（应用数学专业论文）几类常微分方程多点边值问题解的存在性研究.pdf

摘要 本论文研究常微分方程边值问题中的多点边值问题，由五章组成 在第一章，我们对常微分方程边值河遂的历史背景和现状进行了综述 在第三章，我们研究了二阶常微分方程多点边值问题解的存在性，利用a v e r y - - p e t e r s o n 不动点定理证翡了在满足一定条件下，该边僮闯题至少存在三个正解 在第三章，我们研究了四阶微分方程边值问题解的存在性，利用上下解结合 单调迭代酶方法给漱了该边值闻题的最大解和最小解 在第四章，我们研究了带p - l a p l a c e 算子的微分方程多点边值问题解的存在 性，用a v e r y - - p e t e r s o n 不动点定理证明了一定条 牛下，该边值问题至少存在三 个正解 在第五章中，我们用单调迭代的方法给出了边值问题在满足一定条件下至少 存在一个正解与第四章有所不同的是，我们这一章给出了接近正解的序列 在第六章中，我们对第二章的砑题采用新的不动点定理加以研究，利用诧不 动点定理，得出该边值问题存在三个正解的充分条件 关键谲：多点边值闯题不动点定理p - l a p l a c e 算子上下解单调迭代存 在性正解 a b s t r a c t t l l i st h e s i si sd e v o t e dt om u l t i p l e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i tc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w es m m m r i z et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dc u r r e n tc o n d i t i o n s f o rt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d ye x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rak i n do fs e c o n do r d e r m u l t i p l e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s u s i n ga v e r y - - p e t e r s o nf i x e dp o i n tt h e o r e m , w eo b t a i nt h ec o n c l u s i o nt h a tt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mh a sa tl e a s tt h r e ep o s i t i v e s o l u t i o n su n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s i nc h a p t e rt h r e e w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rak i n do ff o r t ho r d e r m u l t i p l e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m c o m b i n i n gl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s m e t h o d sa n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e s , w eg e tt h em i n i m a la n dm a x i m a l 擘。魏霜氯鞋茂 。 