（凝聚态物理专业论文）圈量子引力中高斯编织态度量算符对角分量的期望值.pdf

攘要 本论文第一帮分是兹奏。楚器奔绥了茧予引力携基本理论，包疑量子；l 力瓣 定义、目前用于量子引力研究的几种主要理论陋1 、龄子引力的赢用等等。谜 赍缓了黼燕子g l 力1 2 7 1 、鑫疑结蜒匿量子；l 力当兹疆究瑗状。 第= 部分是本论文的关键。我们考虑离斯编织态，可描述平坦时空。计 算蔫辑编织态度量算梅的期望馕。营先赍缨了传么是菇颊编织态及英度量。其次 推导出对角度量分量“m ( s 。，) 捌的表达式。 第三兰部分是本文的熏点。其体计算出离斯编织态对角度量分嫩的备个期搬 值。在计算的过程巾，首先在讨论了通常情况下体积算符对应的重耦矩阵1 3 3 ， 详细计算了9 - - j 记号田1 的展开式之后，推鼯出5 顶角煎耦矩阵公式。并具体计 算了两类顶角的重耩矩阵元之德。然后得劐了体积算祷矿的矩阵元v y ”1 以及顶 角归一化因子。有了这些结果做基础，再根据第二部分蒜对角度璺分量的公式， 栈天其髂懿数据，耱褥求褥蔷对角度量分量漪期望蹙。莽l 翅垂囊凡簿定理，求褥 了g a u s s 编织态顶角处切矢量的长度。 第燃部分是本文的尾声。对以上鲍计算结果进行分丰居，总结豳一定斡靓镣。 并对于商斯编织态的非对角度蛩分量做一些推测。 关键词：圈量子；| 力高斯编织态体积算符对角度量分量重耦缀阵 a b s t r a c t t h ef i r s tp a r ti st h ep r o l o g u eo f t h i st h e s i s ih a v eb r i e f y i n t r o d u c e dt h eb a s l ct h e o r yo fq u a n t u mg r a v i t yi n c l u d i n gi t sd e f i n i t i o n ， s e v e r a lk i n d so fm a i nt h e o r ya p p l i e di n t oq u a n t u mg r a v i t ya tp r e s e n t ，i t s a p p l i c a t i o ne t c a tt h es a l l l et i m e ，ih a v ei n t r o d u c e dl o o pq u a n t u mg r a v i t y 。 t h ep r e s e n ts t u d y i n gs i t u a t i o no fq u a n t u mg r a v i t yi ns p i nn e t w o r k s t h es e c o n dp a r ti st h ec r u xo ft h i st h e s i s w ec o n s i d e rt h eg a u s s i a n w e a v es t a t e ，w h i c hd e s c r i b e s8s e m i c l a s s i c a lp i c t u r e w ec a l c u l a t et h e e x p e c t a t i o nv a l u eo fm e t r i co p e r a t o rw i t hr e s p e c tt ot h i ss t a t e a tf i r s t ， ih a v ei n t r o d u c e dt h eg a u s s i a nw e a v esr a t ea n dm e t r i co p e r a t o rw i t h r e s p e c tt ot h i ss t a t e t h e nlh a v ei n d u c e dt h ee x p r e s s i o no f4 龋随，) 。 p a r tt h r e ei st h ef o c a lp o i n to ft h i sp a p e r ，i nw h i c hw i l ic a l c u l a t e t h e a n g l ec o m p o n e n te x p e c t a t i o no fg a u s s i a nw e a v es t a t ee x a c t l y i nt h e c o u r , s eo fc a l c u l a t i o n ，t h er e c o u p l i n gm a t r i xc o r r e s p o n d i n gt ot h ev o l u m e o p e r a t o ru n d e rt h en o m a lc o n d i t i o ni sd i s c u s s e df i r s t l y ，t h e nc o m p u t et h e e x t e n d e dt e r m so f9 - je x a c t l y ，r