（应用数学专业论文）具有时滞bam神经网络鲁棒稳定性分析.pdf

摘要 摘要 双向联想记忆神经网络与一般的神经网络有些类似的特点但也有自身独有的 一些特性。本文研究双向联想记忆神经网络系统平衡点的存在唯一性以及稳定性 问题。主要探讨具有连续时滞和分布时滞的双向联想记忆神经网络系统平衡点的 存在唯一性和渐近稳定的条件，以及它鲁棒稳定的问题。将已有的研究成果给予 了完善和改进。具体包括以下四个方面的内容： 研究了具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络系统平衡点的存在性。通过构 造一个映射f ，并运用布劳威尔不动点定理证明该映射丁在满足一定的条件下存在 不动点，从而证明具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络系统平衡点的存在性。 研究了具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络系统平衡点的唯一性。利用一 系列的不等式，推导出该系统平衡点唯一性的充分条件。 其次系统地研究了具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络系统的渐近稳定 性以及它的鲁棒稳定性问题。利用l y a p u n o v 方法、l m i 方法和s c h u r 引理以及 相应的不等式技巧，结合不等式分析的技巧，获得具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络系统的渐近稳定和鲁棒稳定的充分条件。 最后通过具体的例子来说明本文所得结果的有效性。 关键词：b a m 神经网络，分布时滞，线性矩阵不等式，渐近稳定，鲁棒稳定 a b s t r a c t t h eb i - d i r e c t i o n a la s s o c i a t em e m o r yn e u r a ln e t w o r k sn o to n l yh a st h ep r o p e r t i e s t h a ta l es i m i l a ri ns o m ea s p e c t st og e n e r a ln e u r a ln e t w o r k s ，b u ta l s oh a v ei t so w nu n i q u e c h a r a c t e r i s t i c s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r o b l e mo ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u mp o i n tf o rb i - d i r e c t i o n a la s s o c i a t em e m o r yn e u r a ln e t w o r k s s y s t e m s t h em a i np u r p o s ei st od i s c u s st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y a n dr o b u s ts t a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rb i d i r e c t i o n a la s s o c i a t em e m o r yn e u r a ln e t w o r k s s y s t e m sw i t hc o n t i n u o u st i m e - d e l a ya n dd i s t r i b u t e dd e l a y s o m er e s u l t so b t a i n e da r e i m p r o v e da n dp e r f e c t e d t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s ： f i r s t ，w er e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo ft h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mp o i n tf o r b i - d i r e c t i o n a la s s o c i a t em e m o r yn e u r a ln e t w o r k ss y s t e m sw i t l lc o n t i n u o u st i m e - d e l a y a n dd i s t r i b u t e dd e l a y b yc o n s t r u c t i n gam a p p i n ga n