（应用数学专业论文）基于小波的模糊聚类图像边缘检测.pdf

论文题目：基于小波的模糊聚类图像边缘检测 专业：应用数学 硕士生：王玎( 签名) 圣驾 指导老师：乔宝明( 签名) 摘要 图像的边缘或轮廓检测在图像处理中占有重要的地位，对于图像处理、计算机视觉 来说是一个非常重要的基本研究课题。边缘表示了信号的突变，包含了图像中大量的信 息，故良好地保存边缘信息是进一步进行图像处理的基础。 本文在小波变换的图像边缘检测算法的基础上，运用模糊聚类边缘检测算法，得到 一种新的基于小波的边缘检测算法，避免了单纯采用小波基对图像分解使得高频部分信 息遗漏丢失的不足，同时有效滤除噪声( 伪边缘点) 。主要工作有： ( 1 ) 分析了近年来小波分析的发展及其在图像处理方面的应用，描述了目前常用的图 像去噪及边缘检测的各种算法，分析了各算法的基本原理、特性以及存在的不足。 ( 2 ) 研究了模式识别中的聚类分析原理及模糊c 均值聚类方法( f c m ) ，针对f c m 算 法存在的不足( 对孤立点数据比较敏感；需要事先指定聚类数目c 和模糊加权指数m ， 而c 和m 直接影响着聚类的结果) ，提出了一种改进方法一自适应模糊c 均值聚类方 法。 ( 3 ) 结合小波多尺度边缘检测方法与自适应模糊c 均值聚类方法，提出了一种新的基 于小波变换和自适应模糊c 均值聚类方法的边缘检测方法。即对图像进行小波变换，并 将相邻尺度小波系数相乘以增强边缘和去除噪声，然后利用模板得到四个方向的小波模 梯度值，并以其作为特征作为待分类点集，最后，采用模式识别中的自适应模糊c 均值 聚类技术进行自动分类，实现边缘检测。 关键词：小波交换；边缘检测；自适应模糊c 均值聚类 研究类型：应用 s u b j e c t ：i m a g ee d g e d e t e c t i o nb a s e do uw a v e l e tt r a n s f o r ma n df u z z y c l u s t e r i n gt h e o r y n a m e ：w a n gd i n g i n s t u c t o r q i a ob a o m i n g ( s i i g g n 船a t 觚u r e ) 毖少 ： 丝垒! 丝生! ：! 磐y e d g ea n dc o n t o u rd e t e c t i o na r ei m p o r t a n tt oi m a g ep r o c e s s i n g , c o m p u t e rv i s i o ni s a b a s i cp r o b l e m e d g es h o w st h em u t a t i o no ft h es i g n a l ，i m a g ec o n t a i n sal o to fi n f o r m a t i o n p r e s e r v i n gt h ee d g ei n f o r m a t i o nw e l li st h ef o u n d a t i o no f f u r t h e ri m a g ep r o c e s s i n g b a s e do nw a v e l e ti n l a g ed e n o i s i n gt h e o r y , e d g ed e t e c t i o na l g o r i t h ma n df u z z yc l u s t e r i n g f o r e d g ed e t e c t i o n , a na l g o r i t h m i sp r o p o s e di nt h i sp a p e r t h i sa l g o r i t h ma v o i d s h i g h - f r e q u e n c yp a r to f t h ei n f o r m a t i o nb e i n go m i t t e db ys i m p l yu s i n gw a v e l e td e c o m p o s i t i o n o fi m a g e i ti se f f e c t i v e l yf i l t e ro u tn o i s e ( p s e u d o - e d g ep o i n t ) i nt h i sp a p e r , t h e s eb ed o n e ： ( 1 ) s u m m a t i z et h ed e v e l o p m e n to fw a v e l e ta n a l y s i sa n di m a g ep r o c e s s i n ga p p l i c a t i o m i n t r o d u c es o m eu s u a le d g ed e t e c t i o na l g o r i t h m s a n a l y z et h e s ea l g o r i t h m s r a t i o n a l e ， c h a r a c t e r i s t i c sa n de x i s t i n gd e f i c i e