（基础数学专业论文）asymptotic+behaviour+and+exponential+stability+for+a+thermoelastic+problem+with+localized+damping.pdf

果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：盔! l 竭 日期：2 竺三：竺：曼! 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解 密后适用本规定。 作者签名：查至生 日 期：3 坦2 1 ：生! 笪 a c k n o w l e d g e m e n t ia mv e r yg r a t e f u lt om ym e n t o rh o n 西u ng a o i ti sh i mw h ot a u g h tm eh o wt o k e e pp a t i e n ta n dd or e s e a r c h i nm a t h e m a t i c ss t e pb ys t e p i nt h ep a s tt h r e ey e a r s ， e v e r yp r o g r e s so fi n i ：r l ei ns t u d ya n dr e s e a r c ho w n e da l o tt oh i m ia c k n o w l e d g ep r o f e s s o rj i h u lz h a n g ，p r o f e s s o rz u o d o n gy a n ga n da s s o c i a t e p r o f e s s o ry u i t i a nl e i ，j i n x u a nf a n g ，f o rt h e i rw o n d e r f u ll e c t u r e si na n a l y s i sa n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n df o rt h e i re x c e l l e n tm o d e sa 8s c h o l a r s ；ia c k n o w l - e d g eo u rd e p a r t m e n tf o rm a k i n ga v a i l a b l eo fv a r i o u sg o o df a c i l i t i e s ；a n di dl i k et o t h a n kt h eg r a d u a t ed i r e c t o r sz h i r e ns u n ，y iy a o ，m a o h u as u n ，a n da n o n y m o u s t e a c h e r sa n dx u e q i nw a n gw h oo n c eg a v em eah a n d t h el a s tb u tn o tt h el e a s t ，i dl i k et ot h a n km yf a m i l i e sf o rt h e i rs e l f l e s ss u p p o r t t h e yg a v em es t r e n g t hw h e n1w a sw e a ka n dg a v em ef a i t hw h e nil o s th e a r t i ti s t h e mw h om a k em ys t u d ya n dr e s e a r c hm e a r a u g f l l la n di ti st h e mt ow h ot h i st h e s i s i sd e d i c a t e d w u j u a nz h a o a p r i l2 ，2 0 0 5 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e ras e m i l i n e a rt r a n s m i s s i o np r o b l e mb e t w e e na ne l a s t i c a n dat h e r m o e l a s t i cm a t e r i a l w es h o wt h a tt h es o l u t i o no ft h i sp r o b l e me x i s t sa n d d e c a y se x p o n e n t i a l l yt oz e r o t h a ti s ，d e n o t i n gb ye ( t ) t h es u m o ft h ef i r s t s e c o n d a n dt h i r do r d e re n e r g ya s s o c i a t e dw i t ht h es y s t e m w es h o wt h a tt h e r ee x i s tp o s i t i v e c o n s t a n t sca n d7s a t i s f y i n g e ( t ) c ( o ) e x p ( 一 ) m o r e o v e r ，t h ee x k s t e n c eo fa b s o r b i n gs e t si sa c h i e v e di nt h en o u h o m o g e n e o u sc a s e i np r e s e n tp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t s i nc h a p t e r1 ，w eg i v es o m ef u n c t i o n a ls e t t i n ga n dn o t a t i o na n dal e m m aa n d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fw e a ka n ds t r o n gs o l u t i o na n dt h er e g u l a r i t yf o rt h i s s o l u t i o nt os y s t e m ( 1 ) 一( 9 ) i nc h a p t e r2 ，w ed e r i v et h ev a r i o u se n e r g ye s t i m a t e sa n dw es t a t et h ee x p o n e n t i a ld e c a yo ft h es o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fa b s o r b i n gs e t si nt h en o n - h o m o g e n e o a s c a s e k e yw o r d s ：t r a n s m i s s i o np r o b l e m ；t h e r m o e l a s t i c i t y ：e x p o n e n t i a ld e c a y ；a s y m p t o t i c b e h a v i o u r ：a b s o r b i n gs e t 3 摘要 在这篇论文中，我们考虑了一个关于弹性和热弹性复合材料的热传导问 题我们证明了这个问题的解是存在的，并且指数衰竭于零也就是： 记s ( t ) 为此系统的第一，第二，第三阶能量之和，我们证明了存在正常数c 和 ，满足： 占( ) 叩( o ) e x p ( - t t ) 而且，也得到了对非齐次问题吸收集的存在性此文分为四部分 