（控制理论与控制工程专业论文）基于梯度的双率采样数据系统辨识.pdf

摘要 摘要 多率系统广泛存在于工业过程中，例如，化工过程控制中的许多软测量问题可以归结为多 率系统建模，参数辨识或状态估计问题传统离散时间系统假设输入信号更新周期与输出信号 采样周期相同，称其为单率采样数据系统一些化工过程由于硬件条件限制，系统输出采样频 率比系统控制输入更新频率要慢，往往是连续输入好几个控制信号，然后才能采样得到一个控 制输出这样，在同一个控制系统中就出现了两组甚至多组不同频率的数据，对应的系统称为 双率( 多率) 采样系统寻求这类系统的有效参数辨识方法，具有重要的理论意义和实际应用价 值论文以国家自然科学基金项目一类非线性系统辨识建模理论与方法的研究为背景，开 展双率系统参数辨识方面的研究在查阅了许多双率( 多率) 辨识相关文献的基础上，通过对 双率采样数据系统利用多项式变换技术，寻求适合的可利用双率数据进行辨识的模型，深入研 究了基于随机梯度的双率采样数据系统的参数辨识问题，取得了下列研究成果 1 利用多项式变换技术，将损失观测数据a r 系统转化为可直接使用双率数据进行辨识的 a r m a 模型，推导出估计这个损失数据a r m a 系统的递推增广随机梯度算法由于随机 梯度的收敛速度比较慢，为了提高算法的跟踪性能，在算法中引入遗忘因子，得到了遗忘 因子递推增广随机梯度辨识算法在持续激励条件下，利用随机过程理论和鞅收敛定理证 明了提参数估计误差一致收敛于零用仿真例子说明了算法的有效性 2 研究了双率采样数据a r x 系统的参数辨识问题利用多项式变换技术将双率采样数据a i 议 系统转换为可直接使用双率数据进行辨识的双率a r m a x 模型，推导出估计这类双率系统 的遗忘因子递推增广随机梯度辨识算法也在持续激励条件下，分析了提出的双率参数估 计算法是一致收敛的，仿真例子说明提出的算法可以给出满意的参数估计 3 研究了有色噪声干扰双率系统的参数辨识问题当系统噪声分别为m a 模型、a r 模型和 a r m a 模型时，利用多项式变换技术将待辨识系统转换为可直接使用双率数据进行辨识的 模型，推导出备模型的基于随机梯度的参数辨识算法最后分别用仿真例子证明了各种算 法的有效性 4 基于辅助模型的思想，直接使用双率数据辨识双率采样输出误差滑动平均系统的参数，提 出了基于辅助模型的递推增广随机梯度算法，并用仿真例子说明了提出算法的有效性与 多项式变换技术相比，该方法明显减少了算法的计算量，且参数估计精度也是令人满意的 论文最后给出了一个总结和展望，并对双率系统研究所面临的一些困难和有待深入研究 的方向做了个简单介绍 关键词：双率系统，多项式变换，采样问输出，随机梯度，参数估计，辅助模型 a b s t r a c t a b s t r a c t m u l t i r a t es y s t e m sa r ea b u n d a n ti ni n d u s t r y ；f o re x a m p l e ，m a n ys o f t s e n s o rd e s i g np r o b l e m s a r er e l a t e dt om o d e l i n g ，p a r a m e t e ri d e n t n c a t i o n ，o rs t a t ee s t i m 8 t i o ni n v o l v i n gm u l t i r a t es y s t e m s t h ec o n v e n t l o n a ls a m p l e - d a t as y s t e m s ，w h o s eo u t p u t sa r es a m p l e da tt h es a m er a t e sa st h ec o n t r o l u p d a t i n gr a t e s ，a r ec a l l e ds i n g l 争r a t es y s t e m s i nm a n yi n d u s t r ya p p l i c a t i o n s ，t h eo u t p u t sa r es a m p l e d a ts l o 伧rr a t e st h a nt h ec o n t r o lu p d a t i n gr a t e s ，m o s t l yd u et oh a r d w a r el i m i t a t i o n i nt h i sc a s e ，t h e r e w i l lb et w oo re v e nm o r ed i 行e r e n to p e r a t i o nr a t e si nas y s t e m s u c hs y s t e m sa r en a m e da sd u a l - r a t e ( m u l t i r a t e ) s y s t e m s t h e r e f o r e ，s