e d u c et h er e c o u p l i n gm a t r i xf o r m u l ao f 5v e r t e x i na d d i t i o n ，t h ev a l u eo fr e c o u p l i n g m a t r i xe l e m e n t so f t w ok i n d s v e r t i c e sa r ea l s oc a l c u l a t e da n ds og e tt h em a t r i xe l e m e n t so fv o l u m e o p e r a t o ra n dt h ev e r t e xn o r m a li z a t i o nf a c t o r o nt h eb a s i so fa c h i e v e m e n t a b o v e ，a n dc o m b i n et h ea n g l ec o m p o n e n tf o r m u l ao fp a r tt w o ，w ew i i i c a l c u l a t et h ee x p e c t a t i o no fa n g l ec o m p o n e n tf i n a ll ya f t e rs u b s t it u t et h e p a r t i c u l a rd a t a b yu s i n go ft h es p i n g e o m e t r yt h e o r e m , w ec a ng e tt h e v a l u e so f1 e n g t ho ft a n g e n tv e c t o r sa tt h ev e r t e xo fg a u s sj a nw e a v es t a t e p a r tf o u ri st h ee n do ft h i sp a p e r ，w h i c hw ew il la n a l y s et h er e s u l t s c a l c u l a t e di nt h ep r e c e d i n gp a r t ，s u m m a r i z et h ep r o p e rr e g u l a r i t y ，a n d m a k es o m ec o n j e c t u r et ot h en o n - o p p o s t ea n g l e sc o m p o n e n to fg a u s s i a n w e a v es t a t e k e yw o r d ：l o o pq u a n t u mg r a v i t y ；g a u s s i a nw e a v es t a t e ；v o l u m eo p e r a t o r ；o p p o s i t e a n g l ec o m p o n e n t ；r e c o a p l i n gm a t r i x 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：榭时间：浏年f 月订日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或 其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或 全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：嫜毒崂 签名日期：御6 年f 月药日 l 。量子芍l 力综述 传统的凰子引力方裟的共同特点是继承了经典广义相对论本身的寝述方式，以度 援场作为基本场量。丸，l 六年以寒，a a s h t e k a r i 4 等物理学家借鉴了几年嚣a ， s e n 的研究工作，在正则量子化方絮中引进了一种全新的袭述方式，以自对偶自旋联 络 5 l ( s e l f - d u a ls p i nc o n n e c t i o n ) 作为基本场量( 这组场量通常被称为a s h t e k a r 变量) ，由此为正鲻量子引力的磷究开创了一番新豹天地。同年t j a c o b s o n 和l s m o li n 发现a s h t e k a r 变量的w i l s o nl o o p i “1 满足w h e e l e r d e w i t t 方程1 1 3 i 。在 托基础主c 。r o v e l l i 和s m o l i n 键盘把这种w i l s o nl o o p 作为量子g | 力秘基本态， 从而形成了域代量子引力理论的一个重要方案：l o o pq u a n t u mg r a v i t y 。