2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文史类)(精校解析版).doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟满分150分第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1复数等于（ ）ABCD2已知集合，下列结论成立的是（ ）ABCD3已知向量，则的充要条件是（ ）ABCD4一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A球B三棱锥 C正方体 D圆柱 5已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）A BCD 6阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（ ）ABCD7直线与圆相交于，两点，则弦的长度等于（ ）A B. C D18函数的图像的一条对称轴是（ ）ABC D 9设，则的值为（ ）A1B0CD10若直线上存在点满足约束条件则实数的最大值为（ ）AB1 CD211数列的通项公式，其前项和为，则等于（ ）A1006 B2012C503D012已，且现给出如下结论：； ； ； 其中正确结论的序号是（ ）ABCD第卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13在中，已知，则_14一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_15已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_16某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17(本小题满分12分) 在等差数列和等比数列中，的前10项和（I）求和；（II）现分别从和前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率18(本小题满分12分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568（I）求回归直线方程，其中，；（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润销售收入成本）19(本小题满分12分) 如图，在长方体中，（I）求三棱锥的体积；（II）当取得最小值时，求证：20(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（I）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论21(本小题满分12分) 如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线：（）上（I）求抛物线的方程；（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点证明以为直径的圆恒过轴上某定点22(本小题满分14分) 已知函数（），且在上的最大值为（I）求函数的解析式；（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）（参考答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1考点：复数代数形式的乘除运算。 专题：计算题。 难度：易。分析：直接根据复数的乘法的运算法则，以及i2=1可求出所求解答：（2+i）2=4+4i+i2=3+4i 故选A点评：本题主要考查了复数代数形式的乘法运算，解题的关键利用i2=1，属于容易题2考点：集合的包含关系判断及应用。 专题：计算题。 难度：易。分析：由M=1，2，3，4，N=2，2，则可知，2N，但是2M，则NM，MN=1，2，3，4，2M，MN=2N，从而可判断解答：由M=1，2，3，4，N=2，2，可知2N，但是2M，则NM，故A错误。MN=1，2，3，4，2M，故B错误。MN=2N，故C错误，D正确。故选D点评：本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系。 专题：计算题。难度：易。分析：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可解答：因为向量=（x1，2），=（2，1），所以2（x1）+2=0，解得x=0故选D点评：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力4考点：由三视图还原实物图。 专题：作图题。 难度：易。分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆，且大小均等；三棱锥的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱。故选 D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题5考点：双曲线的简单性质。 专题：计算题。 难度：易。分析：根据双曲线 =1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率解答：双曲线 =1的右焦点为（3，0），a2+5=9 a2=4 a=2 c=3 故选C点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键6考点：循环结构。 专题：计算题。 难度：中。分析：通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可解答： k=1，满足判断框，第1次循环，s=1，k=2，第2次判断后循环，s=0，k=3，第3次判断并循环s=3，k=4，第3次判断退出循环，输出S=3，结束。故选A点评：本题考查循环结构，注意循环条件的判断，循环计算的结果，考查计算能力7考点：直线与圆相交的性质。 专题：计算题。 难度：中。分析：由直线与圆相交的性质可知，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+2=0的距离d，即可求解。解答：图形如图所示，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离，所以圆心（0，0）到直线x+2=0的距离 由直线与圆相交的性质可知，即 。 故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解题的关键是公式的应用8考点：正弦函数的对称性。 专题：计算题。 难度：中。分析：将内层函数x看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果解答：由题意，令x=k+，kz，得x=k+，kz是函数f（x）=sin（x）的图象对称轴方程令k=1，得x= 故选 C点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的求法，整体代入的思想方法，属基础题9考点：函数的值。 专题：计算题。 难度：中。分析：根据是无理数可求出g（）的值，然后根据分段函数f（x）的解析式可求出f（g（）的值解答：是无理数 g（）=0 则f（g（）=f（0）=0 ，故选B点评：本题主要考查了分段函数的求值，解题的关键判定是否为有理数，属于基础题10考点：简单线性规划的应用。 专题：计算题；数形结合。 难度：中。分析：根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m1，由此可得结论解答：由题意，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示则可得m1，实数m的最大值为1，故选B点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题11考点：数列的求和。 专题：计算题。 难度：中。分析：由于an=ncos，a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=2，则四项结合的和为定值，可求解答：an=ncos，又f（n）=cos是以T= 为周期的周期函数a1+a2+a3+a4=（02+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（06+0+8）=2，a2009+a2010+a2011+a2012=（02010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+a2012=（02+0+4）+（06+0+8）+（02010+0+2012）=2503=1006。故选A点评：本题主要考查了由数列的通项求解数列的和，解题的关键是由通项发现四项结合为定值的规律12考点：利用导数研究函数的单调性。 专题：综合题。 难度：难。分析：根据f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论解答：求导函数可得f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3） abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0 a1b3c。 