n c i e s ( 2 ) t h ep r i n c i p l eo fc l u s t e r i n ga n a l y s i sa n df u z z yt ：- m e a n sc l u s t e r i n g ( f c m ) o fp a t t e r n r e c o g n i t i o n a r es t u d i e d f c mh a ss o m es h o r t , ：o m i n g s ，( 现t ss e n s i t i v et oi s o l a t i o nd a t ap o i n t s ； ( 骱e q u m gp r e s p e c i f i e dn u m b e ro fc l u s t e r i n ga n df u z z yc - w d g h t e di n d e xm ma n dcd o e f f e c t0 1 1t h ec l u s t e r i n gr e s u l t s a ni m p r o v e dm e t h o d - a u t o - a d a p t i o nf u z z yc - m e a n sc l u s t e r i n g m e t h o d , b a s e do nf c ma l g o r i t h m , i sp r o p o s e d ( 3 ) c o m b i n i n gw a v e l e tm u l t i s c a l ee d g ed e t e c t i o nm e t h o d sa n da u t o - a d a p t i o nf u z z y o - m a d n sc l u s t e r i n gm e t h o d s 觚a l g o r i t h mo fe d g ed e t e c t i o ni sp r o p o s e db a s e d0 1 1w a v e l e t t r a n s f o r ma n da u t o - a d a p t i o nf u z z yc - m e a n sc l , 】s t e - r i n gm e t h o d s f i r s td ow a v e r e rt r a n s f o r mt o i m a g e , a n dm u l t i p l yt h ea d j a c e n ts c a l ew a v e l e tc o e f f i c i e n t st oe n h a n c ee d g e sa n dr l 豇l l o v e n o i s e t h e nu s et e m p l a t ec r e a t m gt h ef o u rd i r e c t i o n so f w a v e l e t g r a d i e n t , 鹪w e l la sf e a t u r e s t ob ec l a s s i f i e d 鹪ac o l l e c t i o np o i n t f i n a l l y ，u s ea u t o - a d a p t i o nf u z z yc - m e a l l $ c l u s t e r i n g t e c h n o l o g yo f p a t t e r nr e c o g n i t i o nt oa u t o m a t i cc l a s s i f i c a t i o n , d oe d g ed e t e c t i o n 。 k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r me d g ed e t e c t i o l l a u t o - a d a p t i o nf u z z yo m e a n s c l u s t e r i n gt h e o r y t h e s i s ：a p p l i c a t i o n 西姿料技太学 学位论文独创性说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 其取得研究成果。尽我所知，除了文中加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西安科技大学 或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：互：fb 巅i - ；u 7 f 占 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 论文工作的知识产权单位属于西安科技大学。学校有权保留并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课 题再撰写的文章一律注明作者单位为西安科技大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：互 指导教师签名： 争。 芗 。 ) 年 日 0日 f 口吖，赁 叼 厂 l 绪论 l 绪论 小波分析是近2 0 年来发展起来的新兴学科，是当前数学领域中一个迅猛发展的新 方向它既具有丰富的数学理论意义，又具有广泛的工程应用价值，从数值分析角度看， 它是f o u r i e r 分析的一个突破性进展，给许多相关学科的研究领域带来了新的思想，为 工程应用领域提供了一种新的更有效的分析工具【“。利用小波基对信号( 或图像) 进行 一种新的正交展开，并且又能同时显示出时、频域的局部特征，因此现在已经广泛用于 信号或图像的处理当中。可以想象，随着小波分析理论的日益成熟和完善，它的应用将 会更加有效、更加深入、更加广泛。 1 1 小波分析发展历史简介 小波分析这一思想来源于伸缩和平移的概念。小波分析是由ym e y e r 、s m a n a t 及 d a u b e c h i e s 等奠定基础并迅速发展起来的。1 9 1 0 年，h a a r 提出了最早的小波规范正交 基，但当是并没有给出小波这一名称。1 9 8 1 年，m o r l e t 研究了g a b o r 变换方法，对f o u r i e r 变换和加窗变换的特点及函数构造做了创造性的研究，首次提出了“小波分析”的概念， 并建立了m o r l e t 小波。1 9 8 6 年m e y e r 创造性的构造出了具有一定衰减性的光滑函数， 1 9 8 7 年m a l l a t 巧妙的将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小 波函数构造及信号按小波变换及重构，并将该方法有效的应用于图像的分解与重构。 i 舶均r i e 和b a t t l e 继m e y e r 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年， m a l l a t 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广 泛应用的m a u a t 快速小波分解和重构算法。1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 构造了具有紧支集的正 交小波基。c o i f m a n , m e y e r 等人在1 9 8 9 年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正 交小波基由崔锦泰和王建忠在1 9 9 0 年构造出来。1 9 9 2 年a c o h e n , i d a u b e c h i e s 等人构 造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了 深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。小波理论及其应用仍然处在发展中，其 未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处 理等方面进行更深入的研究。 1 2 小波分析在图像处理中的应用 小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用，它 在信号处理、模式识别、图像分析、数据压缩、语音识别与合成等等许多方面都取得了 很有意义的研究成果。平面图像可以看成是二维信号，因此，小波分析很自然地应用到 了图像处理领域 2 h 6 1 ，从纯图像处理的角度分，主要包括以下几个方面：( 1 ) 图像预处理； 西安科技大学项士擘住论文 ( 2 ) 图像编码与压缩；( 3 ) 边缘检测与图像分割；( 4 ) 特征抽取与图像分类。 1 2 1 小波分析在图像预处理中的应用 由小波的分解与重构算法可知，小波分解后包括两部分：低频部分和高频部分。低 频部分可看成对原图像的平滑，而高频部分刻画了原图像在大尺度下的边缘信息。因此， 小波变换可用于图像的平滑、去噪以及图像增强等预处理。而图像降噪是图像预处理中 一项应用比较广泛的技术，其作用是为了提高图像的信噪比，突出图像的期望特征。 图像在采集、传输等过程中，经常受到一些外部环境的影响，从而产生噪声使得图 像发生降质，图像去噪的目的就是从所得到的降质图像中去除噪声还原原始图像。图像 降噪方法有时域和频域两种方法，频率域方法主要是根据图像像素噪声频率范围，选取 适当的频域带通滤波器进行滤波处理，比如采用f o u r i e r 交换( 快速算法f f t ) 分析或 小波变换( 快速算法m a l l a t 算法) 分析。空间域方法主要采用各种平滑函数对图像进行 卷积处理，以达到去除噪声的目的，如邻域平均、中值( m e d i a n ) 滤波等都属于这一类 方法。还有建立在统计基础上的l e e 滤波、k u a n 滤波等。但是归根到底都是利用噪声 和信号在频域上分布的不同进行的：信号主要分布在低频区域，而噪声主要分布在高频区 域，但同时图像的细节也分布在商频区域。历以，图像降噪的一个两难问题就是如何在 降低图像噪声和保留图像细节上保持平衡，传统的低通滤波方法将图像的高频部分滤 除，虽然能够达到降低噪声的效果，但破坏了图像细节。如何构造一种既能够降低图像 噪声，又能够保持图像细节的降噪方法成为此项研究的主题。