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c l i 舫r d 代数与连分式 摘要 连分式可以被看作m s b i u s 变换的序列上个世纪，连分式的解析 理论在数学家j o n e s ，t h r o n 和l i s a 等研究下已不断发展，并且广泛应 用于超越函数、控制论、渐近级数等方面近年来，b e a r d o n 借助于 c l i f f o r d 矩阵这一工具，利用高维m s b i u s 变换来研究连分式，取得了 许多创新的成果 本文从代数的观点来研究连分式以及c l i f f o r d 代数的相关问题 我们从c l i f f o r d 数的表达式出发，给出了四维c l i f f o r d 数的复矩阵 表示，并研究了此表示的一些基本性质；同时还提出了c l i f f o r d 数的广 义逆的概念，得到了四维c l i f f o r d 数可逆的充要条件及逆的表达式 作为所得结果的应用，我们得到了c l i f f o r d 线性方程a x b = c 通解的表 达式 在1 9 6 5 年h i l l a m 和t h r o n 证明了连分式k ( a 。b 。) 的一般收敛准 则，即著名的h i l l a m - t h r o n 定理我们利用c l i f f o r d 矩阵得到了c l i f f o r d 连分式中的h i l l a m - t h r o n 定理，并给出了一些应用 关键词：c l i f f o r d 连分式，c l i f f o r d 矩阵，m 6 b i u s 变换， c l i f f o r d 线性方程，通解 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t ac o n t i n u e df r a c t i o nm a yb er e g a r d e da sas e q u e n c eo fm s b i u st r a n s f e r m a t i o n si nt h e2 0 t he e n t u r nt h ea n a l y t i ct h e o r yo fc o n t i n u e df r a c t i o n sh a s b e e nd e v e l o p e di n c r e a s i n g l yb yt h ew o r ko fj o n e s ，t h r o na n dl i s ae r ei th a s b e e na p p l i e di nt r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s ，c o n t r o lt h e o r na s y m p t o t i cs e r i e sa n d s oo n i nr e c e n ty e a r s jb e a r d o nc o n s i d e r e dc o n t i n u e df r a c t i o n sb yu s i n gc l i f f o r d m a t r i c e sa n dh i g h e rd i m e n s i o n a lm 6 b i u st r a n s f o r m a t i o n s m a n yn e wr e s u l t s h a v eb e e no b t a i n e d t h em a i na i mo f t h i sd i s s e r t a t i o ni st od i s s c u s ss o m ep r o p e r t i e so f c o n t i n u e d f r a c t i o n sa n dc l i f f o r da l g e b r af r o ma l g e b r a i cp o i n to fv i e w s t a r t i n gf r o mt h ee x p r e s s i o no fa ne l e m e n ti nc l i f f o r da l g e b r a ，w ee s t a b l i s h t h ec o m p l e xm a t r i xr e p r e s e n t a t i o no f4 - d i m e n s i o n a lc l i f f o r dn u m b e r sa n ds e v - e r a lp r o p e r t i e sa r co b t a i n e d w ep r o p o s et h ec o n c e p to fm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e