（计算数学专业论文）一类抛物型微分方程组块中心差分方法的误差估计.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 本文提出了一维、二维偏微分抛物方程组的块中心差分格式，利用该公式， 设计了两种差分方法：( 1 ) 时间向后差分格式( 2 ) 时间向前差分，并对这两种方法的 误差精度做了分析，结果表明：方法使用方便，适合计算，并且具有良好的精度 本文共分三章，分述如下： 第一章为引言，主要介绍了块中心差分方法的研究背景和本文所涉及到的血吸 虫病数学模型的研究情况 第二章共分三节 第一节给出了椭圆问题和抛物问题的块中心差分方法及相应的定理 第二节给出所研究的具有初边值条件的一维抛物型方程组及其离散格式 第三节给出了该问题的误差估计及主要结果 第三章共分四节 第一节介绍了血吸虫数学模型：具有初边值条件的二维抛物型方程组 第二节给出了本章中所需的记号与引理 第三节给出血吸虫数学模型的离散格式 第四节给出了误差估计和主要结果 关键词：抛物型方程组；块中心差分；离散格式；误差估计 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t w eg i v ean e ws e to fb l o c k - c e n t e r e df i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e sf o rt h es y s t e mo f p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，a n dd e s i g nt w of i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s o n ei sb a c k w a r d - i n - t i m e ， t h eo t h e ri sf o r w a r d i n - t i m e w em a i n l yd i s c u s st h ef i r s tm e t h o d ，g i v ei t se r r o re s t i m a t e s a n dt h em a i nt h e o r e m s ，w h i c hs h o wt h em e t h o di ss u i t a b l ef o rc o m p u t i n g ，a n dh a sg o o d t h et h e s i si sc o n s i s to ft h r e ec h a p t e r sa ss h o w nb e l o w c h a p t e ro n ei n t r o d u c e s t h er e s e a r c h b a c k g r o u n do ft h eb l o c k - c e n t e r e d f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o da n dt h es i t u a t i o no fs c h i s t o s o m i a s i sm o d e l c h a p t e rt w oi sc o m p o s e do ft h r e es e c t i o n s s e c t i o no n eg i v e sc o n v e r g e n c et h e o r e m so fo n e - d i m e n s i o n a le l l i p t i ca n dp a r a b o l i c e q u a t i o n s 、析t l li n i t i a lb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s e c t i o nt w og i v e st h en o t a t i o n s ，l e m m a sa n dd i s c r e t es c h e m e so ft h es y s t e mo f p a r a b o l i ce q u a t i o n s s e c t i o nt h r e eg i v e st h ee r r o re s t i m a t e sa n dt h em a i nr e s u l t s c h a p t e rt h r e ei sc o m p o s e do ff o u rs e c t i o n s s e c t i o no n ei n t r o d u c e st h es c h i s t o s o m i a s i sm o d e l ：t w o d i m e n s i o n a lc a s e