（应用数学专业论文）拟齐次向量场的几何理论及相关问题研究.pdf

硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s t h e g e o m e t r i ct h e o r y o f q u a s i h o m o g e n e o u s v e c t o rf i e l d s a n dr e l a t e d p r o b l e m s r e s e a r c h at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to f t h er e q u i r e m e n t f o rt h em sd e g r e ei na p p l i e dm a t h e m a t i c s b y z h a n g j i n h u i p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：y a n gc u i h o n g a c a d e m i ct i t l e ：a s s o c i a t ep r o f e s s o r s i g n a t u r e a p r i l ，2 0 1 1 j c 氏。岬 嗍4m 0 -99 删8川i舢丫 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：砒金慧 日期：“年厂月p 日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅： 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：触善 日期矽1 年，月；o 日 导师签名： 扬颦彩z 一 日期：卯f f 年厂月踢日 本人已经认真阅读“c a m s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回意论塞握銮蜃澄厦；旦堂生；旦= 生i 旦三生发查。 作者签名：乃板复慧 日期：pj f 年 月和日 导师签名： 杨雩么 日期：弦，年歹月乃日 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 众所周知，平面动力系统不管是理论还是方法都有很丰富的结果，而空间动力 系统因其复杂性至今尚未有一般性的结论。如果能够架起平面动力系统和空间动力 系统之间的桥梁，则能为研究空间动力系统提供很多方法和工具。空间动力系统中 比较简单的是齐次向量场，已经有了很多结论。本文借助于齐次向量场的方法，对 空间中的拟齐次向量场进行了分析，又给出了拟齐次向量场在生物数学中的应用。 全文分两章，每章内容如下： 第一章详细研究了r 3 中拟齐次向量场的几何性质，利用在球面s 2 上诱导出的 切向量场得出只3 中的向量场存在闭轨线的充要条件，并且知道该闭轨线位于一个不 变闭锥面上。本章还给出了拟齐次向量场在生物数学中的应用，得出一个扰动模型 在第一卦限内存在唯一全局吸引的空间周期解的充要条件。 第二章利用微分方程定性分析的理论对一类食饵种群具有常数收获的 h o l l i n g i v 型功能反应函数的食饵捕食者模型进行了分析，研究了该模型平衡点的 性态，并且得出该模型存在鞍结点分支、h o p f 分支和幂零鞍点分支的条件以及幂零 鞍点分支的标准展开，还利用已有公式得出模型前两个l y a p u n o v 系数，并且得出 第二个系数恒正，最后给出了模型在这些条件下生物学的意义。 关键词：拟齐次向量场；不变锥面；切向量场；h o l l i n g - i v 型功能反应函数；常数收获； 鞍结点分支；h o p f 分支；幂零鞍点分支 一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ep l a n a rd y n a m i c a ls y s t e m sh a v ea b u n d a n tr e s u l t so i lb o t h t h e o r ya n dt h em e t h o d s ，w h i l et h e r ei sn og e n e r a lt h e o r yf o rt h en o n l i n e a rs y s t e m si n t h r e ed i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c er 3 i fw ec a nc o n s t r u c tab r i