j 。) ( r 七墨) ：( z 五) ：，g ( ) ( r 七- - , ，0 。g ( z ) 2 所以，当i 1 且i 礼时， 中至少有个顶点和个基 i = i 点 住一1 当i = 1 时， 中至少有个基点，此时i b ( i ) 为个顶点 j = i 忆一1 当i = , 时， 中至少有个顶点，此时b ( i ) 为个基点 综上所述 中至少有个顶点和个基点 这样，我们证明了若个屯型路代数a 的任一倾斜模的不可分解 直和项中至少有个顶点和个基点，则其a p r - 倾斜代数的任倾斜 模的不可分解直和项中也至少有个顶点和个基点 由于任意的如型路代数是线隆a n 型路代数做有限次a p r - 倾斜过 程得到，再由引理1 ，可得任意的厶型路代数的倾斜模的不可分解直 第二章厶型路代数上的倾斜模 1 2 和项中至少有个顶点和个基点 第三幸d 。( 竹4 ) ，晶( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代数上的倾斜模 第三章d n ( n 4 ) ，既( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代数上的倾斜模 定义，j 设死为风型路代数a = ka 。的倾斜模，若有一个 不可分解直和项在太龄s - - y , 点u 对应的投射模p ( w ) 的丁一轨道上， 则称死为本性倾斜模 u 如下图所示： n - 2 。 l n ? f 一品l 一不了1 ：3 图8 记a ：14 - - - - - - 24 - - - 3 一一，；一1 一n 型路代数的a r - 箭图为 1 1 a 。，p a 。( i ) ，i a 。( i ) 分别为点i 对应的投射模与入射模r l 为r a 。的一 个包含r 。( 1 ) ，p a 。( 2 ) ，p a 。( m + 1 ) ，m n 一2 但不含入射点的连通满 子图，且满足条件：若r - i p a 。( 歹) f z ，j 1 ，则t - i p a 。o 一1 ) f z 由r l 与r a 。构造如下箭图： 设f ：= r l r 。( 1 ) ，r 。( 2 ) ，r 。( m + 1 ) ) ，r a 。= r a 。f l ，m o 1 ，2 ，r e + l ，满足t - 1 p a 。( m o ) f ：，t - 1 p a 。( 咖+ 1 ) 隹r 1 将r 幺中的 点i a 。( 2 托) 与r ，中的点7 - - - 1 p a 。( i ) 用箭i a 。( 2 + i ) 一t - 1 p a 。( i ) ，1 i m o 连接所得箭图记为r 麓( 如下图) ：r l 图9 r 2 对应的箭图范畴记为后r 幺，对应的m e s h 范畴记为后( r 麓) 同理，设r r 为r a 。的个包含厶。( 礼) ，“。( n 一1 ) ，i a 。( m ) ，m 3 箜三主丛垒至尘：垦垒三垒! ! ! 墅型堕垡塾圭箜堡壁垄 1 4 但不含投射点的连通满子图，且满足条件：若r 厶。o ) f r ，j n ，则 ，r 。o + 1 ) f r 由r r 与i 、构造如下箭图； 设r ：= f ， l k ( n ) ，i a ( n 1 ) ，i a 。( 仇) ，败= r a 。r ，m o n ，n 一 1 ，仇 ，满足下厶。( m ) f ：，r 厶。( m 一1 ) 萑e 将r ：- 中的点丁厶。( i ) 与r 么。中的点p a 。( i 一2 ) 用箭r 厶。( i ) 一p a 。( i 一2 ) ，m o i n 连接所 得箭图记为r r r a 。( 如下图) 图1 0 r r r a 。对应的箭图范畴记为七r r r 对应的m e s h 范畴记为七( r r r a 。) 引理3 2 ：在范畴c = 七( r 麓) 中，若e x t 5 ( t ，t ) = 0 ，且t = p a 。( 亿) o 噩，则 j 归的不可分解直和项最多只有他个； 别若t 中含有7 t 个不可分解直和项，则 中含有下边缘点 证明：对佗用数学归纳法 当n = m + 2 时，r 幺r 。( n ) 同构于a n 一1 型路代数的a r 箭图， 故丑至多含有n 一1 个不可分解直和项且由定理￥知，若噩中含有 n 一1 个不可分解直和项，则 中含有下边缘点 设在范畴c = k ( c = ( r 必) ) ，m + 2 k n l 中，引理成立 下面考虑范畴七( r 2 ) 的情况： 若r 。( 1 ) ，m + 2 i n 一1 不是乃的直和项，则冗在个与如一1 型路代数的a r 箭图同构的子图中，因而丑的不可分解直和项最多只 蔓三主里堡f 堡至尘! 垦也三垒：! ! 墅型整丛塾圭塑堡燮 1 5 有竹一1 个，且若噩中含有n 一1 个不可分解直和项，则 中含 有下边缘点 若存在i 0 ，m + 2 o n 一1 ，使p a 。) 为噩的直和项，且p a 。( 1 ) ，i o + 1 isn - i 不是噩的直和项，则五在个与r u f a 一o 一。同构的非 连通子箭图中显然丑在r 厶一0 一。中最多只有7 l i o 一1 个不可分解直 和项，而由归纳假设正在r ( i o ，m ) 中最多只有南个不可分解直和项 这样7 i 在与r u f a 。一o 一。同构的非连通子箭图中，最多只有n 一1 个 不可分解直和项，且 中含有下边缘点证毕 引理3 3t 在范畴c = k ( r - r a 。) 中，若e x 叠c ( t ，妁= 0 ，且t = p a 。 ) o 死，则 i ) t 的不可分解直和项最多只有n 个； 剀若t 中含有n 个不可分解直和项，则 中含有下边缘点 定理了彳：设a 是风型路代数，死是本性倾斜模，则 中 含有三个不同7 - 轨道的边缘点 证明：设t a = 死o7 i ，兄为) 的丁轨道e 的点，由h a m m o c k 的性质可知，死包含在如下的子图中，且它们的下边缘点均为队的 a r 箭图的下边缘点 或 图1 1 图1 2 不妨设死包含于图1 1 ，记为r o ，r 口中除去p d 。一1 ) ，p o 。m 一2 ) 的丁轨道上的点的子图记为聪，则咒与一箭图r 2 一。同构，由引理知 e 中至多含有乃的n 一2 个不可分解直和项又由倾斜模的性质知， f h ( r t 1 ) ，t o 。