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高斯和及欧拉数 应用数论 研究生何圆指导教师廖群荚( 副教授) 论文摘要：本文研究了广义k 次高斯和的均值及欧拉数的一些同余式问题通 过研究广义次高斯和的四次均值，得到与w 色i l 估计相联系的一个有趣的恒等式 根据这一恒等式，我们解决了广义二次高斯和高次均值方面的一个公开问题利用 剩余系和特征和的性质，我们还给出了广义k 次高斯和的一些准确的均值公式，从 而部分解决了广义k 次高斯和高次均值方面的一个公开问题最后，利j e j 欧拉数、 伯努利数及其多项式之间的关系和性质，我们对欧拉数的两个猜想也作了深入研 究，建立了欧拉数及伯努利数模一个奇素数幂的一些精确的同余式从而对目前国 内外在这方而所得到的一些结果给出了一个更为简单的证明 关键词：高斯和，均值，w r e i l 估计，欧拉数，伯努利数，同余 第i 页 g a u s ss u m sa n de u l e rn u m b e r s a p p l i e dn u m b e rt h e o r y m a s t e r ：均a nh e s u p e r v i s o r ：q u n y i n gl i a o a b s t r a c t ：i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t em e a nv a l u e so fg e n e r a l 七一t hg a u s s s u m sa n ds o m ec o n g r u e n c e sf o re u l e rn u m b e r s b ys t u d y i n gt h e f o u r t hm e a n v a l u eo fg e n e r a lq u a d r a t i cg a u s ss u i n s w eo b t a i na ni n t e r e s t i n gi d e n t i t ya s s o c i - 8 t e dw i 也t h ew e i le s t i m a t e ，b yw h i c hw es o l v ea no p e np r o b l e mo nh 追h - m e a n v a l u e so fg e n e r a lq u a d r a t i cg a u s ss u m s m o r e o v e r ，b yp r o p e r t i e sf o rr e s i d u es y s - t e r n sa n dc h a r a c t e rs u m s ，w eg i v es o m ee x a c tf o r m u l a sf o rm e a nv a l u e so fg e f f e r a l k - t hg a u s ss u m s ，a n ds op a r t l ys o l v ea no p e np r o b l e mo nh i g h m e a nv a l u e so f g e n e r a l 一t hg a u s ss u m s l a s t l y ，b yt h er e l a t i o n sa m o n ge u l e rn u m b e r s ，e u l e r p o l y n o m i a l s ，b e r n o u l l in u m b e r sa n db e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，w ei n v e s t i g a t et w o c o n j e c t u r e so ne u l e rn u m b e r sa n de s t a b l i s hs o m ee x p l i c i tc o n g r u e n c e sf o re u l e r n u m b e r sa n db e r n o u l l in u m b e r sm o d u l oa no d dp r i m ep o w e ri na ne l e m e n t a r y m e t h o d i tg i v e sas i m p l ep r o o ff o rs o m ek n o w nr e s u l t so