在小波变换这种有力工具 出现之后，这一目标己经成为可能。 基于小波变换去噪方法的主要思想就是利用小波分析的多尺度特性，首先对含有噪 声的图像进行小波变换，然后对得到的小波系数进行阈值化处理，得到新的小波系数， 对其进行反变换，这样，我们就得到了去噪之后的图像，从而实现了图像的恢复周前， 已经发展了许多小波变换与传统图像去噪方法相结合的新的图像去噪算法，它们吸收二 者的优点，从而提高了图像的去噪效果，得到了较好的应用。 1 2 2 小波分析在图像编码与压缩中的应用 基于小波分析的图像压缩编码主要过程是首先对图像进行小波分解，通过分解得到 了一系列的子图像，从而使得图像中各个像素之间的相关性减弱，也就是使得变换后的 数据尽可能的集中在少量的系数上，然后再对变换后的数据进行量化编码，从而使得图 像的数据量得到压缩。目前，静止图像压缩编码的国际标准j p e g 2 0 0 0 就是基于小波变 换的这种思想得到的一种压缩方法。 2 1 绪论 1 2 3 小波分析在图像分割与边缘检测中的应用 图像分割在图像处理和计算机视觉中占有非常重要的地位，也是其最基本的问题之 一经过小波变换可以获得基于小波的多尺度特征，而利用小波分析的局部化特性，可 以获得不同尺度下的邻域特征。根据这些小波特征可进行模式分类图像分割的目的。另 一方面，利用小波分解后的高频信息，可以获得图像在不同尺度下的边缘特征，从而为 多尺度边缘检测提供了新的思路。 小波分析在图像分割中的应用主要是利用小波变换检测出图像的边缘点，再按一定 的策略连接成轮廓，从而实现了图像的分割。所以其主要步骤就是检测图像的边缘点。 我们知道，边缘是图像中灰度级的不连续点，具有奇异性，基于小波变换的边缘检测实 际上就是利用小波变换系数模的局部极大值来检测这种奇异性：m a l l a t 等人首次提出了 利用小波变换进行边缘检测，并证明了当小波变换的基函数是高斯偏导时，其零交叉边 缘检测就是著名的m j t oh i l d r e t h 边缘检测，而局部极大值的边缘检测对应着c a n n y 边 缘检测u h 9 。 目前，基于小波分析的图像分割与边缘检测方法可以分为两大类：一类是基于滤波 器尺度的多尺度图像分割方法。这一类方法有可以分为两种：一种是直接构造边缘算子 作用于原图像函数以检测边缘，另一种首先通过小波变换获得图像的多尺度特征，然后 再对像素进行分类，根据分类结果再进行分割。另一类是构造基予像素点处的尺寸及灰 度级差的多尺度函数，并以此函数构造边缘映射。这种方法集成了边界和区域处的特征 信息，具有潜在的研究价值。 基于小波分析的图像分割与边缘检测涉及以下几个方面：尺度的选择，阈值的选择 和小波基的选择。 1 2 4 特征抽取与图像分类 特征抽取主要是指在小波变换后，对获得的原图像上的频域信息提取的二次小波特 征。再将二次小波特征用于图像分类。 基于小波的特征主要有基于小波的纹理特征、基于小波的统计特征及基于小波的分 形特征。 总之，小波分析在图像处理中应用的主要思想就是首先将图像信号进行小波变换， 从而可以得到不同尺度下的一系列小波系数，在对这些小波系数进行分析，针对不同目 的和需要，用传统的图像处理方法或者更符合小波分析的新方法对小波系数进行处理， 最后再对处理后的小波系数进行小波逆变换，我们就得到了所需要的目标图像，这种基 于小波分析方法的图像处理过程可以用图1 1 表示【1 0 1 。 3 西安科技大学硕士学位论丈 输入原始图像 _ + | 对图像进行小波变换卜叫对小波系数进行处理 得到处理后的图像对处理后的小波系数进行逆 图1 1 小波变换用于图像处理的基本思想流程 1 3 本文研究工作概述 本文根据小波分析的时频局部化特性和二维可分离小波变换的性质和聚类分析理 论，结合小波变换与模糊聚类算法的特点，对其在边缘检测的应用进行了探索性的研究， 主要工作和研究结果包括：多尺度边缘检测是可靠地检测边缘的主流方法。改进模糊c 均值聚类算法，提出一种结合小波变换和自适应模糊c 均值聚类技术对图像边缘进行检 测的新算法。 1 4 本文内容安排 本文在绪论中简单描述了小波分析理论发展历史，简要分析了小波分析在图像预处 理中的应用。 第二章主要研究了小波交换的基本理论，主要分析小波变换、多分辨分析及二维离 散小波变换。 第三章主要研究传统的小波去噪及边缘检测方法以及基于小波变换的图像去噪与 边缘检测方法。分析其处理图像的原理及特性。同时简要介绍了数学形态学方法、神经 网络方法、模糊数学方法等新的图像边缘检测方法。 第四章主要研究了聚类分析理论，在模糊c 均值聚类方法的基础上给出了改进方法 自适应模糊c 均值聚类方法。 第五章是本文的研究重点。主要是结合基于小波变换的图像边缘检测的以及模糊聚 类提出一种新的图像边缘检测方法基于小波和自适应模糊c 均值聚类的边缘检测方 法，最后给出本文提出的新方法对图像进行边缘检测的结果。 第六章为总结，总结了整篇论文，并对未来的研究提出了一些设想。 4 2 小波变换基本理论 2 小波变换基本理论 小波分析理论是一门新型学科，自创立伊始就引起了数学家和工程技术人员的重 视，经过众学者十多年的探索研究，小波分析己经成为一门具有扎实理论基础与广泛工 程应用前景的学科。小波分析理论揭示了新的观点，为很多应用领域带来了新的数据处 理方法。