i nc h a p t e rf o u r , w ea l ed e v o t e dt ot h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rak i n do f m u l t i p l ep o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp - l a p l a c eo p e r a t o r j u s tl i k et h a ti n c h a p t e rt w o ，u s i n ga v e r y - - p e t e r s o n 矗x e dp o 硫b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , w eo b t a i n t h ec o n c l u s i o nt h a tt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mh a sa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s u n d e rs u i t a b l e9 0 n d i t i o n s i nc h a p t e rf i v e ，w eu s em o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o dt os t u d yt h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mi nc h a p t e rf o u ra n do b t a i nt h a tt h i sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mh a sa tl e a s to n e p o s i t i v es o l u t i o nu n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s u n l i k ec h a p t e rf o u r , w eg i v eas o l u t i o n s e r i e sw h i c hc o n v e r g e st ot h et e r m i n a ls o l u t i o n i nc h a p t e rs i x ，w eu s en e w f i x e d - p o i n tt h e o r e m t os t u d yt h ep r o b l e m si nc h a p t e r t w oa n do b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n so f t h a tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s k e y w o r d s ：m u l t i p l e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma v e r y - - p c t e r s o nf i x e d 弦遍t h e o r e mp - l a p l a c eo p e r a t o r t h em e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s m o n o t o n ei t e m t i v et e c h n i q u e se x i s t e n c e p o s i t i v es o l u t i o n s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作鸵贡献，已在论文的致谢语中作了说明 作者签名：聋墨望日期：塑f 年! ! 月二l 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文鲍全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：趁丝垒导师 上l 胃丛冒 硕士毕业论文第一章 1 。1 边值问题发展历史 第一章绪论弗一阜强节匕 由于在现实世界中往往需要求解微分方程边值问题模型的芷解，引起人们对 这个闯题的关注及多方面的研究尤其最近三十年，国际文献中这一领域的论文 已有数百篇，广泛的应用背景使这一领域的研究取得了丰富的成果 常微分方程与微积分是同时产生的，从一莠始就是人类认识世界和改选世冕 的有力工具随着生产实践和科学技术的发展，常微分方程逐渐演变发展为数学 学科中理论联系实际的重要分支。