（应用数学专业论文）几类生态数学模型的动力性态研究.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 本文应用单调动力系统理论对某些数学生态模型的动力态进行 研究。在第二章我们简单介绍了有关动力系统的一般理论。第三章主 要研究了一类拟单调时滞微分系统解的渐近性态。在减弱原有文献条 件的情况下，给出了系统存在全局吸引正平衡态的充分条件，推广了 已有结论。第四章考虑了定义在锥墨上的合作系统，成功的扩大了 合作系统的种类，并且把锥霹上合作系统所具有的结论推广到了b 锥上，获得了耳合作系统全局稳定性的充分条件。第五章把单调动 力系统理论应用到四维生态系统中获得系统一致持久性的充分条件。 关键词拟单调，全局吸引性，全局稳定性，合作性，一致持久 性 中南大学硕士学位论文 a b s t ra c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d ys o m em a t h e m a t i c a le c o l o g i c a lm o d e l s b yt h et h e o r yo f m o n o t o n ed y n a m i c a ls y s t e m s 。i nt h es e c o n dc h a p t e r , w e i n l x o d u c es o m et h e o r m so fm o n o t o n ed y a n m i c a ls y s t e m s 。i nt h et h i r d c h a p t e r , t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o no f ak i n do f q u a s i - m o n o t o n e d e l a ye q u a t i o n a ls y s t e m s i ss t u d i e d 。w ew e a k e nt h ec o n d i t i o no fl i t e r a t u r e ， g i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t i v i t yo f p o s i t i v ee q u i l i b r i u m 。s ow e m a k ep r o g r e s so f i t 。i nt h ef o r t hc h a p t e rt h e c o o p e r a t i v es y s t e m s i nt h ec o n eo fk pi sc o n s i d e r e da n dt h ec o n c l u s i o n s o f t h ec o m m o nc o n ea l ee x t e n d e d , a n dt h ec o n d i t i o no fg i o b e ! s t a b i l i t yi s o b t a i n e d 。i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h em o n o t o n ed y n a m i c a lt h e o r yi su s e di n t h ef o u r - d i m e n s i o n a le c o l o g i c a ls y s t e m , t h es u f f i c e n tc o n d i t i o no ft h e p e r s i s t e n c ei so b t a i n e d 。 k e yw o r d s q u a s i - m o n o t o n e g l o b a l - a t t r a c t i v i t y , g i o b a ! - s t a b i l i t y , c o 伊 p e r a t i v e ，u n i f o r mp e r s i s t e n c e ， 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 ，啦 作者签名：盈望丛日期：占受益年! ! 