o fc l i f f o r dn u m b e r sa n dg e tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra j le l e m e n t i n4 - d i m e n s i o n a lc l i f f o r d a l g e b r at ob ei n v e r t i b l e a sa na p p h c a t i o n t h ee x - p l i c i te x p r e s s i o no ft h eg e n e r a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o na x b = ci nt e r m so fa ba n dci n4 - d i m e n s i o n a lc l i f f o r da l g e b r aqi so b t a i n e d i n1 9 6 5h i l l a ma n dt h r o np r o v e dag e n e r a lc o n v e r g e n c ec r i t e r i o nf o rc o n t i n u e df r a c t i o n sk ( a n b 。) t h a tw a st h ef a m o u sh i l l a i n - t h r o nt h e o r e mi nt h i s d i s s e r t a t i o n ，b yu s i n gc l i f f o r dm a t r i x ，w ee s t a b l i s ht h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n c l i f f o r dc o n t i m m df r a c t i o n s a na p p l i c a t i o ni sg i v e n k e yw o r d s ：c l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n ，c l i f f o r dm a t r i x ，m s b i u st r a n s - f o r m a t i o n ，c l i f f o r dl i n e a re q u a t i o n ，g e n e r a ls o l u t i o n c l i f f o r d 代数与连分式 第一章绪论 1 1问题的研究背景及意义 连分式是一个古老的数学分支对连分式的研究起源于1 6 世纪 有关它最早的记载是1 5 7 2 年b o m b e l l i 用有限连分式获得了、，伍的逼 近数 1 7 世纪至1 8 世纪连分式作为数论工具，应用到多个代数数和” 的有理逼近中数学家e u l e r 发现连分式可以展开成复变量的函数而 不是简单一个数，因此连分式成了逼近特殊解析函数的重要途径 1 8 1 3 年，g a u s s 发现连分式展开式还可以表示双曲几何函数的比 1 9 世纪数论和连分式的解析应用成为了连分式发展的主要分支 连分式的解析理论的中心内容是连分式的收敛理论及展开式连分式 的每一项都可看作复变量z 的线性函数还有一个重点研究的内容是 有理函数的h e r m i t e 插值当时许多著名的研究者如s t i e l t j e s ，f r o b e n i u s ， p o i n c a r e 进入到这一领域使得连分式在1 9 世纪经典分析理论中占主 要地位，参见” 2 0 世纪j o n e s ，t h r o n ，l i s a ，r o b e r t s 等数学家对连分式的收敛和逼 近进行了深入的研究，取得了一系列的成果，参见 1 】_ 6 】 连分式是由迭代算法产生的，给定函数，选择一x o ，即可得到， 的迭代序列z 。满足z 。+ 。= ，( z d 我们迭代m s b i u s 变换 t o ( z ) = b o + z ，t 。( = ) = i ，n = 1 ，2 ， 十z 可得连分式的一般形式为 6 0 + b 1 + u 2 a a b 2 + 丽 其中6 。称为连分式的元素，通常为实数、复数或函数，警称为连 分式的第i 节 2 硕士学位论文 为了书写方便，常将式( 1 11 ) 写成紧凑形式： 6 【) 十等+ 薏+ 瓦a 3 + ， ( ，z ) 记作 b o + k ( k ) 我们称 + 嚣+ 寄+ 嚣+ 十等 ( ，。) 为连分式( 1 11 ) 的第n 个截断分式，记作厶 如果截断分式序列 f x = b o + 粤，2 = b o + 兰l ，3 = b o 十堕一0 1 1 a 2a 2 6 l + 瓦 6 l + a 3 6 2 + i 收敛到k ，连分式( 1 1 i ) 叫做收敛到k ( 或有值k ) 接下来，我们讨论b 0 = 0 的连分式： k ( n 。