常微分方程的一个核心蔼又基本的闻题，是确 定一个常微分方程满足定解条件的解是否存在，即定解问题定解问题主要有初 值问题，边值闽题翻特征值问题 边值问题的研究最初是由十九世纪三十年代s t u r m 和l i o u v i l l e 对二阶线性 方程的边值问题的求解开始的，二十世纪j l i l b e r t 等数学家为边值阕题奠定了理 论基础现在线性常微分方程边值问题的理论已经比较成熟，国内外的研究重点都 转向了菲线性常微分方程边值问题 2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础 事实上，常微分运算和积分运算的共阕特征是，它们作髑到_ 个函数后都褥出薪 的函数，可以将这些运算统一抽象为算予泛函分析正是在算子概念的基础上发展 起来豹3 0 年代中期法国数学家勒雷( j l e m y ) 和绍德尔( j s c h a u d e r ) 建立了 l e r a y s c l l a ：u d e r 度理论1 1 捌他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时，取 得了巨大成功，尤其是这种理论对常徽分方翟边值阅题酶应用，形成了常微分方 程拓扑方法或泛函分析方法m 5 l ，其核心是各类不动点定理的建立和应用 在泛醋分析理论以及实际阀题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半 个世纪里发展十分迅速除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外，开始研 究高阶微分方程的边值闯题l 媚并且随着新闻题的出现，形成了许多薪的研究方 向 ， 硕士毕业论文 第一章 首先是奇异边值闯题，其次是无穷区间上的边值问题带p l a p l a c e 算子或 l a p l a c e 1 i k e ( 拉普挝斯型) 算予的微分方程边值问题是= 阶微分方程边值问题的 推广，智利数学家较早地研究了此类边值问题湖，并很快引起数学界的重视，取 得了一系列研究成果1 9 a o , m ，成为一个经久不衰的研究热点 经典的二阶常微分方程边值问题，无论是周期边值条件还是s t u r m l i o u v i l l e 边界条件，定解条件都是在给定区闻的两端施加限制鉴于边界条件的离散化， 从2 0 世纪8 0 年代中期开始研究二阶常微分方程的多点边值问题舱1 3 l ，这就是所 给的两个定解条件涉及端点闻其他点上的函数值，例如 甜+ f ( t ，“，“，) = o ，( 1 1 1 ) 豁 = u ( 1 ) - a u ( 毒 = o l 。l 国 这就是一个二阶常微分方程的三点边值问题，以此类推就有四点边值问题，n 点 边值闻题，常微分方程多点边值问题也常被称为常微分方程毒局部边值阀题瑟4 1 常微分方程多点边值问题不仅在理论研究中占有非常重要的地位，而且在应 用数学与物理学领域中有着极为广泛的应用背景。比如工程学上囱鬻部分不同密 度构成的金属支索丝一致截面的振动问题，弹性稳定性问题等经济学以及生物 学等领域中的许多实际溺题都与褶应豹微分方程多点边值润题密切相关， 关于二阶微分方程多点边值问题的研究，最早在1 9 8 7 年由w i n 和m o i s e e r 1 5 - 1 6 开始研究的，受b i t s a d z e 和s 勰a r s k i i 1 7 - 1 鳓关于非局部酶线性椭圆边 界值问题的工作的启发，他们研究了= 阶线性微分方程的多点边值问题因为在 理论和实际应用中，二阶菲线性微分方程的多点边值润题更具有意义，赦之后， 有许多数学家都围绕二阶非线性多点边值问题进行研究其中的大部分工作都是 研究的二阶多点边值离题解酶存在性，对予非共振情形的多点边值闻题，其研究 方法主要是使用不动点理论，例如利用l e r a y s c h a u d e r 连续性不动点定理，关于 这方面的研究可参觅论文 2 0 - 2 4 ：对予共振情形的多点边值闻题，近凡年许多作 者进行了讨论，形成了一个研究热点他们的研究基本上都是围绕着下列二阶微 分方程 j o ) = ，o ，f ) ，x ，( f ) ) + 露o ) ，t a ( o , d( 1 1 3 ) 在几种多点边值条件下展开的 2 5 - 3 0 ，他们的方法都是依赖予m a w h i n 【3 1 3 2 的迭合度定理例如，g u p t a 在1 9 9 5 年的文 2 8 中研究了共振多点边值问题的可解 2 硕士毕业论文第一章 性：1 9 9 7 年，f a n g 与w e b b 2 6 在对( 1 1 3 ) 中的非线性增长限制的条件下，对 下列两类三点边值阚题 以0 ) = 0 ，x ( 1 ) = a x ( r d ( 1 1 4 ) 茗羹= o ，x o ) = a x ( r ) ( 1 。1 5 ) 分别研究了非共振情形( b v p ( 1 1 3 ) ，( 1 1 。