月丝日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：盐边塞日期：型年! ! 月垒占 中南大学硕士学位论文 前言 第一章前言 动力系统源于十九世纪末p o i n c a r e 等人的工作，这一数学分支不仅在许多 实际模型( 如天体力学、生物种群、化学反应等问题) 中有广泛应用，而且对于 数学理论本身也起到很大促进作用。上世纪八十年代初，也w h i r s c h 和h j d a t a n o 共同开创了对单调动力系统的研究，获得了许多优秀成果引起了国内外从事微分 方程研究的很多学者的注意。单调动力系统是一类特殊的动力系统，它是单调方 法与动力系统相结合的产物，其中单调方法是研究微分方程的重要方法，用这个 方法可以构造性的证明非线性微分方程解的存在性，又可以研究解的其它性质， 如渐近性、稳定性等。单调方法在微分方程中的应用至少可以追溯到二十世纪二 三十年代，k a m k e 1 与m 爵l l e r 2 在考虑常微分方程系统的关于初值问题的最大 与最小解时，实际上给出了由常微分方程系统产生的解半流保持序关系的充分条 件，k r a s n o s e l s k i i 3 ，4 1 也在这方面作了一些重要的极具影响的工作，另外可 参见文 5 - 1 0 。但是，直到h i r s c h 的一系列著名工作，单调方法与动力系统观点 才得以真正结合事实上，在二十世纪八十年代，h i r s c hc 1 1 - 1 8 结合单调方法 与动力系统观点，创造了所谓的单调动力系统理论。h i r s c h 在他的一系列题为“竞 争与合作常微分方程系统”的著作中，获得了。绝大多数”轨线收敛到平衡态的 通有收敛原理h i r s c h 考虑了拜维常微分方程系统： 工= 八力 ( 1 1 1 ) 其中工= “，x 2 ，毒。) 7 置4 ，f ：r ”专r “连续可微，并且 妄l ( 力o ，o j , x e r 4 ) ( 1 1 2 ) 硪i 则称系统( 1 1 1 ) 为合作系统，若上述不等式反号，则称系统为竞争系统。由 k a m k e 1 9 1 可知，对v t 0 ，解映射保持f 中的偏序关系“s 0 系统产生保序 半流氟( 力。由此我们可以很好的研究解的渐近性态。对上述合作不可约系统来 说，平衡点的稳定性由相应雅可比矩阵主特征值决定，第二章讨论的著名的 p e r r o n f r o b e n i u s 定理给出了判断依据。 。 时滞微分方程系统往往有着比用常微分方程所描述的动力系统更加丰富的 动力学行为，例如，一阶的自治时滞非线性系统可能出现混沌运动。另一方面， 时滞因素的出现往往会导致常微分方程所描述的系统中的混沌消失。因此开展对 中南大学硕士学位论文 时滞微分方程系统的研究既有重要意义又富有挑战性。有关时滞微分方程的一般 理论可参考h a l e 与v e r d u y nl u n e l 2 0 等书。单调动力系统理论己被广泛的应用 到时滞微分系统之中。1 9 8 7 年，s m i t h 2l 】对合作不可约系统建立了解半流的最 终强单调性。w u 与f r e e d m a n 2 2 】将此理论成功地推广到中立型时滞微分系统 上来，做出了出色的工作。 s m i t h 2 3 讨论了一类非标准序锥，这类序锥可扩大合作与竞争系统种类， 也可用来研究某些生物数学模型见 2 4 ，具有非常重要的实际意义。受到了学术 界的重视，许多学者对非标准序锥进行了深入研究。o r t e g a 与s a n c h e z 研究了关 于圆锥的合作与竞争型的常微分方程系统在电路模型中的应用。最近h 2 5 也讨 论了有关时滞微分方程在非标准序锥上产生强单调半流的充分条件。 一致持久性是数学生态学的重要概念，它具有非常重要的实际意义，历来受 到学术界的重视，许多学者都进行了深入研究，有关结果见 2 6 - 3 3 。一致持久 性对数学生态学模型来说也是一个重要的稳定性概念，它表示一个生态系统随着 时间的延长可以长期生存而不导致任何种群灭绝或无限增加，对常微分方程系统 的研究居多，一般通过l i a p u n o v 泛函，运用l i a p u n o v r a z u m i k h i n 技巧，利用微 分不等式建立系统一致持久性准则，而现在我们用单调动力系统理论研究数学生 态模型的一致持久的充分条件。 本论文结构如下：第二章介绍了单调动力系统发展过程中的主要定理。