（光学专业论文）tavis—cummings模型中运动原子的纠缠演化特性.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘摘 要要 tavis-cummings 模型是描述多个二能级原子与光场发生强相互作用的模型， 近年来 人们对这种模型进行了广泛的研究，微腔中光场与原子，原子与原子相互作用过程 中，光场态，原子态随时间不断改变，研究表明光场和原子子系统的非经典特性与 光场初态，原子初态，谐振腔结构之间有着密切的联系；光场的非经典特性如压缩 效应，反聚束效应，原子非经典效应如纠缠均要受到光场与原子初态及腔模结构的 影响，在一个多个子系统组成的大系统中,子系统量子态的纠缠是整个系统的一个重 要特征，在量子信息的研究中，多部分量子态纠缠是量子信息工程中的重要资源， 纠缠传递和交换在量子超密度编码，密钥分配，隐形传态，量子计算机及量子通信 中扮演着重要角色。如能实现对原子态量子纠缠的调控，则对许多量子信息问题的 研究将起到重要的作用，本文中，考虑了两个二能级原子与微型谐振腔中相干态光 场相互作用的模型，在考虑谐振腔腔模结构的情况下，让原子沿谐振腔轴向运动， 在考虑到腔模结构，原子运动速度，光场平均光子数，原子与光场初态等因素的情 况下， 我们运用wootters提出的共生纠缠度 （concurrence） 来计算两原子之间的纠缠， 采用数值计算的方法，得到的结果表明，原子纠缠演化周期受到了原子运动速度和 谐振腔结构的影响，而纠缠度的大小则与原子初态，原子运动速度，及光场初态有 关，由此即可实现对原子纠缠演化的调控。 关键词关键词：腔量子电动力学（qed） ，t-c 模型，共生纠缠度（concurrence） ， 相干态 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract many atoms interacting with a single cavity mode, the taynes-cummings model, is one of the most interesting problems in quantum optics. with the course of atoms interacting with field and atom interacting with atom ,the state of atom and field will change with time. many research indicated that the nonclassical feature of atom and optical field is consanguineous contacted with the initial state of atom and field, and the cavity mode. the nonclassical effects of field such as squeezing effect and antibunching are affected by the initial states of system and the cavity mode. in a system that is composed by several subsystems, the entanglement of subsystems is a important feature of the system, the quantum entanglement is a important wealth for the project of quantum information. the entanglement swapping and transfer are very important for quantum cryptographic, key distribution, quantum teleportation , quantum computer and quantum information. it will weigh heavily in the research of quantum information if we can control the entanglement of atom, in this paper, we analyze the entanglement of two atoms in a cavity, we investigate the effect of the atomic motion, atomic state and initially state of the radiation field on the entanglement of