（应用数学专业论文）体上循环矩阵理论及其在编码中的应用.pdf

中文摘要 中文摘要 伊 m u i r t 直到1 9 5 0 年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够 重视，百余年来已有许多研究成果特别是5 0 年代后，随着高新科技尤其是计算 技术的迅速发展，这一特殊类型的矩阵在众多的科学和工程领域，如编码和统计， 石油勘探和结构分析，以及数字图像处理等许多方面获得愈来愈广泛的应用，面 目为之一新 循环码是一类最重要的线性码，它具有严谨的代数结构，其性能易于分析 特别是目前已发现的大部分线性码与循环码有密切关系，它们之中的大部分码都 可以归结于循环码另外，循环码具有循环的特性，编译码电路，特别是编码电 路简单易于实现由于环上的码具有编译码简单，更易于实现等优点，使得环上 鲤堕里堡迨墼丛壅盛丝i 垫直 - - _ 、j ，_ 。- - _ _ 一， 本文着重讨论了体上的循环矩阵理论及其在编码中的应用，最后所得结论具 有一定的理论意义和应用价值研究分为j 个方面：一是定义了体上的循环矩阵 并研究了它的性质定理；二是研究了一些体上的循环矩阵的逆的求法；三是研究 了体上的循环矩阵在编码理论中的一些应用 具鼬容如下，简单介绍了循环矩阵以及其在编码中应用的研究背景；回顾 了文中将要用到的一些基本概念和结论；通过比较体与域里运算的不同，定义了 体上的循环矩阵并研究了它的性质定理；通过研究体与域里运算的不同，研究了 一些体上的循环矩阵的逆的求法；定义了体上线性码及循环码，研究了体上的循 环矩阵在编码理论中的一些应用；通过分析循环码的重要性质，利用矩阵的初等 变换给出求循环码的生成多项式的一种简便方法 关键词：循环矩阵；体与域；矩阵的逆；线性码；循环码：初等变换 ：- _ 、“ a b s t r a c t a b s t r a c t c i r c l em a t r i xi san e ws u b j e c t t h ec o n c e p to fc i r c l em a t r i xi sa d v a n c e db y m u i r t w h oi sas c h o l a ro fa m e r i c a n b e f o r et h ey e a ro f19 5 0 t h er e s e a r c ha b o u t c i r c l em a t r i xd i d n tb er e c o g n i t i o nb ym o s to ft h es c h o l a r s ，t h o s ey e a r s ，e s p e c i a l l y a f t e rt h ey e a ro f19 5 0 ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e m t e c h n o l o g y , p e o p l ef o u n dt h a t c i r c l em a t r i xh a dm a n ya p p l i c a t i o ni nf a c t s u c ha sc o d i n g ；s t a t ；g e o m e t r y ；o i l r e c o n n a i s s a n c e ；c o n f i g u r a t i o na n a l y s e ；t r e a t i n gn u m e r a li m a g ea n ds oo n t h e r ea r e m o r ea n dm o r ea p p l i c a t i o ni nt h o s ea s p e c t i n t h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h et h e o r yo fc i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l da n di t s a p p l i c a t i o ni nc o d i n gt h e o r y , t h ec o n c l u s i o nw eg o ti nt h el a s th a v es o m et h e o r ys e n s e a n da p p l i c a t i o nv a l u e t h i ss t u d ym o s t l yb ed i s c u s st ot h r e ea s p e c t s ：f i r s t ，d e f i n e d c i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l da n dd i s c u s st h et h e o r yo fi t sp r o p e r t y ；s