（概率论与数理统计专业论文）索赔具有时间相关性的复合二项式风险模型.pdf

摘要 这篇文章考虑的是索赔具有时间相关性的复合二项式风险模型的一些问题假 设每一个主索赔发生的时候可以产生一个子索赔，并且子索赔可以阿时或者延迟发 生在文中给出这个风险模型的破产前的余额和破产时赤字的联合概率分布的递推 公式，然后在不考虑是否破产的情况下讨论了在每一个时刻公司剩余资产的概率分 布也利用了y u e na n dg u o ( 2 0 0 1 ) 文中的结果讨论了破产前余额、破产时赤字和破 产时三者联合分布及其在破产前每一个时刻保险公司资产额的概率分布最后两节 讨论了其破产概率与古典的复合二项式风险模型的关系及其破产概率的l u l l d b e r g 近似 关键词：复合二项式风险模型，主索赔，子索赔，递推公式，母函数，时间相关 性，l u n d b e r g 不等式 a b s t r a c t 1 nt h l sp 8 p e rw em a i n l ，c o n s i d e rt h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l 叭t h 七h e t i m e - c o r r e l a t e dc l a i m s a s s u m i n gw h e nt h e r ei sam a i nc l a i m ，t h e r em u s tb eab y c l a i m b u tt h eb y c l a i mc a no c c u ra tt h es a m ec i m eo rt h en e x tt i m e f i r s c l 、r ，w e o b t a i nt h er e c u r s i v ef o r m u l ao i o i n td i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u s e si m m e d i a t e l yp n o r t o n da tr u i n t h e nw es h o wh o wt oc a l c u l a t et h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no fs u r p l u s e v e r yt i m ew i t h o u tr e g a r dt oc h er u i nt i m et h i r d l y w ed i s c l l s st h ef o r m e rt w or e s u l t s w i t h 也er e s u h so fy u e na n dg u o ( 2 0 0 1 ) f o u r t m y w ee ) ( p r e s st h er e l a t i o nb 甙、e e n t h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e lw i t ht i m e - c o r r e l a t e da n dc l a s s i c a lc o m p o u n d b i n o m i 柚r i s km o d e l f i n a l l yw eg e tt h el u n d b e r g sa p p r o 嘶m a t i o n ， k e yw o r d s ：c o m p o u n ( 1b i n o m i a lr i s km o d e l ，m 越nc l a j m s b y c l a i h l s ，r e 吼l r s i v e f o r m u l a s ，g e n e r a 乞i n gf u n c t i o l l ，t i m e - c o r r e l a t e d ，l u n d b e r g si n e q u a l i 可 第一章模型的介绍 1 1 介绍 风险模型的发展经历了个很长的时间，l u n d b e r g ，g r 6 r ( 1 9 5 5 ) 和g e r b e r ( 1 9 7 3 1 9 7 9 ) 都是比较早而且是系统的介绍风险模型的专著。