s e c t i o nt w oi st h en o t a t i o n sa n dl e m m a s s e c t i o nt h r e eg i v e st h r e ed i s c r e t es c h e m e so ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o n s s e c t i o nf o u rd i s c u s s e st h ee r r o re s t i m a t e sa n dt h em a i nr e s u l t s k e yw o r d s ：s y s t e mo fp a r a b o l i ce q u a t i o n s ；b l o c k - c e n t e r e df i n i t ed i f f e r e n c e ；d i s c r e t e s c h e m e ；e r r o re s t i m a t e i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：五金垒立 日 期：i 垒毕生鱼l 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：j 金监导师签名：牲日期：名啤也 山东大学硕士学位论文 第一章 引言 1 9 8 2 年，d o u g l a s 和r u s s e l l ! l 提出解对流一扩散问题的特征差分方法，网格节点为均 匀分布，求解区域为一维，但其近似解按离散岛模未达到最优误差估计；1 9 8 8 年，w e i s e r 和 w h e e l e r t 2 1 提出解线性椭圆型和抛物型方程的块中心差分法；1 9 9 1 年，王申林【3 】讨论了解 拟线性双曲型积微分方程的块中心差分方法，其共同的特点为近似解按离散的厶模达 到最优误差估计，解的一阶近似导数达到超收敛误差估计；1 9 9 3 年，由同顺【4 l 讨论了非线 性对流扩散问题的特征一差分法，求解区域为矩形，网格节点为均匀分布并给出了两种 基于二次插值的特征差分格式，这两种格式的近似解按离散厶模均未达到最优阶误差 估计；1 9 9 5 年，刘允欣【卜，l 讨论了半导体器件数值模拟的块中心差分方法，得到了非均匀网 格上的二阶离散厶模误差估计；讨论了单位正方形区域上多孔介质二相驱动问题，研究 了在非均匀网格上半离散块中心差分格式，得到了二阶收敛性；1 9 9 7 年，赵卫东【8 l 讨论了 不相溶不可压缩二相驱动问题的数值解，提出了一种新的非均匀网格上的差分解法：用箱 型差分格式解浓度方程，用块中心差分格式解压力方程，该方法在时间和空间剖分非均匀 的情况下关于时间和空间具有二阶精度；1 9 9 9 年，王申林【，j 综合特征方法和块中心差分 方法，讨论具有混合边值条件的非线性对流一扩散方程的特征块中心差分方法，求解区域 为矩形，网格节点为非均匀分布，该方法的计算量和基于线性插值的特征一差分方法相同， 但近似解和基于二次插值的特征差分方法的近似解具有相同阶的误差估计，而解的一阶 近似导数则具有超收敛误差估计，达到和近似解同样的精度；杨晓忠 1 0 , n l 讨论了单位正方 形区域上两相渗流驱动问题，对浓度方程应用非均匀网格块中心差分方法进行离散( 时间 离散采用向后差分) ，构造了一个耦合的全离散格式，其格式简单，易于处理不渗透边界条 件，结果可推广应用到矩形区域上的二维问题和任意长方体区域上的三维问题；2 0 0 6 年， 王震【屹1 研究了二维海水数值模拟的有限差分方法，对对流扩散方程采用基于完全二次矩 形插值的特征差分方法，运用先验估计的理论和技巧得到了最佳阶厶误差估计的结果 1 9 8 7 年，吴建宏 1 3 l 建立了反映人畜共存特点的日本血吸虫病的传播动力学模型，研 究了这种模型所决定的相平面上轨线的全局拓扑结构与分枝曲线：1 9 9 1 年，王明新1 1 4 】在 山东大学硕士学位论文 前人工作的基础上，考虑了在人、牛体内血吸虫分布与空间、时间有关的血吸虫病的传 播动力学模型研究了正平衡解的个数与参数的关系以及解的渐近性质，证明了当感染 能力参数超过了一定限制时，人、牛体内血吸虫趋于一个稳定的非零分布是可能的，讨 论了突破点曲线与传播参数的依赖关系：1 9 9 2 年，梁逸曾【 】对模型各参数的变化与血吸 虫病三种基本流行模式间的转化规律进行了深入探讨和定量估计在此基础上，分别针对 在实际工作中经常碰到的流行情况进行了计算机动力学模拟研究，发现人畜同步治疗效 果要明显优于单纯只治人或单纯只部分灭螺的效果，而且人群接触疫水频度的降低可能 是控制血吸虫病流行的有效措施；1 9 9 6 年，李京【一，】基于积分守恒性质，应用离散算子 方法，给出了三维血吸虫病模型的离散格式，给出了最优厶模误差估计；2 0 0 4 年，那顺布 和 1 s i 对血吸虫病数学模型研究了交替方向g a l