e a c h i n gf o re f i t i v ep a r a m e t e rd e e n i c a t i o no fd u a l - r a t e ( m u l t i r a t e ) s y s l e m si sn o to n l ys i g n i f j c a n t i nt h e o r y ，b u ta l s op o t e n t i a l l yv a l u a b l ei na p p l i c a t i o n s t h i st h e s i si s b a s e do nt h ep r o j e c t “s t u d yo fm o d e l l i n ga n di d e n t i 矗c a t i o no fac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m s ( t h e n a 乞i o n a ln a t u r es c i e n c ef b u n d a t i o no fc h i n a ) ”，a n dr e s e a r c h e sp a r a m e t e ri d e n t i n c a t i o no fd u a l r a t e s y s t e m s b a s e do ns o m ee x i s t i n gi d e n t i f i c a t i o nm e t h o d so fd u a l - r a t e ( m u l t i r a t e ) s y s t e m s ，t h et h e s i s m a i n l yf o c u s e so nt h ea p p r o p r i a t em o d e lt h a tc a nb ei d e n t i f i e dw i t hd ua 1 一r a t ei n p u t o u t p u td a t a b y u s i n gt h ep o l y n o m i a lt r a n s f o r m a t i o nt e c h n i q u e ，n e wa l g o r i t h m so fp a r a m e t e ri d e n t 侑c a t i o no fd u a l - r a t e s y s t e m sa r eo b t a i n e d ，a n dr e s u l t sa r ep r e s e n t e da sf o l l o w s 1 b yu s i n gp o l y n o m i a lt r a n s f 6 r m a t i o nt e c h n i q u et ot r a n s f o r ma rm o d e lw j t hm i s s i n go b s e r v a 尸 t i o nd a t ai n t oa i 气m am o d e lt h a tc a nb ei d e n t i f i e dw i t hd u a l r a t ei n p u t - o u t p u td a t ad i r e c t l y ，a r e c u r s i v ee x t e n i e ds t o c h a s t i cg r a d i e n ti d e n t i n c a t i o nm e t h o df o rt h ea r m as y s t e mw i t hm i s s i n g o b s e r v a t i o nd a t ai sp r o p o s e d t h es t o c h a s t i cg r a d i e n ta l g o r i t h mh a sl o wc o m p u t a t i o n a le h o r t ，b u t l t sc o n v e r g e n c ei sr e l a t i v e l ys l o w i no r d e rt oi m p r o v et h et r a c k i n gp e r f o r m a n c eo ft h es t o c h a s t i cg r a d i e n ta l g o r i t h m ，af o r g e t t i n gf 如t o ri si n t r o d u c e dt og e tt h ep e c u r s i v ee x t e n d e ds t o c h a s t i c g r a d i e n ta l g o r j t h mw 砒laf o r g e t t i n g t o r a s s u m et h a tt h es y s t e