k )( 1 1 5 ) b l + a 3 b 2 + 而 简单来说，连分式( 11 1 ) 仅仅是由复序列对 h 确定的，其 中吼o ，i 1 给定一个这样的序列对，我们能构成如下m s b i u s 变换 序列：对于n l ， s n ( 。) 2 再a n 且s n ( o 。) = o 反过来，对任意m s b i u s 变换8 ，若有8 ( 0 0 ) = 0 ，那么它可以唯一地 表示为 s ( z ) = 熹 c l i f f o r d 代数与连分式 3 因此，连分式可以和使得如( o 。) = 0 的m 6 b i u s 变换序列s 。= 1 ，2 ，) 等价起来由于m 6 b i u s 变换在各维中存在，所以从连分式与m s b i u s 变换的等价性立即可以得到连分式在各维中的表达式 b e r n d o n 在文献 7 中提出了在研究连分式理论的同时值得思考的 几个问题，即几个公开问题： ( 1 1 已有结果是否有几何证明? ( 2 ) 2 已有结果是否能推广到m 6 b i u s 变换的任意序列中? ( 3 ) 已有结果和证明是否对各维都成立? ( 4 ) 已有结果在高维是否有代数表达式? 正是这些问题引导我们对连分式理论中未做出的结论进行分析讨 论 由于高维m 6 b i u s 变换与复m s b i u s 变换有着很多相似的性质，我 们可以期望连分式理论中的很多结果与维数无关事实上，我们知道 连分式的少数经典结果( 例如p r i n g s h e i m 定理，h i l l a m - t h r o n 定理) 已经推广到高维了( 参见【8 ，9 ) ，且得出了它们在c l i f f o r d 连分式中的 形式但连分式中还有大量的结论期待我们去研究和推广，我们将沿 着这个方向继续研究 在c l i f f o r d 代数方面，z h a n g 和曹文胜在文献【1 0 ，1 1 】中分别讨论 了三维c l i f f o r d 代数的复矩阵表示及四维c l i f f o r d 代数的实矩阵表示， 但q 中相应的复情形讨论还没有本文讨论了这方面的问题 1 2 本文的安排及主要工作 本文从代数的观点来研究连分式及c l i f f o r d 代数方面的相关问题 全文的安排如下： 在第二章中，我们介绍连分式、高维m s b i u s 变换与c l i f f o r d 代数 的一些基本知识 在第三章中，我们给出了四维c l i f f o r d 代数的复矩阵表示，并研 究了此表示的一些基本性质，提出了c l i f f o r d 代数中元素广义逆的概 硕士学位论文 念，得到t 四维c l i f f o r d 代数兀素司逆的充要条件及逆的表达式 我们首先得到： 定理3 3 2 对。q ，a 可逆当且仅当d e t ( m o ) o ；当a 可逆时， 其逆可表示为 。= d e t ( m ) 一1 ( 1 a 1 2 一t ( a ) w ) 5 作为所得结果的应用，我们得到线性方程a x b = c 有解的充要条 件及通解的表达式，叙述如下： 定理3 4 4对。，b ，c c 4 ，线性方程a x b = c 的解为 ( 1 ) 当口，b 都可逆时，z = a - 1 c b 一1 。 一 ( 2 ) 当。可逆、6 不可逆时，方程有解当且仅当n l c 研b b = a - l c , 且解 为 ，i z = 需+ ( 2 f n i 惋v p q ； ( 3 ) 当。不可逆、6 可逆时，方程有解当且仅当矛7 甄a a 再= 五百，且解 为 z = 淼坤 i 枷) 刑p c 4 ； ( 4 ) 当n ，6 都不可逆时，方程有解当且仅当乖簖c 2 c ，且解为 一赫+ ( 4 i 。m i1 2 一b 面) p , v p 瓯 在第四章中，我们研究了c l i f f o r d 连分式中的h i l l a m - t h r o n 定理， 所得结果如下： ，、 引理a 盘j 令皿“c n ，r ，为r “中一开球，若s = ( ：) g l ( 2 , f w ) 且满足f b l ( r h ) ( i d4 - c aj j c l r ) ，则有s ( 皿”hr ) ) c 皿“( n ，r ) 以及 s ( 。) = 0 定理a 2 ，令。h 0 ，b r ”，a 是一正交矩阵 早在1 8 8 2 年，著名的数学家p o i n c a r d 就发现：作用在矗- v 中的每 一个m s b i u s 变换g 可自然扩张为作用在矗”+ - 中的m s b i u s 变换，即 我们现在所称的p o i n c a r d 扩张他的发现为人们研究高维m s b i u s 群 提供了一种方法我们可如下嵌入武“到武- v + - ： z 孟= ( z l ，t - ，z 。】