d g eb e t w e e np l a n a r d y n a m i c a ls y s t e ma n dd y n a m i c a ls y s t e mi nr 3 ，t h e nw ec a l lp r o v i d em a n ym e t h o d sa n d t o o l s f o rr e s e a r c hd y n a m i c a ls y s t e m si nr 3 t h es i m p l e rv e c t o rf i e l d si nr 3i s h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d s ，w h i c ha l r e a d yh a sm a n yr e s u l t s i nt h i sp a p e r , w ea n a l y s i s q u a s i - h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d sw i t ht h em e t h o d so fh o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d s ，a n d t h e nw eg i v et h ea p p l i c a t i o no fq u a s i h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d si nb i o m a t h e m a t i c s t h e p a p e r c o n s i s to ft w oc h a p t e r s ，t h em a i nc o n t e n t so fe a c hc h a p t e ra r ea sf o l l o w i n g ： c h a p t e rld i s c u s s e dt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fq u a s i h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d si n r 3 b yt h et a n g e n tv e c t o rf i e l d si n t r o d u c e d i ns p h e r es 2w eg o tt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ec l o s e do r b i t si nt h ev e c t o rf i e l d si nr 3 , a n d w ec a nk n o wt h ec l o s e do r b i t sl o c a t e di nac l o s e di n v a r i a n tc o n e s t h i sc h a p t e ra l s og a v e t h ea p p l i c a t i o no fq u a s i h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d si nb i o m a t h e m a t i c s ，a n do b t a i n st h e r e s u l t st h a tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e g l o b a l l ya t t r a c t i v ep e r i o d i cs o l u t i o ni nt h es p a c eo ff i r s tq u a d r a n tw i t hap e r t u r b m i o n m o d e l c h a p t e r2d i s c u s s e dac l a s so fp r e yw i t hc o n s t a n th a r v e s ta n dw i t hh o l l i n g 一t y p e f u n c t i o n a lr e s p o n s ep r e d a t o r p r e ym o d e l sb yu s i n gt h eq u a l i t a t i v et h e o r yi nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w