（数量经济学专业论文）广义矩研究及其在利率期限结构中的应用.pdf

中文摘要 广义矩方法( g m m ) 的提出和发展，打破了传统计量经济学方法的局限性， 它不像其他传统计量方法需要整个密度或者正态分布的假设，只需要一些矩条件 即可进行参数估计。并且很多传统的计量方法都可以看做是它的特例，因而广义 矩法已经成为金融计量经济学研究中一种必不可少的工具。 本文在第二章详细总结了g m m 的理论。首先由经典矩估计引出了广义矩方 法，并详细介绍了广义矩估计的基本原理，权重矩阵的选择，g m m 估计量的分 布，正交性条件以及假设检验。在此基础上深入探讨了广义矩法与其他传统计量 方法的关系以及在理性预期模型，动态面板数据模型和时间序列中的应用。 利率期限结构，又称为收益率曲线，是指在某个时点上不同期限的利率所组 成的一条曲线。它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机 的基准。正是由于利率期限结构的基准作用，对它的研究一直是金融领域一个基 本问题。随着近年来中国金融市场创新的不断深入，各种金融衍生利率工具的不 断推出，对利率期限结构的研究变的更加具有现实意义。 本文在第三章系统详尽地论述了传统期限结构理论，静态利率期限结构理论 和动态利率期限结构理论，总结了国内外相关研究成果，并进行了相应的评价。 在第四章，本文针对动态利率期限结构中较为著名的v a s i e e k 、c i r 和c k l s 三个模型，使用g m m 方法，并采用最新的1 日银行间回购利率，对我国的利率 期限结构进行了实证分析，得出c i r 模型能更好的解释我国短期利率的结论。 本文的创新之处在于瞬时利率的替代变量选择上，在总结其他研究成果的基 础上提出时效性原则，进而得出i b r 0 0 1 是目前最为合适的瞬时利率替代变量。 本文的局限在于，仅仅将g m m 法应用于动态利率期限结构中的单因子模型研 究，应用不够深入，这也是我今后的努力方向。 关键词：广义矩( g m m ) ；利率期限结构；单因素模型 a b s t r a c t t h er a i s i n ga n dd e v e l o p m e n to fg e n e r a l i z e dm e t h o do fm o m e n t s ( g m mf o r s h o r t ) b r e a k t h r o u g ht h el i m i t a t i o no ft r a d i t i o n a le c o n o m e t r i c a lm e t h o d s ，i to n l yn e e d s s o m em o m e n t sc o n d i t i o n sr a t h e rt h a nf u l ld e n s i t ya n dt h eh y p o t h e s i so fn o r m a l d i s t r i b u t i o n ，a n do t h e re s t i m a t i o n ss u c ha so r d i n a r yl e a s ts q u a r e s 、i n s t r u m e n t a l v a r i a b l ea n dt h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o na n ds oo na r et h es p e c i a lc a s e so f g m m t h e r e f o r e ，g m mh a sb e e nad e s p e n s i b l et o o lf o rr e s e a r c ho ft h ef i n a n c i a l e c o n o m e t r i c s i nf i r s tc h a p t e ro ft h i sp a p e rt h ea u t h o rs u m m a r i e st h et h e o r yo fg m mi nd e t a i l f i r s t l yi n t r o d u c i n gt h eg e n e r a l i z e dm e t h o do fm o m e n t st h r o u g hc l a s s i cm o m e n t s e s t i m a t i o n , a n dd e s c r i b i n gt h ef u n d a m e n t a lp r i n c i p l eo fg m m ，t h ec h o o s i n go f w e i g h t e dm a t r i x ，t h ed i s t r i b u t i o no fg m me s t i m a t o r , o r t h o g o n a l i t yc o n d i t i o na n dt h e t e s to fh y p