（固体力学专业论文）厚壁圆筒热冲击作用下应力分布研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 超高压管式反应器是聚乙烯生产装置中关键设备之一，其运行是否安全 可靠直接关系到企业的产值、利润、甚至人的生命。由于乙烯爆炸性分解， 在反应管壁厚上形成极陡的温度梯度和幅度很大的热应力。因而反应器在热 冲击作用下的应力分析是反应器安全工程研究中急需解决的现实问题。 热冲击问题一直是固体力学理论研究的热点问题之一。本文在实际工程 基础上，对热冲击作用下的厚壁圆筒的应力响应和温度响应进行了研究，给 出了热弹性力学的基本方程和热传导方程。通过在边界条件中引入占函数， 运用l a p l a c e 变换的方法精确求得了热冲击温度场的解析解，并在此基础上 求解了准静态的热应力场。另一方面，本文考虑了热传导方程中的耦合效应， 联立运动方程求解耦合热应力场。 从求得的结果可以看出，热冲击产生的温度场和应力场在冲击的瞬时并 不是无限大的，而是一个有限值，冲击时的能量对该值有较大影响；温度场 和热应力场将随着厚壁圆筒的尺寸有规律的变化，并随时间逐步衰减。本文 探讨了热应力随时间的变化及热应力与半径的关系，从而为研究反应器减小 热冲击损伤提供了理论参考。 关键词：超高压管式反应器；热冲击；热应力场 ；些墼塑鏊鳖些墅丝圣；一 a b s t r a c t s u p e r - h i g hp r e s s u r et u b u l a r r e a c t o ri so n eo f t h em o s ti m p o r t a n te q u i p m e n t s i nt h ep r o d u c t i o np r o c e s so fp o l y e t h y l e n e w h e t h e ro rn o td o e si t w o r ks a f ea n d r e l i a b l yi sd i r e c t l yr e l a t e dt ot h eo u t p u tv a l u e sa n dp r o f i t ，e v e nt h ew o r k e r s l i f e t h ee x p l o s i v ed e c o m p o s a b i l i t yo fe t h y l e n ew i l ll e a dt om u c hl a r g et e m p e r a t u r e g r a d i e n t a n dg r e a t r a n g e t h e r m a ls t r e s s e s r e s p o n s e 0 1 1t h i c kw a l lo fr e a c t o r , s t r e s sa n y s i sb yt h e r m a ls h o c ki sa na c t u a lp r o b l e mn e e d e dt os o l v eu r g e n t l yi n t h er e a c t o rs a f e t ye n g i n e e r i n g t h e r m a ls h o c kp r o b l e mi sa l w a y so n eo ft h em o s tc o n c e r n e dq u e s t i o n si n s o l i dm e c h a n i c st h e o r yf i e l d b a s e do nt h er e a le n g i n e e r i n gp r o b l e m ，t h i sp a p e r t r i e st oi n v e s t i g a t ei t ss t r e s sr e s p o n s ea n dt e m p e r a t u r er e s p o n s ew h e nt h et h i c k w a l l c y l i n d e r e n d u r e st h e r m a l p u n c h ；g i v e s o u tt h eb a s i ct h e r m a l e l a s t i c m e c h a n i c se q u a t i o na n dh e a t - c o n d u c t i o ne q u a t i o n b yi n t r o d u c i n gf u n c t i o ndi n b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ep r e c i s es o l u t i o no f t e m p e r a t u r ef i e l di sf o u n db yl a p l a c e t r a n s f o r m a n db a s i n gi t q u a s i s t a t i ct h e r m a ls t r e s sd i s t r i b u