du t i l i z i n gb r o u w e rf i x e dp o i n t t h e o r e m ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mp o i n tf o rb i - d i r e c t i o n a l a s s o c i a t e m e m o r yn e u r a ln e t w o r k ss y s t e m s 、柝t 1 1c o n t i n u o u st i m ed e l a ya n dd i s t r i b u t e dd e l a y s e c o n d ，w er e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo ft h eu n i q u e n e s so fe q u i l i b r i u mp o i n tf o r b i d i r e c t i o n a la s s o c i a t em e m o r yn e u r a ln e t w o r k ss y s t e m s 、析t l lc o n t i n u o u st i m ed e l a y a n dd i s t r i b u t e dd e l a y u s i n gt h et e c h n i q u eo fa n a l y z i n gi n e q u a i t y , t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o nw a sd e r i v e df o rt h eu n i q u e n e s se q u i l i b r i u mp o i n t t h e nw er e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo fa s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u mp o i n tf o rb i d i r e c t i o n a l a s s o c i a t em e m o r yn e u r a ln e t w o r k s y s t e m s 、析t l l c o n t i n u o u st i m e d e l a ya n dd i s t r i b u t e dd e l a y w eu s el y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o 也 l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sm e t h o da n ds c h u rt h e o r y t h ea s y m p m f i cs t a b i l i t ya n dr o b u s t s t a b i l i t ys u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e d f i n a l l y ，i ti m p l i e st h ee f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dr e s u l t st h r o u g ht w oe x a m p l e s k e yw o r d s ：b a mn e u r a ln e t w o r k s ，d i s t r i b u t e dd e l a y ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ， a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，r o b u s ts t a b i l i t y i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：主至薹l 丑日期：汐。彩年厂月s - e l 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：主21 塑互 导师签名：垒篁童丝 日期：j t 彬年f 月仃日 第一章绪论 1 1 研究意义 第一章绪论 神经网络是由具有适应性的简单单元组成的广泛并行互联的网络。而联想记 忆神经网络具有模式存储和模式联想能力，主要是利用大规模并行处理及良好的 容错性，将污垢的、残缺的、变形的信息恢复成原来正确的完整的信息。它在图 象处理、模式识别、自动控制、分类及人工智能、求解优化问题等研究领域有重 要用途和广泛的应用前景。双向联想记忆网络模型( 即b a m 模型) 是一种常用的 神经网络，具有信息记忆和信息联想的特点。