e r k i n 方法，利用微分方程先验估计理论和 技巧，得到其最优厶模误差估计 本文应用非均匀网格块中心差分方法，构造了耦合的全离散格式，设计了两种差分方 法：时间向后差分格式和时间向前差分格式，并对这两种格式的误差做了分析，在误差分 析中主要应用椭圆投影、g r o n w a l l 不等式和不等式和c a u c h y s c h w a r z 等工具，运用先 验估计理论和技巧得到了近似解的最佳阶厶误差估计和解的近似导数的超收敛估计 2 山东大学硕士学位论文 第二章一维抛物型方程组块中心差分方法的误差估计 2 1 椭圆问题和抛物问题 考虑椭圆问题 和抛物问题 - ( a ( x ) p ( x ) ) = 厂( x ) ，x q ， p ( 0 ) = o ，p ( 1 ) = 0 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 粤一( 口( x ) p ) 7 ：厂( x ，r ) ，( x ，f ) q ( o ，丁】， ( 2 1 3 ) 优 p 7 ( 0 ，) = o ，p ( 1 ，f ) = 0 ( 2 1 4 ) p ( x ，0 ) = 9 ( x ) 其中o 嘞m ) 口l ，p = 罢，q = ( o 1 ) 不失一般性对q = ( o ，1 ) ，定义剖分6 ： o = x 1 ： x l ： h 一 其中磷是q ，上次数不超过后的全体多项式，= 一1 时表示函数厂在【o ，1 】上可以不连续 定义内积和范数 n 。n l ( 厂，g ) m = i = l 曩z ，( 厂，g ) rz 瑚h , 一九砷 3 山东大学硕士学位论文 令 川：= ( 厂，厂) 。，0 川；= ( 厂，厂) r ， 肋) 2 麟i zl ，i f l i t ( n 。蹦帆 i ， 阶毕m 一= 等， 对于上面定义的内积和范数，显然成立下述三个引理 引理2 1 1如果v s ，we 歹，则有 证明因为 ( 或v ，w ) r = ( 1 ，d w ) 。= 一( 以1 ，w ) r = b + 。_ + 一峙w + i = l 。 i = i 。 。r l = 巧_ 一 一_ _ + n t = v j ( w _ - - w j + ) 2 i 一掣“一 一 = j = l _ ( 专产 i 一冬“一 一+ = j = l 巧( 专产 i l i = - ( v ，d w ) 。 即证 引理2 1 2 如果w s 一，则有 4 + k 一 、厶，+ 一一 ) 吃一k 半 ) 乃 w 1 1z - 1 1wi i p ( 所) - 1 1 帅0 一场辔 k v o 罕啊 峙 q 忍p 红 岷 w 岵 屹一 川 二h 以 一办 m 型 商瑚 山东大学硕士学位论文 即为 证明因为由w + 2 善【帅】，忍。可得 ( 喜魂+ 1 ) b 眦m a 。x ，1w , 一( 喜( 酬 即证 引理2 1 3 如果，s ，则有 1 1wl l r - 1 1w l l p 伽) 1 1d w l l 。 v - 1 1 v i i r ( 。) | i 吱w 证明因为由屹2 善 以v 】一囊一 ，可得 即为 ( 砉m 一 熔，m 跳a x lk i ( 吝( m _ 1 ) 2 i lvl l 。 l lv l l r 枷) - i id , w i i r 对于椭圆问题，将( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 写成 “= f ，材= - a ( x ) p ( x ) ， 甜( o ) = 0 ，“( 1 ) = 0 其差分格式为，求p s ，u 箩满足 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 【d u ，= z ，i = 1 ，2 ，m ，( 2 1 7 ) 吸 2 - a a f ”b i = 2 ，m ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 等价于求p s ，u i 使 ( d u ，) 册= ( 厂，1 ，) 。，v 1 ，s ( 旦，唬：( 尸，驯r ，v w 可 口 ( 2 i 9 ) ( 2 1 1 0 ) 5 山东大学硕士学位论文 由文酬7 1 ，有下面三条定理成立 定理2 1 1 如果厂2 ( q ) ，则有误差估计 i l u - u i i 即) 办2 l 厂。l a x 定理2 1 2 如果厂2 ( q ) ，3 lp e c 2 ( i i i ) ，p 彬2 ( q ) 设，则有误差估计 i ip - e 崃，鲋( 2 ip 4i 出+ 去驴i 出+ 嘴悱 对于抛物问题，将( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 写成 署“= 厂, u - - - a ( 姒 ( 2 1 1 1 ) “( 0 ) = 0 ，“( 1 ) = 0 ( 2 1 1 2 ) 设m 是一个正整数，f = 吾，乙= 刀，v ”表示函数，在。