其中关于古典模型的结果已 经非常完善和明确，并且由此推广得到了很多复合泊松过程连续时间的结果但 是这一类模型都是很理想的情况，在现实中处理的实际问题有很多是关于时间离 散的模型，其中有类是假设索赔过程为复合二项式过程，g e r b e rh u ( 1 9 8 8 ) ，s h i u e s w ( 1 9 8 9 ) ，w i l l m o t ( 1 9 9 2 ) ，d i d ( s o n ( 1 9 9 0 ) ，s h 汊u ec h e gg e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 0 ) 都 给出了这种模型的一些比较好的结果另外还会碰到这样的情况，在某一时间出了 车祸当时对汽车的损坏发生了一个索赔，而汽车对对第三方的伤害，同时或者事 后查出来有另外一个索赔正是考虑了这样的背景，y u e na n dg u o ( 2 0 0 1 ) ，研究了索 赔具有时间相关性的复合二项式风险模型，并且给出了其有限时间内破产概率的递 推公式本文对y u e na n dg u o ( 2 0 0 1 ) 中所给的模型进行了进一步的研究，在第二章 的第1 节给出了破产前余额和破产时赤字的联合概率分布的递推公式；在第2 节讨 论了在不考虑破产影响下保险公司在每一时刻资产额概率分布情况，给出了计算方 法，并且在这一节中利用y u e na dg u o ( 2 0 0 1 ) 文中结果，讨论了破产前余额、破产 时赤字和破产时三者的联合分布，给出了理论上的递推公式，以及在保险公司不破 产前公司资产的分布情况；第3 节用古典的二项式风险模型的一些量表示出破产概 率；并且在第4 节给出了破产概率的l u n d b e r g 近似 1 2 模型 在y na n dg u o ( 2 0 0 1 ) 中，离散的风险模型包括两类索赔，主索赔和子索赔用 k = o ，l ，2 来表示离散的时间，假设每一个主索赔可以引发一个子索赔在每一个 时刻，主索赔发生的概率为q ( o g 1 ) 不发生的概率为p = 1 一口相关的子索赔 与主索赔同时发生的概率为目( o 8 1 ) ，在下一个时刻发生的概率为1 一日所有的 索赔额都是独立的正整数值用x l ，恐，表示独立同分布的主索赔，用x 表示它 们中的任一个索赔额。分布函数为鲕= p r ：m ) m = 1 ，2 ，3 ，相应的母函数和 期望是( z ) = 枭l 跏z “和眦= 麓l m 9 。用k ，k ，表示独立同分布的子索 赔，用y 表示它们中的任一个索赔额，其分布函数为 。= p r ( y = n ) ，n = 1 ，2 ，3 ， 相应的母函数和期望分别是 ( z ) = 是。k 扩和= 墨。n 。，并假定主索赔额 与子索赔额是相互独立的 假设每一单位时间内的保费收入为1 ，初始准备金是u ，u = o ，l ，2则盈余过 程可以表示如下 颤= u + 女一嘭一嘭 k = o ，1 ，2 一( 11 ) u f ，略分别表示主、子索赔额在时间女内的总值，令巩= 哈+ 以 由y i e na n dg u o ( 2 0 0 1 ) 知 e c ，n + l = 凡q ( p x + p ) + 口p x + q 8 p y ( 12 ) 假设g ( m + p ，0 l ，即有正的安全负荷定义破产时为r = i “似乳( o ) 2 第二章主要结果 2 1 破产前余额和破产时赤字联合分布的递推公式 为了计算的方便，考虑两种情况的索赔， “主索赔发生后，子索赔在同一时刻发生，那么盈余过程依然以乳的形式运行； b 主索赔发生后，子索赔延迟到下一时刻发生，那么盈余过程就变成如下的形式运 行： s l k = t l + 惫一u 一u f y( 2 1 ) 其中= 1 ，2 ，3，s i o = u 假设初始准备金为u 破产时为丑，定义n ；i n f ( ：s 。 o ) 分别考虑过程 ( 1 1 ) 和( 2 1 ) ，它们所表示的风险模型所对应的破产前余额和破产时赤字的联合分布 表示如下： ，( u ，z ，”) = p r ( 丁 o o s r 一1 = z ，s r = 一可i 岛= u ) ( 22 ) ( u ，z ，y ) = p r ( 霸 ，s 1 ( n 1 ) = z ，s l ( n ) = 一掣l s l o = u ) ( 23 ) 对模型( 1 1 ) 和( 2 1 ) 分别考虑在时刻1 时的索赔情况，分下面三种情况考虑： a 没有索赔； b 有一个主索赔和一个子索赔； c 有一个主索赔但没有子索赔 在u = o ，l ，2 ，z 一1 ，z + l ，下有递推式：( m ，n ，c 为正整数) ，( u ，训) = p ，( u + l ，训) + 妒 ，( u + 1 一m n ，训) h m + n ! u + l + 口( 卜8 ) ，l ( u + l m ，础) 鼽 ( 24 ) m u + l ，1 ( 嵋。