（应用数学专业论文）几类二阶三点边值问题的多重解与对称解.pdf

太原理】 大学硕士研究生学位论文 几类二阶三点边值问题的多重解与对称解 摘要 本文席f j 用不动点指数理论与三解定理，主要研究了两类非线性常微分 方程二阶三点边值问题正解或对称正解的存在性与多重性，得到了新的结 论同时也改进和推广了以往的一些结论全文分为四部分： 第一章，简述了问题产生的历史背景和本文的主要工作 第二章，在b a n a c h 空间中，我们讨论了非线性二阶三点边值问题 昧舌墨姚 ， 1 “( o ) ：o ，“( 1 ) ：c “( 亭) z l j 的多重正解的存在性其中，f c ( sx p ，p ) ，占( o ，1 ) ，c ( o ，+ ) 为给定常数 且0 c 占 1 我们在抽象空间上，利用不动点指数理论以及相关锥的共轭锥 中的线性算子，给出了问题( 2 1 ) 的二重正解存在的充分条件，从空间上推进 7 - 点边值问题的研究作为本文结果的应用，我们还给出了两个例子 在第三章中，我们讨论了非线性二阶三点边值问题 f “”= 山( r ) 厂o ，比o ) ) ， t “( 。) = “( 1 ) ，“7 ( 。) 一“( 1 ) = “( 三) 3 2 其中，( f ) c ( o ，1 ， o ，+ o o ) ) ，在 o ，1 上关于f ：委对称；对 v u e l 0 ，+ ) ，厂( ，“) 在【0 ，1 j 上关于f = 二1 对称，厂c ( o ，1 o ，+ ) ， o ，+ ) ) 我们利用不动点指数理沦，相天线性算子的特征值，l e g g e t t w i l l i a m s 三解定 理以及改进的l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理得剑了 可题( 3 2 ) 三重对称- i r 角乍7 3 存 太原理工大学硕士研究生学位论文 在的充分条件同时还得到了与文【1 8 】不同的二重对称正解存在的充分条 件作为本文结果的应用，我们还给出了几个例子 第四章，我们讨论了边值条件更为一般的问题 l 卜u ( 比。妒) 二嬲，( 1 ) ：c 比( ) ( 4 1 ) ：“( 1 ) ，“，( o ) 一“7 ( 1 ) = c 比( ) r j 夕 其中，0 c 4 ；口o ) c ( 0 ，1 ， o ，+ ) ) ，在 o ，1 】上关于f = 去对称；对 v u e 0 ，+ ) ，厂( ，“) 在 0 ，1 上关于f = i 1 对称，厂c ，1 0 ，+ ) ， 0 ，+ ) ) 通过计算出问题( 4 1 ) 的g r e e n 函数并且得到该函数的相关性质，利用与第三 章类似的方法得到问题( 4 1 ) 对称解的存在性，二重对称解存在的充分条件 关键词：不动点指数，l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理，共轭锥，对称正解 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h ee xls t e n c eo fm u l tlp l ea n ds y m m e t rlc s o l u tio n st os e v e r a lc l a s so fs e c o n do r d e r t h r e ep oln tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a b s t r a o t i nt h i sp a p e r , t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ea n ds y m m e t r i cs o l u t i o n sf o rt h e s e c o n do r d e rt h r e ep o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si sd i s c u s s e db yu s i n gt h e f i x e d p o i n t i n d e xt h e o r ya n dt h r e e - s o l u t i o nt h e o r e m s t h en e wr e s u l t sa r e o b t a i n e da n dt h ep r e v i o u sr e s u l t sa r ei m p r o v e d t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p e r1w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c hw i l l b ei n v e s t i g a t e da n ds t a t et h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s i nc h a p e ri it h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h es e c o n do r d e r t h r e ep o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m “- 。