（应用数学专业论文）两类四阶m点边值问题的正解.pdf

摘要 常微分方程边值问题由于其在几何学、力学、天文学、以及经济学等领域中有 着广泛的应用而受到国内外学者的高度关注然而，有关这类问题的研究大多集中 于较低阶的常微分方程，而针对四阶常微分方程边值问题的研究相对较少众所周 知，四阶常微分方程边值问题有着广泛的应用背景比如，弹性梁的形变就可用四 阶常微分方程附加适当的边界条件来描述近年来，四阶常微分方程边值问题引起 了数学工作者的极大兴趣然而，目前对于非齐次边值问题及含参数的边值问题的 研究工作还比较少，并且现有文献大多是研究二阶或三阶的边值问题 本文首先讨论了一类四阶m - 点非齐次边值问题当边值问题的非线性项，满 足超线性条件时，对充分小的入( 入为正参数) ，其至少有一个正解；对充分大的a 无 解当非线性项，满足次线性条件时，对任意的入( 0 ，+ o o ) ，其至少有一个正解 然后，研究了一类含有参数盯 0 的四阶僻点边值问题当边值问题的非线性项 ，满足超( 次) 线性条件时，对任意的口( 0 ，+ o o ) ，其至少有一个正解当非线性 项，满足一些较弱的条件时，对一定取值范围内的盯，得到了其至少存在一个正解 的结果当厂满足适当条件时，对一定取值范围内的盯，给出了其至少存在两个正解 的结果本文所用的工具为著名的g u 伊k r a s n 0 8 e k k i i 不动点定理所做的结果是对 现有结果的补充和推广 关键词：四阶胁点边值问题；正解；存在性；不存在性；不动点 a b s t r a c t m o t i v a t e db yt h ew i d e 印p l i c a t i o nt og e o m e t 吼l e c h a n i c s ，a s t r o n o i i l y e c m n o m i c sa n do t h e r f i e l d s ，b o u n d a r yv 出u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i 艉r e n t i a le q u a t b 璐 h a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o nb yc b j n e s ea n df o r e i g ns c h o l a 瑁 h o w e v e r ，t h es t u d y o ft h e s ep r o b l e n l si 8c o n c e n t r a t e di n1 0 1 鹏r - o r d e ro r 拙a 唧d i 能r e n t i a le q u a t i o 璐，t h e s t u d yf 6 rf 6 u 川肛o r d e ro r d i n a 叮d i 髓r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a 可v a l l u ep r o b l e mi sl e 鹃 a 8w e ua 8w el 【i l o w ，f o u r t h - o r d e rb o u n d a 叮v a l u e p r o b l e i i l 8f o ro r d i n a r yd i 任e r e n t i a l e q u a t i o n sh a saw i d er a n g e0 fa p p l i c a t i o n s f o re x a m p l e ，af o u r t h - o r d e ro r d i n a 珂击仁 f e r e n t 试e q u a t i o 璐a n dt h ea d d i t i o n a lb o u n d a r yc o n d i t i o n 8c 锄b eu s e dt od e s c r i b e d e f o r m a t i o n0 fe l a u s t i cb e 觚1 i nr e c e n ty e a r s ，m a t h e m a t i c sw o r k e r sa r e g r e a t l yi n t e r - e s t e di nf o u r t h - o r d e ro r d i n a 呵d i 珏e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a uv a l l u ep r o b l e m n e v - e r