，9 ) = p ，( u + 1 一n ，z ) n + q 9 ，( “+ l m n f r ) t n s u + lm + n + c s u + l 9 。k + 口( 1 一口) 沁+ 1 一m n ，z ，) 9 m n ( 25 ) m + 7 u + 1 当u = z 时有 ，( t ，王，掣) = p ，( u + 1 z ，g ) + 9 8 芝二 ，( “+ 1 一m 亿，工，) 毋n k m + n 兰 + l + q ( 1 8 ) ( u + l m ，酬) g m + d ( 2 6 ) m u + 1 3 其中 d = 妒 k + 口( 1 一p ) 吼埘l( 27 ) m + + + 1 ( 舭，) = p ， u + l 咐) 。+ 卵，“+ 1 m n z ，训) + “s u + l m + n + f 曼“+ 1 9 m n + q ( 1 8 )，i ( “+ 1 一m n ，z ，掣) 肼。 。+ d 1 ( 28 ) m + n s n + l 其中 d l = p 卿+ 1 + 妒 鲰 。 ，+ g ( 1 一p ) 如 。( 29 ) m 十n + f = j 十f + 1m + 删+ + l 假设器o ，( u ，z ，) 。，墨o ，l ( “z ，) 。 考虑( 2 4 ) ，( 2 6 ) ，对，( ，z ，们从osu 求和 ，( 郴，口) = p ，( u ，。，) + 卵，( “+ 1 一m n ，础) 9 。h u = 0“= l “= 0 i + n = 2 xu + l + q ( 1 一 ( u + 1 一m ，z ，”) 帅+ d “= o m = i 。 。o j ，( u ，训) 一p ，( u ，。，) + 卵，( u 刎) g m k 我们得到如下的方程 日) ( u ) u = 0 ( 2 1 0 1 同样考虑( 2 ，5 ) 和( 2 8 ) 得到方程： ( ，) = p m 刚) + q 日，( u ，础) + 口( 卜 ( 邺，p ) u 2 uu = uu = o “= o + d l ( 2 1 1 ) 比较( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 可以得到 ( u z ，) = ，沁。，) + p ，( o ，。9 ) + d + d 1 u = 0 “= o 将其代入( 28 ) 可以得到如下定理： 4 d+ mg 一 鲈 o u， 毋一 g + + z ， 。c l 卵 +zu 蓬苫 = z 珏 ， i 定理1 在u = o 时，对于风险模型口 ，破产前余额为z ，破产时赤字为“的联合 概率为 ，( 0 ，砌) = 虹哗笋 ( 2 1 2 ) 兵寺d ，d l 辞飘由( 2 ，( 2 9 ) 给出 注1 ：考虑u = o 时的破产概率有p r ( r o 。| “= o ) = 盖o 薹i ，( o z ，g ) 当日= o ，9 l = l = l ，有d = o ，并且 d l _ q i f o = l l o i f 其他 所以p r ( t o 。阻= o ) = ( ：) 2 当日= l ，x ，y 为任意的正整数值 引进一个新的随机变量r ，为随机变量x ， ，的和，所以分布函数为 r ( 2 ) = 。+ 。；f 鼽概，z = 2 ，3 ，4 ，在u = o 9 = 1 时，( o 。，y ) = 鲁， d = g 。+ 。：。+ l 鲕 n ，所以有 p r ( 1 o 。j u = o ) = ： ，。n n # = 0 ，= lm + 榭+ ，+ l = ；r p + y + 1 ) z = 0u = l = ；+ 2 ) + r ( 抖3 ) + r ( 。