在第一章中我们给出了一些函数集合，注记，一个引理以及问题( 1 ) ( 9 ) 强解弱解的存在唯性和解的正则性 在第二章中，我们推出不同的能量估计并陈述了解的指数衰减性 在第三章中，证明了对于非齐次问题吸收集的存在性 关键词：传导问题；热弹性；指数衰竭；渐进行为；吸收集 4 a s y m p t o t i cb e h a v i o u ra n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o ra t h e r m o e l a s t i cp r o b l e mw i t hl o c a l i z e dd a m p i n g i n t r o d u c t i o n t h ew a v ee q u a t i o nw i t h o u ta n yd i s s i p a t i o ni sac o n s e r v a t i v es y s t e m ，t h a ti s i t st o t a le n e r g yi sc o n s t a n tf o ra n yt i m e s e v e r a la u t h o r si n d u c e dd i f f e r e n tt y p e s o fd i s s i p a t i v em e c h a n i s m st 。s t a b i l i z et h e0 8 e f l l a t i o n s f o re x a m p l e t h ef r i c t i o n a l d a m p i n g u t ( s e er e f e r e n c e s 1 ) w h e r et h ed i s s i p a t i o nw o r k si nt h ew h o l ed o m a n ， o rf r i c t i o n a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ( s e er e f e r e n c e s 2 ，3 j ) w h e r et h ed i s s i p a t i o ni s w o r k i n gi nap a r to ft h eb o u n d a r yo ra l s ol o c a l i z e df r i c t i o n a ld a m p i n g ，t h a ti sw h e n t h ef r i c t i o n a ld a m p i n gi so ft h ef o r m 。f z ) 。w h e r eo fv a n i s h e si ns o m ep a r to ft h e d o m a i n ( s e er e f e r e n c e s 阻6 】) s ot h ed i r e c t i o no ft h er e s e a r c hs e e m st of i n dt h e m i n i m a ld i s s i p a t i o ns u c ht h a tt h es o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gd i s s i p a t i v ew a v e e q u a t i o nd e c a y su n i f o r m l yt oz e r o ，a st i m eg o e st oi n f i n i t y c o n c e r n i n gt h el o c a l i z e d f r i c t i o n a ld a m p i n gt h em a i nq u e s t i o nc o u l db e ：i nw h i c hp a r td o e soh a v et ob e p o s i t i v ei no r d e rt oa s s u r eau n i f o r mr a t eo fd e c a y ? t h i sq u e s t i o ns o m e h o wi s v i n c u l a t e dw i t hc o n t r o lt h e o r y i nl i o n s b o o k 7 】1i ti sp r o v e dt h a ti fw ec a nc o n t r o l as y s t e mt h e nw ec a ns t a b i l i z ei tm o r ep r e c i s e l y , i fw ec a l lc o n t r o las y s t e ma c t i n g o v e ras u b s e tuo fn i ti sp o s s i b l et os t a b i l i z et h es y s t e mi n t r o d u c i n gad a m p i n g m e c h a n i s me f f e c t i v eo n l yo v e rut h i ss o m e h o wl e a v e st h ep r o b l e mo ff i n d i n gt h e s m a l l e s tp o s s i b l ep a r t 。f o rw h i c ht h ew a v ee q u a t i o nc a l lb ec o n t r o l l a b l ew i t hc o n t r o l s w o r k i n go no a na n s w e rt ot h i sq u e s t i o ni sg i v e ni nt h ew o r ko fb a r d o se t “81 w h e r et h ea u t h o r sf i n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ras e c o n do r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s w h e nt h ec o n t r o l sa r ee f f e c t i v ei na p a r to ft h ed o m a i n a m a r z o c c h ie t 9 1u s et h e a b o v et h e o r yt os h o ws t a b i l i t yr e s u l t sf o rc o m p o s e dm a t e r i a l s ( s e ef i g u r e1 ) 5 浑罂暑喜。 