mj sc o n s i s t e n t l ye x c i l e d ，b y a p p l y i n gt h es t o c h a s t i cp r o e e s st h e o r e ma n dt h em a r t i n g a l ec o n v e r g e n c et h e o r e m ，、) l ，ec a np r o v e 化a tt h ep a r a m e t e re s t i m a t e se r r o r sa r ec o n s l s t e n t l yc o n v e r g et oz e r o f l n a l l y ，w et | e s te f f t l 、伧n e s s o ft h ea l g o r i t h mi n v o l v e db yas i m u l a t i o ne x a m p l e 2 s t u d y i n gi d e n t i n c a t l o nm e t h o d sf o rd u a 】一r a t es a m p l e d d a t aa r xm o d e l s b yu s i n gp o l y n o m i a l t r a n s f o r m a t i o nt e c h n i q u e ，d u a l r a t es a m p l e d d a t aa r xm o d e lc a nb et r a n s f o r m e di n t ot h ed u a l r a t ea r m a xm o d e lt h a tc a nb ei d e n t i 矗e dw i t hd ua 1 r a t ei n p u t o u t p u td a t ad i r e c t l y ，a n daf o r g e t - t i n gf a c t o rb a s e df e c u r s i v ee x t e n d e ds t o c h a s t i cg r a _ d i e n ti d e n t i 行c a t i o nm e t h o di sp r o p o s e d a l s o ， a s s u m et h a tt h es y s t e m sa r ep e r s i s t e n te x c i t a t 沁n ，w ep r o v et h a tt h ed u a l - r a 托p a r a m e t e re s t i m a t e m e t h o d sa r ec o n s i s t e n t l yc o n v e r g e n t f i n a l l y ，t h es i m u l a t i o ne x a m p l ei n d j c a t et h a tp a r a m e t e r e s t i m a t i o no ft h ea l g o r i t h mp r o p o s e di ss a t i s f y i n g 3 w h e nn o i s em o d e l sa r ea r ，m aa n da r m a ，r e s p e c t i v e l y ，w es t u d yi d e n t m c a t i o nm e t h o d sf o r d u a l r a t es a m p l e d d a t as y s t e m sw j t ht h ec o l o r e dn o i s e si n t e r f e r e d b yu s i n gp o l y n o m i a lt r a n s - i i i f o r m a t j o nt e c h n i q u et 0t r a n s f o r mt h e mi n t ot h e0 n e st h a tc a nb ei d e n t i 行e dd i n e c t l yu s i n gt h e o b s e r v i n gd a t a ，as e r i e s0 fs t o c h a s t i cg r a d i e n tb a s e di d e n t i 行c a t i o n m e t h o d sa r ep r o p o s e d f l - n a l ly ，w et e s tt h ea l g o r j t h m sp r o p o s e dl nt h e s l sb ys o m es i m u l a t i o ne x a m p l e sa n ds t l o wt h e i r e f f b c t i v e n e s s 4 b a