十4 ) 十 】 ，i = 0 = ：【( 2 r ( 2 ) + 3 r ( 3 ) + 4 r ( 4 ) + ) 一( r ( 2 ) 上r ( 3 ) + r ( 4 ) +) = ：( e r 一1 ) = i ( p x + 卢y 一1 ) 所以有 p r ( 丁 。l u = o ) = ； 如。 。 o = 0 0 2 1m 一i = f 一”+ l = ! ( 肌+ p ，一1 ) 结果同y u e na dg u o ( 2 0 0 1 ) 文中所给的结果是一样的 5 下面求，z ，) 的递推公式 在( 2 4 ) ，( 2 6 ) 的两边分别乘以矿( o 。 1 ) 后求和得到如下的式子： m ，础) = p ，( u + l ，训) 。“+ 卵m + 1 一m n ) 9 。 。z “ “= ( 1 u = 0 u i 0m + n ! u + l + q ( 1 一日) + l m ，z y ) 9 。+ d ， “= om s u + l 令血( z ) = 墨o ，( u ，z ，) ，旃1 ( ：) = 函 ( “焉) p ，上式可以整理成； z 由( z ) = p ( 府( 。) 一，( 0 ，z ，) ) + 9 8 廊( ：) ( ：) r ( ：) + g ( 1 一h ) 心l ( ：) ( ：) + d z 。+ 1 f 21 3 1 同理考虑( 2 5 ) ，( 28 ) 式可以得到如下式子 z 肠( 。) = p 膏( ：) i ( z ) + q 的( ：) 麝( ：) 五2 ( 。) + q ( 1 一口) 面l ( ：) ( ：) i ( 。) 一d l ，+ 1 ( 21 4 ) 比较( 2 1 3 ) ，( 21 4 ) 得到： ： 7 l ( ：) = 。霸( z ) 元( ：) + p ，( o ，z 掣) 五( z ) 一。z + 1 ( d 云( 2 1 一d 1 ) 代入( 2 1 3 ) 后整理得到 b + 的( z ) ( ：) 一。j 府( ：) = 口( 1 8 ) 扩d 一p ，( o ，z p ) 】j 【= ) e ( ：) 埕( 1 一疗) d l = 。蚕( z ) 一d z 。+ 1 + p ，( o ，。可)( 21 5 ) 比较( 2 1 5 ) 左右两边关于一的系数得到如下的式子( “= 1 2 ，3 ) p ，( 叩口) 十口，沁一f ，划) g m k 一，一i ，刚j j = 2 仇+ n = l 整理后得到： 定理2 在“为正整数的情况下，风险模型r i j ，破产前余额为z ，破产时的赤字为口 的联合概率分布的递推公式为 u p m 9 ) 一，( u 一1 ，砌) 一q m f ，v ) 鲕 + d p )如h f = 2m + n = fm + 一z 一( 一+ l j 1 u ! z + 2 ) 一q ( i 一口) d 1 9 u z 工( 。! 。+ l 一p q ( 1 一日) ，( o ，z ，) 鲕k ( 21 6 ) 6 一 h 叶 掣 峙 一 何唑 h r如：陋 点归。慨 u 卜 m 1 l 其中z = 0 ，1 ，2 ， ，y = 1 ，2 ，这里d ，d h ，( o ，z ，) 分别为r 2 列，俾圳，偿到给 出 注2 ：令u ( 文) 为非负函数，2 ，“为非负整数，y 为正整数，则风险模型( 11 ) 所对 应的g e r b e r s m 惩罚函数定义为： 西( u ) = e b ( 曲一，j 己1 ) e 一打1 ( 丁 ) 1 5 0 = “】o j l = z “z 。z ”u ( 。，) e 一乳，( u ，。，| u ) a t a z a ， = z 。z 1 。扛功，扛，”l “) 出d g 具体到风险模型( 1 1 ) 有9 ( “) = ：o 器1 u 忙，9 ) ，( u ，z ，g ) 注3 ：下面考虑定理2 在特殊情况下的一个例子假设9 1 = l = 1 ，p = o7q o 3 ，口= o2 ，分析模型( 11 ) ，z + 9 为1 2 ，而且z 只能为o ，1 ，口只能为1 或者2 根据定理l 计算可以得到： 邶，o ，1 ) = 虹等等；笋型= 0 1 9 4 0 ，( 0 ，o ，2 ) = 警i 努= o0 2 7 l ，( o ，1 ，1 ) = 警；筹= o0 2 7 l 利用定理2 的公式有如下的表格 “u ，x ，y )( x ，y ) = ( o1 )( x y ) = ( o ，2 )( x ，y ) = ( 1 ，1 ) u = 100 6 2 600 1 1 60 0 3 2 2 u = 20 0 2 7 000 0 5 0o0 1 3 8 u = 3o 0 1 1 7o 0 0 2 2o 0 0 6 0 当u 4 时，有 p ，( u z ，掣) = ，( “一1 ，z ，可) 一口，( “一2 z ，) p ( ，( “，z ，口) 一，( l ，z ，p ) ) = q ，( “一l ，z ，) 一，( u 一2 ，。