atoms. we found the evolvement of entanglement will be orderly if we consider the field mode structure and the atomic motion, the period of entanglement lie on the velocity of atoms, the extent of entanglement can be modified by the field initial states. so we can manipulate the period of entanglement by changing the atomic motion. key words: cavity quantum electrodynamics, t-c model, quantum entanglement, concurrence, coherent state. 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 综综 述述 1.1 腔量子电动力学概述腔量子电动力学概述 量子电动力学是描述电磁场与物质相互作用的基本理论，它在极高的精度上， 成功的解释了诸如电子反常磁矩和氢原子能级兰姆移动等重要的物理发现。可以说 量子电动力学是现代物理学中最经得起试验检验的重要理论之一。量子电动力学的 研究主要强调描述电磁相互作用时电磁场量子化的必要性。对于原子物理而言，只 有通过量子化的电磁场，才能正确的描述真空中原子自发辐射等纯量子效应。 作为量子电动力学的一个重要发展，微腔量子电动力学主要是研究在微腔提供 的特殊边界条件下电磁场量子化效应及其对其中实物粒子的影响。从数学上讲，场 的量子化是一种本征模式展开的过程。由于这些本征模式由相应的经典场方程的边 界条件决定，由微腔的腔壁限定出各种各样的边界条件，使得腔量子化的研究内容 变得十分丰富。从物理上讲，腔壁提供了电磁场与外界交换能量的方式，它的改变 能直接影响微腔中发生的任何由电磁相互作用主导的物理过程。 1948年，e.purcell在提交给美国物理学会春季会议的论文1，提出了腔qed的关 键思想：联系于原子的射频跃迁，原子的自发辐射率会被与之耦合的共振电路所增 强。其物理机制在于这种耦合改变了了自由空间辐射场的模密度。1954年，在磁共 振实验中，人们发现了类似的现象2。在随后的三十年里，虽然人们在原理上对微腔 中原子的自发辐射进行了各种各样的探索，但直到80年代中期实验上才有实质性进 展。其中主要的困难在于，人们需要制备尺度在m量级的微腔，以实现对频率为 14 10hz量级的光子行为（波长约为m量级）进行控制。1985年，kleppner在mit的 研究小组首先利用间距为0.2mm的法布里珀罗（f-p）微腔，成功的地抑制了其中 地rydberg原子的自发辐射，使寿命增加到真空中的20倍。这个工作是腔qed的重要 转折3。腔qed的发展的另外一个方面与原子的激光冷却相联系4。这方面的进展导 致了原子光学的建立。众所周知，在传统的原子物理中5，室温下原子的质心动量比 光子的动量大了许多量级，光子与原子质心交换动量的效应可以忽略不计。然而， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 三十年来，激光冷却原子的技术取得了突飞猛进的发展，人们可以把原子质心运动 冷却到 109 1010 以下的量级（相当于动量为 109 1010 ev）,这与微波场中光子的动 9 10ev完全可以比拟。因此，原子质心与光场交换动量会引起原子运动轨迹的改变， 从而会得到原子束的聚焦，分束和折射反射等一系列类光效应，这些原子系统物质 波特征在超低温条件下的明显表现，是原子光学研究的基本对象。 1.2 腔量子电动力学的新近展腔量子电动力学的新近展 2006年一月，王忠纯6等人提出了在一个量子电动力学微腔中考虑双原子运动 时腔中光场的非经典效应，微腔中光场为相干态光场，考虑到谐振腔的腔模结构， 原子在腔中运动的过程中，光场的强弱呈周期性变化，由此原子与光场的耦合强度 也会周期性改变，而以往的研究中忽略掉了此种效应带来的影响，在考虑到此种效 应的情况下，王等人研究了这样一个模型，两个全同二能级原子位于单模腔场中， 以同样的速度出发，沿腔场z轴方向运动，不考虑原子之间的偶极偶极相互作用， 在偶极和旋波近似下，相互作用绘景中哈密顿量为： 2 1 ( )() ii i hg f zaa + = =+? ， 其中a+，a是光场的产生和湮灭算符，g是原子与腔场耦合常数， i +和 i 是第i 个 原子的赝自旋算符，f是腔模形式函数，表达式分别为 | iii eg + = = ? ，由此可以解出系统的态演化函数，利用态演化函数就 可以研究光场的非经典效应，考虑原子运动的情况下,王研究了原子运动,原子初态, 光场初态对光场非经典效应的影响。