t h e k s s ，a tp r 麟臧，t h en o n h o m o g e n e o u sb o u n d a 巧试u ep r o b l e n l sa n db o u n d a 呵 v a l u ep r o b l e i i l s 丽t hp a r a m e t e 瑙0 ft h es t u d yi ss t i ur e l a t i v e l ys m a u m o s to ft h e e x i s t i n g1 i t e r a t u r e 8a 1 1 dr e s e a r c h e 8a u r es e c o n d - o r d e ro rt h i r d - o r d e rb o u n d a r y 硼i l u e p r o b l e 培 f i r s to f 越1 ，w ed i s c u s sac l a s so ff o u r t h - o r d e r 胁p o i n tn o n h o m o g e n e o u sb o u n d - a 呵v a l u ep r o b l e mi nt h i sp a p e r i ft h en o n l i n e a rf u n c t i o n ，i ss u p e r l i n e a r ，t h e n t h eb o u n d a uv a l u ep r o b l e mh a u sa t1 e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nf o ra ( 入i sp 0 8 i t i v e p a r a m e t e r ) s m a l le n o u g ha n dh a sn op o s i t i v es o l u t i o nf o ral a r g ee n o u g h s u p p o s e t h a t ，i 88 u b l i n e a r ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mh a sa t1 e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nf o r a n y 入( o ，+ o o ) a n dt h e n ，w ed i s c u s sac l a s so ff o u r t h _ o r d e rm p o i n tb o u n d a w v a l u ep r o b l e m 丽t hp a r a m e t e r 盯 0 t h eb o u n d a 眄v | a l u ep r o b l e mh a sa tl e a u s t o n ep o s i t i v es o l u t i o nf o r 盯( 0 ，+ o 。) w h e nt h en o n l i n e a rt e r m ，i st h es u p e r l i n e 盯 o rs u b l i n e a r t h e b o u n d a 叮v a l u ep r o b l e mh a u sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nf o ra c e r t a i nr a n g eo f 盯w h e n ，8 a t i s 匆8 0 m ew e a - l 【e rc o n d i t i o 瑚s o m e 嘲s t e n c er e s u l t 8f o r t h eb o u n d a uv 址u ep r o b l e mo fa t1 e a s t 怕p o s i t i v es 0 1 u t i o 瑚a r ed i s c u s s e df o rs u i t a b l e 仃w h e n ，s a t i s 黟t h ea p p r o p r i a t ec o n d i t i o l l s o u rm a i nt o o li st h ew e l l k n o w n g u m k r a 8 n o s e l s k i if e dp o i n tt h e o r e mi nt h i sp a p e r t h er e s m t si nt h i 8p a p e ra