nt h i st o p i ca tp r e s e n t k e yw o r d s ：g a u s ss u i n s ，m e a nv a l u e ，w e i le s t i m a t e ，e u l e rn u m b e r ， b e r n o u l l in u m b e r ，c o n g r u e n c e 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导啊峰指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因 不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定； 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在 大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学 校规定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在 校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：，酉) 虱 丫年岁月；日 i 引言 高斯和及欧拉数在数论中是两个非常重要的课题，几乎每本经典的数论书 籍都会介绍它们的一些基本性质及相关的问题高斯和除了在证明著名的二次 互反律、三次互反律、四次互反律等方面是有用的工具外，在代数编码、椭圆 曲线等应用方面也发挥着重要的作用( 见文 2 和f ，1 9 1 ) 欧拉数及相关的伯努利 数出现在数学的许多不同分支中，在数论中尤为重要，它们与数论中的p - a d i c 分 析理论，d i r i c h l e tl - 函数理论和分圆域上的类理想群理论紧密联系在一起( 见 文 2 7 1 ， 3 4 】和【l o 】) 本文从张文鹏教授 ，i 3 ，1 5 】提出的广义k 次高斯和高次均值方 面的两个公开问题及加拿大著名的数学家r k g u y 在文 1 2 1 的问题b 4 5 中对欧 拉数提出的两个猜想出发，得到本文后两章所包含的广义七次高斯和的高次均值 公式和欧挝数、伯努利数模奇素数幂的。些精确的同余式 本文主要由三章组成 第一章中我们介绍了高斯和的一般理论：乘法特征的定义及其基本性质， d i r i c h l e t 特征的定义及其基本性质，二次高斯和的定义及其基本性质，特征和的 定义及其基本性质这是本文第二章研究广义k 次高斯和的均值性质时的准备 工作 第：章中我们研究了广义k 次高斯和均值方面的两个公开问题： ( i ) 对于一般的整数2 3 ，是否存在一个计算广义二次高斯和均值的准确 公式或渐进公式? ( i i ) 对于一般的整数f 3 ，是否存在一个计算广义k 次高斯和均值的准确 公式或渐进公式? 这两个问题分别是由张文鹏等人在文】和h 5 1 中提出来的本章利用剩余 系及特征和的性质，得到与a w 爸衅矧的。个著名估计相联系的个有趣的恒 等式根据这一恒等式，我们解决了问题( i ) 同时，利用一些初等的方法和技巧， 我们还给出了广义k 次高斯和的一些准确的均值公式，并部分解决了问题( i i ) 第三章巾我们研究了欧拉数的两个猜想： ( i ) 对任意素数p 兰1 ( r o o d8 ) ，e ( p - 1 ) 2 0 ( r o o dp ) 是否为真? 第1 页 引言 ( i i ) 对任意素数p 兰5 ( r o o d8 ) ，e ( p 一1 ) 2 0 ( r o o dp ) 是否为真? 这两个猜想是由加拿大著名的数学家r k g u y 在文1 2 1 的问题b 4 5 中所提 出来的在2 0 0 4 年，刘围栋f 2 1 1 解决了猜想( i i ) 后来，袁平之f 4 1 1 ，张文鹏和徐哲 峰f 4 4 1 利用刘国栋建立的欧拉数的一个恒等式( 见f 2 1 1 ，引理1 ) ，分别完成了以上 两个猜想的证明其中，张文鹏等人阳】利用解析方法甚至给出了欧拉数猜想的 一个推广结论：对任意素数p 三l ( r o o d4 ) ，目( 矿) 2 0 ( r o o d 矿) ，其中n 是一个 正整数，( n ) 是欧拉函数本章利用欧拉数、伯努利数及其多项式之间的关系 和性质，对欧拉数的两个猜想做了深入研究，建立了欧拉数、伯努利数模奇素 数幂的一些精确的同余式从而对目前国内外在这方面所取得的一些结果( 见 文【2 0 】，( 