s e do nt h ea u x i l i um o d e l ，i d e n t i f yt h ep a r a m e t e r so ft h ed u a l r a t es a m p l e do e m a s y s t e m sb y u s i n gt h ed u a l r a t es a m p l e dd a t ad i r e c t l y a n dar e c u r s i v ee x t e n d e ds t o c h a s t i cg r a d i e n tb a s e dt h e a u x i l i r vm o d e li d e n t i 矗c a t i o nm e t h o di sp r o p o s e d ，a n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tt h e s e m e t h o d sp r o p o s e da r ee 任t i v e c o m p a r e dw i t ht h ep o l y n o m i a lt r a n s f o r m 枷o n 乞e c h n l q u e ，t h e a l g o r i t h mw ep r e s e n t e dr e d u c e st h ee o m p u t a t i o n a le 勖r t so b v i o u s l y ，a n dt h e e s t i m a t ee r r o rr a t i o i sa l s os a t i s f y i n g f i n a l l y ，as i m p l ec o n c l u s j o na n dp r o s p e c to ft h i s t h e s i si sg i v e n t h ed i 弼c u l t i e sa n df u r t h e r o b l e c t ，i v e so fd u “r a t ep r o b l e m sa r ea l s os i m p l yo u t l i n e di nt h ee n d k e y w o r d s ：d u a l r a t es y s t e m s ，p 0 1 y n o m i a lt r a n s f o r m a t i o n ，i n t e r s a m p l eo u t p u t s ，s t o c h a s t i cg r a 广 d i e n t ，p a r a m e t e re s t i m a t o n ，a u x i l i a r ym o d e l s i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构迭交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签 导师签 日期： 第一章概论 1 1 问题提出与研究意义 第一章概论 1 问题提出 存在两种及两种以上操作频率的系统称为多率系统例如，对于离散时间系统，当控制 的刷新周期与输出的采样周期不相同时，我们就得到了一个最简单的多率( m u l t i r a t e ) 系统 一双率( d u a l r a t e ) 系统当控制输入刷新周期与输出采样周期相等时，则得到传统采样数 据系统，单率( s i n g l e r a t e ) 系统单率系统是多率系统的一个特例方崇智和萧德云的过 程辨识i ，瑞典学者l j u n g 的系统辨识：使用者的理论 l2 i ，澳大利亚学者g o o d w i n 和s i n 的a d a p t i v ef i l t e r i n g ，p r e d i c t i o na n dc o n t r o l 【3 】都是讨论单率系统的辨识和控 制问题的 传统采样数据系统即单率系统，它只适用于系统输入和输出在每个采样点都是可得到 的情形然而，实际工业过程中更多情形是：系统某些变量并不是在每个采样点都是可测 的( 只是部分可测的) ，甚至有些被控变量是根本不可能测量得到的，导致系统信息不完整 或存在数据损失情况，出现数据采样频率不同例如，在化工过程控制中，某些化工产品 的质量数据( 炼油厂汽油辛烷值【圳，精馏塔熔融指数【5 】等) 不能直接在线量测，需取样经 过实验室化验分析得到，通常需要几分钟，甚至几十分钟，而控制信号的刷新频率却相对 较快，可能只有秒数量级这样，在同一个控制系统中就出现了两组甚至多组不同频率的 数据，这就是多率( m u l t i r a t e ) 采样问题对于离散时间系统，当控制的刷新周期n 与输出 的采样周期乃不相同( 死孔) 时，我们就得到了一个最简单的多率( m u l t i r a l e ) 系统一双 率( d u a l r a t e ) 系统，如图1 1 所示，其中r 为连续过程，乱c ( ) 为控制输入，秒。