由于信息的分布式存储，网络能够 从一个不完整的或模糊的模式中联想出存储在记忆中的某个完整的清晰的模式。 自从h o p f i e l d 建立简单神经网络模型后，近年来人们对神经网络的动力系统的研 究产生了很大兴趣。在h o p f i e l d 神经网络的基础上，m a r c u s 和w e s t e r v e h 认为在 信号的传输过程中总有时问滞后的问题，于是他们提出了带时滞的神经网络模型， 引起国内外的广泛关注，并建立了许多时滞神经网络模型。在b a m 神经网络模型 中同样也存在时滞问题。目前的主要研究工作都集中在稳定性分析上，因为稳定 性是神经网络记忆能力和优化计算的重要因索。 自从李雅普诺夫首创的运动稳定性理论诞生以来受到了各国学者的高度重 视，苏联控制论专家列托夫、数学家马尔金先后在他们的专著序言中说到，“无论 现代控制以何种方法描述，总是建立在李雅普诺夫运动稳定性的牢固基础上”，美 国数学家l a s a l l e 也说过：“稳定性理论在吸引着全世界数学家的注意，李雅普诺 夫直接法得到了工程师们的广泛赞赏，稳定性理论在美国正迅速变成训练控制论 方面的工程师们的一个标准部分 。我国著名科学家钱学森、宋健在工程控制论 中写到：“对于控制系统的第一个要求是稳定性，从物理意义上讲，就是要求控制 系统能稳妥地保持预定的工作状况，在各种不利因素的影响下不至于动摇不定， 不听指挥”这些足以说明了稳定性具有普遍意义，事实上，在经典控制中， 稳定性是唯一的要求，即使在现代控制中，它仍然是主要的性能指标。 研究系统的稳定性具有重要意义。因为小到一个具体的控制系统，大到一个 社会、金融系统、生态系统，在各种偶然的或持续的干扰下运动的，承受这种干 扰之后，能否保持预定的运行或工作状态，而不至于失控，摇摆不定，有至关重 电子科技大学硕士学位论文 要的意义。特别是近十余年来，人工神经网络的理论和应用的研究，形成了世界 性的热潮，其中稳定性扮演着重要的角色，利用动力系统的吸引子和电子电路的 实现来完成某些智能优化计算、联想记忆、学习算法。从而，对稳定性理论感兴 趣的已远远不止数学、力学、自动控制专业的学者。 同时，由于时滞神经网络在求解与运动有关的优化等问题时具有重要的作用， 关于时滞神经网络动态行为的稳定结果也日益得到广泛的研究。因此研究具有时 滞的双向联想记忆神经网络的稳定性是很有必要的。 1 2 研究现状 联想记忆神经网络在过去1 0 年中得到了深入而广泛的研究和应用，它在神经 生理学、计算机科学、认知科学及其它科学的共同影响下，已经提出了联想记忆 模型及其理论分析并取得丰富的成果。双向联想记忆神经网络首次由k o s k o 1 】提 出，同时，双向联想记忆神经网络在联想记忆设计、模式识别、+ 控制器设计、求 解优化问题及联想记忆等问题中证明是很有用的模型。 双向联想记忆神经网络模型自从首次由k o s k o 提出以来，就受到人们的高度 关注。经过多年的研究也得到了更长远的发展【2 引。 人们首先对离散的双向联想记忆神经网络做了大量的研究。但是近几年来对 连续的也有所研究。按照时间的离散和连续性来分，目前对它的研究大致可以分 为连续时滞的或离散时间的，以及既有连续时间又有离散时间即通常所说的脉冲 神经网络【9 d 引。脉冲神经网络把连续时间和离散时间的特征结合在一起，形成一个 特殊的研究方向。不管什么样的类型，我们都还是主要集中研究双向联想记忆神经 网络模型的平衡点的存在性和唯一性，以及它的稳定性。在研究平衡点的存在性 和唯一性方面，一般采取下面两种方法。第一种方法通过构造算子丁( x ) ，然后运 用不动点定理来判断平衡点的存在性，然后通过单射来说明唯一性，经常用反证 法来证明，如文献l l9 】就是利用该方法来证明平衡点的存在性；第二种方法就是用 拓扑度来证明，如文献【2 0 】，先通过构造一个映射日( x ) ，然后证明该映射是同胚映 射，即h ( x ) 满足：h ( x ) 日( 少) ，v x y ，x ，y r ”；并且0h ( x ) l i oo o 当i ix0 _ 0 0 时。 对于稳定性我们通常研究系统的稳定性，因为不稳定的模型没有实际应用的意义。 稳定性的研究大致可以分为指数稳定、渐近稳定、鲁棒稳定等。对双向联想记忆 神经网络的稳定性研究同样有指数稳定【1 6 1 8 2 1 2 6 1 ，渐近稳定 2 6 - 3 0 l ，以及鲁棒稳定 唧训j 等。虽然对双向联想记忆神经网络模型的鲁棒稳定性的文章也有一些且得到 2 第一章绪论 一些结果，但是对其的研究还是不够。因为大多数文章只对定常数时滞双向联想 记忆神经网络的稳定进行研究，如文献【2 7 】，通常这些结果一般不容易验证，且 没有考虑神经元激励和抑制对网络的影响。在网络的应用和设计中，不可避免地 存在建模误差等不确定性，这些不确定性将使网络产生复杂的动态行为。因此， 所设计的神经网络必须对这些不确定性具有鲁棒性。 以往的文献中，李雅谱诺夫方法、特征方程法和状态方法等被用于寻找系统 的稳定性准则。