e c o n d ，d i s c u s st h e w a yt og e tt h ec o n t r a d i c t i o no fc i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l d ；t h i r d ，s t u d yt h e a p p l i c a t i o no f c i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l do nt h et h e o r yo f c o d i n g t h em o s t l yc o n t e n t sa r ea sf o l l o w i n g ，i n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h et h e o r y o fc i r c l em a t r i xa n dt h ea p p l i c a t i o no fc i r c l em a t r i xo nt h et h e o r yo fc o d i n gi nb r i e f ； l o o kb a c kt h ec o n c l u t i o na n db a s i cn o t i o nw h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r ：f r o m c o m p a r i n gt h ed i f f e r e n to p e r a t i o nb e t w e e nf i e l da n ds k e wf i e l d ，d e f i n d e dt h et h e o r yo f c i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l da n dt h ea p p l i c a t i o no fc i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l do nt h e t h e o r yo fc o d i n g ；b yc o m p a r i n gt h ed i f f e r e n to p e r a t i o nb e t w e e nf i e l da n ds k e wf i e l d ， d i s c u s st h ew a yt og e tt h ec o n t r a d i c t i o no fc i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l d ；d e f i n e dt h e l i n e a r i t yc o d ea n dc i r c l ec o d eo ns k e wf i e l d ，d i s c u s st h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r yo f c i r c l em a t r i xo ns k e wf i e l di nc o d i n gt h e o r y ；f r o ma n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r so fc i r c l e c o d e ，g e tas i m p l em e t h o do ft h ew a y t ow o r k o u tt h ec r e a t i o np o l y n o m i a lo fc i r c u l a r c o d ew i t hp r i m a r yt r a n s f 0 1 1 1 1o fm a t r i x k e y w o r d s ：c i r c l em a t r i x ；f i e l da n ds k e wf i e l d ；t h ec o n t r a d i c t i o no fc i r c l e m a t r i x ；l i n e a r i t yc o d e ；c i r c l ec o d e ；p r i m a r yt r a n s f o r m 天津工业人学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果， 除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得丞宣墨些本堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：篁函 签字日期：少嵋年f 月j 