er e s e a r c h e dt h eb e h a v i o ro f t h ee q u i l i b r i u mp o i n t s ，a n dg o tt h ee x i s t e n c eo f t h es a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n 、h o p fb i f u r c a t i o na n dn i l p o t e n ts a d d l eb i f u r c a t i o na n dt h e n o r m a lf o r mf o r u n f o l d i n gt h en l l p o t e n ts a d d l e t h e nw eo b t a i n e d t h ef i r s tt w o l y a p u n o vc o e f f i c i e n t so f t h em o d e lb yt h ef o r m u l a , a n dt h es e c o n di sa l w a y sp o s i t i v e a t l a s tw eg a v et h eb i o l o g i c a li n t e r p r e t a t i o no ft h em o d e la tt h ea b o v ec o n d i t i o n s k e y w o r d s ：q u a s i h o m o g e n e o u sv e c t o rf i e l d s ；c l o s e di n v a r i a n tc o n e s ；t a n g e n tv e c t o r f i e l d s ；h o l l i n g - r e s p o n s ef u n c t i o n ；c o n s t a n th a r v e s t i n g ；s a d d l e n o d eb i f u r c a t i o n ；h o p f b i f u r c a t i o n ；n i l p o t e n ts a d d l eb i f u r c a t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 目录 中文摘要i a b s t r a c t i i 第一章r 3 中拟齐次向量场的全局拓扑性质l 1 1 引言1 1 2 齐次向量场的基本性质2 1 3 r 3 中的拟齐次向量场x f ( x ) + q ( x ) 的几何性质4 1 4 拟齐次向量场的应用9 第二章一类食饵种群具有常数收获的h o l l i n g 一1 v 型捕食模型的定性分析1 8 2 1 引言1 8 2 2 。奇点的类型和分支2 0 2 2 1 奇点个数2 0 2 2 2 奇点类型2 2 2 2 3 鞍结点分支2 5 2 3 h o p f 分支2 7 2 3 1 推广的l i 6 n a r d 系统的l y a p u n o v 系数计算2 7 2 3 2 h o p f 分支的存在性和阶数2 8 2 4 幂零鞍点分支3 0 2 4 1 幂零奇点的标准型3 0 2 4 2 幂零鞍点的标准展开3 2 2 5 生物学解释3 4 参考文献3 6 攻读学位期间发表的学术论文4 0 致谢4 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章尺3 中拟齐次向量场的全局拓扑性质 1 1 引言 众所周知，很难分析尺3 中向量场的几何性质，因为二维系统的某些结果和方法 不能完全照搬到三维系统中，这样就给三维系统的研究带来了很大的困难。到目前 为止只有很少的结果是关于r 3 中向量场的闭轨线，同宿轨线，异宿轨线等存在性的 判定。然而，许多来自生物学的模型是三维模型，例如三种群模型，基本的传染病 模型【1 】等。因此，研究r 3 中向量场的几何性质是非常必要的。r 3 中最简单的向量场 是线性向量场，它的局部性质最早有r e ) ，1 1 研列2 1 ，张兴安和梁肇军【3 j 讨论了它在无 穷远点处的几何性质，给出了它的全局拓扑分类，并且画出了它的全局相图。对于 尺3 中的非线性向量场，最早有c o l e m a n 4 】在1 9 5 9 年研究了尺3 中齐次向量场在原点邻 域内的几何性质。比他稍迟有s h r s h a r i p o v 副，讨论了尺3 中齐次向量场的流的拓扑 分类，并给出了7 种不同类型的不变锥。