4 ) 对应着窿乒l ；b v p ( 1 1 3 ， ( 1 i 5 ) 对应着口l r ) 与共振情形( b v p ( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 对应着口= l ；b t p ( 量。薹。3 ，( 董。董。s 对应着t z = l r ) 下解酶存在健：2 0 0 2 年，l i u 和 3 3 ，3 4 较系 统地讨论了四类带共振的m 一点边值问题的可解性 与此固时，常微分方程的脉冲效应也孳l 起了人们的重视 3 s 强v r l ，这种脉冲效 应造成微分方程的瞬间改变，因此可以认为是微分方程和差分方程的相互结合 保加利亚数学家对此做出了大量的研究l 蕊搠在常微分方程边值溺题中结合脉冲 效应，就得到常微分方程脉冲边值问题，例如 ，+ 厂( f ，毛曲= o ， f 气，k = l ，埘， ( 1 1 6 ) a x ( t k ) = 五o ( t k ，妖& 溉( 重1 国 缸“) = 以( x ( t k ，x 瓴) ) ) ， ( 1 1 8 ) 羽) = 缸1 ) = o( 1 1 9 ) 其中0 t i a , u ( o i 域l - l lt - k + ! 在下列条件满足时昀正解存在性 ( 1 0 1 ) ( 1 2 棼 ( s 1 ) 蠡( o j ) ，0 轰 磊 磊以 董，a t ，魏毫溉粕啖；嚣重0 ，辨一2 ) 墓淹 lw m - 2 是o 谚一g l ，曩l ； i = 1| 械+ l j 鹂 ( s 2 ) g 戤l 】x 溅博随瑚羚。 2 、文献 s q 利用单调迭代结合上下解辫方法研究了边值阎蘧 婶妨嚣，鬃，雄x 茗鬻癸，0 t l ，磊穗1 ) 及o 轰盏 缸。 l 且喁，虞，厂满足 。 黼十12 ( h 1 ) ，成e o ，) 满足o 喁一啦 ，g 联溉1 ) x l o , 嘞x 喵碱溉枷凇 ( 1 。2 q ( 1 2 乃 ( 潞) 稚) 楚定义在搀，| 鹩嚣囊连续涵数，在 ，1 ) 麴经何子送闻譬不恒势零。 作者主要利用了单调迭代的方法来证鹳其歪解的存在性 4 硕士毕业论文 第一章 1 3 本文所做工作 本文研究了边值问题 材- ( f ) + 厂( ，材( ”= 0 ，t ( 0 ，1 ) ， ( 1 3 1 ) m - - 2上，m - 2 ”( o ) = 匆材7 f o ，( 1 ) = q 甜( 石) 一q “( 磊) 一a i u ( 专) ( 1 3 2 ) f = lf - if - i + ij f s + l 在下列条件满足时的正解存在性 ( a 1 ) 磊( 0 ，1 ) ，0 磊 磊 己一2 1 ，a f ，饥【0 ，佃) ( f = l ，2 ，m - 2 ) 且满 ( a 2 ) c ( o ，1 】 0 ，佃) ，【o 佃) ) 利用的是a v e r y - - p e t e r s o n 不动点定理以及a v e r y 的一个新的不动点定理，用 这两个不动点定理分别证明了边值问题( 1 3 1 ) 、( 1 3 2 ) 至少存在三个正解本文的 结论包含了文献【3 7 】的结论 另外，本文还研究了边值问题 一4 ( r ) = 厂( f ，x ( t ) x ( f ”，0 f l ，( 1 3 3 ) 双o ) = 五h 磊) ，“1 ) = 五j ( 磊) ， ( 1 3 4 ) 烈7 ( 磊) 一缸。( 磊) = o ，a 。( 磊) + 出。( 磊) = 0( 1 3 5 ) 其中 ，如【o ，1 】且满足o 如 l ，0 磊 0 ，f c ( 【0 ，1 】r r ，r ) 本文利用的是单调迭代结合上下解的方法，找出了该边值问题的最大解和最 小解如果让边值问题( 1 7 ) 中的 = 如= 0 ，即可得到文献【4 4 】的结论，本文 包含了文献 4 4 1 的结论 本文还分别用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理以及单调迭代两种不同的方法研 5 岛 两 q ：一 一 扛 ； 一 q 。甜 l ，磊( o ，1 ) 及o 蠡 磊 善s - - 2 ll e a s ，层，厂满足 - n - 2n - 2 ( h i ) q ，属【o o o ) 满足o q 一 l 且属 l ； i = 沮j - m + |f i i ( h 2 ) ，c ( 【0 ，1 ) 【o ，o o ) ( ，+ 呦，【o ，+ ) ) ； ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( h 3 ) g ( f ) 是定义在( 0 ，1 ) 的非负连续函数，在( o ，1 ) 的任何子区间留( f ) 不恒为零 6 硕士学位论文 第二章 第二章二阶多点边值问题三个正解的存在性 2 1 引言 近年来，非线性微分方程边值问题正解的存在性引起了众多学者的关 注l 抱聃，移删 文献【4 9 】研究了边值问题 材，( r ) + 口( ，) 厂( f ) = 0 ，t ( o ，1 ) ， m - 2 量-i一2 ”7 ( o ) = b , u ( 毒) ，“( 1 ) = e a t “( 磊) 一口。