厂日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞墨些盘堂有关保留、使用学位论文的规定特授权 墨鲞兰些盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向田家有关部| j 或机构送 交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 青少 设纠夏艚 轹 溯 到 阳 礁 字 i y ，窆 鼢 签 卅 口曰 旧 垂叩 名 手 鹳 降 者 川 燃 础 主要创新点 学位论文的主要创新点 循环矩阵的理论人们已经研究了一百多年，循环码是一类最重要 的线性码，它具有严谨的代数结构，其性能易于分析特别是目前已 发现的大部分线性码与循环码有密切关系，它们之中的大部分码都可 以归结于循环码另外，循环码具有循环的特性，编译码电路，特别 是编码电路简单易于实现由于环上的码具有编译码简单，更易于实 现等优点，使得环上的编码理论的研究成为了热点本文研究了一般 环上的循环码及循环矩阵的理论，给出了一些定义及相关的性质定理 及这些性质定理的证明，最后所得结论具有一定的理论意义和应用价 值，其主要创新点体现在以下几个方面： 一、定义了体上循环矩阵，反循环矩阵及对称循环矩阵和对称反 循环矩阵 二、指出并证明了体上循环矩阵的一些性质 三、研究了一些体上循环矩阵的逆矩阵的求法 四、给出了体上循环矩阵理论在编码中的一些应用 第一章前言 第一章前言 1 1 循环矩阵及循环码的研究背景 循环矩阵是- n 年轻的学科，循环矩阵概念的出现始于1 8 8 5 年美国学者 m u i r t 直到1 9 5 0 年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够 重视，百余年来已有许多研究成果特别是5 0 年代后，随着高新科技尤其是计算 技术的迅速发展，这一特殊类型的矩阵在众多的科学和工程领域，如编码和统计， 石油勘探和结构分析，以及数字图像处理等许多方面获得愈来愈广泛的应用，面 目为之一新 循环码是一类最重要的线性码，它具有严谨的代数结构，其性能易于分析 特别是目前已发现的大部分线性码与循环码有密切关系，它们之巾的大部分码都 可以归结于循环码另外，循环码具有循环的特性，编译码电路，特别是编码电 路简单易于实现 循环码是一类重要的纠错码，无论是在理论上还是在应用上都具有很重要 的研究价值目前，国内外大部分的文献对循环码的研究只限制在生成多项式没 有重根，即当码长刀与环或域的特征互素的情况下一般考察r 上的长度为”的循 环码的结构，关键是将其视为多项式剩余类环( x n o r f x l 的理想但是，当刀与 r 的特征不互素时，多项式，一1 有重根，而且分解不唯一，在这种情况下循环码 的结构研究就变得很复杂对于一般的环r 上的非空子集r 称为r 上的长为刀的 码环r 上的线性码指的是r 的一个加法子模设c 是环r 上一个长为n 的线性码， 如果对任意c = ( c 1 , c 2 ，厶) c 都有c = h ，c l ，。) c ，则称c 为循环码：如果对 任意c = “，c 2 ，厶) c 都有c = ( 鸭，c l ，c ) c ，w e r ，则称c 为w 一常循环 码 由于环上的码具有编译码简单，更易于实现等优点，使得环上的编码理论 的研究成为了热点，本文研究了一般环上的循环矩阵理论及环上循环码，给出了 一些定义及相关的性质定理及这些性质定理的证明，所得结论具有一定的理论意 义和应用价值 1 2 论文工作及内容安排 第一章前言 本文主要是研究循环矩阵在体上的推广，主要研究它的定义及一些性质 定理，以及其在求矩阵的逆t l - 的应用等，研究分为三个方面：一是定义了体上的 循环矩阵并研究了它的性质定理；二是研究了一些体上的循环矩阵的逆的求法； 三是研究了体上的循环矩阵在编码理论中的一些应用 具体内容及结构安排如下： 第一章简单介绍了循环矩阵以及其在编码【f i 应用的研究背景 第二章回顾了文中将要用到的一些基本概念和结论 第三章通过比较体与域里运算的不同，定义了体上的循环矩阵并研究了它的 性质定理 第四章通过研究体与域里运算的不同，研究了一些体上的循环矩阵的逆的求 法 第五章定义了体上线性码及循环码，研究了体上的循环矩阵在编码理论中的 一些应用 第六章通过分析循环码的重要性质，利用矩阵的初等变换给出求循环码的生 成多项式的一种简便方法 第章预备知识 第二章预备知识 本章回顾将在文中用到的一些基本概念和结论，为以后研究的问题做些初步 准备 2 1基本定义 定义2 1 1如果非空集合s 具有一个代数运算( 叫做乘法) ，且满足结 合律，即va ，b ，c s ，都有 ( a b ) c = a ( b c ) ， 则说s 关于这个代数运算作成一个半群，或者说( s ，) 是一个半群 定义2 1 2 设( g ，) 是一个有单位元的半群，如果g 中的每一个元素都是 可逆元，则称( g ，) 是一个群具体地说，设g 是一个非空集合，如果g 具有一个 代数运算( 称为乘法) ，即v a ，b