o t h e s i si nd e t a i l i nt h i sb a s et h ea u t h o ra n a l y z e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n g m ma n do t h e rt r a d i t i o n a le s t i m a t i o nm e t h o d sa n dd i s c u s s e sa p p l i c a t i o n so fg m mi n d y n a m i cr a t i o n a le x p e c t i o nm o d e l ，d y n a m i cp a n e ld a t am o d e la n dt i m es e r i e sa n a l y s i s i n t e r e s tt e r ms t r u c t u r e ，a l s oc a l l e dy i e l dc u r v e ，r e f e r st oac u r v ew h i c hi sf o r m e d b yi n t e r e s t so fd i f f e r e n tm a t u r i t i e s i ti st h eb e n c h m a r kf o ra s s e tp r i c i n g ，f i n a n c i a l p r o d u e td e s i g n ，h e d g i n g ，r i s km a n a g e m e n t ，a r b i t r a g ea n ds p e c u l a t i o n b e c a u s ei t s f u n c t i o no fa c t i n ga sab e n c h m a r k , i n t e r e s tt e r ms t r u c t u r ei sa l w a y sab a s i cr e s e a r c hi n f i n a n c i a lf i e l d w i t ht h ed e e p e n i n go ff i n a n c i a lm a r k e ti n n o v a t i o n , t h ee m e r g i n go f f i n a n c i a ld e r i v a t i v ei n t e r e s tt o o l s ，i n t e r e s tt e r ms t r u c t u r er e s e a r c hb e c o m e s m o r ea n d m o r em e a n i n g f u li nc h i n a i nc h a p t e r2t h ep a p e rs y s t e m a t i c a l l yd i s c u s s e st h et h e o r yo ft r a d i t i o n a li n t e r e s t t e r ms t r u c t u r e ，t h et h e o r yo fs t a t i ci n t e r e s tt e r ms t r u c t u r ea n dt h et h e o r yo fd y n a m i c i n t e r e s tt e r ms t r u c t u r e ，s u m m a r i e st h ea b r o a da n dd o m e s t i cr e s e a r c hr e s u l t s ，a n d m a k e ss o m ee v a l u a t i o n s i nc h a p t e r3a c c o r d i n gt ot h et h r e ef a m o u sm o d e l sv a s i c e k ，c i ra n dc k l si n d y n a m i ci n t e r e s tt e r ms t r u c t u r e ，t h ea u t h o ru s e sg m m ，a p p l i e st h en e wb u y b a c k i n t e r e s to fb a n ki no n ed a y , e m p i r i c a l l ya n a l y z e st h ei n t e r e s tt e r ms t r u c t u r ei nc h i n a , r e a c h e st h ec o n c l u s i o nt h a tc i rm o d e lc a ne x p l a i nt h es h o r ti n t e r e s tb e t t e ri nc h i n a t h ei n n o v a t i o no ft h i sp a