其中应用小波进行图像的多尺度分析就是一个热点研究课题，本章系统地分析 小波分析与图像处理紧密结合的理论与方法及常用的小波函数，为整篇论文做一个合适 的铺垫，为后面几章关于小波多尺度图像处理算法的提出奠定理论基础。 2 1 小波变换理论 小波变换是一种信号的时间一一频率分析方法，它具有多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的特点，而且在对域和频域都具有表征信号局部特征的能力，是一 种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方 法。近几年来，小波变换倍受科学技术界的重视，它不仅在数学上已经形成一个新的分 支，而且在应用上，如信号处理、图像处理、模式识别、量子物理以及众多非线性科学 领域，被认为是近年来在分析工具及方法上的重大突破。与传统的傅立叶( f o u r i e r ) 变 换相比。小波变换在时域和频域同时具有更好的局部化性质。因此，在使用f o u r i e r 分 析方法的地方，都可以用小波分析替代。 小波分析方法最早是1 9 1 0 年h a r t 提出的小波规范正交基的概念。到了8 0 年代， s t r o m b e r g 对h a r r 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1 9 8 4 年法国地球物理学家 m o i l e r 在分析地震波的局部性质时，发现传统的f o u r i e r 变换难以达到要求，因而在信 号分析中引入小波概念。随后理论物理学家提出了一个确定函数的伸缩、平移系 r。厂，l 、1， j 叫叶y i 羔= l ：( 口，6 ) r , a 0 ，为小波分析的形成奠定了基础。 l 口j 真正的小波热开始于1 9 8 6 年，m e y e r 创造性的构造了具有一定衰减性的光滑函数 、l ，其二进制伸缩与平移 妒( f ) = 2 - g ( 2 t d 构成r ( 胄) 的规范正交基，这样离散 后的小波变换称为二进制小波变换。1 9 8 7 年，m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析 的思路引入到小波分析中，小波函数的构造以及信号按小波变换的分解与重构，其相应 的算法( m a l i m 算法) 有效的用于图像分析与重构。与此同时，d a u b e c h i e s 构造了具有 有限支集的正交小波基。这样，初步建立了小波分析的系统理论。从此，小波分析无论 在理论和应用上都得到了广泛的研究，取得了很多重要成果，其中，9 0 年代w i c k e r h a u s e r 等将m a l l a t 算法进一步深化，在多分辨分析的基础上提出的小波包算法最为突出。 2 1 1 小波变换的定义 定义1 设矿( ，) ( 的，若其傅立叶变换满足条件 5 西安科技大学硕士学位论文 f nf i 劬) i q = c 冒d n o 硼 ( 2 1 ) 则称w ( o 为小波函数或基小波，式中矿 ) 为妒( ，) 的傅立叶变换。并称( 2 1 ) 为小波函 数的可容许性条件。 定义2 将小波函数矾f ) 进行尺度变换和平移，设小波尺度因子( 伸缩因子) 为口， 平移因子为b ，令其平移伸缩后的函数为。( f ) ，贝j j 有 嘣归忑1y ( 争口 o , b 五 ( 2 2 ) 称虬j ( ，) 为依赖于参数口，b 的小波基函数。 由于尺度因子a ，平移因子b 是取连续变化的值，因此称o ) 为连续小波基函数。 它们是由同一母函数( r ) 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。 2 1 2 连续小波变换 定义3 对于任意的信号，( ，) e 庐( 固在小波基下进行展开，称这种展开为函数v ) 的 连续小波变换( c o m i n 岫啷w a v e l e tt r a n s f o r m 简称c w r ) ，其表达式为 聊j ( 口，6 ) = ( ，) = t 口i i ，2 ，o 妒( 等p ， ( 2 3 ) 其中虬j ( f ) 为母小波y ( f ) 经伸缩平移后依赖于参数a 和b 的小波函数。 虬j ( f ) = ；妒( 与，口r ，j l a o ，6 置。) 表示与，的内积。口称 4 a a 为伸缩因子或尺度因子，6 称为平移因子。 尺度越大，意味着小波函数在时间上越长，亦即被分析的信号区间也就越长，因此， 尺度越大意味着频率的分辨率也就越低，主要获取的是信号的低频特性。反之，尺度越 小，意味着只与信号的非常小的局部进行比较。因此主要获取的是系统的高频特性。因 此，它们之间的关系可归纳如下： 小尺度a 一压缩的小波一快速变换的细节一高频部分 大尺度a 一拉伸的小波一缓慢变换的粗部一低频部分 一维连续小波逆变换为： f ( o = c 虬一( f 耽q ，6 枷爵 眨4 ) 其中 i 1 2 妒( 册) l q = f t d a 佃 ( 2 5 ) 6 2 小波变换基本理论 可以看出函数厂和它的小波变换系数啊( 口，6 ) 之间存在着一一对应关系。 连续小波变换的系数有很大的冗余量。在连续变化的尺度a 和时间b 下，小波基函 数j ( f ) 具有很大的相关性，因而信号的小波变换系数阡乃( 口，的信息量是冗余的。一 般的，人们希望在不丢失原始信号的前提下尽量减小小波变换系数的冗余度。