研究结果表明，当初始时原子为相干叠加态而 光场为0的相干态时， 原子的运动使得光场的最大压缩减小。 初态为真空态时光 场的压缩最大，且不管原子是运动还是静止，光场的最大压缩量相同。腔模结构的 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 改变影响光场的压缩，随着p的增大，最大压缩减小，p=1时光场压缩最大。初始时 两原子均处于激发态而光场为相干态时，原子运动不影响光子的最大反聚束效应。 光场的初态影响光子的反聚束效应，初态为相干态时，平均光子数愈少，反聚束效 应愈强。腔模结构也影响光子的反聚束效应，p愈大，反聚束效应愈弱。光场初态为 真空态时，原子运动的快慢对光场的最大压缩和光子的反聚束效应均没有影响。 1.3 本人的工作本人的工作 在王忠纯研究研究光场非经典效应的基础上，利用相同的模型，本文研究了双 原子的纠缠演化，量子纠缠是量子力学最显著的特征之一，是量子信息领域一个非 常重要的问题。它在量子信息处理7-10的隐形传态，量子编码及量子纠错，量子密 钥分配和量子计算中具有重要应用，量子纠缠态度量也是人们研究的课题之一，最 近几年提出了一些描述纠缠态纠缠的物理量，如von neumann熵，纠缠相对熵11， 密度算符之间的距离12，共生纠缠度13，部分转置矩阵负本征值等14。近年来人们 利用量子腔电动力学方法15,16提出了多种两粒子和多粒子纠缠的制备方案，而原子 与场之间的纠缠早期只是考虑系统处于纯态的情况，但是系统难免与外界环境发生 相互作用，因此研究混合态的纠缠具有更重要得意义。bose17等研究了一个初始处 于纯态的两能级原子与热光场作用的jaynes-cummings(j-c)模型， 发现原子与场可以 产生纠缠。 这种方法也被用来存在耗散的j-c模型的原子与场的纠缠18和两个全同原 子tavis-cummings(t-c)模型的纠缠19。最近蔡金芳20等研究了在j-c模型中处于混 态的原子与压缩场之间的纠缠， 向少华等21研究了推广的j-c模型中原子纠缠的时间 演化和热纠缠态，boukobza22等研究了j-c模型中纠缠与熵的变化，宋军等23研究 了两纠缠原子与二项式光场相互作用的动力学，对于t-c模型中两原子的纠缠演化 研究不多，我们在王忠纯研究模型的基础上，导出了双原子的约化密度算符，根据 相干态光场的光子概率分布特点，利用共生纠缠度来计算两原子的纠缠程度，计算 过程通过matlab编程由计算机来实现，得到了一系列新的结果，计算结果表明，通 过控制原子运动速度可以实现对原子纠缠演化周期的控制， 而原子初态， 光场初态， 和原子速度则会对纠缠程度产生影响，由此我们通过改变这些初始条件能够对原子 纠缠实现一定的控制。我们对计算结果作了较为深入的分析。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 2 原子与单模腔场相互作用模型原子与单模腔场相互作用模型 2.1 描述光场的态函数及其分布描述光场的态函数及其分布 光场的量子特性采用不同态函数描述可以更加清晰。描述光场的态函数常用的 有fock态、相干态、压缩态、热场态等。这些态都有许多非经典性质，它们中有的 虽以从实验上制备了出来，但总是仍偏于理论讨论。在这里我们对这些态的概括作 一些简单介绍和评述。首先介绍一些经常遇到的重要概念 2.1.1 基本概念基本概念 （1）压缩性。大家知道在量子力学中电磁场的每个模式对应于一个谐振子，所 以单模式光的电场可以用下面的标量算符表示： 0 ( , )(/2) exp (). .e r thvai k rthc=+i （2.1） 这里a和a+分别是谐振子的湮灭和产生算符，满足大家熟知的波色子对易关系。 v是边长为l的立方体光场腔的体积， 3 vl=。h.c.代表厄米共轭。k是波矢，它的 方向为波的传播方向。 电磁场偏振方向垂直于波矢k， 磁场垂直于电场和波矢； 电场， 磁场和波矢三者构成右手螺旋。 可以证明互相垂直的电场和磁场是不对易的。0和 0 分别是真空介电常数和磁导率：满足 2 00 c =，c是真空光速。 由于物理上的需要常将电场算符（1）分为正负频率两部分： (+)(-) e(r,t)=e(r,t)+e(r,t) （2.2） 其中正频部分 0 ( , )(/2) exp (). .e r thvai k rthc=+i，负频部分是它的厄米共 轭。 下面定义两个分别与谐振子的位移q和动量p对应的算符 + 12 x =(a+a )/2, x =(a-a )/2i （2.3） 那么r=0处的单模电场为 012 e(t)=e (x cos t+x sin t)，其中 00 2/ehv =。