更有启发性的是m i t c a m a c h 0 1 6 1 对于r 3 中 齐二次向量场在球面上所导出的向量场q 的研究，他的主要结论是：如果这种向量 场没有极限环，而且是m o r s e s m a l e 向量场，则其轨线只能有七种不同的全局拓扑结 构。为了证明这一点，文献【6 】得到了9 的轨线和奇点个数的四条重要性质。后来 吴葵光t 7 1 y 给文献【6 】补充了几条其他性质，并注意到它们是平面二次系统轨线性质 的推广。此外，在 7 1 q b 还证明了：没有极限环而且是m o r s e s m a l e 向量场的q ，其 轨线有十种不同的全局拓扑结构，纠正了【6 】的错误。稍后，陈广卿，梁肇军 8 , 9 1 研 究了没有无穷远奇点的平面二次系统，或即尺p 2 上的二次系统轨线拓扑分类，得到 恰有五种不同的全局拓扑结构。然后，叶彦谦【lo j 注意到 9 所研究的二次系统其实就 是尺3 中齐一次向量场在球面上所导出的向量场。在二次系统的基础上，杨丁，周明 华【l l 】把齐二次的一部分结果推广到齐三次系统。张兴安【1 2 】又首次提出拟齐次向量场 的概念，因为这类向量场的性质与齐次向量场的性质类似，可借助于齐次向量场的方 法来研究。由此可见，研究r 3 中齐次或拟齐次多项式系统以及它在球面上所诱导出 的向量场的定性性质与研究平面多项式系统的定性理论有着密切的联系。前者是后 者的自然推广，但又不完全一样，这由文献 1 3 】中所得到的许多结果可以看出来。 然而，这些结果都只是关于二次或者三次的，对于r 3 中更高次数非齐次向量场 的结果就很少，仅有的好结果就是关于r 3 中的l o t k a v o l t e r r a 模型【1 4 】，如肖和李【l 5 j 证明了三维l o t k a - v o l t e r r a 模型至少存在两个极限环。但是在生态、经济模型中很多 都是高维的，这就要求必须有进一步的理论来研究高维的问题。 在本章中我们考虑下列向量场： x f ( x ) + q ( x ) 暑( x i f ( x ) + q ( x ) ，x 2 f ( x ) + q 2 ( x ) ，x 3 f ( x ) + q 3 ( x ) ) ( 1 1 ) 其中z = ( 五，x 2 ，x o r 3 , 9 ( x ) 是关于z 的刀次齐次多项式，f ( x ) 是关于x 的朋次齐次 多项式。 在第二节我们给出了齐次向量场一些基本的性质，而在第三节中研究了拟齐次 向量场及其诱导的切向量场的几何性质，在第四节利用拟齐次向量场的几何理论对 一个具有非常数增长率且有非线性扰动的生物数学模型进行了彻底的分析，得出该 系统在第一卦限内存在唯一全局吸引的空间周期解的充要条件。 1 2 齐次向量场的基本性质 假设r 3 中有一个二次齐次向量场q ( x ) ： q ( x ) = ( q l ( x ) ，q 2 ( x ) ，q ( x ) ) ， x = ( x l ，吃，x 3 ) r 3 ( 1 2 ) 其中： q ( x ) = a 。x , x j ，q ( x ) = 毛，q 3 ( x ) = x , x j “r 吐c j 2 ，3 j 。i 1 1 ，( f = l ，2 ，3 ) 把切向量场绋在平面，1 7 ：，f i 。上诱导的向量场分别记为 ) ，& ( x ) ，( x ) ，则 ( x ) - ( 吃( x ) ，眩( x ) ，o ) ， 1 1 3 ) ， ( x ) = ( 码( x ) ，0 ，踺( x ) ) ，( x 1 - 1 2 ) ， ( x ) = ( o ，呓2 ( x ) ，呓3 ( x ) ) ， n t ) 下面主要讨论n ，上的向量场( x ) 的几何性质，并由此推出切向量场鳞( “) 的 2 几何性质。 命题1 1 ：球面s 2 上的任何大圆与鳞( “) 的轨线只能有零个、两个或四个切点( 包 括奇点) ，否则大圆本身必是轨线。 其证明见 6 】或【1 6 】。 推论1 1 ：尺3 中的任一平面与齐二次向量场q ( x ) 的不变锥面只能有零个、两个 或四个切点，否则该平面本身是不变集。 命题1 2 ：球面s 2 上过两对径奇点名与露，与乏的大圆若非岛( 纠) 的轨线， j ，o 、，、，、_ 。、， 则必由四段无切弧砭巧，最z ，互巧和乏置所组成，且绋( “) 的轨线在弧墨e ，暑皇上从 一个球面进入另一个球面，而在只鼻与之互上则相反。 推论1 2 ：r 3 中过两条不变直线( 即四条不变射线) # 舅与最乏的平面，如果不是 q ( x ) 的不变集，必由四段无切弧面耳覆，再碡互碡和乏面所组成，且q ( x ) 的轨 线在弧面琢覆和耳砬上从一个半空间进入另一个半空间，而在再两和亏两上 则相反。