p e ri st h ec h o o s i n go fs u b s t i t u t e v a r i a b l eo fs p o t i n t e r e s t ，o nt h eb a s i so fs u m m a r i z i n go t h e rr e s e a r c hr e s u l tt h ea u t h o rp u t sf o r w a r dt h e p r i n c i p l eo ft i m e l i n e s s ，a n dd r i v e st h ec o n c l u s i o nt h a ti b r 0 0 1i st h ef i t t e s ts u b s t i t u t e v a r i a b l ef o rs p o ti n t e r e s t a n dt h el i m i t a t i o no ft h ep a p e ri st h a ta p p l y i n gg m mt ot h e r e s e a r c ho ft h es i n g l e - f a c t o rm o d e l ，w h i c hi sn o tad e e pa p p l i c a t i o ni ns o m e d e g r e e k e yw o r d s ：g m m ，i n t e r e s tt e r ms t r u c t u r e ，s i n g l e - f a c t o rm o d e l 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成 的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体 的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有 和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：岛乃打尔 o f 年中月如e l 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的 规定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机 构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论 文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“4 ) 作者签名： 导师签名： 锄胁弓邻 楷鸣 日期：口y 年q - , q ；oe l e l 期：d f 年妒月3 日 广义矩研究及其在利率期限结构中的应用 1 1 选题背景及意义 第一章引言 广义矩方法( g e n e r a l i z e dm e t h o do fm o m e n t s ，g m m ) 的一般表述是由汉森 ( 1 9 8 2 ) 提出的。它是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估 计方法，是普通矩估计方法的一般化。只要模型设定正确，一般情况下都能找到 该模型实际参数满足的若干矩条件而采用广义矩。g m m 法大大突破了原有矩法 的局限性，在大样本性质下效果较好，而且在相当大的范围内具有极大似然估计 的优良性。 g m m 方法的一个非常重要的应用领域是金融计量经济学。金融计量经济学 ( f i n a n c i a le c o n o m e t r i c s ) 是随着经济学发展而产生的一门新的分支科学，它对 金融数据的处理多采用线性结构，但经济行为从许多方面表现出非线性关系，而 且变量的数目也在增加。传统的参数估计方法由于受其自身条件的约束，越来越 难以满足金融计量经济学发展的需要。g m m 估计法就是在这样的背景下越来越 受到人们的关注，它的理论日趋完善，应用也日趋广泛。g m m 方法的提出促进 了金融计量经济学的发展，金融计量经济学的发展也g m m 方法其提供了更为广 阔的应用空间，同时也推动了g m m 理论的完善。 利率作为金融市场上最重要的价格变量之一，一直以来就是金融学研究的 重点，特别是短期利率，它直接影响着各种固定收益债券及其衍生产品的定价。 由于无风险短期利率常被视为主要的参考利率，所以它对于利率风险管理、资产 定价、收益率曲线的分析也是相当重要的。另外，短期利率在货币政策传导中也 处于中心地位。而在我国，目前存贷款利率仍由中央银行决定，基准利率的调整 往往滞后于经济的发展。国内金融机构的利率风险管理还相当薄弱。 因此，从以上角度出发，将国际上运用较为广泛的利率期限结构模型引入 我国，运用g m m 方法，结合我国的实际情况进行实证分析是非常有意义的。 1 2 论文框架 本文共分为四个部分。第一章引言部分介绍了论文的选题背景和意义，论文 第一章引言 框架及研究方法。第二章着重介绍了广义矩理论。