】刁， 4 7 1 ， 3 f ；】c 3 3 ， 18 】，口l 】和 4 4 】) 给出了个更为简单的证明 h y y h e y a h o o c o i l l c n 第2 页 毕业论文 第一章高斯和 本章中，我们介绍高斯和的定义及相关的概念与性质这些性质有许多重 要的应用，它们已被用来作为证明著名的二次互反律、三次互反律、四次互反 律等方面的有用工具( 见文【2 】) 这里，我们介绍高斯和的目的是为本文第二部分 在研究广义后次高斯和的均值问题时作必要的知识储备为自明，有些命题我们 给出了证明 本文末加定义的其它概念和记号都是标准的，与文f i j ， 1 7 i 和p l 】所j 1 j 相同， 不再赘述 1 1 特征的定义及基本性质 定义1 1 1 设p 是素数如果有限域上的一个复值函数) ( 满足： ( i ) 对任意的o ，b f ；，x ( a b ) = ) ( ( o ) x ( 6 ) ； ( i i ) 在睇中存在元素c ，使得) ( ( c ) 0 ， 其中睇= 一 o ，则称) ( 为有限域b 上的乘法特征 从乘法特征的定义可知，l e g e n d r e 符号( 景) 是有限域睇上的一个乘法特征 另个乘法特征的例子是平凡特征，即对所有a 聪，x ( o ) = 1 这个特征叫做 乘法主特征，记为) ( o 显然，砸口上的乘法特征把乘群聪的各类问的乘法运算，具体表示为复数间的 乘法运算，这给我们研究问题时带来了方便为了便于讨论，我们把有限域f 口上 的乘法特征的定义域加以扩展为：如果) ( = x o 是乘法主特征，那么x ( o ) = 1 ；如 果) ( x o ，那么x ( o ) = 0 下面我们给出乘法特征的一些基本性质 命题1 1 1 设) ( 是一个乘法特征，o 睇，那么 ( i ) x ( 1 ) = 1 ； ( i i ) ) ( ( o ) 是个p 1 次单位根； ( i i i ) x ( 口一1 ) = x ( o ) 一1 = 虱可，其中叉记为) ( 的复共轭 第3 页 第一章高斯和 证明由乘法特征的定义可知，在贬中选取元素c 使得) ( ( c ) 0 由于x ( c ) = x ( 1 c ) = x ( 1 ) 叉( c ) ，故x ( 1 ) = 1 现证明( i i ) 注意到位p 一1 = 1 ，于是1 = x ( 1 ) = x ( a p _ 1 ) = x ( n ) p 这便完成 t ( i i ) 的证明 最后再证( i i i ) 由于1 = x ( 1 ) = x ( a 。a ) = x ( a - 1 ) ) ( ( 口) ，这就得到- - j x ( 口- 1 ) = x ( 口) 一( i i i ) 中的最后两个等式由( i i ) 立即可得 一 命题1 1 2 设) ( 是一个乘法特征，则 t 驴e f ，2 默0 篡x opl ， x 证明第一种情况是显然的现在考虑x ) ( o 在这情况下，存在元 素口畔满足x ( n ) 1 令s = 触，) ( ( t ) ，那么 x ( a ) s = x ( n ) ) ( ( t ) = x ( a t ) = s t e f pt e f p 于是( ) ( ( 口) 一1 ) s = 0 ，即s = 0 一 设t 是有限域上全体特征构成的集合定义丁中两个元素) ( ，a 的乘法运 算) ( 入为：对任，a ，) ( a ( 口) = ) ( ( n ) a ( n ) 显然，这样定义的乘法运算是封闭 的y - z 一1 表示映射：x - 1 ( n ) = ) ( ( o ) 一，v a 不难验证，在以上定义的乘法 下，t 构成一个具有单位元x o 的群，称, t 9 9 蟛上的特征群 命题1 1 3 聪的特征群丁是一个p 一1 阶循环群如果n 屹且o l ，那么存 在特征) ( 使得x ( a ) 1 证明易知，乘群f ；是循环群令夕是晖的一个生成元，那么贬上的每个 元素a 都等于9 的某个方幂如果a = 矿且x 是一个乘法特征，那么) ( ( n ) = x ( g ) 这表明) ( ( n ) 完全由) ( ( g ) 的值决定由于) ( ( 夕) 是个p 1 次单位根，这表明特征群 的阶最多是p 1 现在定义一个聪卜- 的复值函数入满足入( 矿) = e 2 丌i k ( p 一1 ) 。容易验证入是f ；卜 的一个乘法特征我们断言p 一1 是满足a n = x o 的最小币整数n 事实上， 如果 = ) ( o ，那么 ( 9 ) = ) ( o ( 夕) = 1 。