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第12章 机械振动 习题及答案 1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和 位移关系的？ （1） ；（2） ；(3) ；(4) . 答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。 对于简谐振动，有 ,故（3）表示简谐振动。 2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量 发生了变化？变化为原来的多少倍？ （1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度； （5）最大加速度。 解：当 时， （1）劲度系数k不变。 （2）频率不变。 （3）总机械能 （4）最大速度 (5) 最大加速度 3、劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的小球按题图所示的两种方式 连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧 的等效倔强系数为等效位移为，则有 又有 所以串联弹簧的等效倔强系数为 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故 小球作谐振动其振动周期为 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有，即，设并联弹簧的 倔强系数为，则有 故 同上理，其振动周期为 4. 完全相同的弹簧振子， 时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？ 解：对于弹簧振子， 时， , k m (a) k m v (b) k m v (c) k m (d) （a） ,故 ，故 （b） ，故 ，故 （c） ，故 ，故 （d） ,故 ，故 5、如图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角 为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为。先把物体托住， 使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动 周期 解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上 静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的 坐标为时，有 式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 令 则有 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 6、质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等? 解：(1)设谐振动的标准方程为，则知： 又 (2) 当时，有， 即 7、一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用 余弦函数表示如果时质点的状态分别是： (1)； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过处向负向运动； (4)过处向正向运动 试求出相应的初位相，并写出振动方程 解：因为 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位 相故有 8. 物体沿x轴作简谐振动，在 时刻，其坐标为 ,速度 ,加速度 ,试求： （1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。 解：设 ，则 时 (1) (2) cm 9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。 解：由旋转矢量图可知，当质点1在 处，且向左运动时，相位为 ； 而质点2在 处，且向右运动，相位为 （如图）。所以他们的相位差为 。 10、一质量为的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为求： (1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到处所需的最短时间； (3)在处物体的总能量 解：由题已知 又，时， 故振动方程为 (1)将代入得 方向指向坐标原点，即沿轴负向 (2)由题知，时， 时 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量 均为 11、图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程 解：由题图(a)，时， 即 故 由题图(b)时， 时， 又 故 12、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为10 cm，当物块离开平衡位置 6 cm时，速度为24 cm/s。问： （1）此简谐振动的周期是多少？ （2）物块速度为 12 cm/s时的位移是多少？ 解：设 ， 已知 ，故 , (1)当 （2）当 时 13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为a，今用手指沿竖直方 向将其慢慢压下，使其浸入部分高度为b，然后放手任其运动。试证明 若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并求出振动周期和振幅。 解： x b a O S x 设木块质量为m，底面积为S，水的密度为 ，木块受到重力 和浮力 . 平衡时， ,以水面上某点为原点，向上为x轴建立坐标系，则当木块在图示位置 时，合力为 由牛顿第二定律 故 可见，木块作简谐振动，振幅为 ， ， 14、有一单摆，摆长，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，若给小球一 水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点，求振动的初位相和角振幅， 并写出小球的振动方程 解：由动量定理，有 按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知时， 0 又 故其角振幅 小球的振动方程为 15、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与 第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以 及第一、第二两振动的位相差 解：由题意可做出旋转矢量图如下 由图知 设角，则 即 即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差为. 16、已知两简谐振动的振动方程分别为 和 ,试求其合成运动的振幅及初相。 解：由 ， 知： 合成震动振幅为 初相为 17、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： (1) (2) 解： (1) 合振幅 (2) 合振幅 18、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐 振方程。 解： 其