时刻的值， z 1 ，”：1 , , n - - 1 , , n - i 出 c ，分别表示普通正常数和一个小的正数，在不同之处具有不同的意义 定义其差分格式为，对于力= l ，2 ，m ，求p s ，u g 满足 a , p ”】，+ 【j d u r = f j p i , i = 1 ，2 ，m ， 2 - a d , , p ”b i = 2 ，札， ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 是时间向后差分的两层格式，将( 2 1 1 4 ) 代入( 2 1 1 3 ) ，则得到分别关于p 的m 阶线性方程组，其系数矩阵是三对角严格对角占优的，从而有唯一解；再由( 2 1 1 4 ) 计算出u ”初始时刻值p o , u o 的取值将在下面确定( 2 1 1 3 ) ，( 2 1 1 4 ) 等价于求 p s ，u 歹使 6 ( 4 尸”，) 。+ ( d u ”，1 ，) 。= ( 厂”，) 。，v v s ，” 一 ( ，w ) 7 = ( p ，d w ) 7 ，v w s 口 ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) 山东大学硕士学位论文 现在考虑误差估计为此，对于r ( o ，t 】定义户s ，d 曩满足 ( d u ，) 。= ( f b ，v ) 。，v v s 这里记只= 害令 使 拦，唬：( 户，d w ) r ，v w 歹 口 号= u u ， 1 1 = p p 。 p = “一u n = p p ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) 由定理2 1 1 和定理2 1 2 可得： 定理2 1 3 如果厂r ( 弼2 ( q ) ) ，假设p p ( 3 ( q ) ) ，则存在与办，出无关的常数c ， 2 2 一维抛物型方程组问题 a i i p ( 。) + l ipi l m r ) _ _ c h 2 ， 0 西al i m c ( a t + h 2 ) 考虑下述一维抛物型偏微分方程组问题 百a e 一吐耄：邛k f ( 1 e + l q f ( e , n 百刊1 丽一p g ) ， 鲁一畋鲁砷：g + k j ( 哪) 钆。= o ， 乱。一o ， x ( 0 ，1 】= q ，f d = ( o ，1 1 ，( 2 2 1 ) x ( 0 ，1 】= q ，j = ( 0 ，1 1 ，( 2 2 2 ) e ( x ，o ) = 仍( x ) ， q ( x ，0 ) = 仍( 石) ， ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 其中4 ，畋，1 3 。，p ：，局，如均为正的常数为了处理方便，方程组可改写为 7 山东大学硕士学位论文 豢+ 罢= 一e e + 白化，g ) ， a t瓠 u 一“； 害+ 警= 一p ：g + 屯他，g ) ， 街苏 1 “一“7 ：一吐害，z f ( o ) ： ：0u u ( o 0 ，= 一d l _ ，z f ( o ) = ， g = 一吐宴，g ( o ) = g ( 1 ) = 0 ， x ( o ，1 】- q ，f j = ( 0 ，l 】，( 2 2 5 ) x ( 0 ，1 】= q ，t j = ( 0 ，1 】( 2 2 6 ) 我们还需要相容性条件 i l ( 邛。p + k a f ( 伽) - o 优e ) d x = o ， 胂：g + k 2 f ( 伽) 一鲁胁_ 0 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 1 段设i 司题满足f 列条件： ( 4 ) e r ( 3 ( q ) ) ； ( 4 ) g r ( 彤3 ( q ) ) ； ( 4 ) 厂关于p ，g 满足l i p s c h i t z 条件，即存在正常数三，使得 i 厂( q ，9 1 ) - f ( e 2 ，q 2 ) i 三( i e i p 2i + i 劬- q 2i ) 成立 定义差分格式为，对于疗= 1 ，2 ，m ，求e ”s ，q ，l s ，u ”萝，g ”豆使满足 格式一 【z e ”l + 【d u ”】。= 一p 。f + 墨厂( e ”1 ，q ”- 1 ) ， ( 2 2 9 ) = 一盔限k ， ( 2 2 1 0 ) 【z q ”】。+ 【d g ”】，= 一p ：饼+ 屯厂( e ”1 ，矿q ) ， ( 2 2 1 1 ) ，n 一 2 一畋 或q ”b ( 2 2 1 2 ) 格式二： d i e ”】，+ d u ”】，= 一p 1 f + 向( e 俨1 ，矿_ 1 ) ， 5 一面【t f b 【a , o ”】。