g a b g ，如果满足以下三个条件： ( 1 ) 结合律成立，即v a ，b ，c g ，( a t , ) c = a ( b c ) ； ( 2 ) g 中存在单位元p ，即对v 口g ，都有p 口= o e = c l ； ( 3 ) 又e f t - g 中的每一个元素口，则口的逆元存在，即存在口一g 使得 口口一= a a = e 定义2 1 3 设r 是一个非空集合，他有两个代数运算，分别成为加法和 乘法，记为+ ”和”，如果满足： ( 1 ) ( r ，+ ) 是一个加群： ( 2 ) ( r ，) 是一个半群； ( 3 ) 乘法对于加法分配律成立，即对于v 口，b ，c ，r ，有 a ( b + c ) = a b + a c ， ( 6 + c ) 口= b a + c a 则称r 关于代数运算+ ”和”作成一个环，记为( r ，+ ，) 第_ 章预备知识 定义2 1 4 设r 是一个环，如果满足： ( 1 ) r 中至少含有两个元素； ( 2 ) r 的一切非零元素所组成的集合霞关于r 的乘法运算作成一个群( r ，) ，则 称r 是一个除环( 或称体) ，一个交换的除环叫做域 2 2 基本性质定理 性质2 2 1伞体疗阶循环矩阵对于矩阵的普通加法与数量乘法构成线性 空间 性质2 2 2 若彳，b 都是n 阶循环矩阵，则a b 也是刀阶循环矩阵，且 a b = b a 性质2 2 3 设么是玎阶循环矩阵，设4 垒c ( 口i ，口：，) ，如么可 逆，那么彳的逆矩阵彳一也是胛阶循环矩阵 性质2 2 4 设彳= c ( a o ，a l ，a n 一。) 足循环矩阵，s = + q + + 一。称 为么的行和，则a f = s f ；当a 可逆时，若s 0 ，则 其中 f = 彳一1 f ：三f ， j 性质2 2 5 设彳= c ( a o ，q ，a n 一) 是循环矩阵，s = + q + + a n 一， 若彳可逆，则 ( 彳+ c f ) - = 彳一j i 了 ：万f ， 其中常数c 一三，f 同( 1 ) 式 甩 性质2 2 6a 是刀阶反循环矩阵，必要而且只要a 可用 第二章预备知识 h 。= i ，h ，酽，h ， 线性表示，即 a - - ( a o ，q ，a n _ i ) = a o i + a l h + a 2 h 2 + + a n l h 一 性质2 2 7 设s ，y 是刀阶反循环矩阵而g ( z ) 是z 的多项式， 则 s r , s v ，g ( s ) ，s ，s + ，s 一1 ( 若逆存在) ， 均为体上反循环矩阵，且有s v ：v s 性质2 2 8 由性质2 2 7 可得 矽”= ，；( 刁) 7 = - r ”一1 ；刁( 7 7 7 ) = ， 性质2 2 9 基础循环矩阵何可逆，且h ：打r 性j 贡2 2 10 设e 是全壹矩阵，则焉= 力e 性质2 2 11 设日是基础循环矩阵，e 。，一一笪矩阵， 则h e , = e ，h 。e = e ， ( 7 ) 7 e = e( = 0 ，1 ，2 ，刀一1 ) 第三章体上循环矩阵的定义及性质 3 1 引言 第三章体上循环矩阵的定义及性质 循环矩阵是一种特殊类型的矩阵，它有着许多优良的性质，这一特殊类型 的矩阵在众多的科学和工程领域，如编码和统计，石油勘探和结构分析，以及数 字图像处理等许多方面获得愈来愈广泛的应用，近年来，关于环上矩阵的研究成 为一个热点问题 本文的目的是研究循环矩阵在除环( 体) 上推广，包括基本定义和基本性 质定理 3 2 体上循环矩阵的基本定义 定义3 2 1 体上疗阶矩阵 为体上刀阶循环矩阵 a = 口。口i 一l口o q口2 ( 3 2 1 ) 从一k g y , 3 2 1 看出：体上循环矩阵的每行均由第一行按同一方向依序循 环，简记为a = c ( a o ，q ，a n 一。) ，有时也将体上循环矩阵写成 下标m o d n 彳= ( ) = ( q 小。) 定义3 2 2 体上循环矩阵彳= c ( ，口l ，) ，如果彳是对称的， 即a = a7 ，则称彳是体上循环对称矩阵 定义3 2 3 若把一个体上以阶循环矩阵的主对角线以下的元素改变符 号，就叫体上刀阶反循环矩阵 第三章体上循环矩阵的定义及性质 例如 口b - d a ed 一6c cd bc 口b dn ( 3 2 2 ) 定义3 2 4 体上序数组( 口o ，口l ，a n 一) 按相反的方向依序循环也 构成一个体上循环矩阵a ，即 a = 口i 口2 口i口2吩 a n 一2 l a o a n l口i 一i 口o a n 一3 a n 一2 ( 3 2 3 ) 我们称形如( 3 2 3 ) 式的行阶矩阵为体上对称循环矩阵 定义3 2 5体上如下形式的矩阵彳称为体上对称反循环矩阵，即 a = 定义3 2 6 我们称 p = ol o 0 ： o 0 lo 0 l ： 0 o o 0 o 0 ： 0l 0 0 ( 3 2 4 ) 为体上基础循环矩阵，规定p o = i ( i 为刀阶单位矩阵) ，则p 