u 。 ，- - ；秒f ，( 爱：；2 c “。占，c 2 1 ，i n b a n a c h s p a c ei s d i s c u s s e d ，w h e r ef c ( ，x p ，尸) ，占( o ，1 ) ，c ( o ，+ 0 9 ，0 c 多 1a n d 亭，c a r ec o n s t a n t s w es h o wt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sb y u s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xm e t h o da n dl i n e a ro p e r a t o ro fc o n j u g a t ec o n e w e g i v et w oe x a m p l e si no r d e rt o i l l u s t r a t eo u rr e s u l t s 太原理工人学硕士研究生学位论文 i nc h a p t e r1 1 1w ea p p l yt h ef i x e dp o i n ti n d e xm e t h o da n dt h r e e s o l u t i o n t h e o r e m st ot h en o n l i n e a rs e c o n do r d e rt h r e ep o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f 一“”= ( f ) 厂o ，“( f ) ) ， “( o ) ：“( 1 ) ，比，( o ) - u ，( 1 ) ：“( 昙) ( 3 2 ) w h e r e 厂( - ，“) a n d 甜o ) a r e s y m m e t r i c a b 。u t f = 三1 w e s h 。wt h a tt h ep r o b l e m ( 3 2 ) h a st r i p l es y m m e t r i cp o s i t i v e s o l u t i o n sa n dn e wo p t i m a le x i s t e n c ec r i t e r i af o rd o u b l es y m m e t r i cp o s i t i v e s o l u t i o n sw h i c hi n v o l v et h ep r i n c i p a le i g e n v a l u eo far e l a t e dl i n e a ro p e r a t o r a s a p p l i c a t i o no fo u rr e s u l t s ，w eg i v es e v e r a le x a m p l e s i n c h a p t e ri vt h ep r o b l e m i - u = a ( t ) f u ) - u ( 1 ) 2 i o o ) ”- “，( 1 ) ：c “( 亭) ( 4 1 ) i s 1 n 1 v h e 、：，( 、川“，( 1 ) ：c “( 亭) ( 4 1 ) i s s t u d i e d ，w h e r eo c 4a n df ( ，“) ，o ) a r es y m m e t r i ca b 。u t f = 芝1 t h e p r o b l e m ( 4 1 ) i st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ep r o b l e m ( 3 2 ) b a s e do nt h eg r e e n s f u n c t i o n o ft h ep r o b l e m ( 4 1 ) a n dt h er e l a t e dp r o p e r t y , w eo b t i n e d o p t i m a l e x i s t e n c ec r i t e r i af o rd o u b l es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n st o ( 4 1 ) b ya p p l y i n g t h em e t h o di nt h ep r o b l e m ( 3 2 ) k e yw o r d s ：f i x e dp o i n ti n d e x ，l e g g e t t w i l l i a m s t h r e es o l u t i o n s ，c o n j u g a t ec o n e ， s y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n i v 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：至盗嚣期：，型兰：壁：竺 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 瑟 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签：名至盗日期： 导! j 币签名：谚烁日期： 2 0 0 跫口x 。谚 抛务扩。堂。彬。 太原理工大学硕：t 研究生学位论文 第一章绪言 近年来，许多来源于应用数学和物理学中的实际问题使得常微分方程多点边值问 题的研究日趋活跃对于二阶线性常微分方程多点边值问题的可解性研究是由n i n 和 m o i s e e v 首先开始的1 9 9 2 年，g u p t a 运用l e r a y s c h a u d e r 原理在至多线性增长条件下研 究了一类非线性二阶常微分方程三点边值问题的可解性此后，许多作者借助于不动点 指数理论、迭合度理论、l e r a y s c h a u d e r 原理、非线性抉择及k r a s n o s e l s k i i 不动点定理， 对于非线性二阶常微分方程的各种多点边值问题可解性的研究出现了许多重要的结果 如： 1 9 9 9 年，文【2 】首先利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，在非线性项厂满足次线性增长 或超线性增长的条件下，研究了三点边值问题 - “”= 以( f ) ，o ( r ) ) l “( o ) = 0 ，“( 1 ) = c “( 宇) 正解的存在性其中厂c ( 心。r + ) ，亭( o ，1 ) c ( o ，+ ) 为给定常数且o c 宇 1 2 0 0 2 年，文1 1 4 1 利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了三点边值问题 卜“”= 口( f ) 厂( ( f ) ) ， l “，( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = 伽( 亭) 解和二重正解的存在性 2 0 0 4 年，文 9 1 j 重用l e r a y - s c h a u d e r 非线性抉择，研究了三点边值问题 卜“”= 口( f ) 厂( t ，u t t ；1 ) l “，( o ) = 0 ，u o ) = c “( 亭) 的非平j 、l 解的存在性其中f c ，1 r ，月) ，宇( o ，1 ) ，cg r rc 1 为给定常数 2 0 0 5 年，文【7 】利用l e r a y s c h a u d e r 原理，在非线性项，连续及至多线性增长的条件 下，研究了三点边值问题 f “”= f ( t ，“( f ) ，u 0 ) ) ， l “7 ( o ) = 0 ，“( 1 ) = c 掰( 善) 太原理工大学硕士研究生学位论文 解的存在性 2 0 0 7 年，文f 1 8 】利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了 - u = f l ( t ) f ( t ，“( f ) ) ， 1 “( f ) = “( 1 一r ) ，“( 。) 一m7 ( 1 ) = “( 三) 对称解、二重对称正解存在的充分条件其中，厂： o ，1 o ，+ ) 一 o ，+ ) 连续，对 v “i o ，+ ) ，( ，) 在 o ，1 】上关于f = 三2 对称，o ) 在 0 1 上关于f = 三2 对称 2 0 0 7 年，文 1 9 * u m p l 动点指数理论，研究了 f u tf l ( t ) f ( t ，雎( f ) ) ， l u ( o ) = “( 1 ) = c m ( 亭) 对称解、二重对称正解存在的充分条件其中：，： 0 ，1 0 ，+ ) _ 0 ，+ ) 满足c a r a t h e d o r y 条件对v h i o ，+ ) ，( ，) 在 o ，1 上关于f = 三2 对称，( f ) 在 o ，l 】上连续，关于f = 三2 对称 以上文献在使用工具、非线性项、边值条件、解的数量方面各有不同然而，我们 注意到，上述文献多为r 1 上的三点边值问题，有关抽象空间上的二阶常微分方程三点边 值问题的可解性与多解性并不多见，有关二阶常微分方程三点边值问题的对称解的存在 性，特别是三重对称正解研究甚少本文利用非线性泛函分析中的不动点指数理论与三 解定理，主要研究了以上两类问题 