基于此， 引入了离散小波变换。 2 1 3 离散小波变换 在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。在连续变化 的尺度a 和对问6 值下，小波基函数( ，) 具有很强的相关性，因此信号郧) 的连续小 波变换系数的信息量是冗余的，这样会浪费计算时间和计算机存储空间。 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数j = ( 马的口，b 限制 、，口 a 在一些离散点上取值。最常用的做法是将尺度按幂级数进行离散化，而时闯在同一尺度 上进行均匀离散，不同尺度其离散间隔也成幂级数关系。为了使小波变换具有可变化的 时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，通过改变参数a ，b ，使小波变换具 有“变焦距”的功能，这样就得到了小波变换下不同的时频信息，从而实现对信号厂的 局部化分析。在实际中采用的是动态的采样网格，最常用的是二进制动态采样网格，即 取6 = 砉，口= 寺；，k z ，把这种离散化后的小波和相应的小波变换称为二进小波和二 进小波变换。相应的小波变换表示为离散小波变换，形式为： 古，砉 = ) ( 2 6 ) 矿f j o ) = 2 经y ( 2 - j t 一的 ，七z ( 2 7 ) 为了能重构信号几) ，要求杪肚 知：是r 伍) 的r i e s z 基。 定义4 一个函数y r 但) 称为个r 函数r 如果轨j 胁：在下述意义上是一个 硒s 铊基：y j j ，七e z 的线性张成在r ( 足) 中是稠密的，并且存在正常数a 与b ， 0 a b 。o ，使 硎h 狐s 艺主q ，约，5s 创h 配 对所有二重双无限平方可和序列b 乒；成立，即对于0 叠，难 b j 成立，则信号丸) 的重构公式为： ，( f ) = ( ，t , u j 。k ，( f ) j - k l 定义5 任意函数，r “) 的离散小波变换( d 、t ) 为 7 2 = b i ，定义投影算子弓：弓，巧，奶：q ，一彤 其中，。= 巧。杉，即形是巧在巧+ 一中的正交补则 p j f ( x ，y ) = q 声“沁力 ( 2 2 5 ) i j t z 西安科技大学硕士擘位论文 其中 争| 目b ，办= 2 7 簪c x l ，2 j y 一| ) ( 2 2 6 ) 是巧的基底。可以写成： = ( ，缸) ， ( 2 2 7 ) 是，在丸斟上的投影系数，则 c ，= c j j 谚爿( 力= ( ，一一) 力爿( 毛力 ( 2 2 8 ) ttzez 则 q j f ( x ，力= 巧盖砖二力 ( 2 2 9 ) | j 吐 其中 y l i f o ，爿) ( 、 , r ，) ，) = 2 7 】| c ，( 2 工一k ，2 j y d ( 2 3 0 ) 是时的基底。吼( i = l ，2 ，3 ) 可以写成班= ( 厂，”互) 是，在阡绉上的投影系数，则 ” 彰厂= 巧名蟛( 毛y ) = ( 厂，月) 班力 ( 2 3 1 ) 由此可得二维分解快速算法，加上约束条件后快速算法可写为； q 瑚= h ( p 一2 k ) h ( q - 2 ) c s + , 脚， d 1 ，j = h ( p - 2 k ) g ( q - 2 1 ) c j “月 竺 ( 2 3 2 ) d 。0 爿= g ( p 一2 k ) h ( q - 2 1 ) c j + i ，月 一 d 。0 = g ( p 一2 k ) g ( q - 2 ) c j 扎一 式中 ( 栉) 和g ( 功分别对应同一小波基的低通滤波器和高通滤波器。c ，且反映原图像 的低频信息，也称平滑像。d ”，_ 是垂直方向高频，水平方向低频的分量t 反映原图的 水平边缘。d ( i ) s , e 是水平方向高频，垂直方向低频的分量，反映原图的垂直边缘。d 3 j 一 是水平方向和垂直方向均为高频分量，反映原图斜边缘。 二维小波变换的约束条件为： y 鬼：压 ( 2 3 3 ) ；乏4 由分解过程易得重构公式，利用正交分解 弓+ 。，= 弓，+ j f ( 2 3 4 ) 最后得到了二维小波重构快速算法 q 删= q h ( p - 2 k ) h ( q - 2 1 ) + d h ( p 一2 k ) g ( q 一2 0 篷铂p 一2 k ) h ( q 哪+ 艰g ( p 一2 k ) g ( q 一2 1 ) q 3 5 + 巧蝥g ( p 一一刀) + 艰g ( p 一 一 1 2 2 小波变换基本理论 二维离散小波图像分解和重构示意图如图2 3 、图2 4 所示。 刊音积 l l 子圈 埘子田 眦子圈 删子圈 图2 3 二维离散小波图像分解示意图 亍糟积 l l 子田 u i 子田 札子田 册子田 图2 4 二维离散小波图像重构示意图 二维离散小波变换每次分解产生一个低频子图l l 和三个高频子图，即水平子图 l h 、垂直子图h l 和对角线子图删。下一级小波变换是在前一级产生的低频子图l l 的基础上进行的，重复下去，可得到多级小波分解的子图。 这就是m a u a t 塔式分解算法和重构算法。该算法在小波变换中的重要性相当于快速 傅立叶变换( f f t ) 在傅立叶分析中的地位，它的优点就是可以直接给出函数的分解系 数而无需写出基函数。