t i o ni sf o u n d i nt h e o t h e rh a n d ，c o u p l i n gt e r mi st a k e ni n t oa c c o u n ti nh e a t c o n d u c t i o ne q u a t i o n ；t h e n j o i m n g w i t hk i n e m a t i c se q u a t i o n ，c o u p l i n gt h e r m a ls t r e s sf i e l di sf o u n d e n d u r i n gt h e r m a ls h o c kt r e a t m e n t ，t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o na n dt h e r m a l s t r e s sd i s t r i b u t i o nv a r i e sw i t ld i m e n s i o n so f c y l i n d e rw a l lr e g u l a r l na n dd e c l i n e s w i t ht i m e a tt h em o m e n to ft h e r m a ls h o c k ，t h ev a l u eo f t e m p e r a t u r ea n ds t r e s si s f i n i t e ，t h es h o c ke n e r g yh a v eag r e a ti n f l u e n c ei ni t t h i sp a p e rd i s c u s s e st h e t h e r m a ls t r e s s c h a n g ew i t ht i m e ，s t u d yo nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns t r e s sa n d r a d i u m i tp r o v i d e sat h e o r e t i c a lr e f e r e n c et o s t u d yo nt h ed e c r e a s et h ef a t i g u e d a m a g e o f t h er e a c t o ru n d e rt h e r m a lp u n c h k e y w o r d ：s u p e r - h i g hp r e s s u r et u b u l a rr e a c t o r ；t h e r m a ls h o c k ；t h e r m a ls t r e s sf i e l d ； i l 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的艇省工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中融经注明 孳| 靥的内容外，本论文不包含任何萁戆个人或集体融经公开 发表的传晶成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者( 签字) ；瓮建韦 目期：2 0 0 3 年2 月1 4 露 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第i 章绪论 1 1 课题研究的背景和现实意义 自1 9 1 3 年德国工程师成功研制出2 0 m p , 的高压容器开始，世界许多国家 处于提高生产率、发展经济，甚至战争的需要，揭开了利用高压技术进行工 业生产的序幕。随着科学技术的发展，超高压技术的应用日益增多，超高压 容器在各个不同的技术领域不断出现，而且压力不断提高，设备容器不断增 大。二战期间，德国建立了1 5 0 m p 。乙烯超高压聚合工厂；二战后，随着冶金 技术的进步，冶炼出杂质物少、韧性号和强度高的高合金钢，得以制造出高 压设备。德国、美国和日本相继把聚合压力提高到2 4 0 m p 。和3 2 0 m p ，个别国 家达到4 0 0 m p 。，以满足工业需要i l 】。 我国的超高压技术起步较晚，但发展很快，6 0 年代上海化工研究院自建 的高压聚乙烯工厂操作压力为1 5 0 m r ，7 0 年代上海与北京引进的分别为 2 4 0 m p 。和2 8 0 m p 。，8 0 年代大庆和9 0 年代广东茂名的高压聚乙烯设备，其操 作压力均在3 2 0 m p 。目前的设计压力均在3 0 0 m p 。以上。超高压容器在化学工 业、石油化工、人造水晶、合成金刚石等静压处理、食品保鲜等领域已成为 不可缺少的关键设备 2 - a 。 在石油化工行业中，超高压聚乙烯管式反应器是聚乙烯生产中的关键设 备之一，它能否长期安全的运行直接关系到工厂的产值、利润以及人身财产 的安全。管式反应器的全貌见图l _ 1 ，单根管式反应器见图1 2 。目前，国内 八十年代引进的几套设备使用年限已都处于设计寿命的中后期阶段，安全系 数逐渐减小，国内已经发生过十几起事故，甚至出现反应管“破前漏”的事 故。