首先，本文在抽象空间上，利用不动点指数理论以及相关锥的共轭锥中的线性算子， 讨论了问题 蒜0 馏，= 州n 仁， i “( o ) = ， h ( 1 ) = c “( 亭) 、7 其中f c ( ，xp ，p l 亭( o ，1 ) ，c ( o ，+ ) 为给定常数且o c 宇 1 ，得到了问题( 2 1 ) 二重 正解存在的两个充分条件，从而在空间上推进t - - 点边值问题的研究记： e 为b a n a c h 空间，尸是e 中正规锥，= 【o ，1 】，c 【，e = “( f ) ：，- - - , e i “( f ) 在，上连续 ，q = “( f ) c ，e 】i “( f ) 口，f j c i ，e 】中的范数为怯f i = 智踊卜( f ) i p 为p 的共 轭锥假设条件为： ( ，) 亭( o ，1 ) ，c ( o ，+ o o ) 为给定常数且0 。，肘， p 黼，满足 i f ( t ，“) i i m ，f _ ，sp 其中 m 。( 。，詈) ，a = 上( ，一s ) | j 厂( s ，h ) | b ，= 阮( 1 一s ) 厂( s ，“冲肛 。) 存在m ，m ze p , 对比尸，当呻。时，有竺芝业_ ，当呻时，有 兰兰盟一，存在常数刀，m ： 。，满足i i 厂( r ，“) i l m ：，r ，i , 1 1 叩其中 叫咖 志 - 1 ) 主要结论如下： 、 定理2 1 若条件。l 旧：l ，) 满足，则三点边值问题( 2 1 ) 至少有两个正解“，“：， 且满足0u 10 p l l h ： 定理2 2 若条件。) ，：) ，旧。) 满足，则三点边值问题( 2 1 ) 至少有两个正解“，“：， 且满足恤。i l r iu ： 我们不仅将文【1 0 】中口( f ) 厂( “( f ) ) 推广为f ( t ，“( f ) ) ，而且得到两个不同的充分条件 如果特殊地取e = r 1 且c = o 即为文【8 】的情形若将本文的空间与非线性项均适当简化， 可得文【2 】的结果因此，本文是对这些文献的推广和改进作为本文结果的应用，我们 还给出了两个例子 其次，讨论了非线性二阶三点边值问题 f _ “”t o ( t ) f ( t ，“( f ) ) ， 1 “( 。) ：“( 1 ) ，“7 。) 一“( 1 ) ：以( 吾) 3 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 的三重对称解的存在性其中，厂： o ，1 】x 0 ，+ ) 一 0 ，+ o o ) ，w , e o ，+ 】，厂( ，“) 在 0 ，1 】上关 于f = 三2 对称，m o ) 在 0 1 上关于f ；丢对称我们利用不动点指数理论、相关线性算子的 特征值、l e g g e t t - w i l l i a m s 三解定理以及改进的l e g g e t t - w i l l i a m s 三解定理得n t 问题( 3 2 ) 三重对称正解存在的两个充分条件同时还得到了与文【1 8 】不同的二重对称正解存在的 充分条件记： f o = l i 掣m i n 鳓掣，厶一- i m i n f 飘掣 fo=limsup黝趔，f*=li霉msu珥a，】f(比t,u)1u,q01 加f q o ，j一+ ，j比 ，) f e c ( o ，1 x o ，+ ) ， o ，+ ) ) ，对v “ 0 ，+ ) ，厂( ，比) 在 0 ，1 上关于f ；要对称； ( i - i ：) 7 ( f ) c ，1 ， o ，+ ) ) 在 0 ，1 】上关于f ；丢对称且o z g o ，：( s ) 出 r ，。 a ，丸 a 成立，若存在常数叩，使得i ( t ，) a 比，v t o ，1 ，“e m 。，r 1 】 成立，则三点边值问题( 3 2 ) 至少有两个对称正解比。，“：，- n - 满足o l l , 。0 7 7 。 怯：0 ： ( i i ) f 。 a ，厂。 a ，v t o ，1 ，“ 聊：，叩：】 成立，则三点边值问题( 3 2 ) 至少有两个对称正解h 。，“：，且满足o iu ，0 f ； ( i i ) = t b o ，当h 0 ，1 0 b l 对，g ，u ( s ) ) t o ( s ) k b ；当“函，1 4 b 吲f ，g ，h o ) ) b ) i b 日3 k4 - ，( 4 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 则三点边值问题( 3 2 ) 至少有两个对称正解m ，h ： 定理3 4 假设： ( i ) 厂o a ，。 a ； ( i i ) 3 b 乏o ，当h 陆，幼】时，有，o ，“) i 砉刍j 成立 o a s s l 则三点边值问题( 3 2 ) 至少有三个对称正解“，u ：，u ， 定理3 5 设0 a 易 _ 4 b c ，若，满足以下条件： ( j ) 对v h k ，g ，g ”s m a 丢! 