首先是广义矩方法的研究综述； 其次介绍了广义矩法的基本原理，权重矩阵的选择，估计量分布，估计步骤，正 交性条件以及假设检验；随后通过探讨广义矩法与几种常见参数估计方法的关系 以及广义矩法在时间序列、动态理性预期模型和动态面板模型中的应用，对广义 矩的理论和应用进行了深入研究。 第三章分剧从传统期限结构理论，现代利率期限结构理论的静态估计法、动态估 计法三个方面详细介绍了利率期限结构理论，并对国内外实证研究情况进行了综 述。第四章，借助g m m 方法，运用v a s i c e k 、c i r 、c k l s 三个动态利率期限结 构模型，对我国银行间回购利率r 0 0 1 进行了实证分析。通过比较发现c i r 模型 更好的拟和了我国的利率期限结构，并得出我国利率的均值回复水平为1 9 2 2 5 。 论文框架图如下： 至 利率期限结构理论 一 r i 动态期限结构理论 传统期限结构理论 1r 静态期限结构理论 1r 图1 本文研究框架 2 广义矩研究及其在利率期限结构中的应用 1 3 研究方法 本文以理论研究为主，采用定性与定量相结合、理论与实证互为支持的研究 方法；并通过运用大量的公式推导，使得论述的逻辑性更强，运用图表以使分析 更直观性，使结论更具有说服力。 本文研究所利用到的知识为：金融市场计量经济学、货币金融学、时间序列 分析、动态面板数据分析、随机微分方程等。主要使用的工具为：s a s 和e x c e l 。 第二章广义矩理论 第二章广义矩理论 2 1 广义矩方法研究综述 广义矩( g m m ) 估计法( h a n s e n1 9 8 2 ) 目前已成为计量经济学的一项重要 的创新。在很多环境中，它都提供了一种解决估计问题的有效方法，包括诸如理 性预期模型( h a n s e n ，s i n g l e t o n1 9 8 2 ) ，面板数据模型( h a u s m a n ，t a y l o r1 9 8 1 ； a n d e r s o n ，h s i a o19 8 2 ；h o l t z e a k i n ，n e w e y , r o s e n19 8 8 ；a b o w d ，c a r d19 8 9 ； a r e l l a n o ，h o n o r e2 0 0 1 ) ，连续时间模型( h a n s e n ，s c h e i n k m a n1 9 9 5 ) ，半参数模 型( 如，p o w e l l1 9 8 6 ) 。在m a n s k i ( 1 9 8 8 ) 阐述的比拟原则方面，g m m 已被证明 是一种解决问题的十分有效的方法。并且，许多文献着重寻找提高效率( c r a g g 19 8 3 ；m a c u r d y2 0 0 0 ) 和渐近有效的矩条件( c h a m b e r l a i n19 8 7 ；n e w e y , 19 8 8 ， 1 9 9 3 ；n e w e y ，c h i p t y2 0 0 2 ) 。同时g m m 也为发展利率参数检验( b u r g u e t t e ， g a l l a n t ，s o u s a1 9 8 2 ；n e w e y ，w e s t1 9 8 7 ；n e w e y ，m c f a d d e n1 9 9 4 ) 和假设检验 ( n e w e y1 9 8 5 a ，b ；t a u c h e n1 9 8 5 ；e i c h e n b a u m ，h a n s e n1 9 9 0 ) 提供了一个框架。 因为许多估计量和检验可以视作g m m 的特例，该框架为计量经济学提供了一个 有力的一致性原则。 g m m 是在一段相当长的时间里一步步发展起来的，每一步的发展都很重要， 每一步都得出许多新的结果。选择估计量使得样本矩与总体矩离差平方最小化这 一思想可以追朔到p e a r s o n ( 1 9 0 0 ) 的卡方统计，s i m t h ( 1 9 1 6 ) 的建议以及其他 人的最小卡方思想( 见b e r a 和b i l i a s 2 0 0 2 年的调查) 。c h i a n g ( 1 9 5 6 ) 和f e r g u s o n ( 1 9 5 8 ) 提出了在总体矩和样本矩离差平方最小化情形下获得的估计量。这些方 法也考虑到更一般的二次型，包括样本矩函数，这为联立方程( m a l i n v a u d1 9 7 0 ； r o t h e n b e r g1 9 7 3 ) ，面板数据( c h a m b e r l a i n1 9 8 2 ) 以及动态模型( g o u r i e r o u x ， m o n f o r t1 9 9 5 ) 的发展做出了重要贡献。同时，s a r g a n ( 1 9 5 8 ，1 9 5 9 ) 考虑了线性 残差模型中的线性和非线性工具变量( ) 估计量。a m e m i y a ( 1 9 7 4 ) 为具有非 线性残差的模型，提出了非线性两阶段最小二乘估计量，该估计量涉及了许多重 要的例外情况，包括具有跨期替代弹性的资本资产定价模型( 汉森，s i n g l e t o n 4 广义矩研究及其在利率期限结构中的应用 1 9 8 2 ) 。