+ 【d g ”】，= 一p ：研+ 如厂( e ”，o ”1 ) ， 罐 2 一以 或9 ”b 山东大学硕士学位论文 格式三： 4 e 肿1 l + 【d u ”l = 一f j , f # + 毛厂( e ”，9 ”) ， 雌 5 一d - 限e ”b 以9 ”1 】，+ 【d g ”】，= p z 饼+ 岛厂( e ”，q ，1 ) ， 哦 5 一a m q ”b 2 3 误差估计及主要结果 这里我们只对格式一进行误差估计，对格式二和格式三类似的可以得到误差估计 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 2 ) 是时f b - 向后差分的两层隐式格式，将( 2 2 1 0 ) 代入( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 2 ) 代入 ( 2 2 1 1 ) ，则得到分别关于f 和q ”的m 阶线性方程组，其系数矩阵是三对角严格对角 占优的，从而有唯一解；再由( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 2 ) 分别计算出u ”与g ”，初始时刻值 矿，u o ，q o ，g o 的选取将在下面确定 ( 2 2 9 ) - ( 2 2 1 2 ) 等价于 ( 吐e ”，) 。+ ( d u ”，1 ，) ，= ( - 1 3 l e ”+ 毛厂( e 肛1 ，q ”1 ) ，v ) 。， v v s( 2 3 1 ) r ，打 ( ， ，) r = ( f ，d w ) 。， v wes ( 2 3 2 ) “l ( 4q ，) 。+ ( d g “，1 ，) 。= ( - 1 3 2q ，l + 如厂( e ”1 ，矿- 1 ) ，) 。，v v s ( 2 3 3 ) ( 导，1 ，) r = ( f ，d w ) m ， v w6 s 一( 2 3 4 ) 定义豆最亘s ，u s 一，g 。s 一满足 ( d u ，1 ，) 。= ( 一p l e + k a f ( e ，q ) - e , ，v ) 。，v 1 ，s ( 2 3 5 ) ( 弘砸川。， ( d g ，v ) 。= ( p 2 9 + k 2 f ( e ，g ) 一g ，1 ，) 厢， 其中岛= 瓦o e ，g f = 鲁 ( 弘砸，驯。， v w s ( 2 3 6 ) v v s ( 2 3 7 ) v w s ( 2 3 8 ) 9 山东大学硕士学位论文 记 0 。= e 一层， 0 。= q q 亏= u u ， 1 1 = g g ， a 。= e f o g = q g a = u u 卢= g - g 由此，为得出格式一的解与方程组真解之间的误差估计，我们只需估计出毒，7 7 ，见，o q 即可 首先估计见，o q 的误差将( 2 3 1 ) 减( 2 3 5 ) ，( 2 3 2 ) 减( 2 3 6 ) 可得 ( d m + ( 弼叭= ( 一呸量? m 二成( f d m + 墨( 矿叫) 一厂( p ”，g ”) ，) 。+ ( q ，) ， v v s 。 r - 抖 ( ，w ) r = ( o ：，d w ) ，v w e s 口， 令w = 亏”，v = 0 ：，并将( 2 3 1 0 ) 代入( 2 3 9 ) - 1 得到 ( 删，e 轨+ ( 等) r = ( 等一妒吼咆g 加九吨雠e 卅咸) 。 + 毛( ( e ”1 ，少。) 一厂 ”，q ”) ，o ：) ， ( 2 3 1 0 ) 义凼为 ( 砌轨+ ( 和r = ( 譬小( 和- r ( 4 0 ：，o ：) m + ( ，芎”) r =( 翌i l ，o ：) 肼+ ( l ，亏”) z 口lr“， 击( e l 胁( l 4 1 ，勃， 、_ - -f- 历，、7，j ，工1i 所以有 扣。川惮e - l i 鼢+ ( 小( 等谢。筑州) m + 毛( 厂( e ”1 ，q ”1 ) 一f ( e n , q 一) ，0 ：) 。( 2 3 1 1 ) 一p 。( o ：+ o ：，o ：) 脯 = 五+ 互+ 互+ 五 估计( 2 3 1 1 ) 式右端各项： 1 0 山东大学硕士学位论文 五+ 互l = i ( 等嘶”卜( 州川 ( i 等嘶“却孔1 0 7 d 。 ( i 等嘶4 却加如。 ( 1 等嘶w i 1 0 7 d 。 ( i 等嘶 孔1 0 7 i ) 。 川等嘶川i 州 1 1 1 。i i o ：i i 。 ( | i 等啼”i i + i l a , 。 1 1 。) 1 1 叫l 。 1 10 7 i i = - + 刘1z 6 ：1 1 2 + 三2 ，r 。0 2 e 。2 d t 乃i = i 毛( 厂( e ”1 ，旷1 ) 一0 ”，q ”) ，0 ：) 。i 墨( i 厂( 上尹，矿q ) 一厂( p ”，q ”) i , io ：i ) 。 白三( i e ”1 一矿i ，i q ”q ) g ”i , 1 0 ：d 。 = 毛三( | 一e 卜1 + p ”一一p ”i , iq ，l 一q 和1 + g ”一一q ”i , 10 ：d 。 毛三( | e ”1 一雷”_ 1 + 豆”一p 糟1 + p ”一一p ”i ，i o ：1 ) 所 + q 纱一一一+ 亘”l 留”1 + g ”1 - q ”i ，io ：i ) ， 毛三0e 肛1 一豆”。1 + 豆”一p ”1 + p ”1 一p ”l i ，0o ：0 。 k , ll lq ，1 - 0 ”1 + 耍”l g “。1 + g ”1 - q ”1 1 , , , 1 1o ：i i 。 毛三1 1 0 1 + o 1 + ( p 肛1 一e ”) i i 。0 0 ：0 。 + 毛0 0 q 一一+ o ：- 1 + g ”1 一q ”i i 。1 1 0 ：i i 用 3 q l l l 0 71 1 2 = + 去墨圳l 。钏。挑础脚瓦o eo ：础+ 岍1o i ：i + i io 挑也脚秘击) i7 4l = lp 。( 虻+ o ：，) 。l = p 。i ( 0 ：+ o ：，0 ：) 。i p 。i ( o ：，o ：) 。+ ( o ：，o ：) ，l p 。( i | 0 ：屺+ i io ：0 ：忆) 詈p 。i io ：屺+ 寺p 。i io ：屺 山东大学硕士学位论文 将互，互，五，五的估计式代入( 2 3 1 1 ) 式，两端乘以2 a t ，并注意到条件( 4 ) 一( 呜) 和定理2 1 3 - 7 得： 悄屺- i i o ：q 眩c 址( 1 l o ：屺+ 1 1 0 觚+ 1 1 0 ：。1 屺+ 1 1 0 ：_ 眩 + i 雕。1 1 1 蚕+ 1 1 0 ；。1 晶+ ( 出) 2 斗伽) + o ( 址) 2 ( 1 l 害屺+ o 害屺+ l i 雾眩) 衍( 2 3 1 2 ) 其中c = m a x 1 ，3 k t l ，詈届 对于( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 利用上面同样的方法可得不等式： i i o ：i i ：一l i o ：。1i i ：= c 址( 1 1 0 ：l 巴+ 1 1 0 ：i l ：+ i i o ：一i 巴+ i | o ：。1i i ： + f 一i 匕+ i 怫。1 i 最+ ( f ) 2 + 舻) + c ( 出) 2 ( 嘲嘞：+ 呼咖衍( 2 3 1 3 ) 其中c = m a x 1 ，3 k , l ，- ：p 将( 2 3 1 2 ) 与( 2 3 1 3 ) 两个不等式相加，对胛求和，并注意到条件( 4 ) 一( ) ，则得到 屺+ 1 1 0 孤c 缸( 1 l o ：i l l + 1 1 0 挑+ ( 址) 2 + 办4 ) + c ( 出) 2 ( 1 l o 觚+ 1 1 0 m ) ( 1 疗m ) 由g m n v m l 不等式，当f 适当小，e p f 龊o a t _ - - 2 i c i j 寸，得到 惮屺+ 1 1 0 ：1 1 2 - 1 1a , 吲“击( 1 | 咖_ i l r l l | ；) 所以有 击( | 俐峙2 川巩i 巴( 等一妒，4 0 7 ) - h ，a , o 轨 也u ( e n - i ，少_ h 0 ”，q ”) q 嘭) 肿电( ，珥) 肼 ( 2 3 1 8 ) 喘屿+ 估计( 2 3 18 ) 式右端各项： ii =i p 。( 0 ：4 - n ，a , 0 7 ) 。i = 1 3 。i ( 0 ：+ o ：，a , o t ) 。i p 。i ( 0 7 ，4 0 。n ) 。+ ( o ：，a , o d ，i p 。( 0 0 ：川珥忆+ i l o ：i i m i i z o ：k ) p ，i l a , 。：o 三+ 2 袅( 1 1 。：i 巴+ i i 。：i 巴) 山东大学硕士学位论文 ki = 0 为不以能感染钉螺的毛蚴数， 叩。( p ) ，9 ：( g ) 分别表示人牛体内成虫的配对率 我们还需要相容性条件 1 6 山东大学硕士学位论文 上( 一p t e + l q f ( 叼) a 硝e ) d x = o ， ( 一f j ：g + k f f ( 叼) - 鲁讲t ) d x = o 假设问题满足下列条件： ( 4 ) e r ( 【o ，丁】；日3 ( q ) ) n 日2 ( o ，丁】；赡( q ) ) ； ( 鸣) q r ( 【o ，z 】；日3 ( q ) ) n 日2 ( 【o ，刀；暇( q ) ) ； ( 4 ) 厂关于p ，q 满足l i p s c h i t z 条件，即存在正常数，使得 l f ( e i ，吼) 一f ( e 2 ，q 2 ) i ( i 气一p 2l + iq l 9 2i ) 成立 3 2 记号与引理 不失一般性对q = ( o ，1 ) 2 ，定义剖分 6 z ：0 _ x x 2 x l ： h 一 x g + 2 1 6 ，：0 2 以 蝗 - + 2 1 对q 做剖分6 工x 6 y ，定义下列记号： 2 y ) l x , 一号 x t + ，乃一士 ，l 兰，s 、， 称剖分是正则的，如果存在常数a l ，仅2 0 ，使 殴 囊) a t 见。