2 1 世纪一 小部分物理学家，如嶷夕法尼囊娥盛大学雏s m o l i n 、a b b a ya s h t e k a r 葺鞋法国冀赛 理论物理研究中心的c a r l or o v e l l i ，以及加拿大安大略省p e r i m e t e r 理论物理学 院的施莫林( l e es m o l i n ) 、r o b e r tm y e r s 、k a l a m a r a 等物理学家，现在都看好圈 鼹子；l 力璞论。 所谓圈嫩子引力( l o g ) 理论，是2 0 世纪9 0 年代后期出现的，该理论认为，物 囊是由圈构成的，圈蝴互俸用并相互结合，形成所谓的旋转网络。遮一概念是荚圈 数学家r o g e rp e n r o s e1 1 1 在2 0 世纪6 0 年代作为抽象圈首先设想出来的。s m o l i n 和 r o v e l l i 在运用标准方法对广义相对论方程式进行量子化时，发现数学中隐藏着 p e n r o s e 随络口1 。这些网络的节煮和边界携带蔚具有面积和体积的独立单元，飙丽 形成三维缴子空间；由于这些理论物理学家都是从相对论出发，因此他们仍然保留 了燕子圈络之静静室鞫熬菜些壤念。美蓬弦论疆究辩学家、霉德魄强大学匏接棒教授 ( b r i a ng r e e n e ) 称，“圈量子引力理论”也叫“髑量子理论”，弦论或超弦理论， 是非常接近它的，因为羰理论的新版本超弦理论或m 理谂，已经把环圈与弦线并列。 格林说，遥来圈量子；| 力阵营取褥的重大遥矮，是好事；在通往量子力学的路主，圈 量子理论和弦论两条路，完全有可能在某个地商相会，而髓是个可能成功的理论。因 海镶多事实涯嚷，圈爨子瑾论所长歪是弦谂搿短，嚣鍪爨子理论赝短囊是 莛谂爨长。 k a l a m a r a 被认为是全球最有前途的年轻物理学家之一。她研究圈量予引力的外部空 间，从p e n r o s e 旋转网络出发( 该网络未嵌入任何前在空间) ，荐结合圈量子引力 的某些威巢，发现旋转阙络不依赖予空闼，敷不是由物臻形成懿；楣爱，锻是这黩刚 络的结构产生了空间和物质。 l o o pq u a n t u mg r a v i t y 完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规， 因藏被称为是一种鹜最秃关( b a c k g r o u n di n d e p e n d e n t ) 翁量子；| 力壤论。一些貉理 学家认为l o o pq u a n t u mg r a v i t y 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的， 因为广义棚对论的一个最基本的结论就是时空壤规本身出动力学规律辨决定，因箍量 子引力理论是关于时空度规本身的爨子理论。在这样的理论中经典的背景度规不应该 有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。 l o o pq u a n t u mg r a v i t y 辑采瓣熬薪匏基本场耋篼嚣哭是一秘巧妙懿变量筏按手 段。因为从几何上讲，y a n g m i l l s 场 7 1 的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此 鞋联络终必g | 力理论鳇基本变量髂疆7 壤；l 力矮援失援范搦憋麴理愚怒。不援懿藏， 自旋联络对于研究引力与物质场( 尤其是旋量场) 的耦台几乎是必不可少的框架，因 此以联络作为引力理论的基本变爨也为进一步研究这种耦含提供了舞台。r o v e l l i 和s m o l i n 等人发理在l o o pq u a n t u mg r a v i t y 中壶广义秘变性一稳称尧徽分溺憝 不变性7 ( d i f f e o m o p m s mi n v a r i a n c e ) 一所导致的约柬条件与数学上的“带理 论”( k n o tt h e o r y ) 瓣存羞整落戆关联，致嚣壤褥约束蘩箨魏求辫缚翻强有力靛数 学工具的支持。l o o pq u a n t u mg r a v i t y 与节理论之间的斌种联系看似神秘，其实在 概念上并不媾理勰，微分网胚不变性豹存在馒褥w i l s o nl o o p 中具密实质意义黪傣 息具有拓扑不变性，面节理论正燕研究l o o p 拓扑不变健的数学理论。 经过十几年的发展，目前l o o pq u a n t u mg r a v i t y 已缀具有了一个数学上相当严 糖兹框絮。狳鹜景无关牲之势，b 印q u a n t u mg r a v i t y 与莓窀蠢子| 力理论稠魄还 具有一个很蘸要的优势，那就是它的理论框架魁非微扰的。迄今为止在l o o pq u a n t u m g r a v i t y 领域中取得的燕要物理续果有瓤个：一个是在p l a n e k 尺度上的空闯爨予 化，另一个是对黑洞熵烨j 的计算。国内外对予体积的离散本征值的计算方法有缀多 种，结果也不同。