r e a d d e da n dw i d e s p r e a d e d k e yw o r d s ：f b u r t h - o r d e rm - p o i n tb o u n d 锄了v a l u ep r o b l e m s ；p o s i t i v es m l u t i o n ；e x i s t e n c e ；n o n e x i s t e n c e ；f i x e dp o i n t 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 装海群 日期：2 唧年月鲜日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 誓霈萋耄：一 导师签名：0 噜j 童卒 日期：炒夕年月9 【日 日期：沙1 年1 月i 牛日 第一章绪论 1 1 研究背景及国内外研究概况 常微分方程边值问题由于其在几何学、力学、天文学、电子技术、核物理、现 代生物学、人工神经网络动力学以及经济学等领域中有着广泛的应用而受到国内外 学者的高度关注然而，有关这类问题的研究大多集中于较低阶的常微分方程，如 1 1 5 1 ，而针对四阶常微分方程边值问题的研究相对较少众所周知，四阶常微分方 程边值问题有着广泛的应用背景例如，四阶常微分方程叫( 4 ) ( 舌) = ，( z ，u ( 右) ，( 舌) ) 附加d i r i c h l e t 边界条件即描述了两端简单支撑的静态弹性梁的形变；又如，四阶非 线性边值问题u ( 4 ) ( 亡) = ，( 亡，u ( 亡) ，u ) ，u ) ) ，u ( o ) = u 7 ( 1 ) = u ( o ) = u 肼( 1 ) = o 描述了一端固定、一端滑动的弹性梁的形变近年来，四阶常微分方程边值问题引 起了数学工作者的极大兴趣人们运用上下解方法、迭代法、极大值原理、l e r a y s c h a u d e r 连续性原理及不动点指数定理得到了许多有关四阶常微分方程边值问题 解的存在性方面的结果，如【1 6 _ 2 2 1 特别地，z h o n g 【2 3 】运用g u 0 - k r 8 s n o s e l s 妊不 动点定理讨论了四阶四点边值问题 秒( 4 ( 亡) 一，( 亡，可( 亡) ，秒 ) ) = 0 ，0 亡1 ， 秒( o ) = y ( 1 ) = 0 ， o 秒( 1 ) 一6 矿( 毒1 ) = o ，c 秒( 已) + d ( 2 ) = o ， 其中o 6 已1 ，c ( o ，1 】 o ，+ ) ( 一o o ，0 】，【o ，+ o o ) ) 且n ，6 ，c ，d 是正 常数当，满足超( 次) 线性条件时，得到了上述边值问题至少存在一个正解的结 果 目前，对于非齐次边值问题的研究工作还比较少，并且现有文献大多是研究二 阶或三阶非齐次边值问题，如 2 4 3 0 】特别地，s u n 3 l 】运用g u 伊k r a s n o s e l s 蛐不 动点定理讨论了如下三阶三点非齐次边值问题 钆肼( 亡) + o ( ) 厂( 乱( 亡) ) = o ，o 亡 1 ， u ( o ) = ( o ) = o ，钍7 ( 1 ) 一q u 7 ( 7 7 ) = 入， 其中叩( o ，1 ) 和q o ，寺) 为常数，入( o ，+ ) 为参数，n c ( 【o ，1 】，【o ，+ o 。) ) 且 o 詹( 1 一s ) s o ( s ) d s 0 得到了其正解的存在性或不存在性 1 两类四阶m 一点边值问题的正解 受到以上文献的启发，本文第二章运用g u 伊k r a s n o s e l s l 【i i 不动点定理讨论如 下四阶僻点非齐次边值问题 u ( 4 ) ( 亡) = ，( 亡，“( 亡) ，u ( 亡) ) ， o t 1 ， u ( o ) = u ( 1 ) = ( o ) = o ， m 一2 ( 1 ) 一o i ( 鼢= 一入， i = 1 其中o t o = 1 ，2 ，m 一2 ) ，o 毒1 已 一2 0 得到了其正解的存在 性和不存在性 另外，由于含参数的常微分方程边值问题在弹性力学和工程物理中有着广泛的 应用，所以对其解或正解的研究具有重要的理论价值和实际意义目前已取得了丰 富的成果，如 3 2 _ 3 7 】，但是只有少数文献讨论了含参数的四阶边值问题，参见 3 8 _ 4 0 1 本文第三章运用g u 伊k r a u s n o s e l 8 妨不动点定理讨论如下含参数的四阶 扣点 边值问题 钍( 4 ) ( 亡) = 