然而”( 夕) = a ( 矿) = e 2 ”i n ( p 一于 是p 一1 f n 又由舻一( n ) = a ( 口) p _ 1 = a ( 0 p 一1 ) = a ( i ) = l ，知a p _ 1 = ) c o 这样我们 h y y h e ( y a h o o c o i i i c l l 第4 页毕业论文 第一章高斯和 就得到p 一1 个不同的乘法特征，a ，入2 ， 由于特征群的阶最多是p 一1 ， 于是f ；上的特征群丁是一个p l 阶循环群，而入是。个牛成元 如果n 略且口1 ，那么口= g ，其中p lff 于是入( o ) = 入( ) = e 2 , r a ( p 一1 ) 1 取) ( = a ，这便完成了命题1 1 3 的证明 _ 推论1 1 1 设o f ；，则 驴卜p ， 羞 证明第一种情况是显然的现在考虑口t 由命n 1 1 3 可知，存在特 征入满足入( o ) 1 令s = x 丁) ( ( n ) ，那么 a ( 口) s = a ( n ) ) ( ( n ) = a x ( 。) = 于是( a ( 。) 一1 ) s = 0 ，星| j s = 0 。 定义1 1 2 设m 是正整数，x 7 ：u ( z m z ) 叶c + 是一个同态，其 中己，( z m z ) 是模m 的剩余类加群现将) ( 7 扩展为) ( ：z 叶c 满足： ( i ) 如果，m ) 1 ，那么x ( 忍) = o ； ( i i ) 如果( 佗，m ) = 1 ，那么) ( ( 佗) = ) ( ( n + m z ) 以这种方式定义的x 叫做模矾的d i r i c h l e t 特征 由以上定义可知，l e g e n d r e 符号( ；) 是铷的一个d i r i c h l e t 特征另外，对于 任意整数n 和七，若) ( 满足：x ( n + m ) = x ( n ) ；x ( k n ) = x ( 七) ) ( ( n ) ；x ( n ) 0 当且仅 当( 咒，r r , ) = 王，则函数x ：z _ c 也叫做模m 的d i r i c h l e t 特征为研究d i r i c h l e t 特 征的性质，我们考虑一个更一般的问题 定义1 1 3 设g 是一。个群如果g 上的个复值函数，满足： ( i ) 对任意的，b g ，f ( a b ) = ，( n ) ，( 6 ) ； ( i i ) 在g 中存在元素c ，使得f ( c ) 0 ， 则称，为g 的一个特征 h y y h e y a h o o c o r n c n 第5 页毕业论文 第一章高斯和 命题1 1 ，4 如果厂是一个具有恒等元e 的有限群g 的一个特征，贝l j f ( e ) = 1 并 r v a g ，( n ) 为单位根特别地，如果a n = e ，贝j j f ( a ) n = 1 证明在g 中选取c ，使得f ( c ) 0 由于v e = e ，那么我们有f ( c ) f ( e ) = ，( c ) ， 且o f ( e ) = 1 如果a n = e ，贝j j f ( a ) n = f ( a n ) = f ( e ) = 1 显然，每一个群g 至少有一个特征，它就是在g 上取值恒等于1 的函数这个 特征称为主特征下面一个命题告诉我们：如果g 是群并且有有限阶n 1 ，那么 它还有另外的特征 命题1 1 5 阶为礼的有限a b e l 群有且仅有咒个不同的特征 证明详见文 1 】 一 现令g 是一个阶为7 2 的有限a b e l 群，g 的主特征用 表示，其余n 一1 个特征 用庀， ， 表示，称为非主特征 命题1 1 6 如果特征的乘法定义为：( , f j ) ( a ) = f , ( a ) f a a ) ，v a g ，则g 的 全体特征的集合形成个阶为n 的有 艰a b e l 群，用否表示虿的恒等元是主特 征 且五的逆元是去( 1 i n ) 证明用群的定义去检验，结果很容易得到我们略去这个细节 注意到，对每一个特征，我们有i f ( a ) i = l ，于是倒数l ，( 8 ) 等于共轭复 数灭巧，由7 ( n ) = 而定义的函数7 也是g 的一个特征，而且对g 中每一个n ， 有7 ( 口) = 1 f ( a ) = f ( a - 1 ) 命题1 1 7 设g 是一个 1 2 阶碉 艰a b e l 群，g 是其行让群则 ( i ) 对任意的) ( ，妒召， ， a e g 小) 而2 恬u 嚣l ， x 严。