0 ) ) x = ( o l ，z n ) 1 0硕士学位论文 对r ”上的反射曲定义相应的鹏“+ 1 上的反射咖为s ( a ，r ) 或p ( i ，t ) 上的反射则对m s b i u s 变换，= 。，瓴是球面或超平面上的 反射，称，= 函，o o 乒。是，的p o i n c a r d 扩张显然，保持上半空间 h n + i = z r ”+ 1 ：z 州 o ) 不变由此可认为g m ( 武”) 是g m ( 蒇“+ 1 ) 的子群 对高维连分式的研究实际上就是围绕着具有8 n ( o 。) = 0 这样性质 的高维m s b i u s 变换序列m 1 ) 进行研究由于在高维中除法运算 由关于球面的反演来代替，所以有关高维连分式的研究也可以被看 作高维反演几何的一部分 2 3c l i f f o r d 代数 尽管连分式与m s b i u s 变换已建立联系，但已有的结论讨论的多 是扩充复平面的m s b i u s 变换，代数方面的重点也集中在复系数的计 算上若使用c l i f f o r d 代数来处理高维的m 6 b i u s 变换，也就可以研究 c l i f f o r d 代数为系数的连分式1 9 0 2 年v a h l e n 最早将c l i f f o r d 数用于 表示高维m 6 b i u s 变换，它得出了9 ( z ) = ( a x + b ) ( c x + d ) - 1 的充要条 件，但当时并没有引起人们太大的关注1 9 4 9 年m a a s s 对v a h l e n 的 发现作了改进，参见文献1 9 1 _ 直到二十世纪八十年代，a h l f o r s 等发 展了v a h l e n 提出的用c l i f f o r d 矩阵表示高维m s b i u s 变换的理论( 参见 2 0 】一 2 3 ) ，从而进一步激起了人f f g 寸高维m s b i u s 变换群研究的兴趣 下面我们将详细介绍c l i f f o r d 代数 c l i f f o r d 代数是由基1 ，e ，e 。，e _ v 一。在实数域豫上生成的非交 换结合代数( 2 2 ) ，其中 e ；= 一1 ，勺e 。= 一e 。勺( i j ，i ，j = 1 ，2 ，- ，n 一1 ) ( 23 1 2 ) 元素a 可记为 o = n o + 鼠 其中o o ，o 。r ，e = e u l e 2 e 邯，0 ? 3 1 v 2 - - v p n l 所有的指标( ，) 求和0 0 称为。的实部，记为a o = ( 23 1 3 ) 是对 跄( n ) ，其 c l i f f o r d 代数与连分式 范数的平方为i a l 2 = 。3 + e o 代数c i v 有三个重要的对合运算： ( 1 ) ”运算：一= n o + 或，其中：或= ( 一e 。) ( 一e 。) ( 一e 。) = ( - 1 ) 日； ( 2 ) “+ ”运算：a + = a o + e a v 露，其中：b 表示把日中所有的因子 交换顺序，即e = e 哗e v 2 e 。； ( 3 ) “一”运算：a = ( n + ) = ( o7 ) + 易知 ( 曲) + = b * a + ， ( 曲) = ； ( 丽) = 5 a ； ( o + 6 ) + = n + 十b ，( a + 6 ) = a 7 + c n 是2 “1 维的向量空间当n = 1 ，2 ，3 时，c k 分别等同于实数 域r 、复数域c 和实四元数体当n 4 时，c l i f f o r d 数没有零因 子例如： ( e 1 + e 2 e 3 ) ( e 1 一e 2 e 3 ) = 0 ，但e 1 + e 2 e 3 0 ，e l e 2 e 3 0 我们将r ”看作由1 ，钆e ：，e v 。所生成的子空间并称r v 中 元素 z = x 0 + z l e l + - 十x n l e n l 为向量对向量z 有矿= z ，z = i 且z i = 2 从而可以推出：每一 个非零向量是可逆的，且其逆元素x - 12 赤 c l i f f o r d 群r 由所有属于c n 且可以表示成r “中非零向量乘积 的元素组成很明显它是的子群根据定义，对于c l i f f o r d 群中元 素n 满足：川2 = n a = ? z a ，从而可以推出：对任意a ，b f - v ，满足关系 式：i a b l = l a l i b i 但对于o 民，n 4 ，i 。1 2 = n i = ? l a ，i a b i = 6 l 一般 不成立例如： ( 1 ) 设。= 1 + e l e 2 e 3 ，则a = a ，所以n i = a n = a 2 = 2 + 2 e l e 2 e 3 ，但 l a l 2 = 2 ( 2 ) 易知a e 4 0 = 0 ，而e 4 a 2 = 2 e 4 2 e l e 2 e 3 e 4 0 ，由此知，1 0 6 i = l a 圳b 一般不成立 硕士学位论文 c l i f f o r d 群f _ v 还有一个重要的特征：若z 是向量，则a x a 。