盯，( 亡，”( 亡) ，“( 亡) ) ，o t 1 ， m ，一2 其中n t o ( = 1 ，2 ，m 一2 ) ，o 1 已 靠一2 o ，存在6 ( s ) o ，使得对任意的z ( 亡) a 及任意的亡1 ，亡2 陋，6 】，只要i t l 一亡2 l 6 ，就有 z ( 亡1 ) 一z ( 亡2 ) i 1 一b 矗 t = 1 由引理1 2 6 知，当赋予范数i l 让0 = l i 钆l i o o 时，e 为b a d l 础空间 引理1 3 1 若啦& 1 且 c 0 ，1 】，则边值问题 牡( 4 ) ( 亡) = ( 亡) ，0 亡 一 第二章四阶m 一点非齐次边值问题的正解 2 1引言 本章考虑如下四阶胁点非齐次边值问题 让( 4 ) ( 亡) = ，( 亡，u ( 亡) ，( 亡) ) ，o t 1 ， 钍( o ) = u ( 1 ) = u ( o ) = o ， f 2 1 ) u ( 1 ) 一口t u ( 已) = 一入 我们总假设锄o = 1 ，2 ，m 一2 ) ，o 6 已 岛一2 0 ，边值问题( 2 1 ) 正解的存在性和不存在性所用的 主要工具是著名的g u 伊k r a s n o s e l s 妯不动点定理 为了方便起见，在本章中我们定义 ，。2 舞i 哿嚣简帮，矗。期翳。采匀帮， 尸2 舄墨嚣筒鼎，厶= z 蝌嘎。畿帮 定义k = 钆e 卜狐u 叩脚艇 o ，1 】且。辐c 卅，矧山 易知k 为e 中的锥下面，我们在k 上定义算子t t u ( 亡) z 1g ( 亡，s ) 1 g ( s ，r ) ，( 丁，u ( 丁) ，铭( 丁) ) d 丁 m 一2 ，1 托s p z g ( 矗一八兀纵7 ) 盯”打+ s 】d s 。 0 ，1 】 显然，如果缸是t 在k 中的不动点，则u 是边值问题( 2 1 ) 中的一个非负解 引理2 1 1t ：k _ k 为全连续算子 证明由引理1 3 3 得t ( k ) ck 此外，运用a r z e l a _ a s c o u 定理，易证t 为全 连续的 2 2 主要结果及证明 定理2 2 1 假如，为超线性的，即 ，o = o ，厶= + o 。 5 两类四阶m 一点边值问题的正解 则对充分小的a ，边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解；对充分大的a ，边值问题( 2 1 ) 无 解 证明我们分两步来证明 第l 步我们来证明对于充分小的入 0 ，边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解 由于厂o = 0 ，取p 1 0 使得 ，( 亡，z ，y ) a 1 ( 茁+ i 可1 ) ，t p ，1 j 且( z + i 可1 ) 【o ，p l j ，( 2 2 ) 其中a 1 0 满足 出g s ma 喜吼胁钿r 协3 ， 令q 1 = 钍e i l | u 0 仇人2 亡 丢，差 且( z 帕1 ) 胁，+ 毗 ( 2 - 6 ) 6 人。价( 擀s + 詈争小删s 卜 7 ， 令q 2 ： u e i l | h i l 4 j d 2 ) 对任意的u k n a q 2 ，由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 得 巾矽( 三) = z 1g ( 去，s ) 帅川s + 善喜q t 一洲( s 吣m ，( s 胂s + 等 上2g ( 确川s ( s ) ) d s + 詈喜口t 和洲( s 小胁) ) d s 序( 一+ 詈喜啦珈卵榭3 弛睁( 抄s + 詈喜啦珈和卜 l l 丁也i i l i u i l ，t 正kn a q 2 ( 2 8 ) 因此，由( 2 5 ) ，( 2 8 ) 及定理1 2 5 得算子丁有一个不动点u kn ( 一2 q 1 ) ， 其为边值问题( 2 1 ) 的一个正解 第2 步验证对于充分大的入，边值问题( 2 1 ) 没有正解 反设存在o 入1 入2 入竹 ，且熙h = + o o ，使得对于任意的正 整数n ，边值问题 u ( 4 ) ( 亡) = ，( 亡，钆( 1 ) ，u ( 亡) ) ， 0 0 满足 a mg ( 渺s + 每肛卜 令n 足够大使得i i 让竹0 4 p 由引理2 2 3 知 舛鼍，( 一钍： ) ) ii i 让竹i l p t 描】、 ”一4 ”一 由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，有 川一( 三) 2g ( 三，s ) 厂( s ，乱竹( s ) ，：( s ) ) d s + 詈争z 4 g ( 川s m m 孙) ) d s a 2g ( 去，s ) ( 钆n ( s ) + i 让z ( s ) i ) d s + 警争和和m 小州帅s am g ( 渺s + 詈喜吼珈和冲乱竹 2l i 钆n 0 ， 矛盾 定理2 2 2 假设厂哟次线性的，即 而= + o o ，= 0 则对任意的入( o ，+ ) ，边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 硕士学位论文 让明田于如= + ，仔征内 0 便得 坤，训) a 3 ( z 岫1 ) ，亡 三，差 且( z 帕1 ) 【0 础 ( 2 1 2 ) 其中a 3 0 满足 a 3m g ( 渺s + 藩和卜 亿埘 令q 3 = ( u e i i i 钆l l 0 使得 ，( 亡，z ，可) a 4 ( z + i 可i ) ，亡 o ，l 】且( z + 1 秒1 ) m ，+ o 。) ，( 2 1 5 ) 其中人4 0 满足 a 4 阶s 喜n t 脚印k 皿 令 m + = m a x ，( 亡，z ，秒) ：亡 o ，1 】，z o ，删且可【一m ，o 】) 易知 ，( 芒，z ，秒) a 4 ( z + l 引) + m ，亡 o ，1 】，z 【o ，+ ) 且秒( 一o 。，o 】( 2 1 7 ) 两类四阶m - 点边值问题的正解 取 m m a x b 篆m 口) 仁 令q 4 = 铭e | | | 乱| | 以) 对任意的“na q 4 ，由引理2 2 2 ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 和 ( 2 1 8 ) 知 一( 乳) ( 亡) = g ( ，s ) ，( s ，让( s ) ，( s ) ) 如 佃。zg ( 矗s m 如砒 g ( s ，s ) 人4 ( u ( s ) + l u ( s ) i ) + m + 1 如 托吼zg ( 毛，s ) 人4 ( 钆( s ) + 叭s ) 1 ) + m + 】d s + 入q i 一1 ，0 鲫叫阶s ，s + q 喜锄z 1g 叫讹 必+ 竺+ 丝 一 3 6 人4 。 3 i ，亡 o ，1 】， 从而 j j 丁饥l l | | 让| f ，乱na q 4 ( 2 1 9 ) 因此，由( 2 1 4 ) ，( 2 1 9 ) 且定理1 2 5 算子t 有一个不动点让kn ( _ 4 q 3 ) ， 其为边值问题( 2 1 ) 的一个正解 1 0 第三章含参数的四阶m 点边值问题的正解 3 1引言 本蕈考虑如= 含参数的四阶胁点边值问题 姐( 4 ( 亡) = 盯， ，缸( 芒) ，乱( 亡) ) ，o 舌 1 ， u ( o ) = “( 1 ) = ( o ) = o ， ( 3 1 ) ( 1 ) 一啦( 勘= o ， 其中锄o = 1 ，2 ，m 一2 ) ，o 矗 已 岛一2 o ，存 在冗l 0 使得 ，( 亡，z ，可) a 1 ( z + 川)华，亡 o ，1 】且( z + l 可i ) 帅。】 ( 3 2 ) 令q 1 = 钆e 训i o ，存在尼 r 1 使得 厂( 亡，z ，可) 人2 ( z + 川)学臀且( 州蛐 忌问) 令q 2 = _ 钆e u | i o ，存在r 3 o 使得 ，( 亡，z ，秒) a 2 ( z + m ) ，亡 丢，芸】且( z + 0 ，飓】 ( 3 6 ) 令q 3 = u e u i j o ，取尬 o 使得 邝，删) 掣，蚓o 1 】且( 圳蚰阢+ 毗 ( 3 8 ) 令 牡= m a x ，( 亡，z ，秒) ：亡 o ，1 】，z 0 ， 毛】且秒 一a 矗，o 】) 易知， 邢，删) 掣+ 嵋，蚓0 ，1 】z 0 ，+ o o ) 助( 一o o ，o 】 ( 3 9 ) 昆m a x 卜等) 删 令q 4 = 让e 训l 忌) 对任意的u kna q 4 ，由引理3 2 2 ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 及 ( 3 1 0 ) 可得 一( t u ) ( 亡) = g ( 亡，s ) ，( s ，钆( s ) ，( s ) ) 如 ，0 托以善锄zg ( 矗s ) 八s ( s ) ，( s ”d s 盯石1g ( s s ) 业掣+ 删s o 厶u 忉昏和洲型喾剑圳如 邓川训+ 删 f 1 g s 胁a 喜。t 脚卵 | i 乱l i 。