这意味 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 着相空间中电场由两个互相垂直的振动组成，它们的振幅分别正比于 1 x和 2 x。 因为 12 x x =i/2，故按量子力学基本原理，对任意态有 12 xx1/4 （2.4） 如果等号成立，则称这个态为最小测不准态，而如果能找到一个态使 12 x (x1/2或） （2.5） 并保持（4）中的等号，则称这个态有理想的振幅压缩效应。 （2） 统计性。 对任意态可算出数算符na a + =的平均值n和均方根偏差n， 由此可以定义fano因子 2 ()n f n = (2.6) 当f=1时，称这个态的光子数分布为泊松分布；当f1时，则光子数的分布比 泊松分布要宽，称它为超泊松分布；而当f ，立即可得 2 (2) 2 ( , ) (0)1 ( , ) ) ir t g i r t = （2.8） 再借助schwarz不等式 222 |( , )( ,)ir tir t， 对稳定光场又可以 证明 (2)(2) ( )(0)gg （2.9） 转到量子力学，首先要问不等式(8)和（9）是否成立？为回答这个问题，让我们 先看个例子。假定hbt实验中只有一个光子，当这个光子到达镜子m后，按量子 力学基本假设它或者被反射或者透射两者比居其一，不会有半个透射半个反射，所 以有 (2)(0) g0，亦即不等式（8）被破坏，这完全是一种量子力学效应。所以在量 子力学中，对某些光场的态不等式（8）和（9）有可能被破坏，对这类态常统称为 非类经典态；否则称为类经典态。 另外，在量子力学中 (2)( ) g的定义也要改变，对稳定的单模光场可简化为 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 (2) 2 ( ) ( ) ( ) a aaa g a a + + （2.10） 这里.( .)tr=也与经典不同，是对量子态的平均。由此可见， (2)( ) g是度量时 间t和t之间光子的关联。当光场满足不等式（9）时，且 c （2.11） 则称它时反聚束的，例如共振荧光。又因 (2) 1 (0)1 f g a a + + （2.12） 所以 (2)(0) g大于，等于或小于1是与f分别一一对应的。若 (2)(0) 1g=，常称|n 为光子 数态，本征值n则称为光子数。因物理上不存在负的光子数，故|00a=。而/2? 为光场的零点能量。 光子数态|n 是量子光学中最基本和最重要的态，它构成一完备组: 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 | 1nn=|n =|n |n. （2.15） （1） 对单模光子数态容易求得 1 (21) /2xn=+ 2 (21) /2xn=+ （2.16） 所以光子数态不是最小测不准态，也不具有振幅压缩。 又光子数态f0和 (2) n g(0)=1-1/n，所以光子数呈亚泊松分布，这是自然的因光 子数态中的光子数是确定的。 （2） 光子数态的一个重要性质是场算符的平均值为零：=0；但算符 2 e 的平均值不为零，所以e的均方偏差不为零： 22 ( e)|(/)(1/2)n envn =+? （2.17） 特别是对真空态|0 的均方偏差不为零，称此为真空涨落。真空涨落和零点能的起 源是相同的，均来自算符a和a+间的不对易。 真空涨落有观察效果，主要是lamb移动。在dirac理论中氢原子的 1/ 2 2 2s能级和 1/ 2 2 2p能级是简并的，但lamb和retherford24的实验指出这两条能级并不简并， 1/ 2 2 2s 比 1/ 2 2 2p高约100mhz。 lamb移动可以按半经典的理论加零点涨落给予完全说明。 所谓半经典理论是指： 把原子，分子看作量子系统，而把光看成经典电磁波。关系lamb移动的半经典解释 首先是由bethe和welton25作出的，他认为：电子在零点场的扰动下轨道发生偏离 使电子获得附加势能，而后用量子论中的微扰论计算了这个附加能量，结论是：在 一级近似下只有s轨道上的电子此附加能量不为零而p轨道上的为零，且算得的理 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 论值与观测值一致。 （2） 但半经典理论并不总是有效的，有些问题是必需用完全量子力学的，例 如量子拍现象，为说明这现象，考虑光与三能级原子的相互作用，假定三能级原子 有如下图所示两类：型原子和型原子。 图 2.2 三能级原子图 对这些模型，一般原子态应是图中三个原子态的叠加。故它们的非零偶极矩阵 为： 型原子 型原子 | | ac pea r c= | | ac pea r c= | | ac pea r c= | | ab pea r b= 于是原子的振动偶极子为： * 12 ( )()exp()()exp(). vacacbcbc p tpc citpc citcc=+ （2.18） * 12 ( )()exp()()exp(). acacabab p tpc citpc citcc =+ （2.19） 其中，型原子的 1ac =， 2bc =；型原子的 1ab =， 2ac =。 