； ( i i ) 对任意的a ，b g ， ， x 驴e g ，而2 蓁：lv ， “广“ 第一章高斯和 证明由于口gx ( o ) 砜可= 口gx 砂一1 ( o ) ，这只需证明： 加) ：卜舻炳是- 的主特征， 蕊 【0 ，x x o 第一种情况是显然的现假如x x o ，那么存在b g 使得) ( ( 6 ) 1 于是 ) ( ( 6 ) ) ( ( a ) = ) ( ( q 6 ) = ) ( ( 。) 因此( ) ( ( b ) 一1 ) 。g ) ( ( n ) = 0 ，即。g ) ( ( 8 ) = 0 。 现证明( i i ) 南于x 西x ( 口) 丽= x - 舀x ( a b 一1 ) ，这只需证明： 至x c 。，= 兰三i 亍g 的单位元， 第一种情况是显然的现考虑口e 我们断言存在特征矽满足砂( n ) 1 为了 说明这一点，记o = 9 7 1 好2 9 p ，其中o m i 啦，他是吼的阶由于。e ， 那么至少有一个仇i 0 ，不妨设为m 1 于是) ( 1 ( o ) = x 1 ( 9 1 ) m = e 甜”，加，1 取砂= x 1 ，则 矽( 。) ) ( ( a ) = c x ( 。) = ) ( ( 口) x 吞x 否x 百 于是( 妒( o ) 1 ) x 百) ( ( a ) = 0 ，即x 否x ( a ) = 0 - 以，卜命题中的( i ) 和( i i ) 叫做特征的正交关系现在我们给川 模m 的d i r i c h l e t 一特征的正交关系 命题1 1 8 设x 和，是模m 笆 d i r i c h l e t 特征，则对任意菲负整数。和6 ，有 ( i ) 骞x ( a ) 石两= 妒( m ) 6 ( x ，矽) ，其中( m ) 是欧拉函数，且 巧( x ，砂) ： 1 ) ( 2 砂 【o ， ) ( 矽 ( i i ) ，x ( 口) 丽= 痧( m ) 6 ( o ，6 ) ，这里的和式对所有模m 的d i r i d l l e t 特征求 和，痧( m ) 是欧拉函数，且 6 ( u ，6 ) ： 1 ，8 三6 ( r i l 。d m ) ， 【0 ，o b ( r o o dm ) ， h y y h e c a y a h o o c o i n c n 第7 页毕业论文 第一章高新和 1 2 高斯和的定义及基本性质 在给出经典的二次高斯和的定义及基本性质之前，我们先考虑著名的三角 和公式 命题1 2 1 设k 是正数数，那么 k 一1 e 2 啊肚= m = o 证明如果k i n ，那么e 2 ”i 一肛= 1 k n n , 于是揣e 2 ，r 一肛= k 如果七十n ， 记z = e 2 1 r i n 七，那么z 1 及z 七= 1 丁- - 是乙。k - ：1 0 e 2 7 r i 僦后= ( 。南一1 ) ( z 1 ) = 0 这便完成了命题1 2 1 的证明： 一 定义1 2 1 锄是一个奇素数， = e 2 7 r i p 则夕。= p 。：- - 0 1 ( ；) ( 口叫做二次高斯 和，其中( ；) 是l e g e n d r e 符号 命题1 2 2g a = ( ；) 9 1 证明如果n 兰0 ( r o o dp ) ，则对于所有的t ， 耐= 1 于是9 n = 蔷( ；) = 0 故在这种情况下命题是成立的现假如。0 ( m o dp ) ，那么 ( ；) 乳= 曼t = o 似p k = 即p k 纷 这便完成了命题1 2 2 的证明 命题1 2 39 2 = ( 一1 ) ( p 一1 ) 2 p 证明证明的想法是用两种方法计算和式p 口：- 0 1 吼9 一。如果n 三0 ( m o dp ) ， 那么吼9 一口= ( ；) ( 詈) 9 = ( 号) g 于是p 口：- 0 1 了, u 。了r ，一。= ( 吾) ( p 一1 ) 9 另一方面， 南定义1 2 1 和命题1 2 1 可知 e 。：。g a g - a = x ：oy = o 。7 。、。a = o ：( 。z 一”= ( p 一1 ) p 将以上两个结果联立起来，这便完成了命题1 2 3 的证明 由命题1 2 3 立得：女f l 果p 兰l ( m o d4 ) ，那么9 1 = 土西；如果p 三3 ( m o d4 ) ， 那么9 1 = 土t 施现在进一步定出夕1 的符号，我们有 h y y h e y a h o o c o i n a n 第8 页毕业论文 第一章高斯和 命题1 2 4 证明详见文【1 ，l _ 】 舻艇闰p - - 1 。