，) ，( “。，掣) 一，( u 一1 ，工，掣) = ( ；) “一3 【，( 3 ，。，掣) 一，( 2 ，茁，掣) 】 观察有：，( 3 ，z ，掣) ，( 2 茹，可) ，( u ，。，可) ，一1 ，z ，p ) ，而p r ( r 。c s o = u ) = 墨o 嚣】，( u ，z ，口) ，随着u 的增大，p r ( t 。| 岛= ) 减少与事实符合 2 2 每个b 重刻盈余过程的值 在下文中，我们考虑盈余过程& 在每个时刻的值，这没有考虑破产时对运行 的影响，也就是说即使在某个时刻公司破产了也按照原来的方式运行下去其实，一 般情况下，保险公司不允许破产清算的，鼠 o 只是一种技术层面上的破产管理方 7 式，并不会因此而清算公司，而公司会继续运行令研为主索赔和子索赔在。到 时这k 个时间内的索赔发生的总额下面计算e r 夙，o r l ，只考虑到第时刻 已经发生的索赔，即使第k + l 时刻有一个子索赔时由于时刻的主索赔引起的，也 计为是在+ l 时刻发生的考虑时刻1 的情况，有 e r b l = q ( 1 一p ) e r x + q 臼e r x + y + p( 2 1 7 ) 下面计算e r 风“，只考虑k 七i s o = “) = p r ( & = o i ? 七，岛= u ) p r ( t 七l s 0 = ) 在y u e na i l dg u o ( 2 0 0 1 ) 中，p r ( r 叫s o = ) 的递推公式已经给出了，所以现在只 需要求p r ( 取= l t k ，s o = “) ，为了书写的方便，令其形式为p r ( u ，s 女= n ，t 女) ， 如同y u e na n dg u o ( 2 0 0 1 ) 中( 32 ) 和( 33 ) 一样的的讨论方式有如下的两个递推式： p r m 一1 ，瓯= b ，丁 七) = p p r ( 缸，鼠一l = 8 ，丁 七一1 ) + 口口p r ( u m n 吼一l = 口， m + n 曼“ t 七一1 ) g m h + 窜( 1 一目) 芝二p r ( u m ，s l ( k 1 ) = 口，n 七一1 ) ( 22 1 ) m ! u p r ( 让一1 ，5 l k = 8 ， j 七) = p p r ( “一n ，& 一1 = 。，r 七一1 ) 危n + q n 曼“ + p r o m n f ，瓯一1 = 8 ，r 岛一1 ) h l + q ( 1 一日) m + n + l 茎u 十p r ( 让一m m 一1 ) ：o ，噩 惫一1 ) 9 m 。 ( 22 2 ) 如果令 p r ( u 一1 ，艮= 口，t 七) 皇曲( “一1 七) p r ( u 一1 ，s l k = 口，丑 惫) 皇西1 ( u 一1 七) 则( 22 1 ) ，( 2 2 2 ) 有与y i e n dg u o ( 2 0 0 1 ) 中( 3 2 ) 和( 33 ) 完全一样的形式，故而得 到p r ( u 一1 ，乳= n ，r ) 的递推公式也与y u e n8 i l dg u o ( 2 0 0 1 ) 中( 31 3 ) 和( 31 4 ) 完 全一样，不同的是递推公式的初始值不一样这里不作进一步的讨论 注5 ：下面考虑一下t ，s r “j 曲i 的三者联合分布函数 p r ( u ，t = 惫，s f i = z ， s 引= 可) = p r ( u ，t = 七，。