7 命题1 3 ：球面s 2 上任一大圆不可能是绋( u ) 的闭轨。 推论1 3 ：齐二次向量场e ( x 1 的任一不变平面在无穷远处必有奇点。 以上我们讨论了切向量场q 7 ( u ) 的轨线的一些最基本的性质，下面我们讨论切 向量场绋( u ) 的奇点及其相关的几何性质。 命题1 4 ：鳞( “) 在球面s 2 上至多有1 4 个奇点( 假定绋( 甜) 仅有孤立奇点) ，并 且在球面上成对出现。当有1 4 个奇点时，必有8 个指标为+ l ，6 个指标为一1 。但 绋( “) 也可能有l o 个( 6 个指标为+ 1 ，4 个指标为- 1 ) 、6 个( 4 个指标为+ 1 ，2 个指 标为一1 ) 、2 个( 指标都是+ 1 ) 奇点。 推论1 4 ：齐二次向量场e ( x ) 至多有1 4 条不变射线( 假定e ( x ) 仅有孤立奇点) ， 并且位于7 条直线上，但e ( x ) 也可能有l o 条、6 条、2 条不变射线。 接下来介绍切向量场g ( 甜) 的闭轨线的一些基本的几何性质。 命题1 5 ：绋( u ) 的任一闭轨线必是严格凸的。 推论1 5 ：e ( x 1 的不变闭锥面必定位于某一半空间内( 即存在过原点的平面使得 锥面位于该平面的一侧) 。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 命题1 6 ：岛( 甜) 在球面s 2 上任何闭轨线所围成的区域中只能有一个奇点，它 必是焦点或中心。 推论1 6 ：q ( x ) 在r 3 中的任一不变闭锥面内必有一条不变射线。 命题1 7 ：绋( u ) 在球面s 2 上的闭轨线只能集中分布在两个直径相对的焦点( 或 中心) 外围，或是分别出现在四个( 即两个直径相对的) 焦点( 或中心) 外围。 推论1 7 ：q ( x ) 在r 3 中的不变闭锥面只能集中分布在两条不变射线( 位于同一 直线) 的外围，或是分别出现在四条不变射线( 位于两条直线上) 的外围。 命题1 8 ：若q ( u ) 在球面s 2 的一个异宿环的内侧可以定义p o i n c a r 6 映射，则 该异宿环上至多有三个鞍点。 命题1 1 - 1 8 的详细证明可以见 1 6 】。 上述命题或推论部分可以在齐三次向量场中得到推广，详细可见文献【1 1 】。 1 3 r 3 中的拟齐次向量场灯( x ) + q ( x ) 的几何性质 对任意的x r 3 一徊 ，作变换： ，；l l x l l ，x = ，甜， 其中忙i i - - 妖x , x ，( ，) 表示内积，“s 2 。则系统( 1 1 ) 可化为下面的系统： 塑d t = r n - 1 ( q ( “) 一“( “，q ( “) ) ， 象一( 堋) 矿+ 1 脚 作一时间变换d t l = f n - 1 d t 引入新的时间变量 可得到如下方程( 仍用t 表示时间) ： p 耋唱 ) ， ( 1 3 ) | ( 6 ) 鲁州( 甜) + r m + 2 - n f 其中鳞( “) 兰q ( “) 一u ( u ，q ( “) ) ，r ) 三( 甜，q ( 甜) ) 。我们称q 7 ，( 扰) 是向量场灯( x ) + q ( x ) 在球面s 2 上诱导的切向量场。为了分析q ( “) 在二维流形球面s 2 上的几何性质，由 文献【1 2 】的理论选取图册( ，谚) ，( ，谚) ( 待1 ，2 ，3 ) ，其中 4 谚= 一甜：k 寸兀f - - y ：= 一1 ) ， ，( 口) y2 谚( “) ， 【( b ) y e = 谚( “) j 口耋。q ( y ) 一y q ( j ，) ，( f ：1 ，2 ，3 ) ， b 警- q ( 叫m ，一川 命题1 9 ：切向量场g ( 甜) 在区域k ( 或) 上的流拓扑等价于向量场 q ( y ) 一y q ( ) ，) ( 或q ( y ) + y q j ( y ) ) 在平面兀，( 或n ，) 上的流1 2 1 。 其中p ( x ) = t f ( x ) + q ( x ) ，x r 4 。显然e ( 五，x 2 ，恐，矗) = 只( 五，恐，x j ( i = 1 ，2 ，3 ) 。为 了紧化超平面n 。，作变换y ) = x l l x l l - n 。寸s 3 = 历= ( 磊，存：，吃，玩) r 4 ：蚓l = 1 ) ， 历2 y ( x ) ， ( 1 4 ) 令圪= 矗s 3 ：玩 0 ) ，则变换y 是一个从超平面兀。到球面区域上的微分同胚， 绋( 历) 奢q ( 西) 一历( 磊，q ( 历) ) 。因为对v 舀s 3 ，( 磊，9 ( 霸) ) 暑o ，因此，鳞( 历) 是三维球面 场鳞( 历) 在区域圪上的流是拓扑等价的。