本文将在导师的攒导下，通过科学的推导与计算，绘出离散体积本 征值搿1 的络聚，并把簌p l a n c k 尺壤主盼空弼鬃子纯应用于实际，霹离散的体积本征 值用于计算圈量子引力中高斯编织态度量算符的期望值。 2 l 。l 量予辱l 力 量子引力是描述时空构造以及包含任何占有态数的系统在普朗克尺度下的时空 构造效果的一种理论，时空构造效果不仅包糖g l 力吸引现象，还戗括发生在这种 构造内的时空动力学胼包含的一切现象。 匿静，用于研究量子引力的理论主要有；超珐理论i ”】【”( 该理论认为引力作 用可视为一种无质量莳藏的激发绪聚) 、离散量子理论( 该理论把时空流形近似为四 单形的联络集合，把e i n s t e i n h i l b e r t 作用1 量近似为r e g g e 作用擞，再用路径积 分静方法量予纯，量子他的方法雹耩正赠量予纯和协变量予纯方法) 帮茫辩 量子避论 2 8 1 ( 该理论没有将引力艘规分解为背景部分与媛子摄动部分，从而避开了引力量予 纯不重夔瓣| 蠢蓬) 。 量子引力主要应用于；解释爱因斯坦方程问题陋】；可从源头上解释、说明或编 秘譬子信怠梆l ：骚究量子绸缠态# ”审粒子信惑麴大薤赛辘蕊递；辫决了体积、瑗 积的量子化可计算黑洞的熵f 枷2 2 ) f ”】；解释宇宙的量子暴涨f 瑚；圈量予引力可用涞 在量子纯懿室瓣孛臻究爨孑记忆，遴嚣可捺助掰究量子计雾撬，在更枣瓣足度土穗存 鼹多的信息。 1 。2 圈量子弓l 力 将通常韵三维空间中的w i l s o n 丽利用粒予豹自旋角劫量提供的袭示进行鳍网， 蒋反对称化每一网结上的脚中的股线，这样所得到的结网w i l s o n 圈的线性组合即为 蠡旋结弼罄爨子$ l 力。 圈量子引力是目前最新的一种掇子引力，它是在进行规范场量子化的过程中为进 开围绕法而采用联络表象，并发展q 运用引力场时而出现的一种新表蒙；它是广义相 对论与量子力学的结合，是由广义相对论 t 4 的豫则量子化而得出的联论，自旋结网 圈则是为这一理论的希尔伯特空间提供基底的月b 些图形，同时描述了一些用于计算振 襁辣渖表蘩灌论懿诗葵。 自旋结网圈量子引力”1 目前的研究现状为：态空间的完备性已经被证明，测度已 棱绘窭；d 约束与h 约寨对态豹 譬嗣结采已冀爨：毒基惫绘壅静一般渡态已在搽讨， 3 势鸯缝巢；彝藏淹滚联论已褥到一墅结果；物理爨骚积与体积篓箝对杰秘作弼嚣 被做出。 2 。离簸编缴态 嚣鬣予s l 鸯谈势，窑瀚是由盘旋瓣态静激鼗赫构藏。平撼空间作为崮度激发惑， 诃海得到激发酌编绫卷编织两成# 。通过缡织态貔莅形或项受均可编织出平坦奎潮。 本文将给出通过空间中无努多顶角编织平坦空间的g a u s 8 编织态自身的度量期攥值。 2 。lg a 潞s 缡织态疑其痉量 蒋g a u s s 编织态及萁顶角”分别敷为 帮u u 麟撰予；l 力串，g a u s s 缡绒签夔凄爨冀籀壶如下袭式给窭朔： 一麝 ，郎m 委 娥一8 ；柳+ “一声： n ) 式中“毵黔一志挣参镶螺： ( 2 ) 这擞， 袭明g u a s s 编织态被作用的顶角。为群s u ( 2 ) 生成元， “a * 0 ，1 ，2 ，3 ) 必端点在”抟线熬h o l o n o m y ，露为体积葬缭鹣n 次鞯e 2 2 对角度豢分蟹。j l ，( ，s 。) 的液达式 善先诗舞h o l o n o m y h 4 对g a u s s 恋弱4 鞭麓戎( 蕊格热彩蘸髓e o 鹣箨囊5 删， 此飘协p ，p 咖p n 妇，i 蚓鹃， 稚1 奴( 弘，) * ； 式最蠢端嬲熬佟爆娃下式定义： 4 1 丸2 ( p ) 奢。( p 妒” p盘 ( 4 ) 在计算( 4 ) 式时，5 顶角图中的腿i 不受矿“中抓的作用。对于体积算符矿“对5 顶角九 的作用，将采用 矿“虹一k “丸 ( 5 a ) 即 j v 时( 1 ，p + g ，p ，p ，p ) y “ 一芝。( i ，p + q ，p ，脚雌” 的形式实现。从而( 4 ) 式的作用可写成 ”酚- ：i 加m ( 等卜 m 力 4s j一时， pppp 而r 。对( 6 r o 雌 亨的图形字子鬯作用曹 u j ；口朋 j _ 一p 弋 p p pp pppp u u ( 5 b ) 令6 ) 式两端均经受4 堍的撵耀，将缡鬃代入( 2 ) 串，褥 憎舻赢4 瓣渤( 警脚， 将( 7 ) 式褥藏以4 麟豹襻瘸，并将结果代八( 1 ) ，可箨 8 藤瓴，岛娩一一蕊1 6 酽薹萋瓣坟q 惫p ( 警p 叫坠茅卜砖脚，秘 6 ( 7 ) p l 。 譬 l， p；羔 一u。 0 譬 一一 式中 划 p m 踺l u ，j 遗j 1o ( s ，2 ，p ) 2 a p 从而有 ”t 3 ( s o , s o 一斋荟善薛嘣晰加，( 等p 卯m 力 n 。v ：” 。 l 也i5 + g l ，p ，p ，p i 一“m ( ) ( ，) 。丸 韭竺型i 兰 2 3 其余对角度量分量”m ( s 。，) 的表达式 类似地，h o l o n o m y h 。1 对a ( p ，p ，p ，p ) 的腿唧的作用为 k 1 九( p ，p ，p ，p ) 一( p ) = n ( p ) p ppp 。