第三 章用单调动力系统理论研究了一类时滞微分系统解的全局性态，减弱了原有文章 的条件，推广了相应的结论，第四章讨论了合作系统的全局稳定性，把普通 锥磁上的结论成功的推广到了群锥上，第五章把单调动力系统理论应用到四维 生态系统获得了一致持久的充分条件。 2 中南大学硕士学位论文预备知识 第二章预备知识 2 1k a m k e 条件的结论 本章考虑如下的自治微分系统： x 。= 八力( 2 1 1 ) 其中，是定义在d c r ”上的连续可微函数。 定义以( 功为系统( 2 1 1 ) 的解半流满足初始条件t = 0 时，氟( 力= 而。彤是震“ 上的非负锥，由此产生一个偏序关系： v x , y e 五。，工y 当且仅当y - x e 彤，即对所有有而弗： 善 y 当且仅当工s ) ，且而 只对某个i ； 善“y 当且仅当对所有i 有而 乃 定义2 1 1 对任意的a , b e d ，满足a 6 且口l = 6 j ，如果对每个i 都有 z ( 口) z ( 6 ) 成立，则称f 茭l j k 函数。 定义2 1 2 设d c r ”，v x , y d ，x y , v t e 【0 ，l 】，如果i x + ( 1 - t ) y e d ，称d 为p 凸集。 定义2 1 3 设d 为p 凸集，若系统( 2 1 1 ) 满足： 要o ，f 五工d ( 2 1 2 ) 劣 则称( 2 1 1 ) 为合作系统，若 耍( 力o ，i 工x d w 则称( 2 1 1 ) 为竞争系统。 推论2 1 4 若d c r ”为p 凸集，r ( 2 1 2 ) 成立，则，为d 上的_ | 函数。 证明：对v a , b d ，a 6 ，且q = 玩，由积分基本定理得： 3 中南大学硕士学位论文预备知识 删吲= f 萎孥( 6 叫鸠训舱。 因此，z ( 力s z ( b ) ，故，为di - k 函数。 定理2 1 5 设厂为d j ：的k 函数，且，y o d 。设 ，表示与 0 ，且对a 的任意特征向量w 0 ，存在s 0 满足w = s v ； ( 衙) 若矩阵b 彳，则s ( b ) s ( 锄； o v ) 若s ( a ) 0 。 定理2 2 2 如果x 。是系统( 2 1 1 ) 的平衡点，r s = s ( 工矿( ) ) o 满足z 矿( ) ，= 即，存在占 0 ， 使序区间 x o - z v , x o + 别是吸引域的正不变集有： f ( x o - t - r v ) = r d f ( x o ) ，- i - “，) = r o v + o ( r ) ) 其中! 盟专0 且d ( ，) 寸0 ，当，斗0 存在占 0 满足f ( x o + 九，) o 对 r - e ，o ) ，且八而+ r v ) “o 对，( 0 , s 】，由文【2 4 】命题3 2 1 得以( x o + 6 v ) 单调 递减趋于而，以( x o 一占力单调递增趋于而因此序区间 x o 一巩而+ 别是正不变 集，如果粕_ 卯s x 而+ 甜，则 以( x o 一却s 识( 以( x o - i - 6 v ) ，t 0 ， 因此氟( 功专而，t 专所以为稳定平衡点。 定理2 2 3 见文 3 4 若j = s ( ) ) o ，则存在特征向量1 ， 0 满足 上矿( ) m 6 v ，假设对某一s 0 ，+ o ，) 有紧的内部对= x o - i - r v ，r ( o f 】， 则存在z o ( o ，s 】和p e e 满足对，( o ，卅解氟0 ，) 有如下性质； ( f ) x r “以瓴) “以( ) “e , o o ， o ； ( i i o 以o ，) 哼e , t 一； 若职) 不可约，则存在j ，“) ，“p 满足丢办( 力 o ，f 墨有 氟_ 岛f 斗 2 3 多变锥 为了扩大竞争和合作系统的种类，这一节介绍除贮以外的其它锥，对于给 定的一个系统的向量场判断它为何种单调系统以及产生怎样的偏序关系，都要根 据我们所定义的锥。为讨论方便作如下记号； 设t n = ( m l ，t n 2 ，) ，m f 0 ，1 且 5 中南大学硕士学位论文预备知识 k 。= x r “：( 一1 ) 吗t 0 , 1 i 聆 则足。为r “中的锥，且产生如下偏序关系。： 善，y ，当且仅当y x k 。等价地，而乃，若脚f = of l y i _ 若= 1 ； j 。弘当且仅当x s ，y r x y ； x “。