9 r 一1 = 。) p r ( 1 s r = 掣l 了1 = 七9 r l = r ) 而 p r ( t ，? = 女，s ，一l = z ) = p r ( t 上，r 七一1 ，s k l = z ) 一p r ( “，r 七，s 一1 = z ) 9 其中p r ( 玑丁 女一l ，最一i = z ) 由注4 得到 p r ( u ，t 奄，s k l = o ) = p r ( u ，丁一l 惫一1 ，s k 一1 = o ) 如果令 p r ( u l ，s 女= z ，r l 惫) 皇毋( u 一1 七) p r ( u 1 ，s l k = z n 1 k ) 皇曲l ( u l ，七) 利用注4 中( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 式一样的讨论可以得到形式如同y u e na n d o ( 2 0 0 1 ) 中( 3 2 ) 和( 33 ) 完全一样的递推式，故而得到p r 托一1 ，鼠= n ，丁一l ) 的递推公 式也与y u e na n dg u o ( 2 0 0 1 ) 中( 3 1 3 ) 和( 31 4 ) 形式完全一样，不同的是递推公式的 初始值不一样按照计算吼+ l 一样的讨论方式可以得到 p r ( s r i = l r = k ，曲一l = z ) = q ( 1 目) ( p + 口日) 乳+ + 【q p ( p + 口9 ) + q 2 ( 1 一日) 2 】 g 川 m 十n 2 j 十0 + 瑚( 1 一日) 咖+ q 2 9 ( 1 一口)9 。 。 f m + n + r ；z + 这样便有了p r ( u ，? = ，研一l = z ，l 并f = ) 的值省略了具体细节的讨论 2 3 破产概率的表达式 本节的目的是为了求解模型( 1 1 ) 吼= u + 一暌一嘭k = ol ，2 的破产概 率下面来考虑风险过程在p 1 时的运行情况，即使破产了过程也继续运行主索 赔发生时会产生一个子索赔，这个子索赔在同一时刻或者下一时刻发生，如果主索 赔和子索赔都在同一时刻发生那么就是口= 1 的情况考虑下面的两个风险过程， 1 = u + 一u f u r k = o 1 ，2( 22 3 ) 霹2 1 = “+ 女一u 一，f 女= o 1 ，2 f 2 2 4 ) 过程( 21 3 ) 和( 2 2 4 ) 在任一时刻拥有相同的主索赔发生情况，当一个主索赔发生 时，( 2 2 3 ) 中的子索赔可能同时发生或者在下一时刻发生，但是( 22 4 ) 中的主索赔和 子索赔只能同时发生，那么显然就有下面的关系式子 s 2 。1ss ：1 v 七= o ，1 ，2 定义t = 衲，( 罐“ o l = i n ，似s 了1 o ) 1 0 ( 22 5 ) f 2 2 6 1 f 2 2 7 1 则有t o l ， p r o ) = p r ( o 。，j o 。) + p r 0 ，l = ) 因为t t i ，所以p r ( t o o ，1 ) = p r ( 1 。) ，现在的主要任务就是求 p r ( o o ，l = 。o ) 在 。l = 。c 的前提下，首先有如下关系式 霹2 12o v k f s 护1 o v k 考虑时刻的值有， s ? 。1 os 1 o 故而在t 时刻风险过程( 22 4 ) 一定会发生主索赔，子索赔也同时发生。而由于风险 过程( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 主索赔的一致性，风险过程( 2 2 3 ) 在t 时刻也会发生一个主索 赔，并且子索赔在下一个时刻发生，不然翼“和s 9 1 相等，用y 表示在，时的主 索赔引起的子索赔的大小，则有关系式 考虑风险过程( 2 2 3 ) ，用z 表示其在t + l 时刻可能发生的新的主索赔额和其引起的 子索赔额的和，有关系式 s 2 7 = s ? 1 + 1 一y z 进一步有关系式s 簋= 霹。1 + l z ，同时s 嚣o ，所以9 2 1 z l ，因此有+ f 面重要的关系式， z lss ? 刊 o z o 1 ，2 所以有z = o ，s ? “= 一1 ，进而有s 群= o ，并且由z = o 可以得知在f 十l 时刻 时候没有主索赔发生，风险模型( 2 2 3 ) 在+ 1 后以同样的形式从初始值为零开始运 行，所以 p r 0 。，t 1 = ) = p r ( t o 。，s ? = 1 = 一l ，l = 。，s 篇= o ) = p r ( s ? = 1 = 一1 ) p r ( l = 。，s 2 7 = o t 。，s ? 2 = 1 ) = p r 0 。s ? = 1 = 一1 ) ( 1 一目) p ( 1 一p r ( t 。i u = o ) ) 所以有 p r ( 1 。) = p r 0 。