o ( p ，2 ，s ) 7 ( 8 ) 为了将j 二式诧成本文蠲以诗算俸积霎蒋本薤篷鹄形式，将冀簸嚣图疰溺鬟耦定理9 1 有 扰 ppp p ( 9 ) 从简算符4 q ；中其余因子的作用将施加在( 9 ) 式右端。4 6 ；的这一作用岛包的不同 之处，仅为在( 8 ) 中有燕5 顶角( 1 ，p + 琅p 凸硝的计算中，需考虑用6 - j 记号对 得到的内腿颜色z 的求和。从而可得 詹幅，屯溉l 一高荟善荟莘 弦。o ，( 惫) 眺p p ： 【等p 司 f 半卜捌一痨丛一掣ao ( s 氟 。，2 ， 一 一4 涮，s 1 ) ( 旃蛾 ( 1 。 类似地可得 。露硝缘高荟善磊善秭g 惫) 叫 挫一 眺p p1 。 降b pp p ； ( 等p 卯m p ) f 1 7 - - ”) l ( 1 ，g 协m ) = ”m ( s ：) “丸 煎竺：耻点 a ，o ( s ，2 ，p ) 帆蜥= 一斋潞茹嘣p 玑( 惫) ( p ) 眺p p1 。 脚p 川pl ；1 p pp p ； 【卜卯m 力 ( 生等 ( i ，1 w 妇m 力 韭一制i 点 。o ( s ，2 ，p ) - “m ( s 3 , 屯) “九 ( 1 2 3 高斯编织态度量算符对角分量的期望值 3 1 重耦矩阵元i 本文将求出( 1 ) 中n = l 情况下的g a u s s 编织态的( 一重) 度量的期望值。在求解 过程中，体积算符矿对本文5 顶角的作用与通常情况下的不同口i 。它是通过通常情况 下得到的各重耦矩阵的矩阵元的相加，而得到矿对其作用的。即 一甲 ( 1 3 ) 式中 ! v 孑( h k ) 一2 4 瓣谲 ” 、向1 j 口 ( 1 4 ) 这里w 一】7 为通常情况下体积算符对应的重耦矩阵。 3 29 一j 记号的展开式 由于将采用文献i 的方法，即通过求出重耦矩阵，来实现体积算符对5 顶角 的裕用。数理绘出计算重辗矩阵瓣表式翅下 氍；n n j 只尊 乳 - n i n i p l p i p x a p 。i a 。u 碰 2 2 圆 睦磐 2 2 矧k j + l p 。q ( 1 5 ) 式中- ，镌为( 1 5 ) 式第一符中图的( 用矢量指标标记的) 璎惫羟一亿因子。 i f ：，i m ，i - 女2 ，t _ 2 ，n 为顶角价数。口z ，伽，蝴和伽分别由下式给出 喊2 够) 掣憾鼍# 耪 m 一豢 凼 联k x ，2 ) 叫埘n - 2k 腿n - 3 等掣! 汹p z l a2 i 丝望p 是幽幽 8 ( 2 ，。；，p 。)l p # p t! 矗。 o ( k t ，蛩 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 为了跳用通常方法计算( 1 5 ) 中的9 - j 记号，我们将其中六边形网中的预角 岛涵卜 岱 m 口 一h g岱 珞跫弓 _ # ( p ，k ，k 。) ，用重耦理论写成如下形式 - k j 将( 2 0 ) 代入这个六边形网中，有 k j + k j “ ( 2 0 ) 运用公式 。k j 22 ， - 则关于( 2 1 ) 中第一项，有 22 2 2 1 1 2 2 22 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 6 d 一p 卫即 托 一 碜帆 b 匪 2 2 堂! 毒。纠 o ( k j ，i ，2 ) 22 b 、 2 ( 一1 ) i 一壤掣k2 0 ( k匿 l f j 。 。i l 令 i ，2 ) 女，么2 i 监芝纠 o ( k j ，i j ，2 ) 关于( 2 1 ) 中的第二项，有 2 2 监立纠 o ( k ，i j + ，2 ) m 心2 2 ( 一1 ) ( 一1 ) ( - 1 ) ( - 0 匪盈1 ：匮碧1 t 盈 1 2 2 ( 2 3 ) 里 四 旦， h l 奠 死 一 盥幽k j + d l 。 o ( k 。，i 。，2 ) 、7 i1 i 奖i 期k2 0 ( k笾 i ，ie l 。，f j 。2 )8 一么z l 。一监拦】 o ( k j + 1 ，f j 。2 ) 弛f 卜- b + - 【2 2 把( 2 3 ) ，( 2 4 ) 代入( 2 1 ) ，可得 22 从而有州记号的如下展式 咄侄 一喾2 啡2 22 ， 日，) il 。上乃j o p ， 【i ( 2 4 ) +喾o(k2 雄2 “一2t 2 。，f j 。) ll ( 2 5 ) h 2 、_-_l，_tj h ： n n 2 o k “： n n 2 隅污卜 竺盥! 丑型兰 o ( k j 。i v + ”2 )日( t ，i j ，2 ) ( 2 6 ) 上式右侧各记号，均可用已知公式求得。这里顺便指出，对于t e t ( 四面体) 网1 9 1 1 1 3 1 有如下对称性： n r ：。b ；】。n t ：；】。砌 ：d 。； 4 死r ：d 。：】 叫：叫：。