囊恐蚴a ：屯m i n 办，七) a ：m a x h ，七) ， 1 7 山东大学硕士学位论文 令 瓯= 趟。( 6 ，) o 趟。( 6 y ) ， 圪= w i ( 矿，w y ) ，矿以( 6 ，) o 矽。( 6 ，) ，矽。( 6 ，) 叫( 6 ，) ，湎i 劬= o ) 对函数v ( 而y ) ，以，v l + , j , v s ，+ 分别表示1 ，( t ，y j ) ，1 ，( k ，乃) ，v ( t ，乃+ ) 定义下列内积范数 n x ny n l n y ( ，忉朋= i = 1 j = l 红巧岛小，w ) 工2 善否红一 t l _ 1 ，心- l ， n 。n9 ( v ，w ) y = 乏红勺舶一 咝- ，i i = 1 ，= 2 。 ( 扛m ，x ，y ) ， i iv11 m = s ，以m 胚a x ，以iv , jl ，i i v 忆( x ) = l g s 虬m 。a l ；x 以iv j 一 。i ，i i ，ii m ( y ) = l ，；虬m ，a i ；x j ；以iv , 卜 i ， 当w = ( w 。，w y ) 时，令 令 1 1w i l l = ( 1 1w 。畦+ l lw y 哕，1 1 1wl l l 。= 1 1w 峨) + 1 1w y ) ， 嘭= 睢( 驯南，= 0 ，m = o ，聊，o p ) h 册( q ) = 时，r ( q ) 的内积与范数为( ，) ，| i | i 对于v 瓯显然有 1 8 定义下列记号 限吐砖，2 等 坝h2 等， d x 】 = w j 一。 ” ，j ，j 红 r d 1 一屹+ 一屹一 口, _ j w s l2 半 设膨是一个正整数，出= 舌，厶= 刀f ，1 ，”表示函数1 ，在乙时刻的值， 山东大学硕士学位论文 z v 一：垡 ， c ，分别表示普通正常数和一个小的正数，在不同之处具有不同的意义 对于上面定义的内积和范数，显然成立下述三个引理【引 引理3 2 1 如果1 ，瓯，w e 圪，则有 ( 1 ，见矿) 。= 一( 或v ，w 。) ，( ，q ) 。= 一( 嘭1 ，) y 引理3 2 2 如果we 圪，则有 0w 。l i x - l i 皿i i r a , i i 0 ，- 0 ，不依赖于办，k ，f ，a t ，疗，使得 有 o 。l i 。+ i i o 。忆+ l l l a i i i + 1 1 1 1 3 1 1 1 - c h 2 0 谚吼+ l i d ：gi i c ( a t + h 2 ) 由此，为得出格式一的解与方程组真解之间的误差估计，我们只需估计出考，7 7 ，见，q 即可 首先估计见，q 的误差将( 3 3 7 ) 减( 3 4 1 ) ，( 3 3 8 ) 减( 3 4 2 ) 可得 ( 毋p + q p ，唬+ ，吃= 霞唬一b 旧一矿，吮 呐抓矿1 ，矿) 一，矿) 吮+ 心，唬，协5 ；i ( 3 4 5 ) 咩以+ 群以 = 以皿怫饥”4 6 ) 令w = 毛”，= o ：，并将( 3 4 6 ) 代入( 3 4 5 ) 可得到 2 1 山东大学硕士学位论文 又因为 ( 等小( 等p ( 删魈) 肘= ( 等一卜( 州魈) ，i ，j + ，n y + ( z 。艇) 肘= ( 詈一，。：) m 一( 4 。艘) m 邛。( + ，nk + 【，【乜n - | ，q 肛1 ) 一厂0 ”，q ”) ，o ：k ， ( a , 0 7 ，。：) 。+ 1 1 1 毛w ：( 掣，o d ，+ j l l 号w i i 面( 1 1 0 ：0 ：一i i o , ”。10 ：) + 川亏“0 1 2 ， 一 2 6 ， pi i 肘 肘，。i 一，l 乒j ，一# y 。一 其中川号”1 1 1 2 = ( ，p ”) ，+ ( ，亏n ”) y 所以有 耐i 。n 屺一i io 一11 1 ：) + 1 1 1 w ( 等一，e ：) 。一( 4 。洲) 肼 _ i _ 、，、e n - i ，q ”1 ) 一厂 ”，9 ”) ，o ：) 。邛。( o ；+ o ；，o ：) ， ( 3 4 7 ) = 巧+ 互+ 五十五 估计( 3 4 7 ) 式右端各项： 五+ 互i = i 等一，。轨一( 州，0 7 ) ， 钏等却“却孔1 0 7 i ) ， 钏等坤”却3 0 7 i ) 。 将( 3 4 8 ) 与( 3 4 9 ) 两个不等式相加，对，z 求和，并注意到条件( 4 ) - ( a 3 ) ，则得到 。