l m i 方法已成为研究双向联想记忆神经网络系统的稳定性的主要 方法。通过构造一个恰当的l y a p u n o v k r a s o v s k i iv 泛函，结合不等式分析技巧， 对矿沿系统的导数矿进行放大处理，获得系统的时滞相关稳定的基于l m i 的充分 条件。由于针对不同的系统在构造l y a p u n o v 函数上缺乏一定的准确性以及利用不 同的变换技巧，这在一定程度使得到的结果产生了一系列的保守性。目前研究者 们对各种双向联想记忆神经网络系统都进行了深入的研究【3 2 羽】。文献【3 2 中对连续 时滞的b a m 系统作了相关的研究。文献 3 3 】中，作者对具有分布时滞的b a m 系 统通过构造适当的l y a p u n o v 函数，应用同胚映射理论，m 矩阵理论和不等式 a ll _ - 。6 尹= 1 ( 己闰mq 。w + 口7 ) ， o ，b 。o ，q i o ) 满足2 。g 。= ，一1 ， 1 。得到 平衡点存在和唯一性的判断准则，并且得到具有分布时滞的双向联想记忆神经网 络全局指数稳定的条件。这篇文章的最大成果就是推广和改善了以前的结果，并 且可以不再要求行为函数是有界，但是很多文章都要求行为函数是有界的。 目前讨论双向联想记忆神经网络系统的稳定性，主要运用的是l y a p u n o v 方法。 但是针对不同的系统，构造l y a p u n o v 函数没有固定的标准和方法，都是在构造之 初进行试凑的，并且在对其导数进行处理的过程中，大多数文献采用的不等式处 理技巧都很单一，这是造成结论具有较强的保守性。因此，对l y a p u n o v 函数导数 进行放大处理的方式也需要进一步的研究，从而降低时滞相关稳定性结论的保守 性。见于此，本文将通过添加0 项的方法将双向联想记忆神经网络系统的稳定性加 以考虑。 1 3 本文的主要内容 本文主要针对具有连续时滞和分布时滞双向联想记忆神经网络的系统，基于 l y a p u n o v 第二方法，采用线性矩阵不等式( l m i ) ，矩阵分析等工具，系统地研究了 具有连续时滞和分布时滞双向联想记忆神经网络的稳定性。主要内容如下： 电子科技大学硕士学位论文 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 概述了研究的背景及本文主要工作。 简要的介绍了本文研究工作需要的理论和方法以及对系统的描述。 对具有连续时滞和分布时滞双向联想记忆神经网络系统的平衡点的存 在性和唯一性进行讨论。应用不动点原理讨论平衡点的存在性。 系统地讨论了具有连续时滞和分布时滞双向联想记忆神经网络系统的 渐近稳定性以及它具有扰动情况下的鲁棒稳定性。应用l y a p u n o v 第二 方法，在处理y 的导数时，而通过引入一些恰当的0 项，结合不等式分析 的技巧，构造多个l m i ，从而获得基于多个l m i 的时滞相关渐近稳定和 鲁棒稳定性的充分条件最后的数值例子说明所得结论的有效性。 总结了本文的研究工作以及所得到的结论。 4 第二章预备知识和问题描述 第二章预备知识和问题描述 本章简要介绍了本文所要用到的稳定性理论，以及本文要用到的几个线性矩 阵不等式。最后对本文要研究的系统进行描述。 2 1 稳定性的基本理论 考虑一般的咒维非自治微分方程组 冬：f ( t ，x ) ，f f 0 ( 2 1 ) x = c o l ( x 1 ，x 2 ，x 。) ，f = c o l ，以，无) c g 片，r ”】且在保证上式解的唯一 性，且厂o ，0 ) = 0 。其中g 日= q ，x ) lt 【t o , o o ) ，x r ”，l lxi i h ) 。 定理2 1 阳( l y a p u n o v 稳定性定理) 若在某区域嘞上存在正定函数v ( t ，x ) ， 使得 乱11=百ov+喜器tdt o ， 一l= 一+ ，一f r i 、 1 ( 2 - 1 ) 研 智缸f 川”7 则石d r = 厂( f ，x ) 的平凡解z = o 是稳定的。 一匕面所介绍的就是本文所用到的理论依据。 2 2 基本不等式 接下来我们再介绍几个本文要用到的几个常见的不等式： 引理2 1 1 3 1 1 对于任意两个适当维数的向量石和】，以及两个适当维数的矩阵 p ，q = q t 0 ，下面的不等式成立 一x t q x + 2 r t p y 0 ，五y r ”，均有2 x t y l x t x + e y t y 成立。 5 系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式的问题，但可以 通过适当的处理将问题转换成一个线性矩阵不等式的问题。在许多将非线性矩阵 不等式转化为线性矩阵不等式的问题中，我们常常要用到矩阵的s e h u r 补性质。下 面就引入s c h u r 补性质。 5 电子科技大学硕士学位论文 引理2 3 p 7 1 ( s c h u 卜补引理) 已知1 、2 和3 是常数矩阵，并且矩阵l 和2 分 别满足1 = j ，2 = j 0 ，那么l + ；3 0 当且仅当下面的不等式成立 匮孙。