b ： ( 2 7 ) 3 35 顶角重耦矩阵公式 本文度量算符对g a u s s 态的作用是通过体积算符对特殊的5 顶角的作用代替的而 实现的，即令其图中最左方颜色数为1 的一条腿不被抓作用，故而体积算符的抓三元 组”4 1 只能抓在其余4 条腿上。为计算方便，本节首先将通常5 顶角图中的5 条腿的 颜色”，由左至右命名为p 。，p l ，p 2 ，p 3 ，p 。，以便求出一般情况下重耦矩阵公式。这 样，需求的重耦矩阵只有“1 2 3 ”，“1 2 4 ”，“1 3 4 ”，“2 3 4 ”共4 种抓法。下面将求出这 4 种情况下重耦矩阵的一般公式。 。纠；的计算公式 w ，纠；一 垒- 垒- 垒生 日( ，p 1 ，i 2 ) 日( f 2 ，p 2 ，i 3 ) 8 ( f 3 ，p 3 ，i 4 ) o ( k 1 ，p l ，k 2 ) 日( t 2 ，p 2 ，屯) 口( 女3 ，p 3 ，k 。)( 一1 ) 磁 m 阿剿剿p z ， 式中f 1 一k l p o ，i 4 = k 4 ；p 4 。 w 。；的计算公式 p 1 p 2 p 4幽幽 w e 。；的计算公式 w 。；- 8 ，i ，2 ) ( 一1 ) 2 搿 群 垒! ! 垒! 垒 口( ，p l ，i 2 ) 8 0 2 ，p 2 ，) 0 ( f 3 ，p 3 ，i 4 ) 日( t ，p 1 ，k 2 ) 0 ( t 2 ，p 2 ，k 3 ) o ( k 3 ，p 3 ，4 ) 脚川o 掣 w 例；的计算公式 w 驯；= 幽 ( 2 9 ) 怍p 3t 4 ， p ，f 4 ( 抽督 ( 3 0 ) 1 2 22j 垒i 垒垒垒 0 ( i i , p , , i z ) 0 ( i 2 , p 2 , i 3 ) 0 ( i 3 , p 3 ，i 4 ) 8 ( 七l ，p 1 ，k 2 妒( 七2 ，p 2 ，k ，妒( 七3 ，p 3 ，k 4 ) 监立型幽 o ( i 2k 2 )o ( k 3 ，i 3 , 2 ) f k 3 p 3 k 4 1 f 3 p 3 1 4 ( 3 1 ) 【2 22j 3 45 顶角( i ，2 ，l 1 ，1 ) 的重耦矩阵元 本文将对p = 1 ，k = o 情况的g a u s s 编织态求其度量的期望值。从而度量分量算式中， 被体积算符矿作用的5 顶角( i ，p + q ，1 , 1 ，1 ) ，和( i ，p + g ，1 ，1 ，1 ) 州中，由于g 一1 ， g ：1 ，s = 1 或3 ，共有3 种形式( i ，0 ，1 , 1 ，1 ) ，( i ，2 ，1 , 1 ，1 ) 和( i ，4 ，l 1 ，1 ) 。后面将看到这 3 种顶角中的虽后一种，在体积算符矿的由( 1 3 ) 给出的作用下为零。由于这一作用 q “纠 耽如2 陬陀， 是用( 1 3 ) 避过( 1 4 ) 绘出，所以先须求出对这2 耪颈角的作用重藕矩阵。琰角垂，2 ，l ，1 ，1 ) 的图为 壤m 嚣 w 删瓮一 噬础等一 一嘲： 强蠲： 。兰 魏蚓冀 。： 。莲 啊。，嚣 磁。，：! 磁。蕊 。，： 壤嘲薹 w 。翌 i i|lj 。盏 骥磷i w 蚺笔 。薹 啊，州嚣 冁。差 一。，： 。l 塞 珲。篙 w 。嚣 壤，。薹 叫曼 w 冽。3 。2 磁；鞠差 w 例兰 壤硐詈 州譬 壤嘲羔 w 2 3 4 h 0 3 2 鞭。盏 w 。1 薹 w ，。意 冁。耋 川删。3 2 o 2 i 3 0 f 2 2 石 6 压 2 o 一塑 o 00 oo o 一；以一誓33 00 00 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 巫。墩。 嘉肛 三。瓶 嘉 2 3 o 压了 。弘焦。 _ o括一：o 点 对于5 顶角( i ，2 ，1 ，1 ，1 ) ，在本文规定的体积算符的通常作用下，得到的重耦矩阵的矩 阵元可列表如下： 表a 顶角( i ，2 ，1 ，1 1 ) 的重耦矩阵元 重耦矩阵 矩阵元、 w w w 2 圳w 驯 1 0 o000 1 0 1 2 ；压；拈 一矗垃 一兰压 1 0 1 3 2 6 一矗| 6 0一蕊担 1 0 6 1 0 一三压一兰压 a z ；拈 1 , 2 3 1 2 0 o00 1 2 3 2 一矗注一冱 2 00 1 2 1 0 , g 6蕊| 6 0 再b 3 2 1 2 扼| 2 , 互2 00 3 2 3 2 0 0o0 3 2 3 5 5 顶角d ，0 ，l 1 ，1 ) 的重耦矩阵元 该种丁员角的阁为 i0111 li u i 2i 3 其内腿的黄色组合具有两种可能：0 1 ，1 2 ，敞煎耦矩阵将为2 x 2 方阵。用与前脚5 顶角类似的计算，可求褥其矩阵元如下： 喈怩篡 喇* r 瞩w , 1 0 篡 t 阳 t 【：毒 o 0 裘b 璎惫f ，o , 1 , l o 秘黧藕矩簿嚣 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 彗) 、重耩矩阵 矩蜉嘉、 嘶w 驯啊“】 w i 州 1 0 0o00 1 0 1 2 oo嚣泛o 1 0 1 0 00一曩疆o 1 2 l ，1 ：2 0 0o0 o o m撼。 