几种破坏形式见图1 3 。北京燕山石化年产1 8 万吨高压聚乙烯装鸯是于 1 9 7 4 年国外引进，1 9 7 6 年投产，其中超高压反应器在1 9 9 0 年多次发生裂纹 穿透管壁，管内超高压介质泄漏的事故f 4 】。所以，生产厂家及有关使用单位 对反应管的安全运行状况一直给予高度重视，对反应管进行安全分析和评定 具有紧迫性。 自增强技术是提高超高压容器弹性承载能力、延长其疲劳寿命，使运行 安全可靠的一项有效措施。反应管就是经自增强处理后服役的。在其服役期 阃，不仅要受到开停工循环荷载的作用，还要受到正常操作下的压力和温度 波动，管内介质发生超温分解时产生的高温热冲击作用。这些因素均会引起 自增强残余应力的松弛。而残余应力衰减规律及其对反应管安全性的影响正 哈尔滨工程大学硕士学位论文 是目前工程中急需解决的问题。大庆化工总厂引进的某聚乙烯超高压反应器， 自1 9 8 6 年7 月开工至今，共开、停8 1 5 次，而超温分解竟达3 5 次之多。可 见，超温分解时热冲击作用的影响是反应管安全分析和评定的重要因素之一。 图1 1 生产运行时管式反应器全貌 f i 9 1 1t h ec o m p l e t ep i c t u r eo f t h et u b i n gr e a c t o r 图1 2 单根管式反应器 f i 9 1 2s i n g l et u b i n gr e a c t o r 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 所谓的超温分解是指在管式反应器服役期间，由于管内每克分子乙烯聚 合反应会产生2 3 千卡的热效应，当热量来不及导出时，会引起乙烯爆炸性分 解，使反应管内壁温度急剧增加，甚至瞬间可达到7 0 0 - - - 1 0 0 0 v 的异常高温。 若不及时处理，不仅因乙烯分解产生的细粒碳黑有可能堵塞反应器和管道， 而且可形成一足以破坏反应设备的压力，引起灾难性事故。所以，乙烯生产 中设置了严密的安全控制系统。一旦出现超温，控制系统会立即启动冷料乙 烯压缩系统，往反应管内打入冷料。如上乙烯分解反应的发生和紧急处理的 过程，对反应管而言是一个温度压力急剧增加和急剧降低的热冲击过程。与 一般热疲劳不同的是，热冲击作用时，反应管壁厚上形成极陡的温度梯度和 幅度很大的热应力。管内温度的急增和极冷，不仅使管内壁受到拉伸和压缩 的交变应力，而且瞬间高温还可以使反应管材质发生相变，使材质劣化，屈 服强度降低。以上热冲击作用，不仅易造成反应管内自增强残余应力的衰减， 而且会加速反应管内裂纹的萌生和失效。所以，反应管经受热冲击时的损伤 问题，已经成了高压聚乙烯容器的设计制造和使用单位亟待解决的重大课题， 也是反应管安全性研究中必须考虑的主要问题之一口。 图1 3 单层厚壁容器的破坏 f i 9 1 3t h es p l i to ft h es i n g l e l a y e rt h i c k - w a l l e dc o n t a i n e r 对这一问题的认识，目前还处于感性阶段，超温热冲击对反应器残余应 力松弛的影响是严重的，推算该反应器超温一次引起残余应力衰减率是非常 需要的。因而，从研究反应器受热冲击作用的应力响应出发，探讨反应器自 增强残余应力的衰减机理和损伤机理，进而提出减小热冲击损伤的措施是必 要的 。q 。 从弹性力学基础理论出发，考虑超高压管式反应器的实际j 【况，可以看 哈尔滨工程大学硕士学位论文 出，在研究热冲击问题时，应该考虑热应力的动力特性。即热冲击问题的严 密求解既要考虑动力项的影响又要考虑耦合项的影响。 从工程应用的角度来看，研究耦台项对应力产生的影响可以为超高压管 式反应器材料的选取、容器的设计以及在骤然温度变化时超高压管式反应器 的安全性评估提供一定的理论参考。 1 2 热弹- 陛力学的发展概述 固体的温度发生变化时，一般来讲，体内任一点( 微小单元体) 的热变 形( 膨胀或收缩) 受到周围相邻个单元体的限制而不能自由的产生。同时， 如果固体的边界受到其他物体的约束，也会使体内任一点的热变形不能自由 的产生。固体的这种内部和外部的约束作用，在于对体内任一点造成一定的 应力，使该点与温度变化对应的热变形，部分或全部的不能产生。这个应力 称为“热应力”。固体内任一点实际的热变形( 或热应变) 是指受到限制后的 热变形，它与热应力不是直接对应的关系。 热弹性力学研究弹性体内温度的变化与热应力和热变形的关系；以及与 此相关的理论、分析方法、计算、实验和应用。热弹性力学的理论以连续体 力学为基础，并涉及热力学场论、热传导学和弹性力学的内容。帕尔库斯 ( h e i n zp a r k u s ) 认为，热弹性力学阐述弹性体在非均匀温度场影响下的性能， 它是弹性力学的推广和广义化 4 4 1 。 在热弹性力学的研究中，为了更好的解决实际问题，研究的范围扩大到 热弹塑性和热粘弹性的理论和计算，以及由于温度引起的物理性能变化的分 析等等。 