弘当且仅当y - x i n t k = ，等价地，置 只，若m ，= o 且弘 o ，记之为 善( f ，咖或薯( 纠。 ， 系统( 3 1 1 ) 可作为生物多种群数学模型，它的某些形式已被广泛讨论，参见 文 3 5 , 3 6 , 3 7 , 3 8 。其中s m i t h 在文【3 8 】中考虑了，= 0 ，即无时滞情况，并在假设 八o ) 0 ， 和 a 。) 0 x j ，jo f ( y ) s 旷( 力， 下成功地证明了系统0 1 1 ) 至多有一个正奇点，如果没有正奇点存在，则所有正 初始点出发的解，当时间r 增加时，趋于无穷如果正奇点存在，则它在第一象 限内部是全局稳定的。蒋 3 5 】在上述弱凸性条件基础上又对无时滞系统作了更深 的讨论。文【3 9 】在子线性条件： ( s ) 八麟) 矿( 力，s 【0 ，1 】， 及额外一些假设之下，也对系统解的性质进行了讨论文【4 0 】在条件： ，( 叭力，v x e z n t r ：，v s e ( o ，1 ) ， 下对时滞系统( 3 1 1 ) 的平衡点的全局吸引性进行了讨论。受文【3 7 】对无时滞微分 系统讨论的启发，本章中我们把上述的条件) 用下面更弱的条件回来代替： 四如果存在连续映射i l ：【o 棚斗【o 1 r ，满足 i j i ( 0 ) = o , ( 1 ) - - l o ( s ) ，( v s ( o ，1 ) ，x 疋“) ， ( 3 1 2 ) 其中夕( 功s 八动，量( 目) = x ，e s - r ，o 】。 3 2 记号与定义 设x , y r ”，记工j ，营而只o = 1 , 2 ，力x y 工y 且x y ， 工“y t y f ( f = 1 ，2 ，功 记c ”= c ( - r ，o 】，r 4 ) ，并且在c o 赋予上确界范数 舻= s u p 妒( s h ：吖s o 。 记c + o = c ( - r ，0 】，足“) ，从而知c 。为b a n a c h 空间。 设仍妒e c 刖，记矿s y 妒一尹e c 町；尹 妒矿s 矿且伊妒； 矿 o 。 证明：当x = o 时，有 氕o ) _ i l ( s ) 夕( o ) 即 夕( o ) 一联s ) 氕o ) o 所以( 1 - j l o ) ) 夕( o ) o 又 1 一 ( s ) 0 8 中南大学硕士学位论文 一类时滞微分系统的全局吸引性 所以人o ) o 。 3 3 主要结论 在本节中一直假定( 3 1 1 ) 关于初值问题的解存在且唯一，v f , e c p ，( 可 延拓到 o ，) ，厶 ( f ) ) o ，坛o ) ( o ) 首先考虑如下系统 ，( f ) = ，如)( 3 3 1 ) 其中f ：d - 啼掣，d c c 加且为开集，连续得到如下引理： 引理3 3 1 设厂满足拟单调，老i h e r “满足五d 且八_ i ) o 抓磊) so ) ，则 玉龋) 非减( 非增) 对f o 见文【4 2 】。 证明：假设，嘏) o ，另一种情况可类似讨论。若组谚( o ) = j j i ，贝l jf h f 拟单调得：( 妒) 2 z ( | i i ) o ，由于【意叫n d 是系统( 3 3 1 ) 的正不变集。特别地 而( 五) 五对f o 因此薯+ ，( 五) 2 ( 向对t , s o 。等价地有薯( 两2 ( 五) 五，o o 使夕( ) = o ，则歹 在疋“中只有唯一的零点。 证明：假设结论不成立，则存在虬e 墨。x x o 有纸) = o 由注2 知 o 又而所以存在f 他2 ，一 使得o ，o ) ， ( ) 。( 或( h ) ， ( x o ) l ， 9 中南大学硕士学位论文一类时滞微分系统的全局吸引性 从而有 一 一 f ( s 1 y o ) h ( s i ) f ( y o ) = 0 ， 由于 0 ，存在s 2 ( o ，1 ) 使得 则存在k e 1 2 ，行) ，有 即 由，拟单调知 又 所以 此与( 3 3 2 ) 式矛盾， 定义 s 2 - l = m a x 屯= 鬻一器何础， 。 ( ) i ( ) i ” s 2 - 1 ( ) i = ) j ，屯- 1 ( ) ， ( s t y o ) j ，( ，d ， 五( 屯- 1 x o ) 五( 墨) o ， ( 3 3 2 ) 氕) = 氕s ：j ：。1 x o ) _ j l ( s ：) 夕0 2 - i x o ) ， ，( s 2 1 x o ) “0 ， 结论得证。 