“( 点) j = l i - lt = k + l 作者利用锥压缩不动点定理得出了边值问题( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 存在正解 本章在文献【4 9 】的启发下，研究边值问题 材，( ，) + f ( t ，“o ”= 0 ，( o ，1 ) ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) m - 2ijm 一2 ”( o ) = 6 j “( 六) ，“( 1 ) = 口。材( 色) 一q “( 毒) 一口j 材( 六) ( 2 1 4 ) t = lt = li = k + lt = j + l 在下列条件满足时的正解存在性 ( a 1 ) 磊( o ，1 ) ，0 磊 磊 厶- 2 1 ，a t ，6 j 【o , + o o x i = 1 , 2 ，m 一2 ) 且满 i，_ 一2_ 一2 足o q 一q 一q 1 ，魏 一j 。p s 状s ，u ( s ) ) d s a t + f l 等价，其中 m - 2 。 1 8 - 2 口= 岛i 磊of ( s , u o ) ) d s o 一瓴) ， 卢= ( r ( 1 一s ) 八墨，材( s ) 灿一杰qe ( 磊一j ) ( s ，o ) ) 出+ 辜qe 一s v 仅群。凇+ 1 - - 2q 譬皤一s 掀岛豁。溅+ a ( 1 - a g , + 毽毒+ a g , ) ) o - z a , 唾+ 强) 。 引理2 2 2 设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，则边值问题( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 的唯一 解满足u ( t ) o , t g 羽，并r u 在【o l 】是单调不增的，g u o , t g ，l 】 证由鼙，) = - f ( t ，掰) ) 咖，u ( t ) 的图像在( o ，1 ) 上向上酯，且耘) 单调不 m 一2m - 2 增注意到假设中趣 l 和边界条件豁7 ( f ) = 玩材蟥) 蕴涵了越( o ) o ，进而可 i 毹i * l 推出”( r ) 墨0 ，r ( o ，1 ) 证毕 8 硕士学位论文 第二章 设e ：c 【o ，1 】，在e 上定义范数：l i x l l - s u p x ( t ) f 。定义半序： t c l o ，1 1 x a l l ”8 ，其中 设0 ，y , a ，y 是定义在实b a n a c h 空间维上的泛函，其中幺厂是连续的凸泛函， 口是连续的凹泛函，1 5 i ，是连续泛函，设a ，b ，c ，d r + ，定义下面的凸集p 与闭子 集r ： p ( r ，力= & e ：尸i 厂( x ) d ) ，p ( r ，口，b ，力= & 叫6 口( x ) ，厂( x ) d ； p ( r ，0 ，口，b ，c ，d ) = & p p 口( x ) ，秒( x ) c ，厂( d 6 对于x 户( 厂，o , a ，6 ，c ，d ) ； ( s 2 ) 当x p ( r ，口，b ，们和o ( a x ) c 时，有a ( a x ) b ； ( s 3 ) 当x r ( y ，缈，口，d ) 和少( 力= 口时，o 仨r ( 厂，y ，口，d ) 和j ；，彳( 工) 口， 那么至少有三个不动点一，x 2 ，x 3 p c r ，d ) 满足6 a ( x o ，口 ( 毪) 和口瓴) 6 ， y ( 毛) 靠 一 o l l 万 硕士学位论文 第二章 2 3 主要结果 为了方便后面的证明，记 l g2 丁了石r 一 l 一q + q + q i = l，甜+ lf = | i + l 揽。