热弹性力学的研究内容，在理论方面包括：热传导方程和热弹性运动方 程的建立，边界条件( 特别是热力学边界条件) 表达式的确定；热传导和热 弹性的耦合理论的分析研究；热弹性和热弹塑性本构理论的研究和本构方程 的建立；热冲击和热弹性波传播的研究；热粘弹性本构理论的研究和本构方 程的建立，热蠕变的分析；热疲劳过程力学模型的建立，热疲劳和高温疲劳 关系的研究；热残余应力问题的研究；热弹性、热弹塑性、热粘弹性问题的 数学分析方法，数值计算方法及其理论基础、变分定理的研究等。 在应用的研究上，涉及各种构件的热应力计算和他们的强度分析；板壳 的热应力和热应变，相应的翘曲和稳定问题；热弹性振动问题；构件热残余 应力的计算；温度变化下断裂问题的分析计算；热应力构件的合理设计问题 等等。此外，对于不同温度下各种物性系数的实验测定，热变形和热应力的 哈尔滨工程大学硕士学位论文 实验研究也属于热弹性力学的研究内容。 热弹性力学的应用，在工程上有重要的意义。热应力和它所引起的强度、 刚度问题，在航空、航天和核反应堆工程的设备和构件上的重要性是不言而 喻的。在一般的工程问题中，例如动力机械中许多零件在热应力下的强度问 题，热冲击对强度的影响，热疲劳对零件寿命的影响；金属零件在热处理过 程中出现的热应力，残余热应力和残余热应变问题；精密切削加工时，攻坚 和机场的热变形及其对加工精度的影响；冶金设备在温度荷载和机械荷载的 联合作用下的强度和刚度的计算以及与之对应的合理设计问题；热冲压加工 机械中零件的热疲劳问题；化学反应装置在温度变化时的强度和热桥区问题 等等。这些亟待解决的重要课题都需要应用热弹性力学的理论和方法。同时， 也正是由于工程上的需要，推动人们深入研究热弹性力学。 近四十年来，热弹性力学的发展是迅速的。在五、六十年代具体结合构 件的热应力的计算研究较多，一些著作比较系统完整的讨论了这方面的问题。 例如，梅兰和帕尔库斯的由于定常温度场而产生的热应力i 朽l 和帕尔库斯 单独写的非定常热应力i 捌，反映了五十年代热应力的研究成果。七十年 代，热应力研究的一个重要方面是向理论方向发展，即从质量守恒、能量守 恒、熵不等式、自由能和构造理论基本定律和理论出发建立热传导方程、热 弹性材料的本构方程、热弹性运动方程和其他基本方程，并进行分析研究。 i n s n e d d o n ，j l n o w i n s k i ，h p a r k u s 等分别所写的关于热弹性力学的专著i 删。 综合了这个研究阶段的研究成果。他们和其他学者的工作，是热应力的计算 研究发展成为- - 1 7 新的交叉学科一热弹性力学。它涉及热力学、热传导学、 弹性力学和塑性力学等学科的内容，而又有自己的理论体系和分析方法。日 本的竹内洋- - n ，平修二则侧重于热应力计算的系统化和应用方面的研究工 作1 2 4 l 。 以后，热弹性力学的理论研究继续向完善和深入方面发展，这方面的工 作很多。例如g l e b o n 将“热流”作为一个独立变量引入热弹性力学中，并 且在质量守恒、动量守恒和能量守恒等个基本定律之外，补充了一个“热流 率方程”。然后导出热弹性问题控制方程i 删。m a b i o t 将“热容量”作为一 个新的状态变量引入虚耗散的热力学原理中，由此导出的场方程将具有积分 一微分形式，且避免了因考虑热源而需引入的另变量“熵”i 蛆】。涉及材料 自身非线性性质的本构关系，是理论研究的重要内容之一。k n r y s i n k o 和 e i b l i n o v , t s t s u oi n o u e 和s h i g e m n a g a k i ，t j c h u n g 和j l p r a t e r , r h i l l 以及 y m k o l y m o 和e i s h t e r 等分别地进行了热塑性，热粘弹塑性，各项异性， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 非均指物体的本构关系的研究，引起了人们的注意。这方面的论文反映了热 弹性理论与实际材料性能更紧密联系的趋势。 1 3 热冲击问题的研究现状 热冲击问题的研究是热弹性理论研究的基础课题之一。 热冲击是这样一种现象：急剧的加热或冷却使热弹性体上产生剧烈的温 度变化并相应的产生非定常热应力，这种热应力在数值上是很大的，它出现 于短暂的时间间隔内，带有冲击的特性，因而需要研究它的惯性效果和热弹 性波。对于高强度材料，冲击的巨大热应力可能达到材料的破坏应力，从而 使材料破裂。 1 9 5 2 年，苏联学者以一般无限弹性体为例，解出动态热应力并指出了动 力项的重要影响。此后，动态热应力引起了人们的广泛关注。但就工程应用 而言，半空间的问题并不多，许多一维的热冲击问题是在有限厚度的平面上 或在球体上出现。8 0 年代，t y a k e u t i 和t f u r u k a w a 详细的研究了厚板的热 冲击唧。e m s h i p t i t s i n a 研究了球体在热冲击和机械冲击联合作用下的动力效 应i q 。j c m i r s a 和s c s a m a n t a 等研究了粘弹性半空间体的热冲击问题，他们 不仅考虑了耦合效应，同时也考虑了在冲击传播时热松弛的影响。 c h i h - h o r n gh o t ，z i 利用l a p l a c e 变换求解了无限长实心圆柱体的热冲击问题， 但在他的解中，热荷载函数是利用问题的初始条件来表示的，这样就限制了 热荷载只能是与时间无关的函数而失去一般性，而且文中并没有讨论热动应 力集中现象。