羽t 成立； x ij o a t s l ( i i ) 当6 s “( f ) s 詈6 时，厂( s ，“( 5 ) ) 。r a ；，i 由n ( s b ( 三一叩) ) 一1 6 成立 则三点边值f 司n ( 3 2 ) 至少有三个对称正解“，z l ：，m ，且满足 口，b 口，a 0 ，) 6 作为本文结果的应用，我们处给出1 儿个例子 再次，我们还讨论了边值条件更为一般的问题 聪三嚣譬默“，( 1 ) = c 蝣) 一1 ) l 比o ) = “( 1 一f ) ，h 【o ) 一“( 1 ) = c “( 亭) 、7 其中，口g ) 在 0 ，1 上关于f ：昙对称；对觇f o ，+ ) ，厂( ，“) 在b ，1 上关于f ：丢对称， 厂： 0 ，1 o ，+ o o ) - - 0 ，+ o o ) ，0 c 4 通过计算出问题( 4 1 ) 的g r e e n 函数并且得到其性 质，利用与第三章类似的方法得到了问题( 4 1 ) 对称解的存在性，二重对称正解存在的充 分条件使得文【1 8 】成为本文的特殊情况，同时研究问题所采用的方法也不相同记： ( h 。) ” e c ( o ，1 x o ，+ ) ， o ，+ ) ) ，对v h 0 ，+ ) ，厂( ，比) 在 o ，1 上关于f ：昙对称； ( 日：) ”a o ) c ( b 1 ， 0 ，+ o o ) ) 在 o ，1 】上关于r = 吾对称且o z g ( f ，s ( s ) 出 f ，厂。 a ，九 兄若存在常数仇使得 ，o ，“) f ， 0 ，1 】，he m 。，r 。 成立则三点边值问题( 4 1 ) 至少有两个对称正解 h 。，甜：且满足o 忙，i i r ， 陋：f 1 定理4 4 假设，) ，：) ”成立，。 f ，* r h ，v t e o ，1 】， 聊：，r ： 成立则三点边值问题( 4 1 ) 至少有两对称个正解 h ，h ：且满足o 9 h ，0 7 7 ： 忙：i | 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章抽象空间中一类二阶三点边值问题的多重解 2 1 引言 抽象空i 司常微分方程理论是微分方程理论中的一个较新的重要分支 近年来，来源于许多应用数学和物理问题的常微分方程多点边值问题的研究十分活 跃1 。4 卜9 1 我们注意到，以上文献多为r 1 上的三点边值问题1 9 9 9 年，3 之1 2 在r 1 上研究了 三点边值问题 卜h ”= 口( f ) 厂( “( f ) ) ， l “( o ) = 0 ，“( 1 ) = c h ( 宇) 利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，在非线性项，满足次线性增长或超线性增长的条件下， 得到了上述问题正解的存在性其中i c ( e ，r + ) ，亭( o ，1 ) c ( o ，+ ) 为给定常数且 0 c 宇 1 本文在b a n a c h 空间考察下面三点边值问题 ：罨j 三5 1 f ：g ；兰c “。亭， c 2 ， 1 h ( o ) = 口，“( 1 ) = c “( 亭) 毕j ， 其中，厂c ( j ，p ，p ) ，宇( 0 ，1 ) ，c ( 0 ，+ ) 为给定常数ro c 占 1 在非线性项更一般，i l 刘有界的条件下，利用锥上严格集压缩算子的范数形式不动 点定理，得到了问题( 2 a ) - 重正解存在的充分条件 e 为b a n a c h 空间，p 是中正规锥，= 【o ，1 1 ，c ，e = “( r ) ：，- - - e l “( f ) 在j r 上连续 ) ，q = 甚( f ) c ， l 拔( f ) 乏8 ，f ，j c i i ，】中的范数为肛f l - - 普爱柳“( f ) 8 。尸+ 为p 的共 轭锥n 为j 下规常数a ( s 1 表示s 的k u r a t o w s k i 非紧性测度，s 为b a n a c h 空间中的有 界集 为了叙述定理方便，现列岛 如下条件： 太原理工大学硕士研究生学位论文 旧1j 芋( 0 d ，ce ( o ，+ ) 为给定常数且0 。，m ， p 黼，满足l i t ( , ，h ) o 肘，r ，1 1 4 - = p 其中 m 。( 。，罢) ，a = t ( 1 一s ) o ，o ，“) i b ，= l k ( 1 一s ) ，( s ，比) 出0 ； 。) 存在眯p m 驯一。时，有篙警_ ，存在：“ 当恤。