( m o d 4 ) , 【i 咖，p 三3 ( m o d4 ) 一 定义1 2 2 设) ( 是有限域上的一个乘法特征，a 若记e = e 2 ”i p ， g o ( x ) = p 扛- 0 1x ( t ) 1 则对任意工f 整数七和整 数n ，( n ，p ) = 1 ，有 i g ( n ，k ，x ；p ) 1 4 = ( 2 c f 一t ) p 3 + o ( c f 3 5 ) x m o d p h y y h e ( c 女y a h o o c o r n c n 第1 3 页毕业论文 第二章广义七次高斯和的均值问题 自然地，我们会考虑广义次高斯和的2 f 次均值 fl g ( n ，k ，) ( ；q ) 1 2 的计算公式，并试图求出一些准确或渐进公式，当z = 王时，由命题i ，】8 拉) 和命 题1 2 1 我们有 lgcn,k,x；q)12=喜小，e(等)塞那，e(一警)xmodqx m o d q b - = l o = l 、7 、7 ：q q e n ( a k 、)m)邢)：扩(g)，q b k ) 其中( 口) 是欧拉函数当z 2 时，从以上命题结果来看，讦算广义k 次高斯和 的2 2 次均值是一个非常困难的问题为此，张文鹏提出如下两个公开问题： ( i ) 对于一般的整数2 3 ，是否存在一个计算j t 义二次高斯和的2 f 次均值 的准确公式或渐进公式呢? ( 见文f 4 3 】) ( i i ) 对于一般的整数2 3 ，是否存在一个计算广义忌次高斯和的2 2 次均值的 准确公式或渐进公式呢? ( 见文f 矧) 同时，如果问题( i ) 能够解决的话，那么文【j 1 2 】，【，t 3 矛r l ，1 8 】中相应的公开问题 也能被解决，并且文 = ：1 2 l 中另有趣的话题也能被继续研究甚至得到更好的结 果源于张文鹏等人的工作，本章利用剩余系和特征和的性质，我们解决了问 题( i ) ，并对闯题( i i ) 也做了部分解决，由此还得到了另外一些新的结果 2 2 广义二次高斯和的均值 在这部分，我们将给出广义二次高斯和的高次均值公式为此，我们需要接 下来的几个引理为方便起见，在这部分我们总是记( ；) 是l e g e n d r e 符号， a = l + x e z ，且移= ( ；) 喜( 刍) 芒( ；) 。 引理2 2 1 令p 是奇素数如果z 。y l ，p i ，x y 三i ( r o o dp ) ，则 薹( 字) = 舻脚p = - 1 ( m o d 4 ) , h y y h e ( y a h o o c o m c n 第1 4 页毕业论文 第二章广义k 次高斯和的均值问题 证明注意到 薹( 筝) = 薹( 学) 一( 吾) 由于当y 遍历模p 的一个简化剩余系时， p 1 = ( y = l ( 2 y ) 2 + 2 ( 2 y ) p 2 也遍j 力模p 的一个简化剩余系因此 ) 一( 吾) = 萎( 学) 一( 吾) = 芒卜2 - 2 p 切h 一( 吾) = 喜( 字) 一( 吾) 同时，当z 遍历模p 的一个简化剩余系时，z 的逆y 也遍历模p 的一个简化剩余系 于是 薹( 等) = 喜( 字) 一( 吾) 一一( 吾) l 一2 ，p 三1 ( m o d4 ) ， l0 ，p 三3 ( m o d4 ) 这便完成了引理2 2 1 的证明 引理2 2 2 设p 是奇素数则对任葸整数几，( 礼，p ) = 1 ，有 l g ( n , 2 , x ；p ) | 2 = 却邶薹小) ( 等) _ 三y - - j r m ) n = z 、 一 o = l 特别地，如果) ( 是模p 的主特征x o ，那么 。 l g ( 哪x 0 洲： p + 卜2 伽渺胆1 ( r o o d 4 ) , ( 2 - 2 ) lp + 1 ，p 兰3 ( m o d4 ) ； 如果x 是模p 的非丰特征，那么 l g c n , 2 , x ；p 斤= 却+ b 薹小，( 等) 证明易知 2 ，x ；p ) 1 2 = ，e ( 等) ，e ( 孚- - n o - ) 1 g ( 扎， 2 = x ( 8 ) e ( 等) 又( 功e ( _ ) o = l d = l h y y h e ( y a h o o c o i i i c 1 l 第1 5 页 ( 2 - 3 ) 毕业论文 、， 生p 卿卿 第二章广义k 次高斯和的均值问题 令( 6 ，p ) = 1 ，则当。