( ) 为系统 图1 1 双率采样数据系统 f i g 1 1 t h ed u a l r a t es a m p l e d d a t as y s t e m s 输出，地代表周期为孔的零阶保持器，代表周期为乃的采样器，( 尼易) 为纨( t ) 的周期为死的采样信号由于采用零阶保持技术，故缸c ( ) 与离散信号钆( 惫乃) 有关系： u c ( t ) = 乱( 惫乃) ，七孔t ( 七+ 1 ) 乃，t = 0 ，1 ，2 ， 对于如图1 。1 所示的采样时间系统，假设尼经离散化得到的单率系统p l 具有如下形式的 传递函数 眦) = 筹， 江南大学硕士学位论文 其中 口( z ) = 1 + n l z 一1 + 口2 z 一2 + + z n ， 6 ( z ) = 6 1 z 一1 + 6 2 名一2 + + 6 n z n ， z _ 1 表示单位后移算子，即有：z - 1 乱( ) = u ( t 一1 ) 当口= 1 ( 即乃= 死) 时，便得到了传统的 采样数据系统，即单率系统当控制输入的采样周期( 刷新周期) 和控制输出的采样周期不 一致时，我们就得到了一个双率系统，它是一类最简单的多率系统简单双率系统又是双 率系统中最简单的一种情况所谓简单双率系统，就是对于离散时问系统，控制的刷新周 期乃与输出的采样周期m 2 不相等，而且乃是乃的整数倍，即有正= 口乃，口是大于1 的 正整数在不至于混淆的前提下，为了方便，我们省略掉 ，记u ( 后) = u ( 七九) ，( 幻) = ( 七口忽) 实际可测量得到的数据为 1 快速率刷新的输入数据： u ( 七) ，七= o ，l ，2 ，) ； 2 慢速率采样的输出数据： 耖( 凫口) ，克= o ，1 ，2 ，) 而采样间输出( 损失输出) 数据耖( 七啦+ t 尼) = 秒( 七口+ z ) ，t = 1 ，2 ，g t ，是不可得到的( 如 传感器等硬件限制) 目前，多率系统是一个极其活跃的研究领域，仍然是国际过程控制领域的研究热点近 1 0 余年来，多率系统不仅在石油化工过程控制方面得到了成功应用1 4 6 引，在理论方面也取 得了一系列研究成果，其研究活动涉及多率系统的能控性和能观测性1 8 】，多率系统的自适 应控制【7 一，多率系统的预测控制f 8 ，1 0 ，1 1 | ，多率信号处理1 1 2 1 4 】，多率系统模型辨识【1 5 川j ， 非均匀采样多率系统的模型及辨识| 8 1 8 】等等 2 研究意义 本课题是以国家自然科学基金面上项目一类非线性系统辨识建模理论与方法的研究 ( 6 0 5 7 4 0 5 1 ) ( 2 0 0 6 0 1 2 0 0 8 1 2 ) 为背景展开的纵观近几年国内自动化领域的几个核心 刊物控制理论与应用、自动化学报和控制与决策等，有少数文章讨论多率采 样系统的控制问题，几乎没有文章涉及多率系统的建模与辨识问题多率系统的研究已有 半个世纪的历史，只是近1 0 余年来，人们认识到传统的同周期采样系统控制方法的局限 性，各种多率系统控制方法相继问世，但是都假设多率系统模型参数是已知的，实际中要 知道模型参数可能比控制问题本身更难因此，多率采样控制系统建模理论与参数辨识方 法是急需解决的基本理论和应用课题 1 2 系统辨识方法综述 1 双率多率系统的辨识 多率系统广泛存在于工业过程中，例如，化工过程控制中的许多软测量问题就可以归 结为多率系统建模、参数辨识或状态估计问题多率系统的研究可追溯到上个世纪5 0 年 代，现在已成为控制领域的一个极其活跃的主要研究分支对于这方面的内容，在下一节 2 第一章概论 我们将对其作比较详细的表述 2 基于辅助模型方法 对于输出误差( o e ) 模型，常规最小二乘法不可能给出o e 模型参数的一致估计；而 用递推增广最小二乘法估计o e 模型的参数，不仅增加了系统待辨识参数数目，而且加大 了算法的计算量辅助模型辨识方法是辨识o e 模型参数的一种有效方法，它是丁锋和谢 新民1 9 9 1 年提出的，主要用于解决系统状态或输出不可测量的辨识问题辅助模型辨识 是借助于辅助模型的输出代替系统的真实输出或者不可测变量的一种辨识方法，最终使辅 助模型的输出逼近系统的真实输出，获得系统的一致参数估计丁锋和谢新民分别用辅助 模型方法估计多变量系统传递函数阵子子模型和o e 模型的参数，并在噪声方差无界或条 件数无界等较弱的假设下研究了辅助模型算法，它的参数估计仍然是一致收敛的 3 多新息辨识理论 由于实际中会产生坏数据，而常规辨识算法对坏数据比较敏感，因此研究克服坏数据 影响的辨识方法成为必然多新息辨识算法就是为了解决这个问题而被提出的辨识方法， 如最小二乘类、最小均方类等，的一个共同特点都是利用新息修正技术的辨识方法， 可( ) = 妒t ) p + 秽( z ) ，( ) r 1 ，妒( t ) r 亿，p 舻，口 ) r 1 ， 估计参数日的辨识算法可表示为 p ( ) = 口 一1 ) + l ( ) e ( ) 其中三( ) r “增益向量，e ( ) = ( z ) 一妒t ( t ) p ( 一1 ) 是新息 对于标量系统而言，e ( ) 为标量它仅仅利用了迭代过程中单步的新息，因此我们称之 为单新息辨识( s i n 9 1 昏i n n o v a t i o n ) 多新息修正技术是单新息修正技术的推广对标量系统而 言，多新息辨识算法是通过新息向量，即多新息( m u l t i i n n o v a t i o n ) 来进行修正的一种参数 估计方法，即后一时刻的参数估计舀( z 。) 