一时，有竺鲁尘一；存在常数刀，m ： o ，满足1 l f ( t ，h ) o m ：，f ，删 o ，算子爿是qnb 占上的严格集压缩算子其中： b 口= 0 c 【，e | l u l l - , 卢j 证： f h ( h ：) 知a ：qnb 口呻ql g g ：续，有界 对任给有界集sc q n b 芦，由( ：) 及彳的定义可知函数族仁“ih s 一致有界且 在，上等度连续，有 口即( s ) ) = s u p a ( a ( s ( t ) ) ) ( 2 3 ) f ， 其中彳( s ( f ) ) = 妇h ) ( f ) i “s ，te 1 f l j ( h ，) 及已知公式 f z o 净历仁( f ) ir k ，6 x c 】，e 】) 可知，对固定的t i ，有 a 即( s ( f ) ) ) = a - 上( f 一5 ) 厂( 刚( s ) 拯一倍一s 沙( 叫( s ) 拯 + 南肛咖k 小) 阱5 ) s 口( ；5 敦r s ) 厂( 5 ，“( s ) ) s 扣， 班s ： ) + 恚。降叫邝川呦is o ，亭 淄) ) + 志口叫邝川朝ls 0 ，1 心) ) s ，+ 羔+ 志m 邝川瑚旧倒) ) = 函2 a ( ，( ，xb ) ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 s 高1 口倥( b ) 一c 9 、7 其中b = 0 ( s ) ise i ，he s 又a ( 口) s2 a ( s ) ，因此 口郴( f ) ) ) s 志印( s ) f h ( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，：) ，可得口即p ) ) 0 ，定义 k d = u e k li l u l l a 又设a ：k d - - , k 是一个严格集压缩算子，在 a = t ue k ll 缸l l ；d 上，a “h ( i ) 如果对“d ，酬si p “i i ，则f ，k 。，k ) = 0 ( i i ) 如果对u e o k 。，删2 怕h l j ，则i ( 爿，k ) = 1 2 3 主要结果及其证明 ( 2 4 ) 定理2 1 条件( h ，l 旧：) ，( h ，) 满足，贝, u - - 点边值问题( 2 1 ) 至少有两个i t _ 解“，“：，且 满足j p 忆i | 证： 令x 一甚qi 群p ) y “( s ) f 陆 1 s j ，贝t jk 是却，司中的一个锥由引理2 2 i 台- a ( k ) ck 记k ，= ue k ：圳 厂j i ) 雌3 ) 对vt e l , u e p , 驯_ 。啪眢吨嗍， 对满足是 1 的f ，存在充分小的正常数厂 p ，下式成立： 2 ( 1 一c 亭) 1 l i 厂( ，“) l i s f ，v te l ，0 s 0 u 忙厂 ( 2 5 ) 由引理2 1 ，有 彳) s 。忐f ( 1 5 “( 5 ) 炳 ( 2 6 ) o 太原理工大学硕士研究生学位论文 对v ue o k ，由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 及正规锥的性质，有 p ( “( f ) ) 忙n 0志上( 1 叫厂川s ) 迹 s 志f ( h ) 川妫l b s 是加嫩s ) i b s志i12(1 0 ，下式成立： s u p f ( t ，h ) 0 ，算子a 是q n b 口上的严格集压缩算子因此由引理2 5 ，可 得， i ( a ，k r ，k ) = 1 i i i )由( h 3 ) ，存在常数p 。， m p 黼，满足 0 厂( f ，u ) l l m 。te l 删sp ( 2 8 ) 由引理2 1 ，有 彳o ( 芋) ) i 笔f ( 1 5 ) 厂( s ，h ( 5 ) ) 出 ( 2 9 ) j c 芒，# e v ue o k p ，由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 及正规锥的性质，有 川啡i i 志，( 1 5 ) 厂川s ) 拯i i 2 j - 5 一m c o 占r 1 1 刮邝，“( s ) ) i b 圭g 二丛丝! m 2 ( 1 一c 亭) 1 n p i 砒 a ui2l p ( “( 酬i u 根据引理2 4 ，- i 圭n ，v 0 ，算子a 是qf b 占上的严格集压缩算子因此由引理2 5 ，可 得， i ( a ，k 。，k ) = 0 综合i ) ，1 1 ) 和i l i ) ，由不动点指数的可加性知 i ( a ，k 。露，k ) 一1 ，i ( a ? k 小k p ，k ) ：1 太原理工大学硕士研究生学位论文 则彳在k p ，k 足有不动点m ，m ：，且h ，“：是( 2 1 ) 的正解，满足 0 j p 恢| | 定理2 2 条件( h 。) ( 日：) ，旧。) 满足，则三点边值问题( 2 1 ) 至少有两个正解u 1 , “：，且 满足慨i | t 1 t 尝一(1圳酬b1一c 占j ；、 “。、“。 