现在我们来考虑切向量场q r ( 历) 在闭区域 ( 历，q ( 历) ) = f i 。q ( 历) + 舀：q ( 五) + 西，q ( 厅) = ( “，q ( “) ) ，( z f s 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( _ ( 历) = ( q l ( “) ，玩尺( “) ) ，( “s 2 ) 显然u 4 = 0 是切向量场g ( 蠢) 在三维球面s 3 上的不变集，因此，二维球面s 2 上的切 向量场q 7 ) ( “s 2 ) 在s 2 上的流恰好与灯( x ) + q ( x ) 在r 3 的无穷点处的流是拓扑 等价的。 类似于齐次向量场，我们有以下些结论： 定理1 1 ：如果点e ( s f i ，- 2 ，墨) 是拟齐次向量场x f ( x ) + q ( x ) 的一个非原点奇点， 则点g = e l l e i l = ( g ，夏，瓦) 彳+ 霹+ 石- - ，2 是( 1 3 a ) 的奇点。射线是拟齐次向量场 x f ( x ) + q ( x ) 的一条不变射线。 证明：如果e 是x f ( x ) + q ( x ) 的奇点，则e f ( e ) + q ( e ) = 0 ，又 q ( g ) 一g ( g ，q ( g ) ) = q ( e l | e 1 1 ) 一e l | e 8 ( e 川e i i ，q ( e l i e ) ) = q ( e ) i i e i i ”一e ( e ，q ( e ) i i e i r - o ( e ) l l e i i ”- e ( e ，一e f ( e ) i i e i i 斛2 = ( q ( e ) + e f ( e ) ) i l e l l ”= 0 因此g = e i e i l 是绋( “) 的一个奇点。 要证明k 是向量场x f ( x ) + q ( x ) 的一条不变射线，即是要证明对任意一个 = a g ( 允( o ，佃) ) ，都有向量x o f ( x o ) + q ( x o ) 与向量万平行。事实上，由 q ( g ) - g ( g ，9 ( g ) ) = o 可得： x o f ( x o ) + g x o ) = 月烈彳曲+ 鲰) = 堙心+ 刀蚴= 嘲+ 刀( g 酬k 因此向量f ( ) + q ( ) 与向量o g 平行，那么厶堙( 或) 是不变射线。 定理1 2 ：若( 口，b ，c ) 是拟齐次向量场妒( x ) + 9 ( z ) 的奇点，g = e | f 矧为纺 ) 的奇点，则e = g 为晖 ) = q ( y ) 一y q 3 ( y ) 的奇点。 证明： e q ( e g ) 一毒q a ( g ) ) 一) = q ( l ) 一lq 3 ( l ) = g ) 一鲁i 9 39 39 3g 2 吉q ( g ) 一旁( g ，( 蚰( g ) ) ) 2 吉( q ( g ) 一g ( g ，q ( g ) ) ) o 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 所以则e 为孵0 ) 的奇点。 定理1 3 ：如果r 是切向量场鳞( “) 的一条轨线，那么c ( r ) = p u ：p o ，u f ) 是 r 3 中的拟齐次向量场x f ( x ) + q ( x ) 的一个不变锥面。 证明：我们分下面两步来证明定理。 步骤l ：设g ( x ) = 0 是r 3 中以原点为顶点的一个锥面，则在锥面上任意一点处 的法向量与在点p x o ( p ( 0 ，) ) 处的法向量是平行的。 因为锥面g ( x ) = 0 是r 3 中顶点在原点的一个锥面，因此锥面方程g ( x ) = 0 在r 3 中一定是一个k ( k 0 ) 次齐次多项式，则有 g ( p x l ，p x z ，p 恐) = p 。g ( 五，x 2 ，黾) 通过计算g ( x ) 关于每一个变量薯( f = 1 ，2 ，3 ) 的偏导数，我们有 o g ( p x l , , o x 2 , p x 3 ) ：一a g ( x , , x 2 , x 3 ) ， a ( p ) 挑 偏导函数也是k 一1 次的齐次多项式。设秭是径向量，且c ，锥面在点的法向 量可记为： v g ( x o ) = ( 詈，薏o x ，筹) i 工确， 蹴i，锻，” 因此，v g ( p x o ) = p 卜1 v g ( x o ) ，v g ( p x o ) 和v g ( p x o ) 是平行的。 步骤2 ：由步骤l ，我们只需要证明法向量v g ( u 。) 在每一点u 。f 垂直于向量 p u o f ( p u o ) + q ( p u o ) 。 