设f（x）=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabcf（x）=x36x2+9xabc，a+b+c=6，ab+ac+bc=9 b+c=6abc=9a（6a） a24a0 0a4 0a1b3cf（0）0，f（1）0，f（3）0 f（0）f（1）0，f（0）f（3）0 故选C 或： f（x）导数和函数图像如下：由图，且，所以。点评：本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13考点：正弦定理。 专题：计算题。 难度：易。分析：结合已知两角一对边，要求B的对边，可利用正弦定理 ，进行求解。解答：BAC=60，ABC=45，BC= 由正弦定理可得 ， 可得AC= = =故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，掌握正弦定理及其使用的范围是求解的关键14考点：分层抽样方法。 专题：计算题。 难度：易。分析：根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果解答：田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，这支田径队有女运动员9856=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，每个个体被抽到的概率是=田径队有女运动员42人，女运动员要抽取42=12人，故答案为：12点评：本题主要考查了分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，属于基础题15考点：一元二次不等式的应用。 专题：计算题。 难度：易。分析：将关于x的不等式x2ax+2a0在R上恒成立，转化成0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围解答：因为不等式x2ax+2a0在R上恒成立=（a）28a0，解得0a8。故答案为：（0，8）点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题16考点：统筹方法在实际中的应用。 专题：阅读型。 难度：中。分析：确定铺设道路的总费用最小时的线路为：AEFGD，从G分叉，GCB，即可求得铺设道路的最小总费用解答：由题意，铺设道路的总费用最小时的线路为：AEFGD，从G分叉，GCB总费用为2+3+1+2+3+5=16。 连接方法如下：（1） 连接，此时联通两个城市，费用为；（2） 再连接，此时联通三个城市，费用为；（3） 再连接，此时联通四个城市，费用为；（4） 再连接，此时联通五个城市，费用为；（5） 再连接，此时联通六个城市，费用为；（6） 再连接，此时联通七个城市，费用为。所以铺设道路的最小总费用为16。故答案为：16点评：本题考查统筹方法在实际中的应用，考查学生阅读能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17（本小题满分12分）考点：等差数列与等比数列的综合；列举法计算基本事件数及事件发生的概率。730953 专题：计算题；转化思想。 难度：易。分析：（）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；（）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论解答：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 则，得：（），各随机抽取一项写出相应的基本事件有 共个符合题意有共个 这两项的值相等的概率为点评：本题主要考察等差数列等比数列，古典概型等基础知识，考察运算能力，化归与转化思想是对基础知识的综合考察，属于中档题目18（本小题满分12分）考点：回归分析的初步应用；线性回归方程。730953 专题：计算题。 难度：易。分析：（I）计算平均数，利用b=20，a=b，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入成本，利用配方法可求工厂获得的利润最大解答：（I）， （II）工厂获得利润=，当时，（元） 该产品的单价应定为8.25 元时，工厂获得的利润最大 点评：本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题19（本小题满分12分）考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。730953 专题：计算题；证明题。 难度：中。分析：（I）由题意可知，A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（II）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面，当B1MAM，问题得到解决解答：（I）由长方体ABCDA1B1C1D1知，AD平面CDD1C1， 点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，又=CC1CD=21=1， =AD=（II）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C共线时，A1M+MC取得最小值 由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点连接C1M，在C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，=+MC2，得CMC1=90，即CMC1M，又B1C1平面CDD1C1，B1C1CM，又B1C1C1M=C1，CM平面B1C1M，CMB1M，同理可证，B1MAM，又AMMC=M，B1M平面MAC点评：本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题20（本小题满分12分）考点：分析法和综合法；归纳推理。730953 专题：计算题。 难度：中。分析：（）选择（2），由sin215+cos215sin15cos15=1sin30=，可得这个常数的值（）推广，得到三角恒等式sin2+cos2（30）sincos（30）=证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 +sin（cos30cos+sin30sin），即 1+cos2+sin2sin2，化简可得结果解答：（I）选择（2），计算如下：sin215+cos215sin15cos15=1sin30=，故这个常数为（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式（方法一）sin2+cos2（30）sincos（30）=sin2+sin（cos30cos+sin30sin）=sin2+cos2+sin2+sincossincossin2=sin2+cos2=（方法二）sin2+cos2（30）sincos（30）=+sin（cos30cos+sin30sin）=1+（cos60cos2+sin60sin2）sin2sin2=1+cos2+sin2sin2=1+=点评：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力。21（本小题满分12分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程。730953 专题：综合题。 难度：难。分析：（I）依题意，|OB|=8，BOy=30，从而可得B（4，12），利用B在x2=2py（p0）上，可求抛物线E的方程；（II）由（I）知，设P（x0，y0），可得l：，与y=1联立，求得取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可解答：（I）依题意，|OB|=8，BOy=30，设B（x，y），则x=|OB|sin30=4，y=|OB|cos30=12B（4，12）在x2=2py（p0）上， p=2，抛物线E的方程为x2=4y；（II）由（I）知， 设P（x0，y0），则x00l：即 由得，取x0=2，此时P（2，1），Q（0，1），以PQ为直径的圆为（x1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，1），取x0=1，此时P（1，），Q（，1），以PQ为直径的圆为（x）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，）故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下 =2y022y0+2=0，故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题22（本小题满分14分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点；利用导数研究函数的极值。730953 专题：综合题；转化思想。 难度：难。分析：（I）由题意，可借助导数研究函数，在上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（II）借助导