f i g u r e l i nt h i sp a p e r ，w ea l s os h o ws t a b i l i t yr e s u l t sf o rc o m p o s e dm a t e r i a l s ，t h a ti s ，w ew i l l c o n s i d e ram a t e r i a lw h i c hh a st h e r m o e l a s t i cp r o p e r t i e so v e rt h ef i r s tp a r tw h i l et h e o t h e rp a r ti si n d i f f e r e n tt ot h ec h a n g eo f t e m p e r a t u r e t h i ss y s t e mc a l lb ec o n s i d e r e d a sas y s t e mw i t hl o c a l i z e dd a m p i n g s i n c et h ed e n s i t ya n dt h ee l a s t i cc o e f f i c i e n t s o fe a c hc o m p o n e n ta r en o tn e c e s s a r i l yt h es a m e w eh a v et od e a lw i t has y s t e m w e8 2 em a i n l yi n t e r e s t e di nt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e s ，t h a ti s ，w h e t h e rt h ew e a k d i s s i p a t i o ne v e nb yt h et h e r m a le f f e c ti se a o u g ht os t a b i l i z et h es y s t e m w h e nt h i s d i s s i p a t i o ni se f f e c t i v eo n l yo v e rap a r to ft h em a t e r i a l l e tu sc o n s i d e rao n e - d i m e n s i o n a lb o d yw h i c hi sc o n f i g u r a t e d _ mt h ei n t e r v a l 0 ，三2 i cr g i v e n 1 ( 0 ，l 2 ) w ea s s u m ec h a t ，t h em a t e r i a li s t h e r m o e l a s t i co v e r ( 0 ，l 1 ) a n de l a s t i co n 1 ，l 2 ) ( s e ef i g u r e2 ) 泄therm写oelasic e l a s t i cp a r t f i g u r e2 l e t2 3 + u f z t 1b et h ep o s i t i o no ft h em a t e r i a lp a r t i c l eza tt i m eti nt h et h e r m o e l a s t i cp a r ta n dl e tu sd e n o t eb yz + v ( x ，t ) 、t h ep o s i t i o no nt h ee l a s t i cp a r t v c e d e n o t eb y0t h ed i f f e r e n c eo ft e m p e r a t u r eb e t w e e nt h ea c t u a ls t a t ea n dar e f e r e n c e 6 t e m p e r a t u r e t h e nt h es y s t e mt h a tm o d e l st h ea b o v es i t u a t i o ni sg i v e nb y u 比一a u + m 如+ ，沁) = h t 巩一女口“+ m “，= 幻 。一6 z = h 3 i n ( 0 ，l 1 ) ( 0 ，o 。) ， i n ( 0 ，l 1 ) ( 0 ，。) ， 打l ( l l ，l 2 ) ( 0 ，o 。) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) w h e r ea ，b ，a n dma r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，h i ：( 0 ，工1 ) 一r ( i = 1 ，2 ) a n d h a ：( l 1 l 2 ) 一ra r eg i v e n u n c t i o n sa n d ：r _ ri s an o n l i n e a rf i m e t i o n s w h o s ep r o p e r t i e sw i l lb es p e c i f i e dl a t e r t h es y s t e mi ss u b j e c t e dt ot h ef o l l o w i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n s ： “( o ，t ) = o ( o ，t ) = v ( l 2 ，t ) = 0 ，( 4 ) “( 三i ，t ) = ( 三i ，口“。( l i ，) 一m 目( 三i ， ) = b v 。( l t ， ( 5 ) 口。( l 1 ，t ) = 0 ( 6 ) a n di n i t i a 】c o n d i t i o n s u 扛，0 ) = u o ( x ) p ( 。，0 ) = 口o ( z ) 口( t0 ) 一v o ( x ) w ed e n o t e u d x ，0 ) = “1 0 ) v d x ，0 ) = ”1 扛) r ( 0 ，工l ) z f 0 ，l 1 ) z ( l 1 ，e 2 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) f ( s ) = f ( c s ) d c r - ， j 0 a n dw ea s s u m et h a tfs a t i s f i e s s ，( s ) 0 ， vs r ( 1 0 ) l e tu 3m e n t i o ns o n 3 eo t h e rp a p e r sr e l a t e dt ot h ep r o b l e m sw ea d d r e s s t h ea s y r a p - t o t i cb e h a v i o u ra s 一。o fs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n so fl i n e a rt h e r m o e l a s t i c in ri n ab o u n d e dd o m a i nh a sb e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r s i no n ed i m e n s i o n i ti sw e l l k n o w nt h a ts o l u t i o n sd e c a y ( t oz e r o ) e x p o n e n t i a l l yf o ra l lt h ec l a s s i c a b o u n d a r 、 c o n d i t i o n s ( s e e ，f o re x a m p l e ，r e f e r e n c e s 1 0 1 9 ) ，w h i l ei nt w oo rt h r e ed i m e n s i o n s t h es i t u a t i o nb e c o m e sm o r ed e l i c a t e d e f e r m o s 2 0 ( a l s oc f r e f e r e n c e s 2 1 2 2 1 ) i n v e s t i g a t e dt h el i n e a re q u a t i o n so fn - d i m e n s i o n a lt h e r m o e l a s t i c i t ya n ds h o w e dt h a t ， e g i ft h ed i s p l a c e m e n t “a n dt h et e m p e r a t u r ed i f f e r e n c e 目s a t i s 缸d i r i c h l e tb o u n d 7 a r yc o n d i t i o n t h e0t e n d st oz e r oa n d t e n d st oaf u n c t i o nda st i m et og o e st o i n f i n i t y , w h e t h e rt h ef u n c t i o nii sz e r o ，i td e p e n d so nt h eg e o m e t r yo ft h ed o m a i n ， e g 五= 0f o rar e c t a n g l eb u t 在0f o rt h e u n i tb a l li nr 2 h o w e v e r 。