另一方面，h u b e r ( 1 9 6 7 ) 探讨了不可分离的矩条件和参数一样多时的情 况。 g m m 的全面发展是在允许不可分离矩条件和多于参数个数的矩条件同时存 在之后。g m m 允许包含各种函数的矩条件，如似然值，带有工具的残差乘积， 随机变量与其期望之间的差分，以及上述形式的任意组合。g m m 全能性的一 个例证是，i m b e n s ( 1 9 9 2 ) 为以选择性为基础的样本离散选择模型所做的g m m 估计。其估计量达到了c o s s l e r ( 1 9 8 1 ) 的有效边界标准，其中的矩条件是条件 得分和其他类型的函数。 出自h a n s e n ( 1 9 8 2 ) 和w k t e ( 1 9 8 2 ) 研究成果的g m m 另一个重大进展是， 在异方差和或自相关情况下，最优工具变量( 也即渐近有效) 的权重矩阵的使 用。 然而，要使g m m 的估计量有效，必须在g m m 估计时采用精确的推断过程。 在g m m 引入之前，作为g m m 前身的估计法( 尤其是线性模型的估计法) 的一些重要结果都表明其渐近一致性可能不理想( 可参考a n d e r s o n 和s a w a 1 9 7 9 ) 。之后的很多研究进展( 如，商业和经济统计杂志在1 9 9 6 年的特刊) 也显 示g m m 的渐近一致性可能不佳，因此学者们将计量经济学理论的讨论更多的集 中在g m m 推断方法的改善。 目前，国内学者对于g m m 方法的研究尚处于起步阶段。 2 2 广义矩概念的引出 2 2 1 经典矩估计( m o m ) 用矩法求估计被认为是最古老的求估计的方法之一，它由k p e a s r o n 在2 0 世 纪初提出，其基本思路是用样本矩及其函数估计相应的总体矩及其函数，具体如 下： 将总体矩r 简单的定义为一个随机变量的某个连续函数g 的数学期望： r _ e 【g ( x ) 】。例如均值= e ( x ) ，称为一阶原点矩；u s = e ( x 2 ) 】，称为二阶中 心矩。 矩的函数，如v a r ( x ) = 心- u ? ，v 呱x ) 也称为矩。通常，我们可以用样本矩来 第二章广义矩理论 估计总体矩：邑= 吉g ( x ) 。例如，m ，奶，儿是从样本总体，盯2 ) 中抽取的 一组样本观测值，那么可以从样本观测值计算样本一阶( 原点) 矩和二阶( 原点) 矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数( 期望和方差) 的估计量，即： 肚吉耖n 寺喜订 分别为样本一阶矩和二阶矩，于是总体的一阶矩和二阶矩的统计量分别为 m ( 1 ) = e ( y ) = x ( 1 ) = 丢喜咒。m ( 2 ) = e ( 】，2 ) = x ( 2 ) = i 1 缶n 乃2 因为e ( y ) = ，e ( y 2 ) = 盯2 一2 ，于是得到总体参数( 期望和方差) 的估计量 乏：麓t ) - e v ) ：x ( 1 ) ， 盯2 = m 2 + ( m 1 ) 2 = x 2 + ( x 1 ) 2 这里利用x ( 7 表示样本的r 阶矩，用m ( 7 表示总体的r 阶矩。 再如，假设总体的分布密度函数为 ( f ) 2 ：乏荔丽a e x p ( 一圭( 孚一6 ) 2 ) ，f o 其中参数为口和b ，( x ) 为服从( o ，1 ) 的分布函数a 在进行参数估计时，可 以用负指数矩估计。因为对于该总体存在如下关系，即矩条件： el-!=鱼+赢1a e x p ( 一三2 6 2 ) 口2 万( 6 ) 。 毋之= 了b 2 + 1 + 厕b e x p ( 一奶2 口 口2 2 万( 6 ) 。 所以有关参数估计的方程为： 21亡-1：旦+上一。(一g)-7 e x d ( 、= 一+ d i ，一；l j a a2 q 呖( p ( b ) 一2 。 鬻2 芸+ 志州一抄 用样本计算方程组左端，求解方程组即可得到参数估计量。这样的负指数不 仅便于计算，而目恰好等于参数的极大似然估计。 6 广义矩研究及其在利率期限结构中的应用 2 2 2 广义矩估计( g m m ) 当样本矩条件的个数与待估参数的个数相等时，使用经典的矩估计方法即可 解决参数的估计问题，如上述两个例子都是选择两个样本矩来估计总体的两个参 数。 若选择的矩方程个数多于估计参数的个数，经典矩方法就不再适用，于是广 义矩方法应运而生。设样本r 个矩为x ( n ，i = 1 ，对应总体r 个矩为 m ( o ( ) ，扛1 ，m 。( ) 为待估总体( 向量) 的函数，且r 大于待估参数的个 数，则最小二乘法参数估计量实际上是使得欧式距离函数 9 ( ) = ( x n m ( ) ) 2 达到最小的参数估计量。但是不同的矩起的作用不 f = l 同，如果希望某些矩的作用大些，这就想到加权最小二乘法、广义最小二乘法， 从函数空间距离角度，就是要应用m a h a l a n o b i s 距离。