朴黔鼍 o - z a , 考, + 口j 磊+ m - 2 口f 磊) l ， il f = i= k + i t = s + l 疗：t ；百( 一k 口i + 窆q + m - 2 q ) ( 等一1 ) 2 ( 1 - q + 口j + 口，) 扣1 褂“红j + 1 t = ll = k + l= s + l 定理2 3 1 设存在常数0 a b b 8 d ，且，满足条件 ( b 1 ) ( t ，u ) b n 对0 t 1 ，b 材b 8 ； ( b 3 ) f ( t ，u ) a l q 对0 fsi ，0 甜a ， 则边值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 至少存在三个正解材i ，“2 ，”3 ，满足： r ( u i ) d ，i = 1 , 2 ，3 ，b a r ( u 1 ) ，a 缈( 砧2 ) 和a ( u 2 ) 6 1 2 i 任取以e ( r ，0 ，口，6 ，b 1 6 ，力，即“( s ) b n ，t 【o ，1 】， a ( a ) = 彳“( 1 ) = 一r ( 1 一墨) 饰，材( j )一口+ = 一r ( 1 一j ) ( 蹦o ) m 善- 2 岛e 八s “。”凼抑一m 善- 2 岛，+ ：乏i _ 乏1 蔼 i - it - k + l t - a + l ( f ( 1 一州蹦 窆口je ( 缶一墨) ( s ，”( s ) ) 西+ 窆口jr ( 岳一s ) ，( s ，“( s ) ) 出+ t - i一k + l 副m-2(毒l-s)f(s,u(s眦+紫m-2 t - i l l tjm - 2 ( 1 一口i 磊+ q 磊+ q 参) ) i - li - k + ll = t + i 1 ：一 1 2 + 等q ，出 1 2 + 1 2 ，f-。t。-一 硕士学位论文第二章 j 乙- 百( 一杰q + 窆g + m - 2q 等一l 篙b 2 n ( i - e a i + q + 4 j 扣1 扭“1 扣h t = lj = l + lj = a + l 故定理2 2 1 的( s i ) 满足 任取砧p ( y , a ，b ，卿，烈d u pb i b 即以掌) d ，u o ) 艺以彳材( o ) b 8 ，由引理 2 2 3 知 a ( a 材) 2 【l ，r a ：i l l nd 材( t ) _ 8 1 1 a “忙觑“( o p b ， 故定理2 2 1 的( s 2 ) 满足 任取材em ，缈，口，d ) ，缈( 材) = d 即“( o ) = 口，“( s ) d 进而有o ”o ) s 肛l l _ 口， t 【o 1 】显然。叠r ( r ，少，d ) ，类似( 2 3 1 ) 可知w ( a u ) = a u ( o ) ，口 6 ，w ( u d a 。证毕 硕士学位论文 第三章 第三章一类四阶微分方程边值问题解的存在性 3 1 引言 最近，文献【5 1 】研究了边值问题 x ( o ( f ) = f ( t ，x ( t ) ，工。( ，) ) ，0 r 1 ，( 3 1 1 ) 颤o ) = o ，1 ) = o ，( 3 1 2 ) a x 。( 磊) 一b x 一( 轰) = 0 ，a ( 彘) + 出_ ( 彘) = 0 ( 3 1 3 ) 作者用单调迭代结合上下解的方法，找出了该边值问题的最大解和最小解 在文献 5 q 的启发下，本章将研究下面一类边值问题 x 4 o ) = f ( t ，x o ) ，x 。( r ”，0 ， 1 ， ( 3 1 4 ) 工( o ) = 五x ( 岛) ，x ( 1 ) = 如工( 磊) ，( 3 1 5 ) 假。( 袅) 一b x _ ( 磊) = 0 ，“( 磊) + 出_ ( 彘) = 0 ( 3 1 6 ) 其中 ，如【o ，l 】且满足0 如 1 ，0 磊 0 ，f c ( 【o ，1 】r r ，r ) 同样地，我们用单调迭代结合上下解的方法，也找出了该边值问题的最大解 和最小解注意到，如果让边值问题( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 中的丑= 如= 0 ， 即可得到边值问题( 3 1 1 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 所以本章所得的结论是对文 5 1 】 结论的推广 3 2 引理 定义3 2 1 函数口被称为边值问题( 3 i 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 i 6 ) 的下解，如 1 3 硕士学位论文 第三章 果 果 口4 o ) f ( t ，口o ) ，口。o ) ) ，0 f 1 ， 口( 0 ) 口( 彘) ，a ( 1 ) 如口( 磊) ， a c x 。( 磊) 一6 口。( 磊) 0 ，c 口( 磊) + 如。