形。( 磊) = 劬c + ：( 力c + ，v t 0 且l i m ( 力= x o 。 定理3 3 4 设厂拟单调且满足条件( i - 1 ) ，且厶( 0 ) 0 ，l i 栉。则( 3 1 1 ) 在 a “中至多存在一个平衡点。此外 ( i ) 若( 3 1 1 ) 在c + 伽中不存在平衡点，则v 伊c + o ，有l i m x , f i o ) = 0 0 ； f ( ii ) 若( 3 1 1 ) 在c + ”中存在一个平衡点而，则而 o 且矿( ) 2c + 。 证明：先证至多存在一个平衡点。假设存在平衡点而，( 南) = o ，则而 0 。 否则存在f l ，2 ，n ，有而 o r ( x o ) ，- - 0 。由，的拟单调得：z ( 磊) z ( 6 ) ，因 g t f , ( g ) o 矛盾，& x o o 。由引理3 3 3 得系统至多存在一个平衡 点。 令g ( 咖= ( 厶( 仍( 0 ”石( 力，厶( ( 0 ) ) 六( 咖) ，则在假定厶( 0 ) o ，l i 栉下，g 满 1 0 中南大学硕士学位论文一类时滞微分系统的全局吸引性 足拟单调条件令广( 6 ) = 缸( f ，6 ) ：f 足 分情况讨论： 。( 口) 广( 6 ) 无界，因为g ( 6 ) o ，所以由引理3 3 1 知砸，6 ) 非减。从而 推出烩z ( f ，6 ) 斗，由引理3 3 2 x ( t ，6 ) 地办对矿c ，v f 墨因此 熟墨( 力# m ( b ) 广( 6 ) 有界，f h 上分析得x ( f ，6 ) 非减，从而存在而 o 使得 x o ，6 ) 专岛( t - , o o ) ，于是有鹏) = o 下证形( 毛) 3c + 。实际上，对 v 矿ec + ，由 o 推出存在j e ( o ，1 ) 使得： 6 s 尹ss 一1 毛， 由条件( 1 0 知 f ( s 4 毛) “o ， x l , ( f ) ) 0 ，故有 g ( s 。1 五) “o ， 由引理3 3 1 知o 1 螽) 非增，由引理3 3 2 知l x , ( s 一1 南) 矗，而( j 一1 南) 最t - - + o o 只要证八句= o 即可。因为系统( 3 1 1 ) 成立，所以( f ) 连续且有界，于是v f l ，f 2 有 i 薯( ) 一而( 乞) i = i ( 善) i k 一，2 i o ，且形。( 毛) 2c + 推论3 3 5 设，拟单调且 ，( 哟 矿国，j ( o ，1 ) ， 则定理3 3 4 结论成立。 中南大学硕士学位论文一类时滞微分系统的全局吸引性 证明：令h ( s ) = s 即可，此即文 4 0 】的条件。 推论3 3 6 设，拟单调且满足 谚( x ) 谚c y ) ，( v o x s y ) 及，( 6 ) 0 则定理3 3 4 成立。 证明：设x r + 4 ，s ( 0 ，1 ) ，又 人肛) = 夕( o ) + f 谚。优) s x d r 2 氕o ) + s f 谚( 砷耐r = f ( o ) + s o t ( x ) 一八0 ) ) 即 ；2 + s g 一7 嘞 即当s ( o ，1 ) 时，八成 ) s f ( 匐，从而由推论3 3 5 知结论成立。 3 4 应用举例 考察系统： c。=。，；+窆xj(t-t，)j-i ，t 。，z ，万， c s 4 ， ( o = o ) l ，；+ l ， i 1 ，2 ，万 ， ( 3 4 1 ) lj 其中呀0 ( f 力， o o l 2 ，疗 ) 如果( ) 稳定，则由定理3 3 4 得( 3 4 1 ) 存在肺c 上全局吸引的正平衡点，其中，= m a x r y 。 证明：对v 妒，妒u c 掣且仍( o ) = ”( o ) ，若u 为p 凸集，连续可微，则 ，( 们一z 缈) = f 够( 缈+ ( 1 一s ) 纠凼， 由s m i t h 4 3 】引理2 4 得： z ( y ) 一z ( 妒) 2 0 ， 即，满足拟单调。 