型2 0 笔笋 ： 一， 一c 亭) ” 太原理- 大学硕十研究生学位论文 艰琚弓i 埋2 4 ，口j 知，v 0 ，舁于a 是q | lb b 上阴严格集胜缁算于凼此由引理2 5 ，u - j 得， i ( a ，k ，k ) = 0 i i ) 由。) ，存在m ：p ，洲呻o o 时，有笋呻 对上述m ，3 r ，下式成立： m ：( ，o ，“( f ”彤西：( ，o ，掰o ) ) ，陋o ) | f r ( 2 1 1 ) 由引理2 2 ， v u ( t ) e k ，f 陪，1 】，se o ，1 ，n l l u ( t ) ) ，肛o ) 1 1 取墨一a x 仁钭 对v 距e o k 马，由( 2 9 ) ，( 2 1 1 ) 及：的性质，有 ：彳o ( 占) ) m ：志1 ，( 1 一s ) 邝，“( s ) 灿一c 亡，# = 志，( 1 叫吲胞心) ) ) 出 羔n 蜘：似呦出 于是有彳。倍) ) 苫羔，( 1 一s 弘( s ) 出，我们得到 “( 驯堕1 - c s a r j ( 1 ； 一s ) “( s 灿i i 2器伊嫩111 s ) l b 一l ii c clj 打c c 占j 、 “一” 筹2(1 一l y 一c 占) ” 因此，1 1 4 “忙i 陋“( 驯 根据引理2 4 ，可知，v 口 0 ，算子a 是qnb 。上的严格集压缩算子因此由引理2 5 ，可 太原理工大学硕士研究生学位论文 i ( a ，k 恳，k ) = 0 川，存在常姒h 志 - 1 ) m 。，下式成立 8 厂p ，“) 8 彪：，te l ， 0 ，算子a 是qn 吼上的严格集压缩算子，因此由引理2 5 ，可 得， i ( a ，k 。，k ) = 1 综合i ) ，l i ) 和l i d ，由不动点指数的可加性知 i ( a ，k ，露1 ，k ) = 一1 ，i ( a ，k 马瓦，k ) ；1 则4 在k 。露，k 焉k 一, 7 有不动点“，蹦：，且“。，u 2 是( 2 1 ) 的正解，满足 0 i ，7 忆| 1 注：本文不仅将文1 1 0 】中a o ) ， ( f ) ) 推广为f ( t ，“( f ) ) ，而且得到两个不同的充分条 件如果特殊地取e = r 1 _ r e = 0 即为文【8 】的情形若将本文的空间与非线性项均适当简 化，可得文1 2 1 的结果因此，本文是对这些文献的推广和改进 2 4 应用 例2 1 考虑尺中微分方程三点边值问题 太原理工大学硕士研究生学位论文 二二二_ 二一二= 二= = ： 每；二三1 ：_ 】二z ( 三j i f 1 ， ( 2 1 3 ) 边值i 司题( 2 1 3 ) 至少有两个非平凡的非负解x ( f l y ( f ) c 2 ( ( o ，1 ) ，r 1 ) 且满足： os 删 烨) = 了e 1 0 4 2 地 ( ，) 的条件全部满足，由定理2 1 ，边值问题( 2 1 3 ) 至少有两个非平凡的非负解 z ( r ) ，y ( f ) c 2 ( 0 ，1 】，r 1 ) 且满足：0s 1 1 , , 1 1 4 i l y l l 例2 2 考虑尺”中微分方程三点边值问题( 厅芑2 为某个自然数) f x 。”o ) = o ，x ：，、x 。) ，f ( o ，1 ) ， 1 工t ( 。) 。，石t ( 1 ) = 工t ( 三) ，k = 1 , 2 , - - - , n 2 1 4 其中： ( 。 ) = 南k 衍) - 1 ) k = 1 , 2 , - - - , n 脱值问即1 4 ) 至 少有两个非平儿的非负解x o ) ，y ( r ) c2 ( 0 ，1 ，r ”) 且满足：0si t 工1 1 1 o ，且 我们验证旧。) ( 厂o ，z ) ) 可5 事实上，由e x p ( x k2 ) 一1 以2o i20 ) ， 当z p ，x 0 时，有 第- - j _ r l - - ：当x p ，i i x ( ，( f ，石) ) 妒g ) 事实上，当xep ，x 0 时，有 一 r 1 荟( 瓜p 一1 ) g + 2 ) 3 荟 f “m a x ( e x p ( x k 2 ) 一1 ) 之百幕 t ”唧x x l s i i 仁+ 2 ) 3 - - - 0i 对, 有帮一 ( 厂0 ，工) ) 可2 呻0 0 ) r ”荟( 石酊) 一1 ) ( ，z + 2 ) 3 罗丸 篇 、l，h x ， 2 xx o疋 。弋白 。v 自 然搬 2 k 。v 詹 ，l 呻 巫渤 婴枷 ，一+ 一 i 太原理工大学硕士研究生学位论文 t “ ：，一 ( 以+ 2 ) 3 ，zm 埘a ；x 。厄 粒躺御川紧删刊l 几圳旧 _ 0 ) 事实上，取叩= 1 ，当工p 吲i j 薹h 2 s 1 时，有o x kz 1 ( 七= 1 ，2 ，刀) ，于是 e x p ( x , 2 ) 一1 x k 2e 一1 ) 所以 厂( f ，工) i 萨薹。厶2s 刀m 。烈a 。x 刀t ” n + 2 ) 3 ，l t “ s ，l t ” 白+ 2 ) 3 s1 瞎厄+ 扣蚓x k 2 一d ) 2 ( 刀+ 砉z t2 ( e 一，) ) 2 ( ，l + p 一1 ) 2 叩 旧。) 的条件全部满足，由定理2 2 ，边值问题( 2 1 4 ) 至少有两个非平凡的非负解 x ( t ) ，y ( t ) e c 2 ，1 】，r 1 ) 且满足：0s