我国学者王熙1 1 2 】利用一种简单的解析方法求解了在热冲击作用 下圆柱体的动应力响应历程和动应力集中效应，另外，王熙还对柱体层合材 料的热冲击进行了研究i 捌。在这些研究中，对于物体上突然加热引起的物性 系数的变化均未加考虑，对热冲击作用边界条件的表达多采用理想化的模型。 因此热冲击的研究尚待深入。 1 4 热耦合问题的研究现状 随着热弹性力学基本理论的日趋成熟，应用日益广泛，热耦合问题成为 人们较为关注的问题之一。 1 9 5 6 年，b i o t 对f o u r i e r 热传导方程进行了修正，放弃了体积不变的假 设，再根据热力学第一定律建立能量平衡时，考虑了变形功，导出了修正的 f o u r i e r 热传导方程，指出导入弹性体的热量不仅引起温度上升，一部分还转 化为变形功一引入了温度场和应变场的耦合项1 3 9 1 。这样热弹性体的热传导方 哈尔滨工程大学硕士学位论文 程中除了待定的温度函数a ( x ，t ) 外，还含有应变率e o ，t ) 。这表明物体上的温 度场o ( x ，f ) 不仅取决于热源及各有关的热力学物性系数和换热边界条件，而 且还受到弹性变形应变率e ( x ，f ) 的影响，或者说，弹性变形的体积应变率将 在一定程度上改变物体上热量的传递。 为了对耦合效应做出评价b a b o l e y ，y t a k e u t i ，j l n o w i n s k i 等从不 同的角度引入了“耦合系数”1 2 4 - 3 7 - 删耦合系数是综合了材料的部分物性系数 而构成的一个无量纲参数，它介于0 和1 之间。如果它远远小于1 ，则可略 去不计，热传导方程就退化为非耦合的；否则，将对热弹性问题的解产生显 著的影响。除了与材料的物性系数有关外，应变率的大小也是耦合项能否略 去的一个至关重要的因素，一般来讲，动态问题中的应变率较大，特别是在 热冲击问题中，所以耦合问题只有作为动态问题处理时，才具用较大的意义。 所以，分析热冲击作用下的传播时应充分考虑耦合项的影响。关于耦合项的 意义，许多学者进行了研究，b a b o l e y 等旧分析后认为，耦合效应的物理 实质是对热弹性波的阻尼。我国学者范绪箕1 1 4 l 研究后指出，耦合作用使应变 ( 应力、温度等) 在波前的应变迅速衰减，这是耦合项的重要特性之一。 热传导方程中耦合项的出现，加深了人们对能量转换的认识，同时使得 温度场不能独立确定，必须与运动方程联立求解，便大大增加了热弹性问题 的复杂性。然而，从工程应用的角度来看，耦合项对问题的解究竟产生多大 的影响，或者不考虑耦合项将会产生多大的误差，是一个具有重要意义的课 题。 6 0 年代，b a b o l v y ，y t a k e u t i 等研究了热冲击问题后指出，由于热冲 击产生的高速变形，出现了较大的应变率，影响温度场分布，所以在冲击问 题中需同时考虑耦合项的影响。y t a k e u t i 和t f u r u k a w a 分析了厚板的热冲击 后认为i 5 l ，对于热应力的影响，耦合效应比惯性效应更为显著。基于此观点， 他们在以后的一些文章中，忽略了动力项，取拟静态处理，求解了圆筒在不 对称加热时的耦合热应力问题i l 川：用热弹性位移势和l o v e 位移函数求解了轴 对称有限长圆柱体的耦合热应力问题，给出了一些有意义的结果 1 3 1 。由于精 确求解该类问题在数学上存在不少困难，所以，很多问题的精确解法仅限于 一维问题，当然对一维问题的研究也不十分充分。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 5 热冲击问题的研究方法 积分变换是一种运算微积方法。它与f o u r i e r 级数等古典的无穷级数法相 辅相成，作为微分方程的理论解法两者是互为补充的。由于积分变换法具有 在求解过程中同时考虑初始条件和边界条件的特点，所以它对解非定常热应 力问题很方便，特别是动态热应力问题，有些问题不用积分变换的方法是得 不到解决的。因此，用拉普拉斯变换、傅利叶变换、汉克尔变换、梅林变换 等积分变换分析热应力问题是很方便和适用的。所谓积分变换，就是选择特 定的函数尉x ，s ) ，按照下面的积分将给出的函数x ) 变换成f ( s ) 。 b f o ) 。j k o ，s ) ， ) 幽 由f ( s ) 求f ( x ) 称之为求逆变换。这里，函数k ( x ，s ) 称为核( k e r n e l ) 。按 照这种方法，常微分方程可阻转化为代数方程；偏微分方程可以转化为常微 分方程。根据核函数的选择方法积分变换可以有几种形式，但积分变换的结 果必须是有效的，即一定要比原来的方程简单。由于做积分变换得到在象空 间的解，它是s 的函数，还不是实际问题的解，所以还必须作逆变换，将象 函数还原为x 的函数。逆变换的求解并不容易，这是积分变换的缺点。 积分变换法为求解某一类线性偏微分方程提供了一种系统而直接的方 法。这种方法对求解齐次的和非齐次的热传导边值问题都特别合适，因为用 这种方法求解很容易把微分方程的二阶偏导数去掉。所以，在热传导问题中 常用积分变换来消去对空间变量的偏导数。