这对数字信号的分解与重构来说，便于计算机实现，因而具有很 强的实用性。同时，它还将小波变换与滤波器紧密联系起来，即双尺度方程中的系数联_ i ) 与g ( 七) 分别起着低通滤波器和高通滤波器的作用，通常称之为尺度滤波器和小波滤波 器。由此还可以实现一种快速正交小波变换，即是对长度为的离散信号，该变换所需 要的运算次数仅为0 ( ) 。 引入无穷矩阵喝j = 柳一2 k ) ，q j = g ( 1 - 2 k ) ，l , k z ，则m a l l a t 塔式算法还可以 写成以下矩阵形式 c ，= 脚巴1 ( 2 3 6 ) 西安科技大学硕士学位论文 d ，= g c j - i ( 2 3 7 ) 相应的重构算法为 c j - l = h q + g 岛 ( 2 3 8 ) 且当日、g 满足：h h + g g = j 时可以实现精确重构，其中”表示共轭转置。 根据m a l l a t 塔式算法，对于任意一个离散信号x ( 一) ，经过小波滤波器g ( 哟与尺度 滤波器h ( n ) ，被分解为高频分量和低频分量，低频分量再经过g ( n ) 与h ( n ) ，又被分解 为更低的频率分量。从应用角度来讲，由于小波滤波器g ( 功和尺度滤波器_ i l ( 力的高频与 低频特性，使得信号通过滤波器后各分量间的相关性交小，同一尺度下的不同平移问的 信号相关性也会迅速衰减。 2 4 本章小结 本章讨论了小波变换的定义和性质，从小波的多分辨导出了尺度函数与小波函数的 双尺度关系，该关系的建立为小波的分解与重构算法的建立奠定了理论基础。 1 4 3 基于小波分析的图像去噪与边缘检测算法 3 基于小波分析的图像去噪与边缘检测算法 3 1 传统的图像去噪方法 图像去噪是图像处理中常用的技术，其过程是根据一些己知“降质模型”，从己有 的降质图像恢复原图像，即求在某种最优意义下的原图像估计。一般地，对二维图像信 号的消噪方法同样适用于一维信号，尤其是对于几何图像更适。图像降质过程可以表述 为如下模型； g ( i ，) = ( 联f ，) + f ( i ，) + n o n 2 ( 3 1 ) 式中，g o ，) 表示为降质图像，_ j i ( f ，d 表示为图像模糊算子或者退化算子，f ( i ，) 表 示为原图像，啊看作是加性噪声，吗为乘性噪声在大多数情况下，图像降质过程可看 成是线性不变模型，上式可改写为： g = n f + n ( 3 2 ) 日通常看作是线性不变( 空间不移) 低通滤波器，它反映成像设备的运动、镜头散焦以 及胶片长时阃曝光等降质过程；噪声拜一般为加性的，它是图像信号中最常见的图像干 扰噪声，与图像信号强度相互独立、互不相关。噪声类型有随机性( 白噪声) 、脉冲性、 高斯性和泊松性等。 传统的图像恢复技术( 方法) 可分为确定性的恢复算法和随机性的恢复算法。现有 的方法主要有以下几种：逆滤波、约束性图像去噪算法、贝叶斯方法以及最大熵法。 3 2 边缘检测的研究现状与进展 边缘检测是图像处理中一个重要的环节，同时也是众多学者研究的热点之一。但到 目前为止，边缘这个概念还没有一个统一的、数学性的定义。图像的边界在物体的识别 过程中具有十分重要的作用，在很多模式识别与特征提取任务中，通常可以根据物体的 边界线就可以识别出它的主要特征，这一点为图像处理的研究提供了重要的提示。理想 情况下的边缘检测应该是能做到有效检出的同时并能精确定位。但是实际傲到这一点是 有难度的，这是因为：( 1 ) 实际采集的图像都存在不同程度的噪声，并且噪声的分布特征、 方差等信息是未知的，甚至是不可测得的，同时噪声与图像的边缘都属于高频信号，虽 然平滑滤波运算可以消除噪声，但带来的负面效应是在去噪的同时导致边缘模糊，而且 检测出的边缘往往存在移位的现象；( 2 ) 由于物理和光照的原因，实际图像中的边缘经常 出现在不同的尺度范围上，并且边缘像素点的尺度又是未知的，利用固定的边缘检测算 子不可能同时最佳地检测出所有的图像边缘。 现在边缘检测算法依然是一个研究热点，并且广泛应用于图像工程领域，但迄今为 1 5 西安科技大学硕士学位论文 止还没有一个统一的分类标准。章毓晋( 1 9 9 9 ) 把边缘检测方法分为串行边缘检测与并 行边缘检测方法两类；彭冬亮( 2 0 0 3 ) 将边缘检测方法分为经典检测方法、基于最优指 标的检测方法和多尺度的边缘检测方法三类。根据本文的研究方向，主要研究基于小波 的多尺度方法。多尺度边缘检测方法代表了图像边缘检测发展的一个新的方向。 3 3 传统的图像边缘检测算法 图像的边缘或轮廓检测在图像处理中占有重要的地位，对于图像处理、计算机视觉 来说是一个非常基本的研究课题。边缘表示了信号的突变，包含了图像中大量的信息， 故良好地保存边缘信息是迸一步进行图像处理的基础。 3 3 1 边缘检测方法概述 图像的大部分主要信息都存在于图像的边缘中，主要表现为图像局部特征的不连续 性，是图像中灰度变化比较剧烈的地方，也即我们通常所说的信号发生奇异变化的地方。 奇异信号沿边缘走向的灰度变化剧烈，通常我们将边缘划分为阶跃状和屋顶状两种类 型。阶跃边缘中边缘两边的灰度值有明显的变化；而屋顶状边缘中边缘位于灰度增加与 减少的交界处。在数学上可利用灰度的导数来刻划边缘点的变化，对阶跃边缘、屋顶状 边缘分别求其一阶、二阶导数，如图3 1 和图3 2 。 ( a ) ( a 1 ) ( b ) 图3 1 阶跃边缘 ， 八j f 也n 0 b 善 ! v ( b 1 ) 图3 2 屋顶状边缘 1 6 ， 弋眠。 一v ( c ) l 入” 。 彤 x ( e 1 ) 办 3 基于小波分析的图像去噪与边缘检测算法 可见，对阶跃边缘点a ，其灰度变化曲线的一阶导数在a 点达到极大值；二阶导数 在a 点与零交叉。对屋顶状边缘点b ，其灰度变化曲线的一阶导数在b 点与零交叉， 二阶导数在b 点达到极值。 边缘也可以定义为图像局部特性的不连续性。例如，灰度级的突变，纹理结构的突 变等。边缘常常意味着一个区域的终结和另一个区域的开始。边缘信息对图像分析和人 的视觉都是十分重要的。它是图像分割所依据的最重要的特征，也是纹理特征的重要信 息源和形状特征的基础，而图像的纹理形状特征的提取又常常要依赖于图像分割。图像 的边缘提取也是图像匹配的基础；因为它是位置的标志，对灰度的变化不敏感，它可作 为图像匹配的特征点。 一般的边缘检测方法是对原始图像的每个像素考察它的某个邻域内灰度的变化，利 用边缘邻近一阶或二阶方向导数变化规律检测边缘，例如基于微分的边缘检测算子，一 阶微分算子有r o b e r t 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、k i r s h 算子、c a n n y 算子等，二阶 微分算子有l a p l a c i a n 算子、l o g 算子等。微分算子的一个明显缺点是对噪声较为敏感。 由于原始图像往往含有各种噪声，所以用这类算子进行图像边缘检测时常常会有困难。 近年来，随着数学和人工智能的发展，出现了一些新的边缘检测的方法，如基于小 波变换的多尺度边缘检测算法、数学形态学方法【1 7 l 、神经网络方法【1 s l 1 9 1 、模糊数学方 法1 2 0 1 1 2 1 1 1 2 2 1 等。其中，2 0 世纪9 0 年代出现的小波多尺度图像边缘检测方法能较好地解决 噪声和精确定位边缘的矛盾。它巧妙地利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用高的频 率分辨率和低的时间分辨率，而在高的频率段则利用低的频率分辨率和高的时间分辨 率，因此小波变换是检测突变信号强省力的工具。能很好地刻画突变点的奇异性，使用 小波利用奇异性检测的方法可以区分图像边缘，消除噪声，较之传统的方法，小波变换 检测具有很大的优越性。 3 3 2 传统单尺度边缘检测算子 边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景问的交界线。我们将边 缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。图像灰度的变化情况可以用图像灰度分 布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。经典的边缘 检测方法，是对原始图像中像素的某小邻域来构造边缘检测算子田】刚。不妨记： v f ( x , y ) ：孚f + 孚 ( 3 3 ) 儇 o y 为图像的梯度，百丁亿力中包含局部灰度的变化信息。记： e ( x ，力= z ( x ，) ，) + 刀 ，j ，) ( 3 4 ) 为梯度耵o ，力的幅度，p 力可以用作边缘检测算子。为了简化计算，也可以将如力 定义为偏导数工、五的绝对值之和： 1 7 西安科技大学硕士学位论文 e ( x ，j ，) = 阮瓴y ) | + 阮似力l ( 3 5 ) 以这些理论为依据，提出了许多算法，常用的边缘检测方法有：差分边缘检测、 r o b e r t s 边缘检测算子、s o b e l 边缘检测算子、p r c w i t t 边缘检测算予、r o b i n s o n 边缘检测 算子、l a p l a c e 边缘检测算予等等。 3 4 多尺度边缘检测的发展历史 ， 虽然边缘提取已有梯度算子、l a p l a c e 算子、r o b e r t 算子、s o b e l 算子，m a r r 算子等 方法，但这些算法都没有自动变焦的思想。对边缘点的计算都是通过一阶导数的极大值 或二阶导数的零交叉迸行的。在人们对边缘检测的长期研究中发现，按照这样的定义对 噪声很敏感。导致边缘检测成为一个病态问题( i l l - p o s e dp r o b l e m ) 。所谓病态问题指， 如果问题的解不满足以下两点：( 1 ) 问题的解具有存在性和唯一性：( 2 ) 数据连续变化 时解也连续变化。据此，按导数定义的边缘检测模型是病态的瞄j 。 解决病态问题的有效方法为正则化方法例。该方法的解决思路是：一个病态问题可 以通过将原信号或图像与某个三次口一样条函数卷积以后再求解的方法，使原来病态问 题的解变成正常解( w e u - p o s e dp r o b l c r a ) 。这就要求对原信号进行平滑处理。由于高斯 函数非常接近三次暑一样条函数，因此，高斯函数成为最常用的平滑滤波器。高斯函数 中的均方差参数仃向人们暗示了尺度滤波的概念。平滑处理后再进行的边缘检测相当于 在大尺度( 或低分辨率) 下进行的。尺度的选择成为关键。人们熟知的几个边缘检测算 子都是考虑到适当平滑的结果。文口n 中首次提出了用