在半经典理论中，原子辐射场是 (+) 1122 eexp()exp()eiteit=+ 故 (+)222 121212 |e|exp () eee eit=+ 即两种模型干涉项（拍）均存在。而在完全的量子力学理论中，两种模型的波函数 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 分别是： 12 12 , , |( )| ,0| ,1| ,1 i i a b c tc icccc = = + + 12 12 , , |( )| ,0| ,1| ,1 i i a b c tc icbcc = = + + 其中|*,*|=原子态光子数态。所以有 ( )( ) 1212 ( )|( )exp ()teetki + = ? 假定辐射场是单模式的，经计算最后可得 * |( )exp|(0)taaa a + = 其中a是与算符a+和a无关的量。这就是单模式相干态。 一般单模式相干态的定义为 * |exp()|0aaa + = 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 （2.22） 或者也可以写作 2 |exp( | /2)exp()|0aa + = （2.23） 或者也可以写作 2 0 |exp( | /2)(/!)| n n ann = = （2.24） 这里是复数，|0 光子真空态。物理文献上称|为glauber相干态。而将幺正算 符 (exp(* )daa + ） （2.25） 称为位移算符。 （1） 容易算得 1 x和 2 x在|中的均方根偏差 12 1/2xx= = 12 1/4xx= （2.26） 即相干态是最小测不准态，但没有振幅压缩。另外从|e和e可以看出随 2 |增加，e与|e之比将减小，所以当 2 |很大时相干态光场接近于经典 光场。但注意，相干态光场与经典场根本不同之处在于相干态光场有涨落，这种涨 落可以认为起源于真空起伏：在通过( )d使真空态|0演化成相干态|时真空涨 落保存了下来。 （2） 现在，我们来看看相干态所包含的物理内容。为此考虑它在坐标q表象中 的表示 2 0( ,0) |exp( | /2)(/!)| n qqnq n= （2.27） 波函数|q n已在普通量子力学教科书中给出 22 ( )|(/(2!)( 1) exp(/2)exp() n nn n n d qq nn d = （2.28） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 其中q=，(/ )=?（已另质量为1）代入(2.27)式，并令 1/2 0 (/2 )q=?，则 得 2 00 ( ,0)(/)exp(/2 )() qqq=? （2.29） 即是说在坐标表象中，glauber相干态实际上就是平移后的谐振子基态波函数。亦即 相当于将一带电谐振子放在电场中的结果。再看|的时间演化， |,exp(/ )|exp(/2)|( )tihti tt=? （2.30） 其中( )exp()ti t=。用类似于导出（2.29）式的步骤，可以得到 0( , ) q t，从而可 得到该波包的概率密度 21/22 00 |( , )|(/)exp(cos) / q tqqt =? （2.31） 这意味着相干态波包的时间演化过程中 ，它的中心在作来回振荡而围绕振荡中心的 概率分布保持不变。 这种情况与谐振子势中的波包很不一样。 可以指出波包的演 化过程是：若t0时为) 0 （q-q，在/2 t =变成了平面波，而到了 t =时又变成 了形波包) 0 （qq。如果有一快速闪频观测仪将能观测到这种变化。 （3） 相干态归一但不正交 2 | )/2* + 2 =exp-(| | （2.32） 且满足 |( )1d 是过完备的。 2.1.4 压缩态压缩态 前已指出，如果有一个态能使（4）和（5）式同时满足，则它有振幅压缩性质， 称这样的为理想压缩态。按此定义，相干态和数态均不是压缩态。那么压缩态究竟 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 是什么样子的呢? 波包如何能压缩呢? 若考虑一有附加势能的谐振子，它的哈密顿 量为 222 0 /2/2()hpmkqeeaqbq=+ 其中aq使振子发生位移，而 2 bq则使波包发生压缩。这是因为上式可重新写作 22 00 /2(2)hpmkebe qeae q=+ 现在很清楚，劲度系数k增强了： 0 2kkkebe=+, 因而波包被压缩了，如下图， 而 2 bq与算符aa和a a + 有关，故可以期望压缩态也与这类算符有关。 