是在a ( 。一1 ) 的基础上依靠增益矩阵r ( p ，如) r 佗p 与新息向量( 多新息) e ( p ，如) r p 的乘积来修正的0 为新息长度) ，亦即 日( 。) = p ( t 。一1 ) + r ( p ，t 。) e ( p ，。) 新息向量( 多新息) e p ，以) 包括了迭代过程中多步的新息，多新息辨识方法也是由此而得 名多新息辨识方法拓宽了先前( 单) 新息辨识的概念，改善了已有辨识算法的性能，丰富 了随机系统的辨识方法多新息修正的思想可以引入到多种辨识方法中，可对已有的辨识 方法产生重大的影响，最初用类比方法，直接给出了变迭代间隔多新息广义投影辨识算法 的数学表达式当时尚无法给出详细的理论推导，后经过深入的研究，从理论以上详细推 导了多新息随机梯度辨识算法、多新息投影辨识算法、多新息最小二乘辨识算法，变迭代 间隔多新息最小二乘算法等等这使得多新息辨识算法有了严密的数学基础1 1 9 22 1 近年 来多新息最小二乘算法已经应用于多入单出辅助模型系统的参数估计| 幻j ，多新息投影算 3 江南大学硕士学位论文 法在时变多变量系统的均方收敛性中得到了充分的应用【2 多新息随机梯度算法的应用 就更为广泛，它是系统辨识和参数估计的一种基本方法，由于采用了间断迭代，因此可以 克服坏数据对参数估计的影响，具有较强的鲁棒性，又可以跟踪时变参数1 2 2 j 因此本文将 研究多新息辨识方法算法的收敛性分析一直是辨识领域十分关注的一个问题，包括不同 激励条件下的收敛性分析，以及有界收敛、一致收敛、收敛速度和误差界大小等，对于新 提出的辨识算法，将其应用到不同模型中的收敛性也将是不断需要研究的一个问题因此 收敛性分析是本文中的一个重要内容 4 递阶辨识方法 对于维数高、待估计的参数数目多的大系统，辨识方法的计算量和存储量急剧增加， 以致常规辨识算法难以实现，这就是所谓的“维数灾”为此，我们必须提出计算量较小的 辨识算法以解决这个问题丁锋等提出了递阶辨识方法，显著减少了辨识的计算量，并用 鞅超收敛定理证明了它的收敛性 递阶辨识的基本原理是：首先将大系统分解为多个维数较小、变量数目较少的子系统， 然后分别估计每个子系统的参数但是，由于各子系统间存在关联变量，也就是说第i 个 子系统包含了其它一些子系统的未知参数向量p j ( 歹t ) ，使得迭代计算难以进行为了解 决这一问题，在计算t 时刻吼的估计时，其它子系统的未知参数彤( 歹t ) 用它们在( t 1 ) 时刻的估计值p ，( 一1 ) 代替 递阶辨识算法可以用于估计大系统的参数，具有良好的性能递阶最小二乘辨识的计 算量就比递推最小二乘辨识要小得多，因而具有占用内存少，容易实现的优点递阶辨识 中递阶分解的思想应用在传递函数阵的辨识上就产生了传递函数阵主模型和子模型的递阶 辨识算法大系统递阶辨识是把系统的参数分解为多个维数较小的参数向量( 或矩阵) 进行 辨识，而多变量系统传递函数阵主模型的递阶辨识，是把系统的参数分解为参数向量和参 数矩阵，然后分别进行辨识传递函数阵主模型的参数向量是由系统的分母( 特征) 多项式 的系数构成的，而参数矩阵是由传递函数阵的各分子多项式的系数构成的 1 3 多率系统辨识方法综述 多率系统的研究可以追溯到上世纪5 0 年代，第一个重要工作是k r a n c1 9 5 7 年提出的开关 分解技术( 即后来的提升技术) i2 3 | 一个多率采样数据系统总是一个时变系统，即使对应的连续 系统是时不变的后来由n i e d l a n d 和k h a r g o n e c l ( a r 等人引入提升技术1 2 4 2 5 j ，可将一个周期离 散时变系统化为一个时不变系统现在，提升技术已成为处理多率系统的一个标准工具在随 后，特别是最近的2 0 几年时间里，多率系统的研究得到了国内外大量学者的关注目前，多 率系统是一个极其活跃的研究领域，仍然是国际过程控制领域的研究热点除上述提升技术以 外，另有一些比较成熟的方法可以处理多率系统问题接下来，我们将对这些方法逐一介绍 1 基于提升技术 4 第一章概论 处理多率系统的标准技术在信号领域中被称为块技术，在控制中称为提升技术提升 技术的定义可以简单表述如下： 设钆( ) 是一个定义在o ，1 ，2 ，上的离散时间信号序列，它可以表示为 u = 乱( o ) ，牡( 1 ) ，让( 2 ) ，u ( z ) ，) 对于整数g l ，定义口重提升算子k 和g 重提升信号序列笪( t ) ，信号u ( ) 与提升信号笪( ) 满足关系下列关系式 笪( t ) = l 口u ， 其中 笪( ) ： 让( o ) 乱( 1 ) 乱( g 1 ) u ( g ) 让( g + 1 ) 钍( 2 9 一1 ) 乱( 班) t 正( 酊+ 1 ) 乱( g + g 一1 ) 从以上定义可以看出：提升运算并没有产生信息损失，提升信号堑( ) 的维数是原信号扎( ) 的口倍如果u ( ) 的内在周期是危，那么提升信号丝( ) 的内在周期就是北不难发现，逆算 子巧1 ( 映射堑( ) 到乱( ) ) 与算子岛满足等式：巧1 岛= ，岛巧1 = ，式中，为适当 维数的单位矩阵提升技术可以把一个周期时变系统变换成一个时不变系统系统提升以 后，提升系统肯定是一个多输入多输出的系统，即使对应的连续系统是但输入单输出的， 文献f 2 6 】就是利用提升技术得到线性时不变系统的 对于图1 1 所示的双率系统，在输出采样周期乃= 以内，得到1 个输出采样和口个 输入采样数据为了便于处理，将每g 个输入放到一起，构成一个提升的输入向量，那么 就得到周期正= 加上的一个线性时不变多输入单输出系统( 如果对应的连续系统是单输 出的) 假设图1 中r 经采样周期允离散化后得到的状态空间模型为： jz ( + 1 ) g ) = a 。( 班) + b 孔( 班) ，口，、 ig ( q t )= c z ( 班) + d 乱( g ) 、 运用提升技术，得到提升系统的状态空间模型p 口： j2 ( o + 1 ) 譬) = a g z ( 譬) + 【a 旷1 b ，a g - 2 b ，b 】望( g ) ，n3 们 iy ( g ) = ( 了z ( 口) + 【d ，o ，o ，o 】堑( g ) ， 、7 式中 墼( 譬) = 乱( 舛) 乱( 舛+ 1 ) 钍( 班+ 口一1 ) 5 江南大学硕士学位论文 为提升输入向量由于系统提升，使得提升后的系统是一个具有因果约束的、具有更多变 量的多变量系统( 即使对应的连续系统是一个单输入单输出系统也如此) 与常规单率系统 辨识方法不同的是：研究多率系统的辨识问题，需要考虑这一因果约束；同时需要研究如 何从提升的多率模型抽取单率模型r 映射了可得到的输入输出数据之间的关系根据 式( 1 3 2 ) 可以得到对应单率系统的多率模型，相反，只要提升系统时可控和可观测的，我 们可以从式( 1 3 2 ) 得到与它对应的单率模型 2 基于辅助模型方法 辅助模型辨识思想可以用来有效地解决这类双率系统单率模型的辨识问题辅助模 型辨识方法是借助一个辅助模型，用辅助模型的输出代替系统的不可测变量的一种辨识方 法，通过选择合适的辅助模型，使得辅助模型的输出逼近不可测变量，从而获得系统的一致 参数估计辅助模型选择的不同直接决定了系统参数辨识的精度以及收敛的速度等特性 文献【2 7 】和1 2 8 】就是分别采用单率模型的估计作为辅助模型以及对应于单率系统的有限脉 冲响应( f i r ) 模型作为辅助模型来估计系统采样间( 损失) 输出，再结合可测得的输出，构 成快速率的反馈输出 出于习惯的考虑，本文在推导各模型参数辨识算法的过程中用来代替惫 设双率系统对应的单率系统是o e 模型； 酢) = 器邮m ， ( 1 3 3 ) 其中 钍( t ) ) 和 ( ) ) 分别为系统的输入和输出序列， ( t ) ) 为零均值、不相关随机白噪声 序列( 不可测) ，a ( z ) 和b ( z ) 均为单位后移算子z _ 1 的多项式【z - 1 耖( t ) = 秒( t 一1 ) ，2 _ 1 秒( 口z ) = 耖( 口一1 ) 和z g 耖( g t ) = 秒( ( 一1 ) q ) 】，且 a ( z ) = 1 + n l z 一1 + a 2 z 一2 + + 口n z n ， b ( 2 ) = 6 1 彳一1 + 6 2 z z + + 6 n z 一佗 不妨假设t o 时，u ( t ) = o ，( t ) = o ，钞( ) = o ，且阶次扎为已知 根据辅助模型辨识的基本思想，先定义系统模型输出为 z ( t ) = p 1 ( z ) 钍( 危) = 箦让( z ) ， ( 1 3 4 ) 其中z ( ) 也称无噪输出( 不可得到) 将式( 1 3 4 ) 代入式( 1 3 3 ) 得到 暑( t ) = z ( 亡) + u ) ( 1 3 5 ) 接下来的目标就是借助于一个辅助模型( 参见图1 2 ) ，利用可得到的双率数据 乱( ) ，秒( g ) ： z = 1 ，2 ，) ，来研究双率系统( 1 3 3 ) 以及系统模型输出z ( ) 的估计问题其基本思想是通 过辅助模型预测原系统模型的输出z ( t ) ，进一步使用系统输入u ( ) 和这个预测输出z 口( ) ( 即 辅助模型输出) ，来辨识模型( 1 3 3 ) 的参数主要思路如下 6 第一章概论 u ( ) 图1 2带辅助模型的o e 模型描述的系统 f i g 1 2 t h eo es y s t e m sw i t ht h ea