积分变换法的基础是从经典的分 离变量法中导出来的。也就是说，要导出求解某给定问题的正变换与逆变换， 得借助于把任意函数( 其定义域与给定问题的定义域相同) 用该给定问题齐 次部分的分离解来表示。由于这个方法在使用中非常有效，最近十几年，对 该法的应用日增加。下面再对热弹性力学中常用的拉氏变换作一介绍。 拉普拉斯变换的换式： f o ) 。户“，o 由于用拉普拉斯变换法可以把偏微分方程中对时间t 的偏导数转化对空 间变量s 的函数，因此，这种方法在求解热传导、热冲击、热耦合问题时被 广泛应用。例如，处理一维非稳态热传导问题时，用拉普拉斯变换对温度进 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 行变换后，该问题即简化为对空间变量的常微分方程。而后，求解常微分方 程，并将结果进行逆变换，即可得到所需的解( 温度分布) 。用拉普拉斯交换 来消去对时间的导数并不困难，但是，对变换后的函数进行反变换就不简单 了，要么在标准的拉普拉斯逆变换表中已具备，要么用残数定理来求解逆变 换，其他方法并不多。所以，求解的关键是逆变换的得出。 另外，针对一些具体的问题发展了许多具体解法。求解圆筒在不对称加 热时的耦合热应力时采用的附加调和函数法1 1 0 】；求解有限长圆柱体对称加热 时耦合热应力时，结合l o v e 位移函数和g o o d i e r 热弹性位移势的方法l - 3 1 。 近年来，发展了很多近似解法，如摄动法。随蔫电子计算机的普及和升 级，采用数值解法很方便，特别是用有限元法在计算机上进行。另外，热弹 性耦合问题变分原理的研究，也取得了一定的进展。 1 6 本文的工作： 根据工程实际情况，超高压管式反应器热冲击问题可以抽象为轴对称问 题。在对应数学模型的基础上，本文所做的主要工作如下： 1 不考虑热传导方程中的耦合项的影响，求解热冲击作用下的温度场的 分布情况； 2 不考虑耦合效应，忽略热弹性运动方程动力项的影响，独立求解热 冲击作用下的热位移场和热应力场： 3 考虑热传导方程中的耦合项，忽略热弹性方程中的动力项，耦和求解 热温度场和热应力场； 4 厚壁圆筒半径及壁厚对应力分布的影响。 本文对超高压管式反应器热冲击问题进行系统的研究，这为超高压管式 反应器在热冲击作用下的安全性、可靠性提供参考依据。 第2 章热弹i 生的基本理论 热弹性力学作为固体力学的一个分支，已经有很长的发展历史，近四、 五十年来其基本理论日趋成熟，应用日益广泛。它与经典的弹性力学有很大 的区别：经典弹性力学中，描述物体变形的状态参量有应力、应变，由虎克 定律相联系，只有一个独立参量；在热弹性力学中，描述物体变形的状态参 量有应力、应变、熵密度、温度四个，由虎克定律和热力学定律相联系，有 两个独立参量。总体来说，热弹性力学与经典弹性力学的本质区别体现在本 构方程中，本章将从热弹性的本构方程入手，来阐述热弹性力学的基本理 论。 2 1 热弹性的本构方程 热弹性力学与线弹性力学的不同在于本构方程( 物理方程) 的建立，其 几何方程、运动方程和线弹性力学是一致的。为了应用的方便，先简单介绍 线弹性力学的基本方程。 运动方程：，+ z = p u ， 几何方程：勺= i 1 ( 珥，+ “。) 本褐责程：仃u = 2 茚8 q + 舡6 q “。为位移矢量， 矗为应变张量，呀为c a u c h y 应力张量，p 为单位 体积的质量，z 为物体的体积力矢量，a ，旯为拉梅系数。 而热弹性的本构方程是建立在热力学第一定律和热力学第二定律的基础 上的，首先从热力学第一定律讨论。 2 1 1 热力学第一定律 若物体的位移矢量为“，速度矢量为h ，应变张量为矗，c a u c h y 应力 张量为，p 为单位体积的质量，z 为物体的体积力矢量，n 为c a u c h y 面 力矢量，对物体的任一部分v 体积而言，体积力和面力所作的总功率为： a = f f f a v + 沁矗s = l 蕊d y + 江i l d s ( 2 - 吣 ，j vs 1 0 其中s 为包围任一体积v 的曲面，而且p f = n j ，其中n 为曲面的外法线 矢量，由输运定理，其动能率为 k = 丢膨v f l v = 昙肛知矿 p 2 ， 若e 为单位质量单位体积上具有的内能，则在任一体积上的内能率为： u = d 讲； p e d v = j p ；d y ( 2 3 ) 若h 为单位质量单位时间产生的发热量，而q ，为单位时间单位体积上流出的 热量，则供热率： q = p h d v 一g ，n t i s ( 2 - 4 ) 有热力学的守恒定律和( 2 1 ) 一( 2 4 ) 式有： 鲁p e d 矿+ 丢熙：一毫秒2 h d 矿+ p h 订+ 眇d 矿一f ，m 谢 c z 固 上式是热力学第一定律的积分形式。因为 胁v f 积= f a 口v f l s = ( v f j 。，d v ，丘订= 卜。d v ( 2 - 6 ) 将式( 2 6 ) 带入( 2 5 ) 则： j t p e 一n i + 一p v 3 一a p i 。i + q 。