图 2.3 压缩态示意图 现在定义单模压缩态 * 1/4 | ( )exp()/2|0 )exp()/2|0 aaa a a a + 2+ = = (1| （2.33） 其中exp()tanh(|)i=，|exp()i=。算符/2a a + ，/2aa和 1122 ()/4a aa a + 生 成(1,1)su代 数 ， 所 以 （2.33） 实 际 上 是 定 义 了(1,1)su相 干 态 。 通 常 称 * ( )exp()/2saaa a + =为压缩算符，它是幺正的。 （1） 首先考察| ( ) 的压缩性。 用 （3） 式并假定是实的 （即0, =） ， 则压缩算符可写成 1221 ()exp()six xx x =+ (2.34) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 因在坐标（ 1 x）表象中 1/42 11 |0|0(2/)exp()x= =，所以| ( ) 在坐标表象中的 表示（即波函数）为 11 1/42 121 2 1/422 1 ()| ( ) (2/)exp( /22)exp() )exp(/) xx i x xx x = =+ =(2/ （2.35） 其中exp() =。注意，在得到上式时已用了 21 /(2)xi x= 。(2.35)可以视作压缩 态的物理含义，如上图所示，类似地可以求出| ( ) 在动量（ 2 x） 表象中的波函数， 结果是 2 1/422 222 ()|(2/)exp(/)xxx= =， 而exp( ) =。 对波函数 2 ()x容易证明： 1 x的平均值为零， 1 x的平方平均值为 2 /4。同样 对 2 ()x可证明： 2 x的平均值为零， 2 x的平方平均为 2 /4，所以是压缩或者膨胀 由 决定，若0 则 1 ()x被压缩，否则 2 ()x被压缩。 形式上， （2.36）式也可以看作是一种变换 111 ()|0xs= 1/222 11 exp (1)sx = （2.37.1） 222 ()|0xs= 1/2 22 21 exp (1)sx = （2.37.2） 1 s和 2 s是非幺正变换算符。现在可写出（2.37）式的fouricr变换式。以（2.37）为例 有 |1|1 ,|0 ssss annnas + =+ = 注意， 12212 exp()|0exp(/2()|0ix xxaa + =，这是实参数相干态 11 |/2x 1 xp()|1|0| s i s n innes = = 其中 1/2 xx=。这就是jansky的结果26。 （2） 关于| ( ) 的压缩性还可以从直接计算来验证。因 * s asaa + = （2.38.1） s asaa + =+ （2.38.2） 其中cosh |=，sinh | i e =，所以 22 |1=，/tanh| i e =。 定义 (/2) 1212 () i yiyexix +=+ （2.39） 即矢量 12 ()xix+在相空间中旋转了/2角度。直接计算可得 ( | |)| | 1212 ()s yiyyeiy e + +=+ （2.40） 即是说若| 0则 1 y被压缩，否则 2 y被压缩。 或者也可直接在| ( ) 中求均方根偏差得 ( | |)/2| |/2 12 ,yeye = （2.41） 显然当0， 1212 ()()y yxx上式也成立。 (3)也不难算出 2 ( )| ( )|nn = 22224 ( )| ( )2| |nn =+ 于是 2 2|f= （2.42） 所以一般说来| ( ) 是超泊松分布态。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 2.2 单模光场与原子的相互作用模型单模光场与原子的相互作用模型 量子化的单模光场与单个二能级原子的相互作用在“偶极近似”和“旋波近似”下， 可以用“jaynes-cummings”模型来描述。 2.2.1 电子和场相互作用的哈密顿量算符电子和场相互作用的哈密顿量算符 首先，我们写出单电子与场相互作用的哈密顿量 2 1 ( , )( , )( ) 2 e hr teu r tv r mc =+pa， （2.43） 式中，p是正则动量算符，( , )r ta、( , )u r t分别是场的矢势和标势。v(r)是束缚原子 的在r0处中心位势。 对于电子范围来说，一般情况下， 1k r?，因此在处理相互作用时，我们忽略 了电子的线度，即认为场在电子范围内是完全相同的，通常称这种近似为偶极近似。 在偶极近似下，矢势为 0 0 () 0 * (, )( ) ( ) ikrr ikr rrtt e t e + +=aa a? 。 （2.44） 根据(2.43)式，系统的薛定谔方程如下 2 2 0 ( , ) ( , )( ) ( , ) 2 ier t r tv rr ti mt += a ? ? ? ， （2.45） 这里，( , )0u r t =，0=ai。 我们引入一个新的波函数( , )r t 0 ( , )exp(, )( , ) ie r trtr t=ari ? 。 （2.46） 将（2.46）式代入（2.45） ，约去指数项，得到 00 ( , )(, ( , )ir thertr t=r e ? ?i， （2.47） 其中， 2 0 2( )hpmv r=+是无相互作用时电子的哈密顿量，且= ea ? ，则由（2.47） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 式，我们得到与场的相位无关的单电子与场相互作用的哈密顿量 10 (, )her t= r ei。 （2.48） 2.2.2 原子与场相互作用的哈密顿量原子与场相互作用的哈密顿量 在偶极近似下，单电子原子与场e相互作用的哈密顿量可以写为 af hhhe=+ r ei 。 （2.49） 由辐射场的量子 k 化理论，可知自由场的哈密顿量如下 1 () 2 fkkk k haa + =+ ?。 （2.50） 上式说明光场的能量是由波矢为k、频率为 k 的无穷多模式的光子叠加而成的。裸 原子的哈密顿量为 e aiii i h= ， （2.51） 其中， ii 是原子的布居算符， ij 是原子的跃迁算符。 原子的半径约为0.1nm，而光的波长 2 210nm=k, 因此忽略原子的线性尺 寸，在偶极近似下 ijij ijij ee iijj= rr， (2.52) 式中 ij 为电偶极跃迁矩阵元。 由辐射场量子化理论，量子化的场可以表示为 () kkkk k eaa + =+ 。 （2.53） 为了简化起见，我们以线性极化和单位极化矢量为实作为讨论的起点。上式中， 0 / 2 kk v=?。将（2.50）（2.22）代入（2.49） ，总的哈密顿量为 () ij kkkiiikijkk kiijk ha aegaa + =+ ? ， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 ijkkij k g = ? 。 （2.54） 我们知道实际原子的光谱结构都比较复杂，因此完全精确的讨论原子与光场的 相互作用是不可能的。尽管光场能够诱导原子不同本征态之间的许多跃迁，但最可 几跃迁是原子的本征频率与光场频率近似相等时的跃迁。因此，在理论上，我们能 够假设原子只具有两个非简并能级，即二能级原子模型。但在实际中这是有条件的， 对于二能级原子，若原子的两个能级的能量差为?(是光场的频率） ，则要求该原 子的其它能级之间的能量差不与?相接近； 此外还要求从原子的其它能级向这两个 能级跃迁且从这两个能级向其它能级跃迁的跃迁几率都非常小。 下面我们来讨论二能级原子与场的相互作用哈密顿量。 假定二能级原子的电偶极跃迁矩阵元完全相等，即耦合常数相等，则由（2.54） 可得二能级原子与光场相互作用系统的总哈密顿量 1 ()() 2 kkkazkkk kk ha agaa + + =+ ? ， （2.55） zaabb aabb=， （2.56） ab ab + =， （2.57） ba ba =。 （2.58） 相互作用哈密顿量 () kkkkk k vgaaaa + + =+ ? 。 （2.59） 上式中，第一项表示了原子由下态跃迁到上态时吸收一个模式为k的光子的相互作 用过程；第二项表示原子由上态跃迁到下态时发射一个模式为k的光子的过程，这 两个过程系统的能量守恒。第三项对应于原子跃迁到下态并吸收一个模式为k的光 子的过程；第四项对应于原子跃迁到上态并产生一个模式为k的光子的过程。这两 个过程产生能量为2?的损耗或增益，导致系统的能量不守恒。由能量时间不确定 关系e ?，我们知道这两个过程产生的光子寿命极短，是快变振荡量。略去能 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 19 量不守恒的后两项所作的近似，就称为旋波近似。近似简化后的系统的哈密顿量为 1 () 2 kkkzkkk kk ha agaa + + =+ ? 。 （2.60） 2.3 j-c model 由（2.60）式，在偶极近似和旋波近似下，我们得到单个二能级原子（或分子） 与单模量子化的光场相互作用的哈密顿量 01 hhh=+， （2.61） 0 1 2 az ha a + =+?， （2.62） 1 ()hgaa + + =+?。 （2.63） 在相互作用绘景中，利用前面介绍过的变换，我们得到相互作用绘景的哈密顿 量 () ii ti t hgaea e + + =+?。 (2.64) 这是一个描述场与原子相互作用精确可解的理想模型，即j-c模型。虽然这是一个 简化模型，但却在量子光学