2 ，p 3 ，p ”1 都是 循环矩阵，且有 定义3 2 7 矩阵 a = p o + 订l p + a 2 尸2 + + 口h 尸”1 之 - r r 4 一 一 一 一 飞 啤啤 q 忡 伊 鸭鸭 吒如一 鸭1 q 呸 飞 q 第三章体上循环矩阵的定义及性质 称为体上基本反循环矩阵 易知 d = ol 0o lo o l ： 0 ( 1 ) 任一体上反循环矩阵彳可表为d 的多项式，即 a = a o i + a j d + + 一l d ”1 ，且d ”= - 1 ( i 为单位阵) ( 2 ) 两个体上力阶反1 ，a 目”形阡h j 术侈 1 ，了月件- 工行阿r 循a 环矩阵 定义3 2 8 设 则e 称为体上全壹矩阵 e = 3 3 体上循环矩阵的基本性质及证明 定理3 3 1 体上全体刀阶循环矩阵对于矩阵的普通加法与数量乘法构成 体上的线性空间 证明因为 c i r e ( q ，口2 ，) + c i r c ( b i ，6 2 ，色) ， = c i r c ( a l + b i ，a 2 + 6 2 ，+ 吃) ， 又有 a t c i r c ( a l ，0 2 ，a n ) = c i r co t a i ，口口2 ，a a ) ， 其中口p 又设 熏卦 。， ，0 0 o 0 o 一 0 垒一 万 第三章体上循环矩阵的定义及性质 则万皇c i r c ( 0 ，l ，0 ，0 ，0 ) 由预备知识知矿，万2 ，万，万”= ，都是 体上n 阶循环矩阵同时有万r = 万= 万= 万，若记万o = i t ”= 1 ，则任意一个体 上”阶循环矩阵彳都可以由万o ，万，万川线性表示反之，若a 可用 万o ，庀，万2 ，万”1 线性表示，则彳一定是n 阶循环矩阵 任意一个体上疗阶循环矩阵 c i r c ( a l ， 口2 ， ， 吼) = 订i ，+ 呸7 + + a n y ”一， 可唯一表示为y i 的力一1 次多项式厂( x ) ，其中 ( z ) = a l + a 2 z + + z 定理3 3 2 若么，b 都是体上，阶循环矩阵，则a b 也是体k n 阶循环矩 阵 证明设 a = 口i i + a 2 万+ + a n f f ”1 = ( 万) ， b = b i i + b 2 7 r + + 既万”1 = g ( 万) ， 则 a b = f ( z r ) g ( ，r ) = ( 万) 这里矗( 万) 是一个次数不高于”一1 次的多项式由此使知a b 为体上聍阶循环 矩阵 定理3 3 3 设彳是体上门阶循环矩阵， aa = c i r c ( a ，口：，口。) ，如 彳可逆，那么彳的逆矩阵彳一也是体上力阶循环矩阵 证明由定理3 3 2 知，只要能找到体上 阶循环矩阵 b = b l i + b + + 玩万川， 其中6 ，为待定常数( f = 1 ，以) ，使得 a b = i 即町，其中，= c i r c ( 1 ，o ，0 1 a b = ( a l6 i + 口。2 j 2 + 一1 6 3 + i - a 2 b n ) 万o + ( a 2 b l + 口1 2 j 2 + a b 3 + + a 3 b n ) , f f + + ( a b l + o n 1 6 2 + 一2 6 3 + + 口l “) 万”1 ， 耍彳b ：i ，既璎目只露 第三章体上循环矩阵的定义及性质 + 口2 吃= 1 ， + q 瓦= 0 ， 一+ q 吃= 0 ( 3 3 3 ) ( 3 3 3 ) 式是以6 j ( f = l ，2 ，刀) 为未知数，以a 的转置矩阵a 7 为系数矩阵的线 性方程组 则( 3 3 3 ) 式有唯一解 b l ，6 2 ，以， 而 b = 岛万o + 6 i 万1 + + 吒万”， 就是么的逆矩阵且b 可由万( f = o ，l ，疗一1 ) 线性表示， 故丑是体上循环矩阵 定理3 3 4 设彳= c i r c ( a o ，口i ，一。) 是体上循环矩阵， s = g o + q + + 一l 称为么的行和，则a f = s f ；当a 可逆时，若j 0 ，则 其中f = 彳一1 f ：! ， s l l 1 定理3 3 5 设彳= c i r c ( o o ，q ，一。) 体上循环矩阵， j = a o + q + + 口，1 ，若a 可逆， 则 ( 么+ 印) 甜1 一南f 其中常数c 一兰，f 同( 3 3 4 ) 式 刀 证明因( 彳+ 印) 一( 彳+ 印) = ，故 ( 3 3 4 ) ( 彳+ 印) a = i c ( 彳+ c f ) 一f ，( 3 3 5 ) 妒一，嚣一， h + + 帆们 咋 办 p 币咧 柏 第三章体上循环矩阵的定义及性质 由定理3 3 3 知，彳一1 也是体上循环矩阵，故彳一乘( 3 3 5 ) 的两端，即得 由定理3 3 4 知， ( 彳+ c f ) 一= 彳一c ( 彳+ c f ) 。1a f ， ( 彳+ c f ) - i = 一一三( 彳+ 印) 。