i 1_iltiletjj 2 o 2 2 * 弭 睢噬 o o 0 2 弭 斟 啦嚆 ，。：，jji - 蛐磷 辩 噬 - 垃捧堪撞 烈 拦 睚壤o # 口2 措 l 壤毽 _ 峨：蓥 甜 坼 3 6 薅积算耱矿豹戆辫元劈。瑷及顶受麴一犯因予 3 6 。1 矩露嚣v 于8 删 g - a u s s 编织态腱量分量的计算中出现的如上两种5 顶角，经受本文规定的体积算符矿 的撵用的矩阵元，可由( 1 4 ) 得到。 对于顶角( i ，2 ，1 , 1 ，1 ) ，在体积算符矿下的矩阵元经计算为： 肾暖 0 祭尽 也拈 。轭 鹰菇 谨 。 对于颈惫盘e ，l ，毛蛰，对应豹矮阵茏为： v 砷。逖e 。2 4 4 。，陋 v2 、悼o v2 3 6 25 顶角归一化因子【2 1 ) l 圳 对予5 瑗蹙瘟2 ，l l ，奄，其归一纯因子瑶求褥鲡下 n 矿掣n 1 ：。掣，。掣 对于5 顶角( i ，0 ，1 ，k 1 ) 。同样可求得其归一化因子为： 鹅e t 毒， 兢2 ，- u 3 ( 4 0 ) ( 4 2 ) ：学 - 崤咯吆 3 7 对角度量分量m ( s 。，s o ) 。的期望值 3 7 1 对角度量分量m ( s 。，s o ) 。的期望值 g a u s s 编织态的( 一重) 度量分量可简写成m ( 已，s o ) 。，当k = 0 ，只有m = 0 ，( 8 ) 式才成为度量算符的本征方程。从而本文所求的g a u s s 编织态度量的0 0 分量可记 为m ( s o ，s o ) 一由( 8 ) 知 肘c 而m 一志萋善磊h 纵s ) ( 瓮) ( 1 ) 降- 面；? - ol j ( 1 ，m t 苛n v 1 0 p 蚓，u ，。 韭盏凼上 a 1 8 ( 5 ，1 ，2 ) 式中，由3 顶角相容条件知s = l 时，t = 0 或2 ；s = 3 时，t = 2 。 将( 4 4 ) 式用丫展开，得 篇 一志善孙哪) ( 等卜 簪( i ，h 外扎1 ) 煎煎竺 a 1o ( s ，1 ，2 ) 一北等m l l ) 等州l 1 ) 雄煎生 1o ( s ，1 ，2 ) 再将心5 碉荟展开得 一斋加n ( 等卜u ，。 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 等( i ，i 川，) 碓盟点 a 1o ( s ，1 ，2 ) 饥( 帅) 静2 ，1 ，1 ，1 苛n v 1 0 ( ，i ，1 ，1 ) 煎丛生 4 0 ( s ，l2 ) 等( i 0 ，1 ，l ，9 苛nv 1 。m 扎1 ) 死f f 0 1 l ! ! 刭 a 1o ( s ，1 ，2 ) + 1 1 卜_ ( 1 ) “s ) 筹( i ，0 ， 警仆叫，1 ) 丝煎点 a 1o ( s ，1 ，2 ) ( 4 6 ) 将上式中括号内的4 项分别记为a ，b ，c ，d ；并将5 顶角也2 ，l 1 ，1 ) 或( i ，0 ，1 ，1 ，1 ) 给出的相应归一化因子和相应体积矩阵元分别代入，可得到如下结果： 砷+ ( 1 虮气等l o ( ，2 ，扎1 ) 掣m - ，1 ) 煎盟 a ，0 0 , 1 ，2 ) n i 。，v 1 2 1 。( i ，2 ，1 ，1 ，1 ) 1 2 一一7 氓帆( 1 ) 筹( i , 2 , 1 , l 1 ) 盟盟幽 a 10 ( 2 ，1 ，2 ) 等( i ，2 ，1 1 1 ) n 3 2 l 。w 3 i 。( 、i ，4 湖，1 )韭婴 a 10 ( 3 ，1 ，2 ) 一2 3 = o + 丢学莎鬈学莎志扣 6 = 一面1 5 - f 3 【触j 3 ( 注： n l o ( i ，4 ，1 ，1 ，1 ) 不存在，今其为零) 肌珊+ ( 1 ) 气萨( 孙，1 ) 气等( 0 ，1 ，1 ) 盟盟 a 。0 0 , 1 ，2 ) nlovd。(i，o，l1，1)n1 2 一一7 7 氓( 1 ) y ( 1 ) 啃nv # 。| 1 2 ( i ，2 ，l 1 ，1 ) ! i 盟 a 10 0 ，1 ，2 ) 气萨( i ：，u ，1 ) 等随， o + f 一三1 i2 孚竿压压34v2 i | 6 + r + 0 ) r ( 3 ) 盟盟 雩学痧譬学痧 a l0 ( 3 ，1 ，2 ) ( 一4 x _ 4 ) ( 一2 ) ( 一4 ) c - y 抑+ ( 1 ) n 1 l o v 。1 0 。( 、1 ，0 ，l ) 半( i ，2 ，) 婴丝 a ，o ( 1 ，1 ，2 )+ y 一( 聊+ ( 1 ) n 1 y 。 。2 d 、，。，1 ，1 ，1 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 毛l 哪喾 眦 ， 邵等 玉 卜 巫 坐弘篆嘎 警( i , 2 , l l , 1 ) 盟螂 a 10 0 ，1 ，2 ) 警瞳叭，警m ，m 瞄 4 3 ( t ) 牡厢 。