一2 ) 的r 轨道上各含有个死的不可分解直和项， 咒中恰好含有甄的n 一2 个的不, - i s - r 解直和项，且有下边缘点 综上， 中含有三个不同丁轨道的边缘点 定义了5 设死为玩( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代数a = ka 。的倾斜模，若 死有一个不可分解直和项在五的三又点u 对应的投射模p ( w ) 的7 一 轨道上，则称死为本性倾斜模 定理s g ：设a 是风( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代数，乃是本性倾斜模，则 中含有三个不同7 - 轨道的边缘点 证明：类似于d 。型的证明 参考文献 参考文献 1 7 【a p r 】a u s l a n d e rm ，p l a t z e c kmi a n dr e i t e ni c o x e t e rf u n t o r sw i t h o u t d i a g r a m s t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 7 9 ，2 5 0 ：1 4 6 【a r ia u s l a n d e rm a n dr e i t e ni a p p l i c a t i o n so fc o n t r a v a r i a n t l yf i n i t es u b - c a t e g o r i e s ，a d v i n m a t h ，1 9 9 18 6 ：1 1 1 - 1 5 2 a r s a u s l a n d e rm ，r e i t e ni a n ds m a l 0so r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa r t i n a l g e b r a s c a m b r i d 夕eu n i v p r e s s ，c a m b r i d g e1 9 9 5 a s l a s s e mi t i l t i n gt h e o r y - a ni n t r o d u c t i o n ，t o p i c s i n a l g e b r a ，p a r ti , b a n a c h c e n t e rp u b l ，2 6 ( w a r s a w ，1 9 8 8 ) ，1 2 7 - 1 8 0 【b o l 】b o n g a r t zk t i l t e da l g e b r a s l n m ，1 9 8 1 ，9 0 3 ：2 6 - 3 8 【b b l b r e n n e rs a n db u t l e rm cr t h ee q u i v a l e n c eo fc e r t a i nf u n c t o r so c c u r - i n go nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa r t i na l g e b r a sa n ds p a c i e s ，& l o n d o n m a t h s o c ，1 9 7 6 ，1 4 ：1 8 3 - 1 8 7 b b 2 】b r e n n e rs a n db u t l e rmc r g e n e r a l i z a t i o n so ft h eb e r n s t e i n g e f f a n d p o n o m a r e vr e f l e c t i o nf u n c t o r s ，l n m ，1 9 8 0 ，8 3 2 ：1 0 3 - 1 6 9 【b g p 】b e r n s t e i ni ，g e l f a n dim a n dp o n o m a r e vv a c o x e t e rf u n t o r sa n d g a b r i e l st h e o r m r u s s i a nm a t h s u r v e y s1 9 7 32 8 ：1 7 - 3 2 d r 】d l a bv a n dr i n g e lcm i n d e c o m p o s a b l er e p r e s e n t a t i o n so fg r a p h sa n d a l g e b r a s m e m o i r s a m e r m a t h s o c ，1 9 7 6 1 7 3 【g 】g a b r i e lp u n z e r l e g b a r ed a r s t e l l u n g e ni ，m a n u s c r i p e m a t h ，( 6 ) 1 9 7 2 ，7 1 1 n 3 参考文献 1 8 【h a h a p p e ld t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e si nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t e d i m e n s i o n a la l g e b r a s ，l m sl e c t u r e n o t e s e r i e s ，1 9 8 81 1 9c a m b r i d g e 【h r i l 】h a p p dd a n dr i n g e lc m t i l t e da l g e b r a s ，t r a n s a m e r m a t h s a c ， 1 9 8 22 7 4 ：3 9 9 - 4 4 3 【h r i 2 】h a p p e ld a n dr i n g e lcm c o n s t r a c t i o no ft i l t e da l g e b r a s ，l n m ， 1 9 8 1 ，9 0 3 ：1 2 5 - 1 4 4 【h r s 】h a p p e ld r e i t e ni a n ds