遍历模p 的一个简化剩余系时，0 6 也遍历模p 的一个简化剩余 系于是 l g 聊炉= 霎静恢e ( 掣) p 一1p 一1 ， 2 善1 小) b = 0e (n = 、 n 6 2 f n 2 一 p p - 2p - 1 = 却+ ) ( ( o ) e ( a = 2b = o p 一1 ) 一x ( n ) a = l n 6 2a 2 1 1 p _ 1 1 一f l 厶一 7 q = 1 ) ( ( n ) 由于二次同余方程z 2 兰b ( r o o dp ) 的解数为1 + ( ；) 特别地，z 2 三l ( m o dp ) 仅 有l 茅f l p 一1 两个解，于是由命题1 2 1 我们有 i g x ；v ) 1 2 = p - 2 p - 1 却+ ) ( ( a ) ( 1 + a = 2 b = o = a p 牟 ( 渺( n b ( a 2 1 ) ( ；) p - 1 ( 双三) 萎p - 2 施，( = 却+ b p - 2 ) ( ( 。) ( n = 2 8 2 一l 根据引n 2 。2 ，1 ，命题1 1 8 ( i ) 和命题l ，2 4 ， a 2 1 p-1 ) 一) ( ( q ) o = 1 、p - - 1 ； ) 一) ( ( 口) j a = l 、p-1 ) 一x ( 口) n = 1 我们很容易得到式( 2 - 2 ) 和式( 2 3 ) 引理2 2 3 设p 是奇素数， d x o 是模p 的主特征则对任意正整数m ， 其中( 夏) = 证明 ( 1 + x ( 一1 ) ) ”= x m o d p x 0 t r t1 2lm ， 2 ，m ， ( 2 i ) ! ( m - 2 i ) ： 令l x j 是 3 是奇素数且p 兰3 ( r o o d4 ) ，则 妻( ；) 和( 2 一( ；) ) 川m o a 功 近年来，国内外一些学者对欧拉数的同余式产生了浓厚的兴趣，建立了欧拉 数模奇素数幂的些精确的同余式 命题3 1 5 刁设p 是奇素数，则 b l 三1 + ( 1 ) 孚( r o o d 力 在2 0 0 2 年，s s w 她s t a f f p 6 】利用w j o h n s o n 1 9 的结果：e p 0 扩m ! ) 一 2 ) m l ( p 1 ) ，这里p 是一个素数，m 是一个正整数，e p ( n ) = r 表示矿ln 勘蚪1 十n ， 给出了命题3 。1 5 的个推广结论： 命题3 1 6 【3 6 】设p 是奇素数且。是正整数，则对任意正整数七， 。( p 1 ) 三1 + ( 一1 ) 学( r o o d 矿+ 1 ) 。 后来，k w c h e n ，袁平之，张文鹏和s j a k u b e c $ l j 用些技巧转换分别得到 如下主要结果： 命题3 1 7f 3 】设p 是奇素数，o 和后为正整数，则对任意非负整数n ， 风毋( p 。) + 2 n 兰( 1 一( 一1 ) 学矿n ) e 2 拓( r o o d 矿) 命题3 1 8 ! i i 】设p 足奇素素勘三1 ( m o d4 ) ，则 铀庐丢p - 1c 叫字) e ( p 邶三( 一1 ) i 等) z = 0 、 ， ( r o o dp ) 命题3 1 9 】设p 是奇素素勘三1 ( m o d4 ) ，口是个正整数则 讪州m 兰4 妻( ；) c m o a n h y y h e y a h o o c o i l l 肌l 第3 7 页毕业论文 第三章欧拉数的同余式问题 命题3 1 1 0 1 8 】设p 是奇素数且p 三1 ( r o o d4 ) ，则 耳一1 兰0 ( r o o dp ) ，2 1 兰e 知一2 ( m o dp 2 ) ， 本章中，在研究欧拉数的两个猜想问题的同时，我们得到欧拉数、伯努利数 模奇素数幂的一些精确的同余式，这也给出了命题3 1 4 - 命题3 1 ，1 0 的一个更为 简单的证明，并对命题3 1 1 ( i ) 也给出了一个新的证明 记 z 是实数z 的小数部分，妒扣) 是欧拉函数，定义l e g e n d r e 符号( ；) 为： ，、f 1 ，如果m 是模p 的二次剩余， ( 詈) = 一l ，如果- m 是模p 的二次非剩余，。 【0 ， 如果pi 仇， 争= 篙( ( 引等) ) 嘶( ) ( 景+ 等 ) 也+ t ( ) = 薹( 叫等+ 等 ) 嘞，( 砉十 等 ) ) 倭n - - 1 譬矬带她暑：一1 三( ( 纠) ( 景) ) ， 吣一 第三章欧拉数的同余式问题 注记】在引理3 2 1 中，m = 1 的情形是j a u c o bb e r n o u l l i ( 1 6 5 4 1 7 0 5 ) 在研究 前他个整数的尼次幂的