挑+ 1 1o 挑 c t ( 1 lo ：屺+ 峭眩+ ( & ) 2 + 办4 ) + c ( 址) 2 ( 1 1 0 ：眩+ i i o ：1 1 2 ) 0 ，z m ) 1 = l 山东大学硕士学位论文 g r o n w a l l 獭，当址适当小，即满足0 ，二2 c 时，得到 懈屺+ 1 1 0 ：1 1 2 , c ( 1 l o ：幢+ 1 1 0 挑+ ( 出) 2 + 矗4 ) 我们取初始值扩= 扩，e o = g e , e 。= 药p = 秽，从而有e ：= o ，o 。o = o ，p = o , l l 。= o ，所以 0 e ：屺+ 1 1 0 ：屺c ( ( 出) 2 + 矿) 其中c 与毛，如，展，及，及p ，q 的一、二阶偏导数有关，而与出，厅无关 再估计芎，1 1 的误差将( 3 3 9 ) 减( 3 4 3 ) ，( 3 3 1 0 ) 减( 3 4 4 ) 可得 ( 皿毛”+ y , n v ) 。+ ( 吐0 ：，v ) 。= ( 一面雷”，v ) ， 一p l ( e ”一p ”) 。+ k l ( f ( e - i , q ”1 ) 一0 ”，g ”) ，v ) 。+ ( q ，v ) 。，v v 甄( 3 4 1 0 ) ( 竿以+ ( 竿以州脚 晰圪( 3 4 1 1 ) ( 竿“等y _ ( 。，助、m , v w e 圪 ( 3 4 1 2 ) ( 3 4 1 1 ) 减( 3 4 1 2 ) ，并两侧i 司除以出得到 咩以+ ( 等以州舯1 m , v w e 圪( 3 4 1 3 ) 令w = 号”，= 4 0 ：，并将( 3 4 1 3 ) 代入( 3 4 1 0 ) 可得到 晔x , n 艄，+ 晔1 y + ( 楸哟。= 筹嗽盼。州慰) 。 邛。( + ，) 。+ 畸( 厂( e ”1 ，q ”1 ) ，0 “，9 “) ，) 朋， 又因为 ( 等善1 “等1 州哟m 剞1 引1 1 2 刈俘_ l i l l 2 ) 圳俐i i ：， 其中驯2 = 蟹，p x + 鲜，p ) y 所以有 击( | l i 号”i | 1 2 - 1 1 1 号”一1 2 ) + l l4 0 ：i l i - ( 芸一吃矿，4 ) 。一( 4 0 ：，吐e ：) 。 + 毛( 厂( e ”1 ，q 肛1 ) ，0 ”刃”) ，4 虻) 朋成( o ：+ o ：，缉o ：) 卅 ( 3 4 1 4 ) = k + e + k + e 山东大学硕士学位论文 估计( 3 4 1 4 ) 式右端各项： + y 2i = s i ，a e 4i i - = _ 一口， d f ，ia p 4， li 一d ， d f ，。a e “， l - ：- 一d ， d f ，。抛“， 【i 百一d ， ，o e 4， ( j 百一面 a p “， 川j 一d r 口f ，d ，e ：) 。一( d ，a ：，d ，0 ：) 。 一d ，o ：l , l d ，e ：i ) 。 一d ，o ：i ，i d ，o ：i ) 。 i + id ，o ：i ，id ，o ：i ) j + j d , o ：i , i d ，e ：1 ) 。 l + i d ，o ：。i i d ，o ：| i _ l l d 雕i i ：+ 舢等“p “i 州r o ：i | 巴 8 l l a ，0 7 2 去- - ( i i d ，。m + f c 。i i 矿oz e 屺班) 】，i = i 毛( 厂( e ”1 ，q ) 一f ( e n , q ”) ，a , e d 。i 毛( i 厂( e ”1 ，少q ) 一厂( 矿，q ”) i , i z o ：阢 毛( ie ”一一e ”i , i 纱。1 ) g ”i , i4 0 ：1 ) 。 = 局三( ie ”一一p ”_ + p “一p ”j ，j 一q “- 1 + g ”_ 1 一g “i , i d , o ：i ) 。 毛三( | e “- 1j 雷“q + 豆“一一p ”1 + p 片- 1 一e “i , i4 0 ：i ) ， + ( i 矿一亘”一+ ”一l g ”。1 + 9 4 一一q “i ，id , o ：i ) ， k , l i | e 4 - 1 - g ”- 1 + 虏4 - 1 一e 4 1 + 矿一一p ”l i 。0 4 0 ：0 。 + 毛上i iq “1 - 0 “一十垂”一i q “。1 + g ”。1 - q ”i i i l a , o ：i i 。 k , l0 0 ：。1 + o ：。1 + ( p ”一一p “) l l 。i l a , o ：0 。 + 毛三o ：- 1 + o ：- 1 + 9 4 一9 80 。0z o ：i l _ 2 e k 。ll l d , 0 7 眩+ 丢毛( i l 。1 眩+ i i0 7 一眩+ f 。| i 鲁眩d t + l to ：1 屺 + l lo ：1 眩+ r 嘲巴a t ) i 】二i = i b ( + ，4 嘭) 厢l = bi 孵+ ，4 嘭) 肼l 成i ( ，4 l + ( ，碣ki b q i o ? i i 1 1 州i l + l l 嘭1 1 1 l d , e ? i l )