n od e c a y r a t ew a sg i v e ni nr e f e r e n c e s 2 0 ，2 2 】h e n r y 2 3 ，h e n r ye t 以 1 2 】p r o v e dt h a ti n m o r et h a no n ed i m e n s i o n ，t h e r ei sn 0u n i f o r md e c a yr a t eo fs o l u t i o n sf o ras p a t i a l l y p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o no rf o rt h ed o m a i nc o n t a i n i n gaf i n i t ec y l i n d e rw h o s e e n d sa r ei nt h eb o u n d a r y r a c k ef 2 4 】s t u d i e ds o m es p e c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d p r o v e dt h ee x p o n e n t i a ld e c a yo f0a n do ft h ec u r l - f r e ep a r to f r e c e n t ly 1j i a n g 酣d r 2 5 s h o wt h a ts o l u t i o n sw i t hs p h e r i c a ls y m m e t r yd e c a ye x p o n e n t i a l l yi nt h e a n n u l a rd o m a i n sw i t ha p p r o p r i a t e l yl a r g ed i a m e t e r w ea l s om e n t i o nt h ew o r k so f c a r v a l h op e r e i r aa n dp e r l am e n z a l a 2 6 w h os h o w e dt h a ti fa na d d i t i o n a ld a m p i n g t e r m “ti sa d d e dt ot h ee q u a t i o n s ，t h e ns o l u t i o n sc o n v e r g et oz e r oe x p o n e n t i a l l y s e e a l s or a c k e 2 4 】 t h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e ri st op r o v et h a ti nt h el i n e a rh o m o g e n e o u sc a s e ( ，i0 ，h i 0 ，i = 1 ，2 ，3 ) ，t h es o l u t i o no ft h ea b o v es y s t e mt e n d st o z e r o w i t ha ne x p o n e n t i a lr a t e ，a st i m eg o e st oi n f i n i t y , t h i si sa l s oi n t e r e s t i n gf r o ma p h y s i c a lp o i n to fv i e w ，s i n c et h i ss t a b i l i t yi sg i v e nf r o mt h et h e r m o e l a s t i cp r o p e r t y o ft h e ( p o s s i b l ys m a l l ) t h e r m o e l a s t i cp a r to ft h em a t e r i a la n df r o mt h eb o u n d a r y c o n d i t i o n ( 5 ) i nt h en o n - l i n e a rc a s e ，t h i sp r o p e r t yi sr e p l a c e db yt h ee x i s t e n c eo fa na b s o r b i n gs e ti nt h es p a c eo fs o l u t i o n sp r o v i d e dt h a tp ( t h el i p s c h i t zc o n s t a n to f ，) i s s u f f i c i e n t l ys m a l l i nc o m p a r i s o nt ot h ee n e r g yf u n c t i o nc h o s e n 8 c h a p t e r1 e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n s 1 1f u n c t i o n a ls e t t i n ga n dn o t a t i o n l e ticrb eab o u n d e di n t e r v a l w i t hu s u a ln o t a t i o nw ei n t r o d u c et h es p a c e s l 2 ( nh 1 ( j ) a c t i n go ni l e t ( ，- ) a n d l | d e n o t et h el 2 _ i n n e rp r o d u c ta n d l 2 _ n o r m ，r e s p e c t i v e l y , f 培w i l la l s oc o n s i d e rs p a c e so ff u n c t i o n sd e f i n e do n 肋i n t e r v a l1w i t hv a l u e si n ab a n a c hs p a c e sxs u c ha s c ( s ，x ) ，c 1 ( ，x ) ，l 9 ( ，x ) ，日9 ( ，x ) ，w i t ht h eu s u a l n o r i n s w ef u r t h e ri n t r o d u c et h ef o l l o w i n gs p a c e s ： h l 。( o ，l 0 = h 1 ( o ，l i ) ：( o ) = o 日2 ，( 工l ，e 2 ) = ( h 1 ( l t ，工2 ) ： ( f 2 ) = o ) v = ( u ，”) 砚。( o ，l 1 ) h l 。( l 1 l 2 ) ：u ( l t ) = ”( l 1 ) - 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