写成向量形式，记 x = ( x n ，x 7 ) ，m = ( m n ，埘7 ) ，则马氏距离定义为： q ( ) = ( x - m ) s 。1 ( x m ) 其中s 是关于( x m ) 的协方差矩阵，参数的g m m 估计就是使得q ( 历达 到最小的。 2 3 广义矩估计法 2 3 1 广义矩估计的基本原理 假设w f 为一个r 期观察到的h x l 变量向量，为未知的a x l 参数向量， h ( p ，w ) 为r x l 向量值函数，h ：( r 4 x r 6 ) j r 7 的一个映射。因w f 是一个随机变 量向量，所以h ( p ，嵋) 也是随机变量向量，若e h ( f l ，嵋) ) = 0 ，则称此向量方程为 ，个正交条件。令e ( 以，以中，“) 为包含容量为刀的样本中全部观察值的刀办1 向量，用rx l 向量值函数m ( ；艺) 表示h ( p ，w t ) 的样本均值，即 聊( ；艺) = 圭厅( ，) ，m 是( r 4x r 6 ) 专r 7 的一个映射，选取参数向量的估 计值成，使样本矩所( ；j 二) 最小，尽可能接近于0 ，则尾即为广义矩( g m m ) 估计值。 7 第二章广义矩理论 令历( ；匕) = 0 ，即用，个方程解a 个未知数。若，= a ，则方程恰有唯一解。 但更一般的情况是厂 a ，因此，g m m 估计方法就是极小化 g = m ( f 1 ) 。w 1 m ( p ) ， 其中权重矩阵为形为某正定矩阵。g m m 估计量就是使g 极小化而得到的参 数估计量，即= a r gm i n ( m ( f 1 ) 。形一r e ( p ) ) 2 3 2 权重矩阵的选择 当模型为过度识别时，权重矩阵的选择就不仅仅是科学了。原因之一在于广 义矩估计法的权重依赖于参数估计，而参数估计又依赖于权重的选择。一般的做 法是在模型中先采用相等的权重，用由此得到的参数估计重新计算权重矩阵。 权重矩阵的选择是g m m 估计方法的一个核心问题。h a n s e n ( 1 9 8 2 ) 提出最 佳的权矩阵为 形= 叫v a r 【m ( ) 】= 专莩军c 。v 【z j 毛，z j 占j = 吉；军z z = 万1 z 舷 若随机误差项存在异方差但不存在自相关，w h i t e ( 1 9 8 0 ) 提出权重矩阵w 的估计量为，形= 二瓯，若随机误差项存在自相关，n e w e y 和w e s t ( 1 9 8 7 ) 提出 权矩阵w 的估计量为 矿= 吉s = 刀i _ ( s o + w ( ，) ( s + s ：) ) 其中( 1 ) = 1 - l - - l + l ， e i = p ( 乃，五，) = 咒一办( 置，) ，= 1 ，2 ，” ，的选择标准为：使得随机误差项滞后大于，的序列相关性非常小以致于可以 忽略不计。其中声是令形= 三所得到的一个非有效但一致的估计量，或使用其他 方法得到的一个一致估计量。 考察一个简单的线性模型，其中有，个不同的观测值( m ，奶，”) ，各个观察 值的总体平均值为( “，鸬，以) ，例如m 可能表示为某些变量的五个观察值的样 本平均，弘表示由第二个样本中得到的样本平均，如此等等。在没有限制的情 况下，估计可能简单地为，= 只，i = 1 ，2 ，。 8 广乙乙气岛 。川 = s 广义矩研究及其在利率期限结构中的应用 在有关的线性限制时，最好的估计是由广义最小二乘法得到的y 的线性函 数。我们知道的g l s 估计是 = a r g m i n ( ( r - u ) q 一1 i f - u ) ) 其中】，= ( 乃，奶，”) ，u = ( 1 1 ，段，以) 且q 是】，一u 的方差一协方差矩阵 q = e r r u ) ( 】，一u ) 】。可见本例中的最优权重矩阵为q 一。 2 3 3g m m 的估计量分布 g m m 估计量的渐近协方差矩阵为：( g 旷l g ) - 1 a 其中g = 嚣，由骶e n e ( 1 9 9 7 ) 可知多山( 多，亍1 ( g 形1 g ) - 1 ) 。应当指出的是，g m m 估计是一个大 样本估计，它的令人满意的性质仅在大样本情况下才有。g m m 估计在大样本情 况下是渐进有效的，而在小样本下是无效的。因而，只有在大样本情况下才使用 g m m 进行参数估计。 2 3 4g m m 估计法的步骤 根据以上所述，可以把g m m 的估计步骤归纳如下： ( 1 ) 采用o l s 估计方程咒= 厅( 置，) + q ，扛l ，2 ，刀，求得( 目的在于求 权重矩阵) ； ( 2 ) 计算权重矩阵的估计量。如果采用肜2 寺s2 寺( 品+ z w ( o ( s , + ) ) 的权 重估计量，则要首先选择三的值。当模型不存在序列相关时，取l = 1 ；当模型 存在序列相关时，可以采用广义差分法判断三的取值。权重矩阵为j x j 矩阵； ( 3 ) 将权重矩阵的估计量代入夕= a r g m i n ( m ( f 1 ) w _ m ( f 1 ) ) ，求得g m m 估计量。 