o ) 一p r ( o c ，s ? = 1 = 一1 ) ( 1 一毋) p ( 1 一p r ( l o 。l u = o ) ) 在统一了8 = 1 和目 1 的情况，可以得到如下的定理 1 l 定理3 给定一个主索赔和一个子索赔的概率分布，风险模型“ 的破产概率可以 表示如下 p r ( t o o i t p ) = p r ( t o 。l u ，日= 1 ) 一p r ( 丁 。5 = 一1 l u 日= 1 ) ( 1 一日) p ( 1 一p r ( r 限u = o ) )( 22 8 ) 式子阳2 剐右边的各项可以由下面的方式得到： 令曲( z ) = 器o ( 1 一p t o 。l “，日= 1 ) ) 。“，在“_ f z m o r 9 9 别中的p5 j 式有关系 式 弛) = 圭( 高嵩， 其中5 ( z ) ；蚤黼，这里“= p x + “y ，( ：1 为x + y 的母函数比较两边：的系 数得出p 郴 i u ，口= 1 ) ，并且p 一丁 t ) 。h d = 1 ) = 州 。睁= 1 ) ，得出 第一项 在定理2 中令p = 1 ，有 u p ，( u ，。，) = ，( u l ，。，们一q ，( “一fz y ) 鲕 。一d 如； ( 2 2 9 f = 2 1 + n = f 州t o o s = 一l kp = 1 ) = ，( 叩，1 ) z = 0 p “r 。，岛= 一1 h 口= 1 ) = p de o c & = 一1 | “口= 1 ) 得出第二项 p d r 。oj p ，u = o ) 见俾j 纠和注j 为第三项 注6 ：给定9 l = 1 ， 1 = l 求两个特殊口值的风险模型( 11 ) 的破产概率，考虑 口= l 风险模型( 1 1 ) 的破产情况，唯一的可能足破产前余额为o ，破产时的赤字为 1 ，根据w i l l m o t ( 1 9 9 3 ) 文中的结果有 p r ( t 。= 1 ) = p r ( 丁 o os r 。1 弘日= 1 ) = ( ：) “1 一= o 由注l 得到p r ( r 。修= 0 ，u = o ) = ( ：】7 p r ( r 。l u 、口= o ) 2 ( ；) “一1 一( ；) “+ 1 ( 1 一o ) p ( 1 一( ；) 2 ) ：一、u 十! 、p 7 考虑注3 中的例子，p = o7 ，g = o 3 ，9 = o2 p r 口 o 使得e e 2 o 为醴2 1 的调节系数，为方程 e r e ，z = 1 f 2 3 1 1 的正解 引理lr c 缸c f s w b o c 不等式，对任意的随机变量f 和1 都有 ( 鹾q ) 2s 联2 + 聊2( 2 3 2 ) 等式当且仅当p “目= o f ) = 1 ，这里o 是某个常数 证明：见李贤平( 1 9 9 7 ) 的第1 9 1 页 i 理2 方程偿，纠有唯一的正解 证明：因为，( 。) = l n z 是个单调增函数，所以方程( 23 1 ) 与方程l n e e ”= r 的解 相同令o i 7 2 。则 ( e e n z 2 + e 恕z 2 ) 2 e e l z e e n z 2 l e e 二1 妄二2 1 n e e r l z 十l n e e 7 2 z 1 3 3 6 5 6 5 9 0 4 1 1 0 0 o 0 o = | | = 2 2 2 8 8 8 4 4 4 2 2 2 o o o 一 一 一1 8 8 8 o o o 7 了7 0 o 0 i 研矸斫l 一 一 一 i 丽一研 l j = = l 2 3 i l = = u 让 u 2 2 2 o 0 o = = = 日口p r r ? “ p p p 0 _ 五 。 一七 + u i l = 器 0 。 7 r + 图l 另外z2o ，( r ) = 1 n e ，。是增的凸函数并且由z 的定义可知e z 2q l p x l f r y ) 1 而 m k 。= 警k 。= e z l 见图1 方程( 23 1 ) 有唯一的正解 引理3 定义m k = e 一”罐，则 靠) k ：o 2 ， 关于t ，孓h = ol2 ， 为鞅 证明：分别证明鞅的三个条件 对v ol ，2 ， 有尬是关于氕可测的 v 七f o 1 ，2) 有e e p 罐一= e e r ( u + 一e lz t ) = e 一肌l e r 。