| 一p h d v = o 则有热力学第一定律的微分表达式： p e = ( o g ，+ z pv f ) v + u 一q i ，+ p h ( 2 - 7 ) 由于能量守恒定律对物体的冈i 性运动是不变的，因此首先考虑刚性位移时， 即 v f 专v f + 6 j ( i 2 i ，2 ，3 ) ( 2 - 8 ) 其中岛为任意常量。假定p ，z ，吼，h 是不变的，将式( 2 - 8 ) 带入( 2 7 ) ， p e = ( 吩，+ z p v f ) ( v i + 6 ) + 啄v f ，一吼，+ p 由于6 是任意的，可得运动方程： 哈尔滨工程大学硕士学位论文 盯+ z p v f = 0 ( 2 9 ) 将( 2 9 ) 带入( 2 7 ) ，得到热力学第一定律的微分形式： p e = ( t i j v i j 一吼，l + p h 其次，考虑刚性转动时，有变化 叶- v i + e g k x k b j = u + e 。吒 其中为任意常量。将式( 2 1 1 ) 带入( 2 一l o ) r 2 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) p e = o u ( y i + k ) 一虬+ 肋= c r j j ( v ，, j + n ) 一吼，+ 肋 ( 2 1 2 ) = o t 。j + o g e | 坩b m q l j + p h 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 0 ) 可得到：8 州6 卅。0 因为6 卅0 ，可得 o u = q 。 有几何方程可得到： f 2 1 3 ) m ，j = ( “j + u j ，) + ( 撕，j u j , i ) = 6 f + c o o ( 2 1 4 ) 其中应变张量是对称的，转动张量是反对称的，将( 2 - t 3 ) 、( 2 - 1 4 ) 带入 ( 2 - 1 0 ) 可得到： p e = ( 占f + f ) 一毋。+ p h = 占口一吼1 f + 肋( 2 - 1 5 ) 2 1 2 热力学第二定律 首先定义熵的概念。令q 为绝对温度，物体从外界吸收热量，每升高1 k 所需吸收的热量为供熵，即：疋= 罟 供熵的改变量d 和外界吸收的微热量d 9 有如下关系： 诅：塑 d 而热力学的熵为供熵和系统内的产熵之和，即： d s = 担+ 鹕( 2 - 1 6 ) 热力学第二定律认为，在自然界的一切热力学过程都不会是产熵减少，即 哈尔滨工程大学硕士学位论文 勰乏0 对于不可逆过程，媳 0 ；对于可逆过程，碱- 0 ；鹕c 0 不可能发生， 由( 2 1 6 ) 式可得： 0 d s = 日正+ 疗d s 苫d o 因为一媳o ，由( 2 1 6 ) 得：d s d o 口 令，7 为单位质量上的熵密度，则有：s 2 ，p ，7 d y 财部黼警2 伊y 一伊 由式( 2 - 1 8 ) - ( 2 2 0 ) 可热力学第二定律的积分形式： p 删。争一伊 ( 2 1 7 ) r 2 - 1 8 ) f 2 1 9 ) f 2 2 0 ) f 2 - 2 1 ) g a u s s 定理伊。“斯y2 好丑0 2 。y y ( 2 - 2 1 ) 可化作如下形式：后和；口一肋+ 钆一罟b m 矿苫。 对任意体积矿，上式均成立，又口 0 ， p 扭p 一导q ：o ( 2 。2 2 ) ( 2 - 2 2 ) 即为热力学第二定律的微分形式。 2 1 3 太构方程 有了热力学两个定律的微分形式 垂，即单位质量上的自由能巾为： 庐= e 一口玎 ( 2 - 1 5 ) 、( 2 - 2 2 ) ，可以定义自由能 由于温度o ，应变ei j 的变化是使弹性体状态变化的因素， 温度梯度o _ i 才有热流发生，因此自由能由应为0 ，8 ，0 i r 2 2 3 ) 又由于只有存在 的函数，即 驴z 妒( 口，o r ，) 而且巾是一个状态函数，即有： ；2 嚣艺+ 势参 仔z 。， 由( 2 - 1 5 ) 、( 2 2 2 ) 和( 2 - 2 3 ) 得： p ；：p ；一p b r l - p 8 ；。；一q l ，。+ , o h p j 7 一p o r l ( 2 - 2 5 ) 根据( 2 2 4 ) ，由( 2 2 2 ) 、( 2 2 5 ) 式有： 卜户考卜卜等) 西考瓦等苫。 p 2 6 ， 由( 2 2 6 ) 式看出，毛，占，童是自由变化的，则有下式成立： g o - p 卺胪一等，薏- o p z 刁 一盟盘。 由( 2 2 7 ) 式可以看出，自由能函数与温度梯度无关，即有中= 中( o ，。日) 将式( 2 - ”) 代入( 2 1 5 ) ，并利用( 2 - 2 3 ) 得 一p o ；哪朋p ；+ p ；一p 嚣吉嘞+ 肋叫日；嘞埘；o 即p o l l + 吼j p h 。0( 2 2 8 ) 由( 2 - 2 7 ) ，可知巾= 巾( 0 ，8 日) ，在建立本构方程时有一条基本原则， 即本构方程不依赖于坐标系的选择，且与坐标变换无关。应变张量的不变量 ，1 is 船，j 2 皿吉( s 持s 胛一e h e h )，3 葺古e i 慵e 椭s h 蛔e h 是坐标变换下的不变量。