或曙小。 应用矩阵的s c h u r 补性质，一些非线性矩阵不等式可以转化成线性矩阵不等 式，而线性矩阵不等式的最大优点是计算的简单性，并且不需要参数调整，可以 用m a t l a b 的l m i 工具箱求解。 引理2 4 【3 8 1 对于具有适当维数的矩阵y ，f ( f ) ，z ，以及对称矩阵人= 人t ，其中 ，( ，) 满足f t ( ，) ，( ，) 0 分别表示x 中第i 个和y 中 第个神经元的状态；白，d f i ，1 ，表示连接权，它们是已知的实常数；z ( ) ，誊( ) 分别为x 中第i 个和y 中第个神经元的激励函数且辱，f j c ( r ，r ) ；m ( ) ，k ，( ) 是 核函数；m ，j ，分别是外部输入值。 r ( f ) ，仃( r ) 是连续可导的函数，且满足： 6 ， r l + h ) ) 谚 仃 o 。，”善 q 舡 ， 毋 膳 勺 d 。一。硝 ) n o 吩 口 6 1 一 d 一 一 继衍坐衍 第二章预备知识和问题描述 0 f o r ( t ) 一，0 f 7 ( f ) f l ；0 仃o 仃o ) 仃l ，0 仃o ) 盯 1 ， 其中r o ，1 ，f ，o 0 ，吼，仃是正实常数。 系统( 2 2 ) 的初始条件为： u ，( s ) = 办( s ) ，v ，( s ) = 伊，( s )s 卜f ，o 】，f = m a x ( f l ，仃1 ) ( 2 - 3 ) 痧( s ) ，伊，( s ) 为连续函数。 设r 肿肘表示定义了模i 的( n 4 - m ) 维实向量空间且对v z r 肿腑，有 i iz i i = hi + iv 小z = ( “l ，甜2 ，“。，v l ，v 2 ，1 ，。) t r 肿册。 t = l j = j 如果系统( 2 2 ) 的平衡点都不存在，那么研究系统( 2 2 ) 的稳定性是没有意义的。 所以为了确保系统( 2 2 ) 的平衡点存在，在全文当中，我们假设季，乃，( ) ，k ，( ) 满 足下面几条： ( h 。) 莓，z c ( r ，r ) 且蚕，z 是有界的，即存在正数三；，巧，使得： i 季，( “，) l 三；，i 乃( v ，) l 三? 成立； ( h 2 ) 存在正数r t ，s ，( f = 1 ，2 ，o9 刀；j f = 1 ，2 ，m ) 使得： o 丝掣 ，o 丛鲁里 ( 善穆v 删成立； ( h 。) 核函数m ( ) ，k ( ) 是定义在 0 ，佃) 上的连续实函数，并且满足： j on ，( s ) a s = l ，f o ok s ( s ) d s = 1 。 为了方便起见，我们把系统( 2 2 ) 写成如下的矩阵形式： 其中 u ( t ) = ( “l ( f ) ，i , 1 2 ( f ) ，u 。( f ) ) t r ”，v ( t ) = ( v l ( f ) ，v 2 ( f ) ，v 研( f ) ) 1 r ”， a = d i a g ( a l ，a 2 ，a 。) ，b = d i a g ( b l ，6 2 ，b 所) ， c = ( c ) 。m ，d = ( d j ) ，。，w = ( w 0 ) 。肼，v = ( v ) m 。， m = ( m l ，m 2 ，m 。) 1 r ”，j = ( 以，以，厶) 1 r 胛， n ( s ) = d i a g ( n 1 ( s ) ，n 2 ( s ) ，m ( s ) ) ，k ( s ) = d i a g ( k l ( s ) ，k 2 ( s ) ，k 。( s ) ) ， 季= ( 蟊，9 2 ，磊) 1 ，f = ( z ，以，厶) 1 。 有了以上的准备工作，下面就平衡点的存在唯一性和稳定性的进行讨论。 7 m ， 凼 出 渺 协 k 乏-如皂凡 形 y ) d、，l 啪 mf ，u 叱 “ 盯 p 盯 赡 + + 、， 卜 ” 圳 叹 砌 跏 刊 书 警警 电子科技大学硕士学位论文 第三章具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络平衡点的存在 唯一性 本章我们讨论具有连续时滞和分布时滞的b a m 神经网络的平衡点的存在性与 唯一性，即系统( 2 - 2 ) 的平衡点的存在性与唯一性。 3 1 平衡点的存在性 、 关于平衡点的存在性我们有下面的定理。 定理3 1 在假设( h 。) 和( h ，) 下，系统( 2 4 ) 存在平衡点。 我们首先分析，如果系统( 2 - 4 ) 存在平衡点，那么该平衡点应该满足什么样的等 价条件。假设 = ( “i ，1 1 2 。，甜：) t 和v = ( 1 ，：，v ：，：) t 是系统( 2 - 4 ) 的平衡点。由 系统( 2 2 ) 变换到系统( 2 4 ) 的过程易知，系统( 2 2 ) 和系统( 2 - 4 ) 是等价的，所以”+ 和， 也是系统( 2 2 ) 的平衡点。从而只需证明“和v 。是系统( 2 2 ) 的平衡点即可。