e 一疗z 产= e r “ e i m k i = e 慨 o s 尹1 一。，而s 2 “& ，所以鼠一o o 1 4 定理4t 是风险模型r jj j 的破产时，有 州火2 币焉诵 犯3 3 ) 口一f “ 进一步有u n d 6 e 唧0j 们q 邶打扫 州t 七) ( 23 4 t = l 因为罐“= 霹“+ s 2 一一s ? 一，而s 一一s ? 。1 与五独立，口= 五所以 s 2 一一g “与口= z 独立，并且 e e 一彤( 罐一一s ? 吼) = 1 因此有e ( e r s 2 _ 1 i r = j ) p r ( r = i ) = e ( e r s ? - 1 l 丁= i ) p r ( 丁= i ) ，方程( 23 4 ) 变为 k e r “= e ( e 一肿s ? 1 1 t = i ) p r ( t = i ) + e ( e r 罐2 1 i ? 惫) p r ( r 七) ( 23 5 ) i = 1 现在令一o 。，( 2 3 5 ) 右边的第一顼收敛为e ( e r s 笋1 | r k ) p r ( 丁 ) 一o ，所以当令 一。o 时，方程( 2 3 5 1 收敛为 e 一彤“= e 【e r s 孚- 1i 丁 。】p r 口 o 。) 移项即可以得到定理要证的等式( 2 3 3 ) _ p ( 。o ) e 一片“p ( 丁 ) p ( 。) 很容易得到l u n d b e r g si n e q l l a l i t y p r ( t 。o ) e 一舻“ 为了证明f 是风险摸型( 11 ) 中l u d b e r g s 血“i t y 中的最优的指数，只要证明方 程 熙i l n p r ( r o ，由】e n s e n 不等式由1 三e 8 一7 e 8 一7 ) = e 一6 7 删 半s 竿。 二三坚 ! ! 垦! ： o kk 又因为口( e x + e y ) l 所以e y 。，进而有半一。所以对不等式( 2 3 9 ) 令k 一。时可以可到如下关系 1 i m 三l ne e r ( “一u ) k 一。庀 = i i mjl ne e r ( s 一一u f 24 0 1 所以 a ( r ) = 熙l n e e “1 k r 仙e e 以 a ( r ) 0 所以r 是满足下面不等式最大的r 1 n e e 7 z r( 2 4 1 ) 由图1 知当不等式( 2 4 1 ) 中等号成立时有最大的r ，因此l ne e 船= r 得证 注7 ：考虑口= o m = l ， 1 = 1 的情况p r ( 丁 。) = ( ：) “”， r = 一恕：i np r ( 丁 。) = l n ： 在解方程( 23 1 ) 时同样得到其正解为r = l n ： = j l ：k s 5 r r 一 一 e e e e n n 1一七l一七 一 一 “ u 一 一 乳 乳 一 一 e e e e n n l一岛l一七 参考文献 【l 】李贤平( 1 9 9 7 ) ，概率论基础第= 版，北京：高等教育出版社1 0 1 【2 i d a v i dcmd i c l c s i o n ( 1 9 9 4 ) ，s o m ec o m m e n t so nc h ec o m p o u n ( b m u lm o d e l sa 印y b 观 e 删v o l2 4 n 0 1 g r a n d e l i ( 1 9 9 1 ) a 印e c 如0 ，r 醇七n 哪sp r i n g e r r l a g ，n e w 、o r k 【4 1 g e r b e r hu ( 1 9 8 8 ) ，m 砒h e m a t i c “n nw i t ht h ec o m p o u n dp o i j np r “c e s s s t f 8 。r l l e 科 洲1 7 7 - 1 8 4 【5 1 e l i a ss ws h i u ( 1 9 8 9 ) t h ep r o b 8 b m t yo fe v e n t u a li nt h ec on l p o n db i n o n l i a ln l o d e l s z 了 日u l l e v 0 11 9 n o2 f 6 jb a w e r s ，n l ，hu g e