2 3 5 正交性条件 假设由经济理论或先验信息得到关于总体的正交条件，通常具有的形式为 e h ( y ，石，历】= 0 ，其中j i l ( ) 是关于数据( l 彳) 下参数的r x l 连续函数向量 ( r k ) 。构造对应于总体的正交条件的样本矩： 9 第二章广义矩理论 e d ( y ，x ，) 】= - 当2 m ( r ，置，) = 0 - ，l = l g m m 估计方法就是极小化m ( y ，x ，) w m ( y ，x ，) ，其中权重矩阵形的最 佳选择为v a r m ( ) 的一致估计。如果选择了最佳的形，则上式的极小化值在条 件矩成立的情况下，渐近服从自由度为r k 的z 2 分布。 正交性条件特别重要，以简单的线性模型：y ：x p + , u 为例，在经典计量经 济学模型的理论中，对模型有几条严格的假设限制条件：模型几乎包括与被解释 变量相关的所有变量，随机误差项同方差且正态分布等。但是，这些条件在实际 中很难符合。例如，模型往往存在异方差性，而造成随机误差项异方差的一个常 见的原因是由于模型遗漏了某些影响被解释变量的相关变量。多少个解释变量才 能获得一个可靠的估计参数便成为了一个问题。g m m 方法给出的答案是，满足 矩条件e ( x 。) = 0 。 2 3 6 假设检验 一、用于矩条件检验的w a l d 、l m 和l r 检验 为了检验所构造的矩条件是否成立，需要进行假设检验。检验的原假设是： 凰：r ( ) = 0 其中是要估计的k x l 参数向量，r ( p ) 是，1 向量。r ( p ) 的分量是的函数， 可能是线性的，也可能是非线性的。 令c i 是的无约束m l 估计，c o 表示有约束的m l 估计，即当施加零假设的 约束时得到的估计，则利用m l 估计构造三个渐近等价的统计检验量：似然比、 w a l d 统计量和拉格朗日乘子统计量，用于假设检验。 似然比为： l r = 一2 【l i ll ( c o ) 一i n l ( c i ) 】z 2 【j 】； w a l d 统计量是： a 埘= 【r ( q ) 】 e s t a s y v a u r 【尺( q ) 】) _ 1 【尺( c 1 ) 】z 2 【j 】， 该统计量利用距离度量了无约束限制不满足约束限制的程度。其中渐近协方差矩 阵的估计量是： e s t a s y v a r r ( c 1 ) = a 。 e s t a s y 州棚4 ，4 = 警k w a l d 统计量的计算仅需要无约束m l 统计量。 广义矩研究及其在利率期限结构中的应用 拉格朗日乘子统计量是： l m = g o e s t 以s y v a t ( g o ) g o z 2 【j 】 舯岛= 等k 龟，e s t a s y v a r ( g o ) “a g a ， (：=ga。，ga：，】，!；。=!；!学i。，。，f=1，2，z l m 统计量的计算需要有约束的m l 统计量。 n e w e y 和w e s t ( 1 9 8 7 ) 为g m m 估计涉及了上述检验统计量的对等物。l r 统计量的对等物为：三= g o g 。，其中q l ；是q = 历( ) 。w 。1 m ( f 1 ) 在无约束下的 最小值，g o 是q 在有约束下的最小值。有必要在有约束和无约束两个统计量中 都使用同样形。由于无约束统计量在风和骂下都是一致的，因此，采用的 一致无约束估计量计算形。 利用g m m 结果而不是m l 估计，同样可以计算w a l d 统计量： 形矗搿= f 足( ) 】 e s t 口吵v a r r ( ) 】) - 1 j r ( 屈甜倒) 】z 2 ，】 此式和上述计算的w a l d 统计量完全相同。 对应的l m 统计量等价于检验零假设a - - 粤= 2 g ( f 1 ) w m ( f 1 ) = o 的w | a l d 统计 t j 量，即 三m 删= 口( v a r 陋】) 一1 口i ，；龟= 而( ) 形一1 g g w 一1 g 】一1g w m ( p ) l ， 二、结构稳定性检验 加入要检验假设：表征样本的那个前t o 观察值的( a x l ) 参数向量0 与表征 t t o 各观察值的不同，其中t o 是已知变化点。一个方法是仅根据前t o 各观察值 得到参数估计值乡而，使得 q ( o ；w r 。，h - i ，w t ) = 1 毛办( q ，彬) 】s - ，r 1 z h ( o l ，m ) 】 最小化；如果h ( e o ，w ) 是序列不相关的， s a ，晶= ( 1 t o ) h ( b 。而，w 】 而( 谷。而，】。 当t o 专时， 五( 口响一q ) 与( o ，k ) 其中的k 可由 一1 v 。而= d 。而s 。而d 。而) - 1 估计，同时 第二章广义矩理论 瓦郇仲喜掣l 和。两 类似地，使用后r - t o 各观察值，可得另一个参数9 ：，嘞，类似可得到 一i s 2 ，r t o ，v2 ，嘞，d 2 丁响，且当r - t o 专0 0 时， 4 t - 瓦( p ：卜瑶一幺) 与( o ，k ) 令万三7 0 t 表示第一个字样本中所包含的观察值所占比率。