1 f ， ( 3 3 6 ) 再由( 彳+ 印) - 1 ( 彳+ 扩) = ，两边同乘f ，即得 ( 彳+ 印) 一( 彳f + 2 ) = f ， 又由f 2 = ，及定理3 3 4 知( s + c ) ( 彳+ 印) f = f ， 又因 代入( 3 3 6 ) 式得 c 故( 么+ ) 一f = 而1 f ， c s c n ( 彳+ ) 一甜1 一南f 定理3 3 6a 是体上”阶反循环矩阵，必要而且只要爿可用 r o = ，r ，矿，r ”1 线性表示，即 a = ( 口o ，a i ，口) = a o i + a i r + a 2 1 1 2 + + 口。一1 r l 定理3 3 7设s ，v 是体上刀阶反循环矩阵而g ( z ) 是z 的多项式，则 s r , s v ，g ( s ) ，s + ，s 一( 若逆存在) 均为体上反循环矩阵， 且有 s y = v s 定理3 3 8由定理3 3 7 可得 7 7 ”= 一j ；( 7 7 ) 7 = - r 川；7 7 ( 7 7 7 ) = 1 2 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 4 1 引言 循环矩阵是一类比较重要的特殊矩阵，它在很多实际问题中都有广泛的应 用，因此有关循环矩阵逆的研究一直是矩阵论中的重要内容但是由于体上矩阵 的秩和行列式的定义不同与域上的定义，这使得体上逆矩阵的求法很大程度上不 同于域上的求法 本章的目的是研究体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 4 2 体上循环矩阵的逆的求法 定理4 2 1 设刀维向量，- - ( 1 ，0 ，o ，0 ) ，如果方程瓜= p 的解为 ( m ，m 2 ，m o ) r ，那么当a 是体上的循环矩阵时， 彳： m im 。 m 2m l m 3m 2 m ，mn d m - l 鸩m 2 m 2m im s m i m 5m 4 m 盹m 2m l 证明根据定理3 3 3 ，可以设a 的逆为 彳： 由于，= 1 且a a = e ， 从而，x 2 ，是方程组 五 恐毛 玛艺 一l 毛一l毛而 毛而 五毛而 一2屯五 的解 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 从而五= m i ，x 2 = m 2 ，= m 。，从而 f ，m i m 。 im 2 m i 么= i 鸠鸠 1 l m 。心一。 定理得证 例 解 肚畦 2 、 li 1l 的逆 0f l j 季萎=墨 的解为 萎 = 从而 a 一= k 0 m 乩却 观 私佴 舶嚣嚣慨 w 吼 2 3 4 ，i鸩坞螈m收心鸠鸩雌鸩m 咋 l o l 2 o l 2 l 一3 23一3一3 l 0 l 2 o l 2 l l 2 l 0 ，。l 23。一3。一3，一3 一3一3一3 2 3 一3一3 23一3 。一3 23。一3。一3 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 有解 可设 定理4 2 2体上刀阶循环矩阵彳有逆矩阵的充要条件是线性方程组 证 a r x = ( 1 ，o ，o ) r 明 设彳= c i r c ( a o ，口l ，口2 ，o n - 。) ，若彳有逆矩阵曰，则由定理3 2 3 ， 由于a b = e = p o ， 则 及 即 b = c i r c ( b o ，6 l ，6 2 ，吃一。) =6 ，p 7 ， a b ：艺q p n - i 乞p ，：n - i n - iq 屯尸，+ ， i = o j - - - oi = oj = o n - 2 ，一 月一i 、n - i i 口j 仇一+ q 以+ i 尸+ q 瓦一川尸”1 k = o i - - o ，= 女+ l ，= = o n - i q 吃刊= o ， a ，b n + k - i - = - 。1 七：。，2 ，k ，= 疗o 一2 ， 睢o 一o , t 驯6 ：o 势 即与爿7 x = ( 1 ，0 ，o ) 7 同解 所以，若a 存在逆矩阵b = c i r c ( b o ，b 。，6 2 ，玩一。) a r x = ( 1 ，0 ，o ) 7 的解， ，则( b o ，b l ，6 2 ，k 。) 7 为 若彳r x = ( 1 ，0 ，o ) 7 有解石= “，x 2 ，) 7 ，则 c i r c ( x i ，恐，吒) ，即为a 的逆矩阵 推论4 2 1 设体上循环矩阵爿= c 眈( ，口l ，口2 ，一。) ，若 川小 + 一以 q 。