根据平衡 点的定义，我们知道系统( 2 2 ) 存在平衡点甜和1 ，当且仅当z ，和1 ，+ 满足下列代数方 程： 由假设( h ，) 可知，方程( 3 - 1 ) 可以化为如下的方程： ( 3 1 ) ( 3 - 2 ) 通过以上的分析和变换过程可知，系统( 2 2 ) 存在平衡点当且仅当等价方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) 有解。于是我们知道证明定理2 1 ，其实只需要证明方程( 3 2 ) 有解即可。下 面我们就来证明方程( 3 - 2 ) 有解。 证明：首先我们定义算子t ：r ”- - 9 r 肿”， 我们令： 8 耽 乙 乙 = = z ， ，m + + 熵 炒 v “ 乃 r ， 髟， r 儿r 如 w v 所d同开艺硝 + _ r 弘、， l 弘 。 乃 g 勺 以 。同。闽 = i i 掰 v 所 乃 ，旧 、旧_， 嘎 朋 ， 一 乙 卫 ，l ： 刮 = 扛 x x 埘 j ， 乃 ) ) f w v + + 勺 办 卅一。崮 一q一l = = 第三章具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络平衡点的存在唯一性 z ( 州) = ( ( 勺+ ) z ( 巧) 也) ， 瓦+ 知，v ) _ b ( 2 ( d j ，+ ) 酏) _ ) ， 即可以写成如下的向量形式： 我们设 矾 s d r 2 t ( u ，v ) = 互( “，v ) 疋( 甜，v ) l ( 甜，1 ，) 疋+ 1 ( “，v ) l + 。( 甜，1 ，) f = 1 , 2 ，刀； j = 1 , 2 ，m ， 百i ( 丢m ( + 厉( 。) 删。) 寺( 喜( d u + v i i 胞m v 2 ( 壹i m ( 九+ v z - ) 季知。) v ：) i i ( 善p l ( 九帆塘( “，) 虬j 对于算子r ，有： ( 勺+ ) 乃( 0 ) 埘f ) i ( f 勺j + 1 i ) 巧+ 瞄i ) ， i = i ，2 ，玎； 1 1 ) 巧十m ，i ) ， j 1 i ) 譬+ i | ) ， j j f = 1 , 2 ，m q = ! ) 卜= ( ，) t r ”，v = ( v 。，v ：，v 。) t r ”，洲q ，i l v l l - ： 9 嗽 州 、i ， ， 巳 ，l 取 协 j 巧 嵋 w 二卜 + 2 心 p 。一。h ( ，一q，一吃 遣蓬问蓬同知一q一q 以 1 广 v l 可 力“ o 乃 漫 l 玎炙鹿址由 、， 1 ， 以 + 叫 h 坞 b o ， 鹰 叫 + _ = 办 ， 。闽。闽 l l ，一0一0 h 一 吩瓦 蛳 m 叫 卜 l 勺 d q u 册d一。耐 1( ( 一q一l 警 蚕萎 髀 黪 电子科技大学硕士学位论文 那么t ( r 肿脚) q 。于是我们可知，t ：q q 是连续算子且q 是紧凸集，所 以我们根据不动点定理【3 9 1 ，算子丁存在不动点。于是系统( 2 2 ) 存在平衡点，从而 系统( 2 - 4 ) 存在平衡点。以上就是平衡点存在性的证明。口 3 2 平衡点的唯一性 1 t 赢d x ( t n ) = - a x ( t ) + c f ( y ( t - v ( t ) ) ) + wf f p k ( s ) f ( y ( t - s ) ) d s ( 3 3 ) i 警一踟) + d g ( 砸一删) ) + y f 州阳凇 一 f j ( y ( f ) ) = y j ( y ) + v ；) 一z ( ，；) ，= 1 ，2 ，m o 丛型 ，i 吕( 0 ) = 0 ，汪1 ，2 ，甩， o 塑丝 s ，乃( o ) ：o ，_ ，：1 ，2 ，肌 1 0 第三章具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络平衡点的存在唯一性 那么原点是系统( 3 - 3 ) 唯一平衡点，其中r = d i a g ( r l ，r 2 ，) ，s = d i a g ( s l ，s 2 ，s 。) 。 证明：f h 定理3 1 可知，系统( 3 3 ) 至少有一个平衡点。我们现在来证明它只有 唯一的一个平衡点并且这个平衡点就是原点。设( x ，y ) 是系统( 3 - 3 ) 的平衡点。由 平衡点的定义可知，要证明平衡点就是原点只需证明g ( x ) = f ( y ) = 0 即可。 我们现在用反证法来证明。假设g ( x ) ，f ( y ) 至少有一个不等于0 。 