又 氕麟) ：踊( ，) n + s 窆嘞_ o 一巧) 】 中南大学硕士学位论文 一类时滞微分系统的全局吸引性 毛( f ) 唔+ 芸嘞咿圳 j 2 毛( f ) 阢+ 嘞( f 一勺) 】 j s l = 而( j ) 夕( 力， 此时可取| j l o ) = s 2 f h a f o ，( 勺l 稳定保证了( 3 4 1 ) 存在唯一的平衡点膏，即 毛 o ，+ 吩句= o ，( 1 f 功， 系统( 3 4 1 ) 满足定理( 3 3 4 ) ，所以存在i n t o ；上全局吸引的正平衡点量，但不满足 文【4 0 】的条件 中南大学硕士学位论文一类昂合作系统的全局稳定性 第四章一类耳合作系统的全局稳定性 考虑系统 j = ，( 力( 4 1 1 ) 其中x = ( 鼍，工2 ，) 7 r ”，f ：k ”专置”连续可微。 众所周知，对于系统( 4 1 1 ) ，当其为合作系统或竞争系统时，解半流保持r ” 中的偏序关系由锥磁( 匙) 产生的。正如本文在第二章中提到过的，若考虑群( 贮) 以外的其它锥，可以扩大合作( 竞争) 系统的种类。本章的工作为：在一类新定义 的锥耳上讨论合作系统的有关结论，将第二节中提到的结论推广到耳合作系统 上，并得到j 乙合作系统的全局稳定性定理。 4 1 定义与记号 设尸= ( 弓l 为一个一阶实对合矩阵，p 2 = ，_ 显然p f f i p - 1 ，记集合 群= 缸r ”：p x o i m k p = 缸r ”： o ) 其中x 掣，则易知j 乙为f 上的一个锥，由它产生如下的偏序关系： x e y 当且仅当y x 巧， x ，y 当且仅当x e y f i x y ， 工 y 当且仅当y x 觑坼。 且xpy 铮p x 砂 ( 4 1 2 ) 定义4 1 1 集合d c r “，若v x ，y d ，0 a t a l ，血南y ，有t r + ( 1 - t ) y d ，则 称d 为缸凸集。 设d 为耳凸集，谚( 曲为系统( 4 1 1 ) 的解半流，当f = 0 时，死( 力= x 。 d ( 力= ) ：f 0 为工的正半轨线， 巧( 力= g i j 专，j 峨( 功一g 为毒的万极限集。令x ( ，) = 毋( f ) ，g ( y ) = p f ( p y ) ， 则系统( 4 1 1 ) 化为 夕= g ( 力( 4 1 3 ) 容易看到 中南大学硕士学位论文一类昏合作系统的全局稳定性 a _ 。z ：p 关p ， ( 4 1 4 ) a 1 ，c 伍 其中娑，_ o g 分别是( 功对工以及g o ，) 对y 的妇c d 6 f 矩阵。 d xo p 定义4 1 2 设d 为j 0 凸集，对系统( 4 1 1 ) ，如果 窆k f f i l 窆i - 1m 既要v t l o ，1 s “s 栉，毒。 称系统( 4 1 1 ) 为锥耳上的合作系统，或为耳合作系统5 若 喜喜段助善螂乳脚朋。 称系统( 4 1 1 ) 为锥耳上的竞争系统，或为髟竞争系统。 注1 若p = j ，去掉上面所涉及的下标“p ”，同时系统( 4 1 1 ) 变为普通锥 罡上的系统。 注2 若d 为砗凸集，则肋为第二章定义的p 凸集，如果工是系统( 4 1 1 ) 的解，则y o ) = p x ( t ) 是系统( 4 1 3 ) 的解。 4 2 预备知识 我们先考虑锥冠上的合作系统 i = ，( 力，( 4 2 1 ) 其中，为开区域d c r “上的连续可微向量场，有如下结论成立： 引理4 2 1 如果系统( 4 2 1 ) 为d 上的合作系统，设” ，”表示下列三种关系 ”与与”之一，则= 扛d ：0 ，厂 和罡f f i x e d ：，( 功 0 ，满足办o ) 域办( 力工，则万( 力为一闭轨，且周期为t ； ( 3 ) 若y w ( x ) r x 廊 x ，则j ，是平衡点。 引理4 2 3 若引理4 2 2 中条件( a x b ) 成立，且甜( 力中至少存在两个不同的 点，则系统( 4 2 1 ) 至少存在两个不同的平衡点。 引理4 2 4 设f ：x 专r ”是一个c 1 合作向量场，假如下列条件成立： ( 口) 工= r b 9 或肋群，或【p ，g 】： ( 6 ) x 中每一个正半轨有紧闭包； ( c ) 至多有一个平衡点； 则一定存在唯一的平衡点，且为全局渐近稳定的。 4 3 主要结论 引理4 3 1 若系统( 4 1 1 ) 为巧合作系统，令“ 置”表示下述三种关系 。部， 0 证明：只证毛句x 2 ，其它类似。由注2 知p d 为p 凸集，则显然系统( 4 1 3 ) 为锥群上的合作系统。设系统( 4 1 1 ) 的解为谚( 力，则识( 力= p 裤( 聊为系统( 4 1 3 ) 的解，其中j ，= p x 。