瑚 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 a r x = ( 1 ，o ，0 1 7 有解，则解唯一 k 推论4 2 2 若q = o ，则体上循环矩阵么= c i r c ( a o ，q ，c 1 2 ，g n 一- ) 不存 在逆矩阵 瑚 定理4 2 3 设体一h 力阶循环矩阵4 可逆，且彳的逆矩阵为曰，则有 ( 国) g ( 缈) = 1 证明设 则 则 所以 a = c i r c ( a o ，口i ，口2 ，a n i ) ， b = c i r c ( b o ，6 l ，6 2 ，钆一。) ， d = c 讹( 1 ，缈，缈2 ，缈”1 ) a d = f ( c o ) d ，b d = g ( c o ) d ， d = e d = ( 删) d = b ( a d ) = ( 缈) b d = ( ) g ( 缈) d ， ( 缈) g ( 功) = 1 推论4 2 3 若( ) = o ，则体上循环矩阵a 不可逆，若体上循环矩阵彳 可逆，则 ( 纠纠乩 ”一l 定理4 2 4 设彳是一个循环矩阵，称s = 口为a 的行和，则 j = o 1 a e = s e ， 2 若么可逆，则s 0 ，ra 一- e ：! e s 证明1 由定义2 1 2 及性质2 2 1 1 有 母陲日t = 弘n - i ( 鸭) = 胁i = 0 卜啦， 1 6 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 2 假设s = 0 ，由循环矩阵的特性，则么不可逆，矛盾，所以彳可逆 时，s 0 又由于彳e = 以，则有 两边左乘g 彳) 得 即 所以 协 乞：e ， s ( 彳) _ 1 ( 三么) e = ( 吾彳) e = 叫- 1 e ， e n = s a 一1 e n 4 3 体上对称循环矩阵的逆的求法 定理4 3 1 a = c i r c ( a o 口l a n 一。) 是体上循环矩阵，若彳可逆，则 a = c 讹( 岛6 ) ，其中6 0 ，b j ，瓦一。是线性方程组 的唯一解 证明因为州= ，即 倒= 嘲 哥 已 一j = 已 一 4 o o o o 1 0 0 l 0 0 o ，。l 岛如岛虹 ，。l、 q q ，j。_ 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 所以 倒= 圈 又因为a 可逆，所以方程组有唯一解b o ，6 i ，一 定理4 3 2若a = c i r c ( a ，d ，d ) 是体上循环矩阵，h d a 0 ，则 a 一- - c i ，c ( b o ，b 1 ，吃一i ) ，其中 6 0 = - - d 之( 刀一1 ) 一耐( 玎一2 ) 一口2 】【( 行一2 d ) + 口】， b l = 6 2 = = k 。= 【d 之( n - 1 ) - a d ( n - 2 ) - a 2 】- i d 证明 设b = a = c i r c ( b o ，6 i ，吃一。) ，以a 为系数的线性方程组为： 倒料 对彳的增广矩阵彳作初等行变换得： a = ad d ddl dddda0 ddd nd0 d口d d d0 口dd ddl d 一口0o0 口一dl 000口一dd 一口0 0臼一d00d 一口0 所以方程组的解( 6 0 ，岛，吒一，) 由下列各式决定： 解之得： 所以 ( f = 1 ，2 ，玎一2 ) 6 0 = _ d 。2 ( n - 1 ) - a d ( n - 2 ) - a 2 】。1 【( 以一2 d ) + 口】， 6 i = 如= = k 。= 【d 。2 ( n - 1 ) - a d ( n 一2 ) 一口2 】d ， 么= c i r c ( b o ，b 1 ，以一1 ) 1 8 护一扎 以h k 焯叫批力 + 一 卜 q厶良xm 碱蝴 + 一 卜 蚺” 第四童笪圭二些堡至堑堕堕望堑堕堕查鲨 一 _ - _ - ，_ _ 一 定理4 3 3 设是体上循环矩阵么= c i r c ( a ，口+ d ，a + 2 d ，口+ ( 刀一1 ) d ) ，若 a 可逆，则a = c i r c ( b o ，岛，玩一。) ，其中 氏= 【一a d 一1 a + n ( d - a ) + a 一 - a d 一一( 刀一1 ) 】， n - i b j = 6 2 一一k ：= 以一【( 口+ 谢) 】- l ， 6 ，i = ( d a ) 一+ t o 证明因为a = c i r c ( a ，a + d ，a + 2 d ，口+ ( 聍一1 ) d ) ， 以彳为系数的线性方程组为 矧= 目 x ca 的增广矩阵j 作初等行变换得： l a + d a = ( n - 1 ) d l 1 l 2 o o - - n0 口 n + d a + ( n - 1 ) d 口+ d 口+ 2 d 口 ll a + 2 d a + 3 d a 口+ d 1l ( n - 2 ) 一1 一”0 o0 口+ 2 d a + 3 d 口+ d l a + ( n - 1 ) d a + ( n - 1 ) d 口 a + ( n - 2 ) d a + ( n - 3 ) d 口+ ( 玎一2 ) d 月一l 【( 口+ 耐) 】- 1 1 - - l - ( 口+ 耐) 】1 所以方程组的解( 6 0 ，6 1 ，屯一。) 