考虑系统( 3 3 ) 的平衡点方程： l 一瓜+ c f ( y ) + 形f k ( s ) 厂( y ) a s = 0 ， l 一缈+ d g ( x ) + vf ( s ) g ( x ) a s = 0 由假设( h ，) ，方程( 3 4 ) 可以转换为： j 一出+ ( c + 形) m ) = 0 ，( 3 - 5 ) i 一缈+ ( d + v ) g ( x ) = 0 在( 3 5 ) 的第一个方程中左乘以一2 厂t ( y ) ( c + 形) t + 2 ( x ) t 彳，第二个方程中左 乘以一2 9 t ( x ) ( d + y ) t + 2 ( y ) t b ，可以得至0 ： 一2 ( x ) t a 2 x + 2 ( x ) t a ( c + w ) f ( y 。) + 2 f t ( j ，) ( c + 形) t 么x 一2 t ) ( c + 形) t ( c + w ) f o , ) = o ； ( 3 - 6 ) 一2 ( y ) t b 2 y + 2 ( y ) t b ( d + v ) g ( x ) + 2 9 t ( x ) ( d + y ) t 砂 一2 9 t ( z ) ( d + 矿) t ( d + v ) g ( x ) = 0 ( 3 - 7 ) 把( 3 6 ) 和( 3 - 7 ) 加起来，可得： 一2 ( x ) t a 2 x + 2 ( x ) t a ( c + w ) f ( y ) + 2 f t ( y ) ( c + 形) t a x 一2 厂t ( y ) ( c + 形) t ( c + w ) f ( y ) + a f t ( y ) ( c + 形) t ( c + w ) f ( y ) 一矽t ( 少) ( c + 形) t ( c + w ) f ( y ) 一2 ( y ) t b 2 y + 2 ( y ) t b ( d + v ) g ( x + ) + 2 9 t ) ( d + y ) t 砂一2 9 t ) ( d + y ) t ( d + v ) g ( x ) + 触t0 ) ( d + y ) t ( d + v ) g ( x ) 一风t ) ( d + y ) t ( d + v ) g ( x ) = 0 ( 3 - 8 ) 由引理2 2 ，可得到： 一万t ) ( c + ) t ( c + 形) 厂( y ) + 2 ( x ) t a ( c + w ) f o , ) 二( x ) t 彳2 x ( 3 9 ) 一( x ) t a 2 x + 2 f t ( y ) ( c + 形) t 出f t ) ( c + 形) t ( c + w ) f ( y 。)( 3 1 0 ) 一尾t ( x ) ( d + y ) t ( d + y ) g ( x ) + 2 ( y ) tb ( d + y ) g ( x ) 去( y + ) tb 2 y + ( 3 1 1 ) p 一( y ) t b 2 y + 2 9 t ( x ) ( d + y ) t 缈g t ( x ) ( d + 矿) t ( d + v ) g ( x )( 3 1 2 ) 由假设( h ：) ，得到： 一( x ) t a 2 x 一g t ( z ) ( r 一1 ) 1 彳2 r 1 9 ( x ) ， ( 3 1 3 ) 电子科技大学硕士学位论文 一( y ) t b 2 x 。一f t ( y ) ( s 一1 ) t b 2 s f ( y ) ( 3 1 4 ) 把( 3 9 ) 一( 3 - 1 4 ) 式带x , ( 3 - 8 ) ，可得： o = - 2 ( x ) t 血+ 2 ( x ) tg ( y ) + 2 ( x ) t 阿( y ) 一2 ( y ) t 砂+ 2 ( y ) t o g ( x ) + 2 ( y ) t 垤( x ) g t ( x + ) ( 一( 1 一二- ) ( r 一1 ) t 彳2 r - 1 + ( 一1 ) ( d + y ) t ( d + 矿) ) g ( x ) “ + t ( y ) ( 一( 1 一去) ( s 一1 ) t b 2 s 一1 + ( 口一1 ) ( c + 形) t ( c + 形) ) 厂( y ) ( 3 - 1 5 ) p 由定理3 2 条件，可知： g t ( x ) ( ( 1 一土) ( 尺一1 ) t 彳2 r 一1 + ( 一1 ) ( d + y ) t ( d + y ) ) g ( x ) “ + 厂t ( y ) ( 一( 1 一去) ( s 一1 ) t b 2 s 一1 + ( 口一1 ) ( c + 矿) t ( c + 形) ) ( y ) o p 故与( 3 1 5 ) 矛盾。所以原点是系统( 3 - 3 ) 的唯一平衡点。口 3 3 举例说明平衡点唯一性的判定定理的有效性 例3 1 我们考虑系统( 3 3 ) 的系数如下： 么= b = 言呈 ，c = 。= 三二 ，y = 形= 。， 尺= s = 三： 取口= = 詈。所以 。= 0 2 = - ( 1 一吉) ( ) t 内q 堋卅( d 们t ( d 们 ：一4 1 1 i 2 c 2 98l0 要使得 = o ： o ，那么我们可得到l c i o 满足如下的条件： 其中 q 。，互一曩 0o q 3 3 0 一一4p 3 “ f 1 1 3q 1 一醇 00 兀3 3 0 一兰仃 3 z 3 0 ， 0 q 1 1 = 一扣一言椰+ 丢夏彳+ 丢鹏+ 三如么+ r r 。