即当讨论的材料是各向同性时，自由能在正交坐标 变换下是不变的，即巾= 由( i l ，1 2 ，i a ，0 ) ，若令0o 为初始温度，0 为实际 温度，令t = 0 0o 为温变，则巾= 巾( 1 1 ，1 2 ，b ，t ) 当于；r o o ，而且酬1 时， ll 称t 小温变。在小应变s 。1 和小温变的条件 下，假定应力张量是6 日t 的线性函数，则由( 2 - 2 7 ) 中的式子得： 5 p 薏。p 尝岛+ 薏白) ( 2 _ 2 ，) 为了使上式成为8 日t 的线性函数，令 p 妒= 口1 ，? + a 2 ，! + 口3 f + 口4 r 2( 2 3 0 ) 1 4 其中a l , a 2 ，a 3 ，a 4 为待定常量。将( 2 3 0 ) 带入( 2 2 9 ) 有 0 0 = ( 2 a l + 口2 ) 址6 # 一口2 勺+ a 3 t 6 9 在等温情况t = 0 时，易知2 a l + a 2 = 九，一a 2 = 2 u ，= a e a 6 “+ 2 p e # + ，d 口 ( 2 3 1 ) 为了确定常数a 3 ，取单向试件在x 轴方向受温度t 的作用，试件周边是绝热 的，即e1 l = e ；= nt ，其中n 为热力学的线膨胀系数，假定物体各向同性， 在温变t 的作用下，由( 2 - 3 0 ) 式 f 吒i ( 3 z + 2 t ) e 口+ 3 口歹 is 脯宣一3 口3 r ( 3 a + 2 肛) 由于 q 1 * 0 一a + 2 z e l l + 口3 f ，代入上式可得： a - 3 a 3 t ( 3 a + 2 、a ) + 2 p 口r + “3 r 口o 可得：( 2 - 3 2 ) 口3 一- a ( 3 a + 2 芦) 将( 2 3 2 ) 代入( 2 3 1 ) 得到热弹性的本构方程 d i a a 5 n 岛+ 2 p e o 一( 3 + 2 1 m ) c t t 6 0 ( 2 - 3 3 ) 由上式可以转化为8 日是o 目的函数形式， 勺2 扑i 一击叫埘岛。钟“一志叫朋岛p s 2 2 热弹性运动方程 在热弹性问题中为解出位移场和热应力场，一般的做法是以应变表达 式、动力方程、应力应变的本构关系等导出以质点的位移分量u j ( i = 1 ，2 ，3 ) 为 待定值的一组方程。这组方程成为热热弹性运动方程，其中包括质点的温度 变化o 。如果给定温度场0 ( x ，t ) 、边界条件和初始条件，则由热弹性运动方 程可解出物体的位移场u i ( x ，t ) 。然后由u i ( x ，t ) 和0 ( x ，t ) 联合算出热应力场 。日( x ，t ) 。 线弹性小变形情况下，应变表达式由下式给出 】 f “= i ( “f ，j + “川)( 2 - 3 5 ) 热弹性的本构方程由( 2 3 2 ) 给出： 1 5 口1 = 九s 魄6 h + 2 , u g u 一3 九+ 2 o i t 6 h q 。3 3 ) 动力方程由( 2 - 9 ) 给出： 吩，+ z p v i = 0 即q ，+ 石= p ( 2 - 9 ) 将式( 2 - 3 4 ) 带入( 2 3 2 ) 后，再将式( 2 3 2 ) 带入( 2 9 ) 中，可得以位移 为变量的动力方程，即热弹性的运动方程： 一等。一鲁咿詈乃= 昙乏肛0 4 脚 整理上式后可写成如下形式： + 南+ 詈z 一警甜。广詈墨( 川，2 ，3 ) 这个方程就是均质各向同性体的热弹性运动方程。以表示l a p l a c e 算子， 并以e 表示体积应变，那么热弹性运动方程又可以写作： 蚶忐巳+ 暑z 一警鸣= 夤荔川，z ，( 2 _ 。s ) 在一些实际的热弹性问题中，用柱坐标( f ，p ，z ) 来描述更为方便，此 时控制方程不用张量符号，直接用柱坐标来表达： 几何方程： s ：丝占：墼。：生+ 三丝 2 i ，屯2 蔷，2 亍+ i 苗 2 2 三号等：_ 誓一。：聊， = 习1i o u , + 争 。 = = 圭c 鲁七 体积应变表达式： 弩“+ + 屯= ；掣弓鲁+ 警 本构关系： 1 6 d ，_ 2 p s ，+ a p 一芦口 盯9 p 篇2 弘占中+ a e 一卢口 盯。2 l t e ：+ a e p o 盯r 9 = 盯p r = 2 r e r f 仃：，一盯“= 2 r e ：r 盯2 ；盯z p = 2 p f 尹z ( 2 3 8 ) 将( 2 3 7 ) 、( 2 3 8 ) 代入动力方程( 2 9 ) 可得柱坐标下的热弹性运动方程； ( a + 2 ) 警 d ， m 圳擦 o 1 1 o u ： 一b 粤 p f r ；p 二r d r 一6 毛笔州，；p 矗， rd m 筹熊判碟嘲瓶 以上各式中口一口( r ，妒，z ，f ) ，丘，分别是单位质量沿径向，环向和轴向的 体力。将以上各式中带有下标z 及对z 取偏导数的各项消去后可得到极坐标 ( r 伊) 下的二维问题的运动方程： 1 7 ( 2 - 3 9 ) 堕却 一，生甜卷，旦甜i叁坠缸 降堕缸 例瞰 。一却o一拓 ，ij 坠印 一打 ”一 生拓 p 9 邓 峨 塑打庐，割 姗 ，一知 、iff， ，一_ a ， 堕打 _-_t_【 i r 爿愕 ，0加 一 皓一铲争丝伽 2 3 热传导方程 由上一节讨论中知道，热力学的第一定律得到运动方程( 2 9 ) 和应力 张量的对称性( 2 -