仃懈 = = 一h 一 2 2 a 1 | l u | i ，亡f 0 ，1 1 ， 1 4 硕士学位论文 即 i i 孔0 i | 让i i ，牡kna q 4 ( 3 1 1 ) 因此，由( 3 7 ) ，( 3 1 1 ) 及定理1 2 5 得算子t 至少有一个不动点u kn ( _ 4 q 3 ) ，其为边值问题( 3 1 ) 的一个正解 定理3 2 2 ( 1 ) 假设厶= + ，o ，o + o o ，则对每一个矿( o ，等) ，边值问 题( 3 1 ) 至少有一个正解u k ( 2 ) 假设而= + ，o ，o o + ，则对每一个口( o ，舞) ，边值问题( 3 1 ) 至少有一个正解“k ( 3 ) 假设厂o = o ，o 厶 + o o ，则对每一个盯( 惫，+ o o ) ，边值问题( 3 1 ) 至 少有一个正解u k ( 4 ) 假设，= o ，o o ，存在飓 使得 邢，训) 掣学，蚓拍且( z 岫i ) + 吼( 3 1 2 )仃盯。44 。 令q 5 = 钆k 川u 0 0 使得 两类四阶胁点边值问题的正解 盯 ( ，o + 1 ) 。 由于o 厂o 恳使得 ，( 亡，z ，可) ( ，o + e 1 ) ( z + 1 秒i ) 风( ，o + 1 ) ，t o ，1 】且( z + i 可i ) o ，风】 令q 6 = 钆e 钆0 j 风) ，则对任意的u k na q 6 有 一( 孔) ，( 亡) = 仃1g s ) 坤，u ( s ) ，u ，( s ) ) 如 即 m 一2 ，1 1 托以争上g ( 厶s ) ，( s 川( s ) ，札，( s ”d s 盯1g ( s s ) 坤，u ( s ) ，让，( s ) ) d s + a 仃 i = 1 n tz 1g ( 如) ，( s ，钆( s ) u ，( 3 ) ) d s 盯1g ( s ，s ) ( n ) m 一2 风如+ q 盯 t = l。t 1g ( 和) ( ，。帕) 鼠幽 坩。叫一s ，s + q 喜1g s m i ， 亡【o ，1 】， t 钆i i i i 乱l i ，乱kna q 6 ( 3 1 4 ) 因此，由( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 和定理1 2 5 得算子t 至少有一个不动点u kn ( - 6 q 5 ) ，其为边值问题( 3 1 ) 的一个正解 定理3 2 3 ( 1 ) 假设o 箬 卺 + ，则对每一个盯( 怠，笋) ，边值问题 ( 3 1 ) 至少有一个正解u k ( 2 ) 假设o 箸 0 使得 ( ，o + 9 2 ) 。 厂( 亡，z ，可) ( ，o + s 2 ) ( z + i 引) 冗7 ( ，o + 2 ) ，亡 0 ，1 1 且( z + l 引) o ，励】( 3 1 5 ) 1 6 一 硕士学位论文 令q 7 = u e 乱i l 岛) 对任意的u kn 魂7 ，由( 3 1 5 ) 知 一( t 钍) ( t ) = 即 盯z 1 印，s ) 坤，牡( s ) 让，( s ) ) d s m 一2 ，1 佃以喜砚z g ( 矗s ) 八s ，“s ) ( s ”如 盯z 1 g ( s s ) 巾，u ( s ) ，u ，( s ) ) 如 m 一2 ，1 托盯fn i 智o g 心，s ) ，( s ，u ( s ) ，( s ) ) d s 伊z 1 晰) ( ，o 托2 ) 删s 喜n t 小洲n 韵鼬 町2 ，【f l g ( s ，s 肼q 喜啦小和，d s 岛 i ，t 0 ，1 】， i 孔0 i ，u k n a q 7 另一方面，由氏的定义知，存在昆厮使得 ( 3 1 6 ) 厂( 亡，z ，可) ( 厶一2 ) ( z + i i ) 咫( 氕一2 ) ，t 【三，兰】且( z + i 可i ) 风，+ o o ) ( 3 1 7 ) 令q 8 = u k 训i 4 凰) ，对任意的u k na q 8 ，由( 3 1 7 ) 知 ( 乳) ” = 盯z 1g ( 纠仲川s ) u ，( s ) ) d s + 警喜锄z 1 g 他，s ) 厂( s ，铭( s ) ，让( s ) ) d s 盯2g ( 纠巾川s ( s ) ) d s m 一2 + 竺f 。