( 彘) 0 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 定义3 2 2 函数被称为边值问题( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 的上解，如 4 ( r ) f ( t ，f l ( t ) ，o ”，0 t 1 ， p ( o ) 丑( 彘) ，p 0 ) 如( 磊) ， 筇。( 磊) 一b p 。( 磊) s0 ，印( 磊) + 够。心) 墨0 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 在下面的研究中，我们始终假设0 百 磊1 ，b - a 善l 0 ，d c + c 磊0 ， ，如 o j l r 满足0 五如 1 为了方便研究，我们设 磊= a d + b c + 口c ( 磊一磊) ， 五= ( 1 一 ) ( 1 一如缶) + 磊( 1 一如) ， ig l ( f ，s ) ，0 s t 磊 彘， g ( t ，s ) = g 2 ( ，s ) ，磊 ， 磊， l g 3 ( t ，s ) ，最 磊s r 1 ， f s ( t 一1 - 4 - 如( 磊一f ) 0 s t ， q ，= 击拄荡卷篡二莹) + 矧嚣翳二：( 1 等曼妄， 知 【0 一o ( o - 3 a ) t - i - 彘工乞 s 1 ， i s 【，一1 + 如( 轰一，) 工0 s 磊， 鳅柚，= 去忙鬈：端泛瑞缆墨簟麓， 【o 1 ) ( ( 1 一五y + 岛_ 】l 邑 j 1 ， 1 4 硕士学位论文 第三章 g 3 ( 抽，= 击 j ( ，一l + 五( 磊一，) lo s 鼻， j ( r ( 1 一 如) + 如磊一1 ) + 如磊g 一，+ ( r 一磊) l 磊 s 磊， o 一，) “如( 磊一磊) + 如轰) + ( 一1 ) “磊+ s ( 1 一 ) l 磊 s ， ( s 一1 ) ( ( 1 一 ) ，+ 磊x ， js l ， 及 m ，= 撇害二易二嚣二老二黼黧篡 为了研究边值问题( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) ，我们构造t n - f 边值问题 x 4 ( ，) = 办( ，) ，0 ， 1 ， ( 3 2 6 ) 0 ) = 五磊) + ，x o ) = 如x ( 螽) + 而，( 3 2 7 ) a x 。( 缶) 一b x 。( 磊) = x 2 ，c x 。( 磊) + d x _ ( 厶) = x 3 ( 3 2 8 ) 引理3 2 1 如果4 o 且 q 最，最】，则下列边值问题 x 。( f ) = j i l ( f ) ，磊 0 。如果x 【o ，l 】满足 x ( 4 o ) 0 ，0 f l ， x ( 0 ) 芝是x ( 磊) ，1 ) 芝五x ( 参) ， 戤颀) 一k 。编) 0 ，c x 畿) + 威。畿) 0 ， 燹l 当t 【0 , i 】时，x 0 o r x ，s 0 证考虑边值闯题( 3 2 6 ) 、( 3 。2 7 ) 、3 2 鳓，由弓| 理3 2 3 中f ) 所要满是的条 件知| l o ) o ，0 f or x 一( f ) o 证毕 矾 然后，考虑下列边值问题 x 4 o ) = f ( t ，r l ( t ) ，r 。o ) ) ，0 f l ，( 3 2 1 4 ) x ( o ) = x ( 彘) ，x ( 1 ) = 五x ( 卣) ， ( 3 2 1 5 ) 积。( 鼻) 一h 。( 磊) = 0 ，倪( 磊) + 出。( 磊) = 0 ( 3 2 1 6 ) 利用引理3 2 2 ，我们可以得到下面的引理3 2 4 引理3 2 4 如果，7 c 2 【o ，l 】，则边值问题( 3 2 1 4 ) 、( 3 2 1 5 ) 、( 3 2 1 6 ) 有唯一 解x c 4 【o ，1 】且x 满足以下表达式， 颤f ) = r g ( f ，善) 譬日( 善，3 v ( s ，7 0 ) ，矿o ) ) 凼鸳，【o ，l 】 3 3 主要结果 定理3 3 1 设0 磊 磊1 ，五，如“o ，1 r o 如 0 如果下列条件成立 ( a 1 ) 边值问题( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 存在上下解，风，且满足 1 7 硕士学位论文第三章 口o o ) s , e o ( 力，掰o ) 雕( ，) ，【0 l 】 ( a 2 ) 函数f c ( 【0 ，1 】r 2 ，r ) 满足 f ( t ，x , y ) - f ( t ，墨y ) 0 ，当口o ( ，) sx x p o ( f ) ，t 【0 ，1 】，y r ， f ( t ，力- f ( t ，x ，力0 ，当肼( ，) y y a d o ，t e 【o ，l 】，x 足 则存在两个单调序列缸。