r + r s i r q 2 = 芝1 ( 8 + 夏一么t b ) c ，q 。，= j 1 ( 只+ 夏一彳t ) ， q 2 2 = - ( 1 一f ) 恐+ 6 5c t b c ，q ，；= 一岛+ 善矽t 只形， n ，l = 一5 - q , b 一羔4 b t q 1 + i 1 场t j 5 f + 1 4b t q + ；b t q 召+ s r ：s + s s 2 s n ，：= j 1 ( 置+ 夏一b t q s ) d ，n 。，= 互1 ( q l + q ；一b t q 3 ) v ， ( 4 - 1 ) 电子科技大学硕士学位论文 n 2 2 = 一( 1 一c r ) r l + 6 气d t q 3 d ，n 3 3 = 一s l + 6 气v t q 3 v 那么系统( 3 3 ) n 平衡点在初始条件( 2 3 ) 下是渐近稳定的。 下面就来证明定理4 1 。 证明：为了证明定理4 1 ，现在我们构造如下的李雅普诺夫函数v v = k + + 圪+ 巧+ 圪+ 圪 其中 k = c x t o ，戈t o ， 三三 主曼 ( 至善； ， = c 少t c d 夕t o ， 舌3 曼曼 ( ；苫；) ， 蚝= l f f l g t ( x ( s ) ) 墨g ( x ( s ) ) 凼， 圪2l ( 1 ) f 1 ( j ) ) r ：f ( y ( s ) ! d s ， 圪= 芝s ；1 f f ( s ) 。g z ( x ，( o ) ) d o d s ， 圪= ms ；f k ( s ) ，疗( y ，( o ) ) d o d s 沿着系统( 3 3 ) ，分别对函数巧，圪，坞，巧，圪求导数，那么可得： a 衍v , = 2 t 。，戈t 。， 乞荟 ( 圣g ) = 2 c x t 。，戈t c ， 乞篙 r ， 戈( ，) 、 l 一文( f ) 一出( r ) + c f ( y ( f f ( f ) ) ) + 矿f k ( s ) 厂( y o s ) ) 凼j = 2 x to ) 舅戈0 ) 一2 x 丁o ) 夏y c ( t ) 一2 x t ( ，) 夏a x ( t ) + 2 x t ( t ) p f c f ( y ( t - r ( t ) ) ) + 2 x t ( f ) 夏wfk ( s ) 厂( j ，( 卜s ) ) 凼一2 2 t ( t ) p 3 2 ( t ) 一2 y c t ( t ) p 3 a x ( t ) + 2 戈t ( t ) p 3 c f ( y ( t f o ) ) ) + 2 戈t ( t ) p 3 wfk ( 5 ) 厂( y o s ) ) 幽 = - 2 2 t ( t ) p 3 2 ( t ) + x t o ) ( 墨一，乒一a t 只) 圣( f ) + x t ( f ) ( 只一口一彳t 忍) 文o ) - 2 x t ( f ) 夏a x ( t ) + 2 x t ( f ) 口c f ( y ( t r ( f ) ) ) + 2 y c t ( t ) p 3 c f o , ( t f ( f ) ) ) + 2 x t ( f ) 夏wfk ( s ) 厂( y ( f s ) ) 凼 + 2 y c t ( t ) p 3 wfk ( s ) ( y ( f s ) ) 凼 由引理2 1 和引理2 2 ，我们得到： 1 4 第四章具有连续时滞和分布时滞b a m 神经网络的稳定性 一1 3 戈t o ) b 量o ) + x t ( ，) ( e 一口一么t 只) 量( f ) 三x t ( f ) ( 鼻一片一彳t 只) 掣( 置一夏一彳t 与) t 川) 一i 5 ：c t o ) b 荆+ 2 川) b 叮( y ( f 一删) 善厂t o r ( f ) ) ) c t 5 0 f ( y ( f f o ) ) ) 一云戈t ( t ) p 3 i c ( t ) + 2 i c t ( f ) p 3 wr o o k ( s ) 厂( y ( t - s ) ) 凼 n 詈( f k ( s ) 厂( y ( ，一j ) ) 凼) t 形t p 3 w f f k ( s ) ( f s ) ) 出 所以由( 4 - 2 ) 一( 4 4 ) ，可以得到： 鲁x t ( t ) ( - 2 p ：a + 三( 互一譬一彳t 只) 耳1 ( 只一可一彳t b ) t ) m ) + 2 x t ( t ) p ，c f ( y ( t f ( f ) ) ) + 2 x t ( f ) 口形f k ( s ) 厂( y o s ) ) 凼 + ：6 厂t ( y o f o ) ) ) c t 5 c f ( y ( t f o ) ) ) + 詈( f k ( j ) 厂p j ) ) 西) t t 另f k ( s ) 厂p s ) ) 西 + x t o ) ( e