u x i l i a r ym o d e l 定义单率模型( 1 3 5 ) 的参数向量和信息向量分别为 日= 【口l ，n 2 ，6 l ，6 n 】t r 扎o ，伽= 2 咒， 垆o ( ) = 卜- z ( t 一1 ) ，一z ( 一2 ) ，一z ( 一n ) ，钍( 一1 ) ，乱 一2 ) ，让( t 一礼) 】t 从( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) ，容易得到 2 ( t ) = 垆否( ) p ，秒( t ) = 垆苫( ) a + u ( ) ( 1 3 6 ) 如果z ( t ) 已知，那么我们可以用常规的方法( 如标准最小二乘算法、随机梯度算法等) 来 估计式( 1 3 5 ) 中未知参数向量口，但是，在模型( 1 3 5 ) 中除了系统参数向量p 是未知的， 信息向量妒o ( ) 中的真实输出z 也是未知的，使得上述常规算法无法利用，这是困难所 在这里我们采用的方法是借助于一个辅助模型同时估计系统参数和系统输出，也称联合 参数和输出估计方法 为了递归计算口的估计，须把妒o ( z ) 中的未知输出z 一t ) 用辅助模型的输出z a ( t t ) 代替： z 8 ( ) = r ( 名) u 0 ) ，或z a ( ) = 妒三( ) 口a ， ( 1 3 7 ) 其中只( 名) 是辅助模型的传递函数，簖( ) 和p a 分别是时刻辅助模型的信息向量和参数 向量这里通过把辅助模型的输出z a ( t ) 作为o ( ) 的估计，便可解决口的辨识问题 如果把p 1 ( z ) 的估计作为辅助模型只( 2 ) ，取p a 为p 在z 时刻的估计p ( ) ，则有 垆( ) = f - 一z a 一1 ) ，一z a ( t 一2 ) ，一z a ( 一佗) ，钆( 一1 ) ，钍( t 一2 ) ，乱( 一n ) 1 t 用妒( 幻代替垆o ( ) ，基于这个思想的辨识方法即是所谓的辅助模型辨识方法或输出估计方 法1 2 9 ，3 0 i 当然，辅助模型的选择并不是唯一的，也可以把对应于单率系统的有限响应模型 作为辅助模型l 2 7 | 为了辨识参数日，式( 1 3 6 ) 需要转换成可以直接使用双率数据 乱( t ) ，3 ，( ) 的形式用 g t 代替式( 1 3 6 ) 中的，可得 耖( 口) = z ( 口t ) + u ( g ) = 妒a ( 口) 口+ 秒( 口t ) ，( 1 3 8 ) 7 江南大学硕士学位论文 其中 妒o ( 口) = 【一z ( 口t 一1 ) ，一z ( 班一2 ) ，一z ( 一亿) ，u ( 班一1 ) ，让( 口一2 ) ，乱( 班一礼) 】t ( 1 3 9 ) 假设台( 班) 为p 在口时刻的估计用妒( 班) 代替妒o ( 班) ，容易得到借助辅助模型的估计式 ( 1 3 8 ) 参数向量p 的递推随机梯度算法： 呦颉沪口) + 器附卜以) 】， p ( g + t ) = p ( g ) ，t = 1 ，2 ，g 一1 ， r ( 口) = r ( 口一口) + i | 妒( 班) l | 2 ，r ( o ) = 1 ， 妒( 班) = f z a ( 班一1 ) ，一髫a ( 班一2 ) ，一z a ( 班一扎) ，钍( 舛一1 ) ，t 上( 班一n ) 】t 从式( 1 3 7 ) 得到辅助模型 ( 1 3 1 0 ) ( 1 3 1 1 ) ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) z a ( 口+ t ) = 垆1 。( 班+ t ) 口( 口) ，i = o ，l ，口一1 ，( 1 3 1 4 ) p ( g ) = l a l ( g t ) ，a 2 ( g ) ，a n ( g t ) ，6 l ( q ) ，6 2 ( g t ) ，6 。( g t ) 1 1 。 ( 1 3 1 5 ) 式( 1 3 1 0 ) 一式( 1 3 1 5 ) 即为利用双率数据直接辨识模型( 1 3 8 ) 中口的基于辅助模型的递推 随机梯度算法( 简称d r _ a m s g ) 这个算法是联合参数和输出同时估计算法在d r - a m s g 算法中，辅助模型的参数向量和信息向量分别为p a ( g ) = 台( 口) 和妒a ( 班) = 妒( 舛) 为了改进算法的跟踪能力，可在式( 1 3 1 2 ) 中引入一遗忘因子a ，得到 r ( g ) = 入r ( 班一g ) + 0 妒( 口) 1 1 2 ，0 入1 ，r ( 0 ) = 1 ( 1 3 1 6 ) 式( 1 3 1 0 ) ( 1 3 1 1 ) 和式( 1 3 1 3 ) 一( 1 3 1 6 ) 称之为基于辅助模型的遗忘因子递推随机梯度算法 ( d 艮a m f g ) 当入= 1 时，d r - a m f g 算法就是d r - a m s g 算法；当入= o 时，d r - a m f g 算法就退化为基于辅助模型