2 台 口tz 2g ( 已，s ) ，( s ，u ( 8 ) ，u ( s ) ) d s 盯：2g ( 拟厶咱脚s g ( 已，s ) ( 厶一9 2 ) 飓如 1 7 一 o 使得 杀与仃高 由矗的定义知，存在岛使得 ，( 亡，z ，) ( 如一e 3 ) ( z + l i ) ，亡( 丢，兰 且( z + i 1 ) o ，扁】 令q 9 = 他k 让i l 0 使得 ，( 亡，z ，可) ( ，+ 3 ) ( z + i 可i ) ，t o ，1 】且( z + l y l ) 【，+ ) ( 3 2 0 ) 令 a 零= m a x ，( 亡，z ，秒) ：右 0 ，1 】，z o ， 龟】且【一 毛，o 】) 易知 ，( 亡，z ，可) ( ，o o + 3 ) ( z + i 可i ) 十蟛，舌【o ，1 】，z 【o ，+ ) 且剪( 一。，0 】( 3 2 1 ) 取 m a x 卜嘉) 2 2 ， 令q 1 0 = u e i | | 钆i l o ( 其中l l 为常数) 且存在p 1 o 及1 o 满 足下列条件： ( h 1 ) ，( 亡，z ，可) a h ，亡 o ，1 】且( z + 1 秒i ) o ，p 1 】； ( h z ) 瓮 惫 则对每一个盯( 等，略) ，边值问题( 3 1 ) 至少存在两个正解u 和钆2 使得 o l l “1 | | o 且o 6 1 l l ，则存在s 5 0 及幻 p 1 使得 邢，舢) ( z + 鳅厶。+ 。) 6 2 ( l 。+ e 5 ) ，亡【三，差】且( z + 6 2 ，+ 。o ) ( 3 2 6 ) 2 0 饥 - ： 岛 ，九 g 、r n、s厂厶 1 一 毗 厂 口r、1文一谢 一 g 吼 神：l q 一8 + sd 、 d九虿 训厂办 + 一一m i ， l n i q l 叫 一 一 一 硕士学位论文 令q 1 2 = u e u i i l i 礼0 ，钆kna q l 2 ( 3 2 7 ) 此外，令q 1 3 = 牡e | j j i i ；j d l ) ，则对任意的u k na q l 3 ，由( h 1 ) 可得 一( t 钍) ( 亡) =盯g ( 亡，s ) ，( s ，钆( s ) ，“( s ) ) 如 m 一2 ，1 托以善啦z g ( 毛s ( s 川( s ) ( s ”如 ，1 盯g ( s ，s ) ，( s ，钆( s ) ，u ( s ) ) d s m 一2 ，1 托盯啦z g ( 毛s ) ，( s “s ) ，( s ”d s 仃1 g ( s ，s ) 1 d s + q 盯 z 1g ( 和川s 盯m 汾椰s + q 喜啦和钿，d s l i u 0 ， 亡【o ，1 】， 2 1 ：l 毗 一甜 两类四阶胁点边值问题的正解 即 i i t 让i i l l u i i ，“kna q 培 ( 3 2 8 ) 因此，由( 3 2 5 ) ，( 3 2 8 ) 及定理1 2 5 得算子t 至少有一个正解u kn ( 瓦1 3 q 1 1 ) 且6 l i l j 9 1 类似地，由( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 及定理1 2 5 得算子t 至少有一个正解u kn ( 豆1 2 q 1 3 ) 且p 1 叫i o 满 足下列条件： ( h 3 ) ，( 亡，z ，秒) 2 ，亡 ，i 】且 + 1 秒i ) 【0 ，8 p 2 】； ( h 4 ) 急 盘 则对每一个盯( 紫，惫) ，边值问题( 3 1 ) 至少有两个正解u 1 和仳2 使得 0 0 钍1 l i 化 l i 钍2 f i 证明若( 紫，笼) ，由于尸 o 且o 6 3 现使得 ， ，z ，可) ( z + l 可i ) ( l 2 一6 ) 6 3 ( l 2 一6 ) ，t 【0 ，1 】且( z + l 可1 ) 【0 ，6 3 】 ( 3 2 9 ) 令q 1 4 = 钍e u i i 丢6 3 ) ，则对任意的u k na q l 4 ，由( 3 2 9 ) 可知 一( t 乱) ( 亡)= 盯g ( 亡，s ) t 厂( s ，乱( s ) ，t 正( s ) ) d s 加以擎z g ( 矗s ) 八s ( s ) ，“，( s ) m s 盯z 1 g ( s ，s ) 巾，u ( s ) ，u ，( s ) ) d s 相口pzg ( 矗s ( s 一( s ) 州s ”如 口舶s ，s 咱喜n t 私诽咱膨 刮铲嘲”b 州s + q 喜锄胁，小 2 ”s 一蚺营p s 斗 i ，亡【o ，1 】 从而， i i t 乱i | 0 使得 厂( 亡，z ，秒) + 1 秒i ) ( l 2 一7 ) ，t o ，1 】( z + l 可1 ) ，+ ) 令 g = m a x ， ，z ，) ：亡 o ，1 】，z 【0 ，飓 且y 一飓，o 】) 易得 ， ，z ，秒) ( l 2 一7 ) ( z + i 可1 ) + a 笤，芒 o ，1 】