由以下各式决定： ) + 耐) 】- ll o l l 1 0 ) 一、 o o 1 口 耐 一 以 甜川枷 、，1o小列州脚 扣 1 厂l一， 甜 o o o 专 一 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 解之得 6 0 + b i + + 包一i = 【( 口+ 耐) 】i ， i - - - o t l - - l b t + 2 如+ + ( 刀一2 ) 6 ；一2 6 ；一l = 一( 1 + d 。1 口) ( 口+ 肼) 】， t = o p i - - l 一胛乞= 【( 口+ 耐) 】- l ， b o = 【一甜一a + n ( d - a ) + a 叫卜耐- ( n - o ， n - i 岛= b 2 = = 丸一：= 刀一【( d + 埘) 】- l ， i = o 毛一i = ( d - a ) + b o 所以a 一= c i r c ( b o ，b 1 ，巩一i ) 例 j a = c i r c ( 1 ，2 ，2 ，2 1 的逆矩阵 b o = - 号，b l = 6 2 = 6 3 = 号， 三，= 6 2 = 6 3 = 吾， 所以a - i = c i r c ! 一号，号，号，号) 例求彳= c i r c ( 1 ，3 ，5 ，7 ) 的逆矩阵 解设彳= c i ，c ( b o ，b 1 ，九一) ，由定理4 3 3 知 b o = - 云，6 l = 如= 百1 ，6 3 = 丽9 ， 所以a - i = c i r c ( 一百7 ，丽1 ，石1 ，9 4 4 体上反循环矩阵的逆的求法 定理4 4 1 设a 是体上第一行元素为( a oa l 一。) 的反循环矩阵， 若a ，彳的逆存在，则a - 1 是体上第一行元素为( b ob l 玩一。) 的反循环矩阵， 其中6 0 ，b l ，吮一。是线性方程组 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 的唯一解这里么是a 的转置矩阵 所以 即 证明因 卧圈 也 彳附卧 锹 a o b o a l 吃一l + a 2 b n 一2 + + 一i6 1 ) = 1 一1 6 0 一口。统一l q 玩一2 啄2 b l = 0 ； 【一口1 6 0 + a 2 b 一i + 一口0 6 0 = 0 适当调整以上方程组中方程及某些项的顺序后可化为矩阵方程 时时 又因为彳可逆，所以方程组有唯一解6 0 ，6 l ，k 。 例求四元数体上第一行元素为( f ，) 的反循环矩阵的逆 2 l 、j 0 o o o o o 饥一 靠也 6 击 一 wu八 q o 即 一 一 一 一 ， ，- 几 q 呜 = 一 似 飞粕e 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 解 设四元数体上反循环矩阵么： 为系数矩阵的线性方程组为 三。 a 2 l - j j l jj j1 11 j) 1) - j l ，以彳7 = 主 对的增广矩阵刁作初等变换得： - j 1 - j 0 - j0 f0 f j i 所以方程组的解( 6 0 ，6 i ，k 。) 由下列各式决定： - l 七l j l o j 0 i + j o j- j 1 00一l 000 j - i ，+ j 0 - + 靠i ) = 1 ， ) 岛= 一1 ， ( i = 1 ，2 ，n - 2 ) j ) b j “= 0 ， 当f o 且( f + ) ”+ ( f 一) ”o 时，令五= ( f 一) ( f + ) 一，则 6 f = 名岛 f = 2 ，3 ，疗一l ， 6 0 = ( f + _ ，) ”1 + ( f 一) ”1 ( f + ，) ”( f 一) ” ， 岛= - 2 j ( i + ) ”。2 ( f + ，) ”+ ( f 一) ” ， 所以彳- 是体上第一行元素为( b o ，b l ，2 b , ，五”26 1 ) 的反循环矩阵 例 求四元数体上等差反循环矩阵的逆 解设四元数体上等羞反循环矩阵， = 慨 以彳为系数矩阵的线性方程组为 i + j 。 ， - ( i + 2 j ) i + 2 j i + j - ( i + 3 j ) ， 、， 吖 、，吖1 ，吖吖 o o ， 11吖、 吖吖， 州州一包 p 功d 一 一 一 ， 0 ，、【 ，一、 ， 、j、-、 l 2 一 一 ， m 肛；， ，j、，- + + 第四章体上一些循环矩阵的逆矩阵的求法 卧时 对的增广矩阵作初等变换得： 么= f f + k f + ( 玎一1 ) 七 一( f + ( ，l 1 ) 足) f ； f + ( 刀一2 ) 后 i - ( i + ( n - 1 ) k ) 0 2 i + ( n - 2 ) k oo oo | j k 一( f + ( 玎一2 ) 七) - ( i + ( n - 1 ) k ) ；