则由以上可知 丁寸0 0 时， 瓦( 乡。而一q ) 与( o ，k 万) 丁一7 0 ( 口：确一岛) 专( o ，k 0 一万) ) 安德鲁斯和费尔( 1 9 8 8 ) 建议采用关于零假设岛= 岛的沃尔德假设检验，利用判 别定理所需平稳性条件下秒。渐近独立于口：的事实： = r ( e ，而一口：，而) 【万- 1y 而+ ( 1 - a o - 1z j _ r o 】_ 1 ( 口。而一p ：而) 则在零假设q = 岛条件下五山z 2 ( 口) 。 利用上面的公式可以进行各种不同时期的结构变化的检验，对于所有 的，比如说0 1 5 t 和0 8 5 t 之间的r o 重复前述检验，选取最大的检验统计 量厶。 2 4 广义矩方法的深入研究 2 4 1 广义矩法与( 广义) 最小二乘法 考察标准线性回归模型： y t = x t 8 0 + p t 薯为k x l 维解释变量向量。需要判断的o l s 回归的关键假设是回归误差鸬与解 释变量不相关：e ( 薯以) = 0 ，即假定e ( t ( m - - x t ) ) = 0 。该式描述了七个正交条件， 即h ( o ，w f ) = 一( 只一薯历，其中彬= ( ”- x , 仂，= 秒，正交性条件个数与的未 知参数个数相同，即有厂= a = k 。所以标准回归模型可视作恰可识别的g m m 形 式。因为它是恰可识别的，的g m m 估计是使m ( o ) = 0 的值： 7 搠( 匆) = 1 r 一( m 一_ 。) = o 广义矩研究及其在利率期限结构中的应用 经整理得：多= t 薯薯) 一1 t 只 。它是通常的o l s 估计量。多的方差的g m m 表达式由专痧产；( 筋形ar - - 1 会r ) 。1 给出，其中 址掣k d 们) 善t 竽l 多- _ ( 忉喜z z 形= 舰( 1 丁) e 【办( 皖，w ) 】【乃( 岛，w f 一，) 】) ， 在本例中得到t = l v m o o 形= 舰( 1 丁) e 以鸬一，毫一，) 假定鸬被视为条件同方t = 差lv “且t j 序列不相关，则 e 鸬鸬一，z 一， = f 尉舳： 从而得到孵= 弓( 1 t ) z z 其中露：( 1 丁) tz f a ：，会f _ 乃一再。多为o l s 残差。将上述一系列式子代入 1 1 一1 “= 素( d 7 w rd r ) _ 1 中，即可得到g m m 估计的方差协方差矩阵： 导多，：( 1 r ) ( 1 丁) 壹t z 【( 1 丁) 壹薯z 】一( 1 丁) t z ) ：会；【圭薯z 】一t 显然这也是o l s 估计量方差的表达式。由此可见，o l s 是g m m 的一个特例。 本例中，在推导g m m 估计量时，我们假定鸬是与解释变量不相关的，但 我们并没有做关于异方差或误差序列相关的假设。在存在异方差或序列相关的情 况下，o l s 不如g l s 有效。因为即使在异方差或序列相关的情况下，g m m 也 使用o l s 估计，所以一般而言g m m 只是一致的。但是在异方差或序列相关的 情况下，o l s 仍然可以使用，只要满足回归残差与解释变量不相关的条件，o l s 就可以给出一个一致估计，但标准差的表示必须在考虑异方差或序列相关后进行 调整。 考虑鸬是条件异方差且序列相关的情况，此时s 的估计将变成： 孵= r 。，+ l 一【，( 三+ 1 ) 】) ( f ，+ r v ，r ) 厶 其中 第二章广义矩理论 f ，= ( 1 丁) 五，一，薯z 一， 此时，多的方差协方差矩阵的g m m 近似为 e 【( 夕，一) ( 多r 一夕) 。】兰( 1 丁) ( 1 丁) _ z 缈r _ z ) = 玎誓z 】1 形r 【薯z 】- l 因 r 一lrr 丁 为广义最4 - 乘法用相应误差项方差倒数的倍数作为观测值的权重，因此它比普 通最小二乘法更类似于广义矩估计。广义矩估计以误差的方差作为误差的权重， 如果用k 代表误差儿与，之间方差与协方差的估计，n f - 3 l 矩_ 估计量就是使得 “；7 达到最小。 2 4 2 广义矩法与工具变量法 当线性模型的经典假设之一解释变量与随机误差项不相关不成立 时，即解释变量是内生的：e c z ：u , ) 0 ，令五= ( ，靠) 是一个与互相关但与 随机扰动项不相关的1 ，- 前定变量向量。 由薯为前定变量的条件，则有e ( g u , ) = 0 ，这样得到，个正交性条件： e ( z ( 以一z f ) ) = o r 七 此时，w ，= ( m ，z ，墨) ，0 = b ，口= k , l t h ( o ，w ，) = z ( 只一乏) ，这也是g m m 的 一个特例。 当估计的参数与正交性条件数相等，即口= 后= ，时，模型恰可识别，且g m m 估计量满足吉z ( 只一z ，) = o ，得到色= 萋z ，) 。1 善z 乃) ，它就是我们熟 悉的工具变量估计量( 1 v ) ，即我们熟悉的最= ( z z f ) 。1 x 。y 对五( 目，哆) = z ( 只一z ；p ) 求导： 见= 掣k 岛= 吉喜笼产f # = b , ,