若五句x 2 ，则由( 4 1 2 ) 知铂，即一咒，由定理2 1 5 得仍幽) s 仍眦) ，即谚( 五) 部魂魄) 。 引理4 3 2 如果系统( 4 1 1 ) 为耳合作系统，且” r ”表示下述三种关系之一 。， o ，有以 ) = “，令甜= 耽贝眵= p u ，即 仍= ( 助= ) = p u 即q r ( p u ) f f ip u ，所e u 是系统( 4 1 4 ) 的平衡点。 定理4 3 1 设，是d 上一个连续可微的耳合作向量场，假设下列条件成 立： ( 口) 腥耳凸的； 1 7 中南大学硕士学位论文一类野合作系统的全局稳定性 ( 6 ) d 中的每一个正半轨道都有紧闭包； 则 ( 1 ) 口( x ) 中不可能存在两点五，而满足五 0 ，满足卉 ) 域办( 功毒x ，则w ( x ) 为一闭轨，且周期为 t ； ( 3 ) 若z n r ( x ) b x ez 或z px ，贝1 j z 是平衡点。 证明：( 1 ) 假设盯 ) 中存在两点毛，x 2 满足而 ，屹，贝1 1 p x a e 站( 功，对n = l ，2 ， 因为( 6 ) 成立所以如( 功斗，一。 由矽的连续性得： 砖+ r 回2 谚+ r 慨如( 功) 2 恕哦删一。熙拜( 磊肿l ，r ( 砌= 磊 对r 芝o ，因此d ( 习为r 一周期轨道若0 - - | o o ，或( 力斗墨_ ，哼，记= n t + r j ，一 为自然数，且设_ 斗，- ，一因为吩- ，o o ，当_ ，寸，有： 噍( 功2 噍( 吒r ( 瑚专诈( 刃= i ，寸o 。，o r t 因此巧( 力= d ( 习，疗 ) 为r 一周期轨道。 ( 3 ) 仅证x pz 。由于z z ( x ) ，且x pz ，所以p z 巧( 力r p x t 时，有y s 仍0 ，) ，由引理4 2 2 知巧o ，) 是以f 为周期的轨道，由f 的任意性知万o ) 中的歹是平衡点，且巧o ) = 刀，由引理4 3 3 得z 为平衡点， 且酬力= z 。 引理4 3 4 若定理4 3 1 条件( a x b ) 成立，且口( 功中至少存在两个不同的 1 8 中南大学硕士学位论文 一类晒合作系统的全局稳定性 点，则系统( 4 1 1 ) 至少存在两个不同的平衡点。 证明：由引理4 3 3 得 r e ( x ) = p 何 因此若靠( 至少存在两个不同的点，则留( 力也至少存在两个不同的点，由引理 4 2 3 知，系统( 4 1 3 ) 至少存在两个不同的平衡点，再由引理4 3 3 ( 2 ) 知系统( 4 1 3 ) 至少存在两个不同的平衡点。 定理4 3 2 设，是d 上一个连续可微的磊，合作向量场，假设下列条件成 立： ( 口) 腥耳凸的； ( 6 ) d 中的每一个正半轨道都有紧闭包； ( c ) 至多有一个平衡点； 则一定存在唯一的平衡点，且全局渐近稳定。 证明：由条件可得对均c ed r e ( x ) 为单点集，否则，疗( 力存在两个不同的点， 由引理4 3 4 知系统( 4 1 1 ) 至少存在两个不同的平衡点，与( c ) 矛盾，又牙( 刁= 办 知p 为全局渐近稳定的。 4 4 应用举例 考虑如下系统 其o e a , o , i = l 2 ，3 。 ( 4 4 1 ) 若系统( 4 4 1 ) 满足o 厂( 而) i - i a , ，并且厂( 而) 有界，则系统( 4 4 1 ) 一定存 首先考虑系统( 4 4 1 ) 在“，恐，毛) 的妇c d 6 f 矩阵： ，= 睢0 引 w 蚺脚个印巨 中南大学硕士学位论文 一类岛合作系统的全局稳定性 定义如下的锥巧= t c 而，屯，而，f ：而。，屯s o ，b 田，即矩阵p = 畦 o l o 则显然系统在群上为合作系统。 首先利用常数变易法可褥： l 毛o ) = 五( o ) e x p ( 一q f ) + f e x p ( q ( f s ) ) ，( 而( f ) ) d 3 i 墨( d = x , ( o ) e x p ( - a , f ) + f e x p ( a , ( t 一曲) _ l o ) d s ， 2 i 3 有k ( f ) i i 畸( o ) | + 匕掣= 蝎，进一步有k ( ，) i i 屯( o ) | + 导= 鸩，故由归纳可得 k ls 磁哉系统( 4 4 1 ) 的每一解有界。 3 其次，可知厂魄) 一4 - i q ) 而= o 所以令 “d 3 g ( ：) = ，( z ) 一( 兀q ) z ，：p 扣i 3 因为，( 墨) 有辫，故有：l + i r a 。