- 也是向 量映射z a x a - 1 是线性的，且i a x a 。l = 因而这个映射是欧氏等 距；更重要的是这个映射是保向的，它对应着一个矩阵p ( o ) s o ( n ) ， 对任意z r ”均满足： a x a - 。= p ( a ) x 其逆亦成立 我们知道二维m s b i u s 变换群同构于3 l ( 2 ，c ) ，高维m s b i u s 变换群 也有类似情况我们引入一个联系高维m s b i u s 变换与c l i f f o r d 代数的 重要概念：c l i f f o r d 矩阵 舣2 _ 3 卜们黝枷施黻z 加僦阵，2 ( a 。：) 且满 足下列条件： 一，a ，b ，c ，d h u o ) ； 俐a d 4 一b c + = 1 ； 例若b 0 ，则d b 一1 和6 1 。r “； 佴j 若c 0 ，则a c 一1 和c 1 d 琏“ 全体n 维c l i f f o r d 矩阵关于矩阵乘法构成群，记为s l ( 2 ，r _ ) 由定 义z 。- 知c i 助r a 矩阵，= ( ：。b ) 的逆为 。= ( - b * ) 对矩阵，= a d 6 1 s l c z ：h ，定义映射 9 ( z ) = ( a x + 6 ) ( c z 十d ) 一1 ，。n “( 2 3 1 4 ) 如果c 0 令g ( o 。) = a c - 1g 一1 ( 。) = 一c - 1 d ；如果c = 0 令9 ( 。) = 口一1 ( o 。) = 。 由f 2 2 知，上述定义了一个蒇w 到蒇”上的同胚，且可表示为一 系列反射的复合，即9 ( 。) 是一保向m s b i u s 变换有时我们直接称g 为m s b i u s 变换c l i f f o r d 矩阵的乘法运算相当于m s b i u s 变换的复合 c l i f f o r d 代数与连分式 1 3 运算从矩阵形式上看，s = a d 6 ) 的p 。i n c 时a 扩张就是其本身； 从函数上看，g ( x ) 的p o i n c a r d 扩张为 盟生害尝竺蒜! 墨生堕 ( 2 矗1 5 ) d l t j + 2 + 2 l c l 2 7 若记p s l ( 2 ，f n ) = s l ( 2 ，r ) 士j ) ，则维空间中的保向m s b i u s 群 m ( 武”) 同构于p s l ( 2 ，r ) 群 硕士学位论文 第三章四维c l i f f o r d 代数的复矩阵表示及其应用 3 1 引言 令i 1 = e 2 ji 2 = e 3 j 一，i 一2 = e 一1 ，i 一l = e 2 e 3 ，i 2 一2 一l = c 2 e 一1 若以1 一ii 2 ，i 。一一，为基，就是这组基在c 上生成的复向量空 间对于。国， 其中a o ，n 。c 于是n 的欧几里德范数为 2 n 一2 - - 1 = i 。1 2 + 2 ( 3 1 2 ) 3 = 1 易知a 、巴和岛可分别等同于喂、c 、丑特别地，q 在c 上的基为 为方便起见，我们令e z = j ，岛= e ，c 2 e 。= ”，它们满足乘法规则 j 2 = e 2 = w 2 = 一1 且q 中的元素可表示为 a = a 0 + a l j + a 2 e + a 3 w ( a o ，- j ，a 3 c ) 四维c l i f f o r d 代数的三个对合运算相应为 一a o 一一a 1 3 一a 2 e + 一a 3 w 0 0 + 瓦西+ 瓦e a 3 w ，( 3 1 4 ) 面一a l j a 2 e 一酗 我们把。c 4 做如下分解： 。r = ：扣+ 画) = r e ( “。) + i m ( ) 叫，。c = n n r = i m ( 。) 抖。l j + 8 2 e + r e ( 3 ) f 3 15 ) 性质3 1 1 对于c c ，令i 。= e v l e 。 俐若p 是奇数，则，= i 。i i 毋 。 一d n = 旦! ! 些：! 垡塾皇垄坌塞二! 坠 _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ 一 俐若p 是偶数，则c i 。= i 扣 3 2 复矩阵表示 l ：。：0 。+ 。j + 。+ 铂。q 。工。，：f 三兰圣 j 圣 一嘶一。： 。，n 。 卅= 0 3 1 l n。，a，。z，。c 同时记r ( a ) = l ( o ) 7 对o = o + o l j + 0 2 e + 。