因为法向量v g ( p x o ) 是既垂直于径向量又垂直于切向量 q ( u 。) 一( u 0r , q ( u 。) ) ，所以它一定平行于向量积瓦( q ( 甜。) 一( ，q ( u 。) ) ) 。因此，我 们只需要证明一u o x ( q ( u o ) 一“o ( u 0q ( u o ) ) ) 和p u o f ( m o ) + q ( p ) 垂直。因为 u o ( q ( u o ) 一”o ( n o ，q ( u o ) ) ) = u o q ( u o ) ， 且有 ( 一1 2 0 q ( u o ) ，p u o f ( p u o ) + q ( p ) ) = ( 石q ( u o ) ，p u o f ( p n o ) ) + ( 瓦q ( ) ，q ( p z i o ) ) = 0 ， 则法i - f i - j - 量v g ( p x o ) 垂直于向量p u o f ( p u o ) + q ( p ) 。因此，c ( r ) = p u ：p 0 ，u f ) 是尺3 中的向量场x f ( x ) + q ( x ) 的一个不变锥面。 定理1 4 ：设9 = o ( s ) 是切向量场q ( 甜) 在球面s 2 上周期为丁的闭轨线，且有 7 r r ( 口( s ) ) 出 0 ，那么拟齐次向量场灯( x ) + q ( x ) z z e r 3 上存在一条闭轨 线0 ( p + c ( 臼) ) ，而且当玎一m 一1 0 时，闭轨线0 是闭锥面c ( p ) 上其它轨线的吸 引子。 证明：根据定理1 3 ，我们只要证明方程( 1 3 b ) 在闭锥面c ( 口) 上存在唯一的周期 解，( f ，i ) ( 菇 o ) ，则可知拟齐次向量场灯( x ) + q ( x ) 在闭锥面c ( 口) 上存在唯一的闭 轨线目( p c ( 秒) ) 。事实上，系统( 1 3 b ) 在闭锥面c ( p ) 的通解是： 当玎一m 一1 0 时， ，( f ，) = 舻 凼 搿刊+ 一蚋啾呦凼f ( d f 】蔬， 当玎一朋一1 三o 时，系统变为，：，( r ( “) + f ( “) ) ，其通解为，：p j 。只口5 + f 修5 眦，任一 解都是周期解，c ( 9 ) 是中，t 二, n n g t n 。所以我们以下的讨论都是在刀一m 一1 o 的情 况下。 由通解我们有： ，o + r ，) ： ( p 尺( p 。”凼) n - m - i + ( ，z m 一1 ) i e - m - o ：r 口j ”廊f ( 口( f ) ) d f + ( 刀一m 一1 ) n ( n - m - 1 ) i ；即) 出f ( 目( f ) ) 如】南p 胁呦豳 ：【( p j ：r ( o ( s ) ) d s ) n - m - i + ( 玎一朋一1 ) i fe - m - o j j r ( e ( s ) ) d s ，( p ( r ) ) d r + ( 刀一聊一1 ) i f e ( n - m - 1 ) 胂出f ( ) d f 】南p 扣冲 由f ：r ( o ( s ) ) d s 1 ( 聆一朋 0 时，这个周期解是闭锥面c ( 口) 上的全局吸引子。 8 对于任一 瞄，具有初值条件r ( o ，r o ) = r o 的解r ( ，) 的p o i n c a r 6 映射为 ，。( 7 , r o ) 一臂刊：旷” 胂。舳一1 r o l + ( n - 聊一1 ) r 州州呦出f ( 口( r ) ) 如 因为r ( t ，i ) = 疗，我们有 ( n - 聊一1 ) r p j ：尺口5 击f ( 秒( _ ) ) d r ：【l p ( n - m - 1 ) 一f 。 尺一5 凼】才。一所一1 ) ” ， 因此，当刀一m 一1 0 时， ，n m 一1 ( 丁，t o ) 一搿一m 一： e ( n - m - i ) i or 口。一1 】( 曙一朋一一瞄月一肿一l ) 若 o ，肛”1 ( r ，) 一搿1 - 1 0 时闭轨线0 是闭锥面c ( 口) 的全局吸引子。 同样可以证明当刀一m 一1 0 时，闭锥面c ( 乡) 上向量场x f ( x ) + q ( x ) 的其它轨线 都远离闭轨线0 。 1 4 拟齐次向量场的应用 具有相同非常数增长率的相互竞争模型，捕食与被捕食和互惠共存的三种群 g l v 方程是： 如a r t = 薯( 厂( x ) + 口f 五+ 6 f 吃+ c i x 3 ) ( i = 1 ，2 ，3 ) ( 1 5 ) 其中墨是第f 个种群的数量，f ( x ) 是三种群相同的非常数的内禀增长率，实系数