g ( z ) - - - , 。l + i r a 。g q ) = + ，且g ( z ) = 厂( 力一l - 1 4 , 而，_ o l _ ，e ，) 分别为各群体物种的种口密度且满足如下的关系： 子群体内部的物种之间是合作的，子群体之间的物种是竞争的由文【4 0 】对时滞 系统的讨论知此系统为带极限竞争的系统。 通过系统( 5 1 1 ) 的j a c o b i 矩阵，我们可成功的发现带极限竞争系统的特点： d f ( x ) = 乞 一吩吗毛 0 毛 0 一a , x 4 ：f4 1 ：m l c d j 一口l 毛 o 0 一r 2 d 2 而 毛 ( 5 1 2 ) 其中矩阵4 ，e c d 皆为2 x 2 阶矩阵。显然彳，d 为非对角线非负的矩阵，且 口o c 0 。 此时，我们称满足( 5 1 2 ) 的系统为x 类单调系统，满足此结构的矩阵为x 类 矩阵。对于一般合作系统( 第二章定义的) 一致持久的讨论见文 4 7 - 5 2 。 5 2 预备知识和记号 记 置= 扛皿4 ：工j2 0 ，t = 1 , 2 ；x js o ，j = 3 ，q = 霹( 一矗：) ， 中南大学硕士学位论文四维生态系统的一致持久性 在锥k 的定义下，我们记 r 4 = r 2 r 2 ，膏= ( 五，x 2 ) ，( 力= 厂( 墨，x 2 ) = ( 五，易) ，以，x 2 ) ) 五，x 2 r 2 。则锥k 产生如下的偏序关系： x ry ( x 量y ) y x k o x i n t k ) 。 若x = ( 而，x 2 ) y = c y , ，y 2 ) ，则x ry x ts 乃上b 22 儿 对于矩阵a ，b ：a 2 b 甘a - b 0 ，m t m 2 营4 4 ，置马，c l c 2 ，d i d 2 定义如下集合： k ，y k = z r 4 ：x z r 妇， k ，力r = 扛r ：x z 气力， “南y ) ) r = z e r 4 ：工 0 ，且吸引系统( 5 3 1 ) 所有 非平凡解。 。 证明：( 存在性) 系统( 5 3 1 ) 是合作系统，保证了为正不变集，令正表示 系统( 5 3 1 ) 的向量场，以为相应的流。设1 = ( 1 1 ) ，则对充分大的肼，f l ( m o “0 。 由文【3 4 】命题4 3 2 得以( 川1 ) 收敛到一个平衡点 ( 唯一性) 存在0 瓯，( x t ) 其中i i - l i ，i = 1 , 2 。 由文【4 0 】引理8 4 1 知系统( 5 3 1 ) 存在唯一非零平衡点。 ( 吸引性) 如果五 0 ，则存在脚， o 满足n ，“x i “m 1 ，由文【3 4 】定理4 3 3 知当，充分小时氟( 川一f ，又 破( 所1 ) 一x o ，t - - - o o ，诈( n ，) 办( e ) 0 ， 因此，破( 墨) 斗舛，t - a o 。 命题5 ，3 2 系统( 5 3 1 ) 的平衡点舛渐近稳定。 证明：设为( 5 3 1 ) 在矸j a c o b i 矩阵- ： = - s t + f r o - 科f 一岛+ 吒0 曼醒目) 一岛+ ，2 一z 巧矗2 。j ， ( - ”：砰f 一岛+ 吒0 一霹掣， = 7 由定理2 2 1 得5 西 0 中南大学硕士学位论文 四维生态系统的致持久性 因为，识( 他五) ) 专( o ，嬲) ，以( ，o ) ) 专科，o ) ，t _ m ，因此，办( 功r 我们的主要目的是给出所有种群具有持久稳定态的充分条件，下一结果告诉 我们，对系统( 5 1 1 ) 来说，它存在平衡态意味着子系统( 5 3 1 ) 和( 5 3 2 ) 分别存在正 平衡态。 命题5 3 4 设i = ( 置，x 一2 ) 为系统( 5 1 1 ) 的正平衡态，则墨+ 霹是系统( 5 3 1 ) 的正不变集且系统( 5 3 1 ) 存在一个平衡态霹置或者彬( 五) ：r 2o 是无界的对 任意五置 证明：因为石( 习= o ，由z 单调性知：石隔，o ) 2 0 。因此【杉( - 牙o l ，非减， t o , i e l 因此，暖) 专舛，矸墨，r - m 或 圆) ：r o ) 是无界的若 五墨，则( 五) ( 置) 蜀，对，0 ，因此墨+ 是正不变集且如果 耐佤) ：f o 是无界的，则对墨墨， 砰( 五) ：，2o 也是无界的