3 w ，b = b o + b l j + b 2 e + b 3 w q ，有 o + b = ( n o + b o ) + ( 1 + 6 1 + ( 0 2 + b 2 ) e + ( 0 3 + 如) 叫 ( 32 7 ) 由性质3 1 1 知 a b = ( n o + 1 j + a 2 e + a 3 w ) ( b o + b l j + b 2 e + b 3 w ) = ( o b o n 1 瓦一a 2 一b 2 一a 3 b 3 ) + ( 血0 6 1 + n 1 丽+ n 2 瓦一b 2 ) j ( 3 28 ) + ( n 0 6 2 一m 瓦+ n 2 瓦一a 3 b 1 ) e + ( 印b 3 + n 1 瓦一卿瓦+ a 3 b o ) w 通过直接计算，可知如下成立 1 6 硕士学位论文 定理3 2 1 设a ，b c 4 ，a c n ja = b = 寺l ( 。) = l ( 6 ) i 俐三陋+ b ) = l ( a ) + l ( b ) i f 剀l ( a ) = l ( a ) ； 例l ( a b ) = l ( n ) l ( 6 ) i 倒l ( a ) = 三( n ) 1 证明由定义3 2 1 、( 3 2 7 ) 式及( 3 28 ) 式易知( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 成立下 面来看( 5 ) 的证明由于a 一= 一a o a l j a 2 e 一面w ，所以 狮，隹妥 易知l ( a ) ：丽7 证毕 对a c 4 ，定义 t ( a ) = 面0 3 一面口o + 瓦_ n 2 一瓦。1 ，( 3 2 9 ) t ( a ) = r e ( a o ) i m ( a 3 ) 一r e ( a 3 ) i m ( a o ) + r e ( a 1 ) i m ( a 2 ) 一r e ( 0 2 ) i m ( a 1 ) ( 3 21 0 ) 及 耽= ( 叫 a 1 2 。，甜 慨z 于是 a a 一= 一a ( t = i a l 2 + t ( n ) ，( 3 2 1 2 ) 及 t ( a ) = 2 t ( a ) i( 3 21 3 ) 命题3 2 1 对于a ，b c 4 ， l a b l 2 = f n f 2 f 6 f 2 一t ( o ) r ( 6 ) ，t ( a b ) = l a l 2 t 0 ) + f b 2 t ( a ) ，t ( a ) = 丁( a ) c l i f f o r d 代数与连分式 1 7 证明由于 a = 5 w 知n 硒= a a z b b 由( 3 2 1 2 ) 式知， a b a b = m 2 + t ( a b ) w ， a s b b = ( 1 n 1 2 + t ( n ) ) ( 1 6 1 2 + t ( b ) w ) = 1 8 f 2 f6 2 一t ( a ) t ( b ) 十( f 。f 2 r ( 6 ) + f 6 f 2 r ( o ) ) 再由( 3 14 ) 式和( 3 29 ) 式知t ( n ) = t ( a ) 证毕 直接计算可得 定理3 2 2 d e t ( l ( a ) ) = 拙( l ( a ) ) = d e t ( m ) = ( i o l 4 + t ( 。) 2 ) 定理3 2 3二俐的特征值为： a l ，2 = r e ( n o ) 十i m 沁3 ) 士i 、f 。f 。+ 2 t ( o ) 一( r e ( 0 0 ) + i m ( a 3 ) ) 2 a 。，a = r e ( n o ) 一i m ( n 3 ) 土i 、0 1 2 2 t ( n ) 一( r e ( a 。) 一i m ( a 。) ) 2 证明如果a 是l ( a ) 的特征值，则 d e t ( ) , 1 4 一l ( o ) ) = 0 将行列式按第一行展开，可得 一a o 酊 画 n 3 面a 一葡 a 20 3 a 3a 2 西i 一丽 - a l 一如 一a 2 1 a a o - a 2 血l a a o + n 3 + 0 1 口10 3- a 2 面 一面面 a 3 - a 1a a o 面 一一a o a 3 面一面a 一面 a 2- a 1 m 2 2 0 0 亭i 面戈 嘶 入 吨吨唷苦| a 1 8 硕士学位论文 = ( a a o ) 2 ( a 一面) 2 + 瓦i ( 面乜2 一瓦_ 。1 ) ( 一a o ) + ( 1 口1 1 2 + i a 2 1 2 ) ( 一面) ( 一n o ) + 瓦- 2 ( a n o ) 2 + l 口t 1 2 ( 一面) ( a a d ) + i 。3 1 2 l n ，1 2 + _ 2 n i + 画。， a 3 ( a 一面) 一面( 一印) + 1 0 1 f 4 + 口2 面【西( a 一。o ) 一( a 葡) 】+ 1 0 2 f 4 + 1 0 2 2 f 0 3 2 + a 2 2 _ 2 + l a 2 f 2 ( a 一劫( 一a o ) + l a 3 1 2 l a l l 2 十a 3 2 ( a 一硐2 + i n 2 1 2 l a 3j 2 + a 3 1 4 一( 面乜2 一a l 两) a 3 ( a w o o ) = ( a 一。