( f ) ) ，溉( r ) cc 2 【o 1 】使得 l i m a 。( f ) = 从，) ，l i m 尾o ) = ，( r ) ， 一 曲n - - i 嵋o 并r p ，广分别是边值问题( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 的最小解和最大解 证设s = k c 2 【o ，1 】：口。o ) sx o ) s 风( f ) ，f l o ( t ) x 。o ) 口；( f ) 对任意，7 s ， 考虑边值问题( 3 2 1 4 ) 、( 3 2 1 5 ) 、( 3 2 1 6 ) ，由推论3 2 4 知边值问题( 3 2 1 4 ) 、 ( 3 2 1 5 ) 、( 3 2 1 6 ) 存在唯一解材c 4 【0 ，1 】 设算子么：s c 4 【o 1 】 。 却( ，) = r g ( f ，善) e 日( 孝，s v ( s ，叩( s ) ，矿。) 耐善，【o ，1 】，玎s 则彳：s 专c 4 【o l 】有下列性质： ( i ) a s s ( i i ) 对任意仇s ，7 2 s且r i ( f ) r 2 ( ，) ，7 沁) r 2 ( t ) ，t e 0 , 1 】，有 材l ( ，) 1 1 2 ( ，) ，u t ( t ) 甜；( ，) ，r 【o ，1 】，这里坼( ，) = 么仇( f ) ，i = 1 , 2 对( i ) 的证明： 对任意，7 ( ，) s ，设u ( t ) = a r l ( t ) ，我们有 i t ( 4 ) o ) = f ( t ，r l ( t ) ，r 。( f ) ) ，0 、( 3 。1 6 ) 。 类似的，我们可以证明当r 【o ，l 】时 厄( ，) ) 一致收敛于，( d ， 群0 ) 卜“致收敛 予尹，国，r 满足边馕闯题( 3 ，1 毒) 、 、( 3 1 6 酶任意解，显然x 媛s 。通 过算予a 所满足的性质( i i ) ，可得 辨s 礤) 鬟筑妨，群街螃 a t 葶薹) ，t l 润， 因此，我们得到加) s 川) 髫，( f ) ，r w ) x ( t ) 蠖p 。( f ) ，t e o , q ，通过令雌啼， 定理3 1 完成证明 3 4 应用举例 设 考虑下列四阶微分方程溺点边值闯遂4 一 x 4 ) = 去x ) + 去g 一，o + 睾，0 掌 l ，毒( o ，1 ) 及o 最 磊 囊： 喁，属杈) 满足o 强一啦 l 且崩 l ； i = lt = m + lj i ( h 2 ) ，g a f o ，1 ) x 【o ，) x ( 州q ) 【o 枷) ) ； 转，1 。1 ) ( 4 1 2 ) ( h 3 ) 甙，) 是定义在( o ，1 ) 的非负连续函数，在( o ，1 ) 的任何予区间g ( f ) 不恒为零。 对于线性的二阶微分方程多点边值问题的研究是内n 撖与m o i s c e v 开始的 1 1 5 , 1 6 ，在他们之后，非线性微分方程的多点边值问题引起了众多学者的关注，并 取得了一定的成绩 2 6 3 0 s z , u s , 蛳 最近，葛渭高等在文献 5 5 中研究了如下方程并证明了其正解的存在性 ( 秀，p w + g ) ，掰) = o ，f ( o ，1 ) h 1 3 ) n - 2n - 2 材7 ( o ) = 哆“( 当) ，材( 1 ) = 局“( 毒) ， ( 4 1 4 ) i = ll i l 主要剩用7 单调迭代的方法来证明。 葛渭高在文献 5 7 ，5 8 中又用锥的不动点定理证明了边值问题( 4 1 3 ) 、 ( 4 1 4 ) 以及以下方程正解的存在性 ( 砟( 材) ) ，+ v ，“) = o ，t e ( o ，1 ) ( 4 1 5 ) 硕士学位论文第四章 力( 口，( o ) ) ：篁q 以( ”，( 毒”，以( 1 ) ：n - 2 屈”( 当) ， ( 4 1 6 ) 在文献 5 4 中，葛渭高用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理证明了边值问题 ( 4 1 3 ) 、( 4 1 4 ) 以及以下方程在满足一定的条件时至少存在三个正解的情况 ( 砟( 材) ) ，+ g o v ( f ，材) = o ，f ( 0 1 ) ( 4 1 7 ) ，卜2一2 以( o ) = q 材( 当) ，材( 1 ) = 尼材( 磊) ( 4 1 8 ) 本章受到文献e s 4 的启发，用a v e r y - p c c e r s o n