一1 2 三1 1 1 至 3 4 1 5f h k ) 3 2 5 6 、7 2 巫6 咝4 丽2 v 忑 3 + y ( 1 ) h ( 3 ) 盟 a 10 ( 3 ，1 ，2 ) j l 一上0 ( 一2 ) 3 岫肌( 1 ) 等( 叭1 ，1 ) 蠼n j o ( ， 叭l 1 ) 盟盟i 刍 a 1o ( 1 ，l2 ) 簪( m 堋 + y 一( 1 ) y 一( 1 ) 蜓n 竖1 。丘 - 0 , 1 , 1 , 1 ) 卿婴 a lo ( 1 ，1 ，2 ) n 3 z v i ：2 ( i ，叭1 ，1 ) 警，1 ，l ，1 ) ：o + f 一三1 f 一1 1 2 八2 + y ( 1 ) y 一( 3 ) 煎1 1 21 ；1 12 llll 4 3 0 女) “2 拈1 ( 献) ”2 拈 34 v2 2 4 v2 一i 4 3 3 2 - 一面3 4 3 。) 3 把a 、b 、c 、d 的值代入到( 4 6 ) 中，最后求得 a lo ( 3 ，1 ，2 ) _ 三王+ o ( 一2 ) 。3 小一志 堂巫掣卜 ( 4 9 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) 3 7 2 对角度量分量m ( s s ) 。的期望值 m c s o 。志荟善荟善。c 坟c s ) ( 瓮) c q 阱，1 项等卜私叫( ( 警v t m 抄蚓川，- ，) 型蛰生! ， 4 日( s ，2 ，1 ) 式中，由3 顶角相容条件1 3 1 1 知s = l 时，t = o 或2 ；s = 3 时，t = 2 将( 5 2 ) 式用孓展 为 开，得： 小啬到批c 曲阱，1 等肛l 1 ) ) 再将巧3 城用善展开确： 一志朴阱，1 。t j l 【h 百v y 产 、) ( 学，( i is + l l1l 1 ) 磐熟攀忡， 阱，1 项i 笔? 卜( 1 叫( 警抄刊川，。 ( 5 3 ) 砩砩点 ，) ( 警) ( i ，l r - ( 1 ) ，- ( s ) ，) 陛- - 。抄( 1 叫m 9 型蚪点i ， 4 o ( s ，2 ，1 ) 将( 5 4 ) 式括号内的四项分别记为a ，b ，c ，d ；并将5 顶角( i ，2 ，1 ，1 ，1 ) 或( i ，0 ，1 ，1 ，1 ) 给 出的相应归一化因子和相应体积矩阵元i 硼”1 分别代入，可得到如下结果 札帆阱。1 硪等卜，t ，) ( 筹卜u 9 婴煎 4 0 0 , l2 ) 翌盟( i ，2 ，1 ，l 1 ) n 1 2 、。4 。7 阱 州阱，1 甜警，u 1 ) ) 婴婴 4 - 0 0 ，1 ，2 ) + r + ( 1 ) r + ( 3 ) ，1 ： 警，1 ) ) 筹m 扎d 噬盟 4 o ( 3 ，1 ，2 ) 训r + ( 1 。1 斟筹 z ， + 1 ，1 斟筹眺) ) 等阳，p 盟盟 4 日g 1 ，2 ) 硝哟( 嚣1 ，。o j l 岢a k 1 2 旺+ ：，1 ： 警嗡均) 攀阮1 , l 1 ) 1 。一 盟盟 4 8 ( 1 ，l2 ) 溜警蕊m 驴嚣 掣( i ，4 ，蝴) 辑：一一一 + 国( 3 ) 1 2 1 0 等随t 州| 甄：一一j 韭i 拦；刍 j m 丢乒 6 。1 5 4 3 ( 簸) 3 5 1 2 嚣i 连4 0 0 , 毛2 ) 一6 6 3 3 壁芝。至至 4 ( 2 ) x 3 降陬l d ) 警 ， 10 l8 筹嚏 鹞8 a 毛玲| 瓣弩攀一 警戎m 驴s ：0 2 l j 蛾n ，2 茂- 钒蛐竺嘲捌 o , 1 ，1 ，1 ) l ( 5 5 ) 巫： = 学1 蝼4 拈j 2 一6 6 = j 3 贮。兰王 4 ( 一2 ) x 3 一等似) 3 ( 5 6 ) c 讪t ( ：1 斟筹她u d + 1 ，1 哥等m ) n “i 。v 。 ：。c i ，。，1 1 ，1 )婴蛰q 习4 0 ( 1 ，l2 ) 警+ ： 苜n v , o ( i ，。，1 ，l ，1 ) + r + ( 1 ) ，- ( 1 ) 1 1 0 2 等n 1 帆t 1 ) 】jz 、。一j 盟! i 趟 4 日n 1 ，2 ) 。1 哥警dz ，n 叫： 等( i ， + ，( 1 ) ，- ( 3 ) 1 1 0 2 警n 阮b 1 ) ) i1 2 j + 一6 6 6 。( - 4 ) x ( - 4 ) 。坐芝 ( 一2 ) x ( - 4 ) 4 3 厚 = f _ 巫5 1 2 + 鱼3 2 一三3 2 瓶舾，2i。j 、 d = 叫嚣，1 哥筹m + 乍，1 哥警m 叫 等( i ，叭，1 )韭! i 4 0 0 , l2 ) ，1 斟警印，m ： 盟n n ( i ，。，l 1 ，1 ) 1 1 0 2 警阳)j 1 ：一j 丝! i 4 0 0 , l2 ) ，1 封警帆+ 1 攀( i ，2 ，1 ”7 7 + ，- ( 1 ) r _ ( 3 ) 1 1 2 0 ) 警c 咖叫i l ：。j 煎型 4 o ( 3 ，2 ，1 ) x 厚竿厚竿丽3 x 3 。篆m ) 3 将a 、b 、c 、