o ) ( a 一面) + 1 0 1 1 2 + i 2 1 2 + i q 3j 2 2 + 【_ ( a n o ) a 3 ( 一面) + n 2 面一_ 1 2 = a 2 一a ( a o + 面) + l a l 2 】2 + 【面i ( 一n o ) 一n 3 ( a w o o ) + 0 2 瓦一n l - 1 2 = n 2 一a ( a o + 石神+ l n 2 】2 + p ( 。) + a ( 瓦。一a 3 ) 】2 = 肛2 一a ( a o + - ) q - f n f2 j 2 + ( 2 i ) 2 0 ( ) 一m m ( a 。) ) 2 = 2 2 ( r e ( n 。) + i m ( a a ) ) a + l a l 2 十2 t ( 。) 】 a 2 2 ( r e ( 。) 一i m ( 。3 ) ) a + l 。1 2 2 t ( 。) 】 ：0 因此 a 2 2 ( r e ( 口o ) + i m ( ) ) a + l a l 2 + 2 t ( a ) = 0 或 a 2 2 ( r ( 。o ) 一i m ( a 3 ) ) a + i 1 2 2 t ( n ) = 0 解方程即得结论证毕 3 3 q 中元素的逆及广义逆 定理3 3 1如果z q ，且o z ：l ，那么：1 证明由于 a x x a = ( 。l 可一n l 瓦+ x 2 砭一a 2 酉) + 陋l ( n o 一面) 一a i ( x o j 石) + a 2 ( x 3 + 西) 一x 2a 3 + 5 s ) j + p 2 ( 。o 一面) 一0 2 ( x o i i ) 一a l ( x 3 十瓦) 十x l ( 口3 + 瓦i ) e 十( 啦瓦一瓦+ z 2 面一z l 西) 由( 3 l _ 5 ) 式可知 ( a x ) r = ( z ) r = l c l i f f o r d 代数与连分式 1 9 由命题3 21 知i 口2 = l 删2 ，因而z n = 1 证毕 定义3 3 1 对o q ，如果存在q 使得a x = 1 ，则称。是a 的逆 并记其逆为a 由定理3 3 1 可知若a 可逆则其逆唯一 定理3 3 2对o c 4 ，a 可逆当且仅当d e t ( m 。) o i 当。可逆时，其 逆可表示为 。= d e t ( m 。) 。1 ( 一t ( 。) w ) a ( 3 3 1 6 ) 证明如果n 可逆，则存在唯一的z 使得a x = 1 故我们有a s x i , = 1 ， 即 ( i 。1 2 + t ( 。) w ) “z 1 2 + t ( x ) w ) = 1 因此 i1 0 2 t ( z ) 十i z l 2 t ( 。) = 0 ih 2 2 一t ( a ) t ( x ) = 1 上式可写为 ( 叫e ar 2 。，酬计地( 计( 0 ) 慨。忉 因为r n n t c m 。) = r a n k ( 一r t a 。m 2 。，z ；) = 。，故a e t c n 矗，。 反之，如果d e t ( m 。) 0 ，则有 ( j o l 2 + t ( a ) w ) ( 1 a i 2 一t ( a ) w ) = 口a ( | n 1 2 一t ( a ) w ) = d e t ( m 。) ( 3 3 1 8 ) 因此。= d e t ( m 。) 。1 a ( 1 a 1 2 一t ( a ) w ) 是a 的逆证毕 引理3 3 1下列三个方程同解 a x = 0 ， ( 3 3 1 9 ) a z = 0 ， ( 3 3 2 0 ) a o z = 0 ( 3 32 1 ) 硬士学位论文 且若a 不可逆，则方程的一般解为 z = ( 1 n 1 2 一r ( 。) 协) p ，v p c 4 ( 3 3 2 2 ) 证明由于方程( 3 31 9 ) ，( 3 3 2 0 ) 和( 3 32 1 ) 分别等价于 工( 。) 暑= 0 ，( 3 3 2 3 ) 丽1 彳= 0 ，( 3 3 2 4 ) 雨1l ( n ) 言= 0( 3 3 2 5 ) 知方程( 3 31 9 ) ，( 3 3 2 0 ) 和( 3 32 1 ) 同解 如果a 是不可逆的，则 酏( 1 0 1 2 一t ( o ) w ) = 0( 3 , 3 2 6 ) 易知l ( a a ) 和l ( 1 a 1 2 一t ( a ) w ) 的秩为2 故方程( 3 32 1 ) 的解由( 3 , 3 2 2 ) 表出证毕 定义3 3 2n q 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，记为n + ，是满足如下方 程的z q a x a = ，t a 。t = z ，丽= a x ( 3 3 2 7 ) 如果。是a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆，则丽= a j ；，且l ( x ) 是l ( a ) 的 m o o r e - p e n r o