（光学专业论文）基于小波变换的三维面形测量研究.pdf

鹳川大学硕士论文 摘要 基于小波变换的三维面形测量研究 光学专业 研究生：郑素珍指导教师：陈文静 摘要 随着计算机技术、光学和光电子技术的迅速发展，极大的促进了传统的光 学计量技术发展，新的三维传感和计量方法不断涌现。傅罩叶变换轮廓术就是 最早和最典型的三维传感技术之一。但是，傅立叶变换轮廓术缺乏局部分析能 力。为了克服此缺陷，窗口傅里叶变换分析方法曾经被引入到三维传感技术当 中。但是，在窗口傅里叶变换分析中，其窗口大小是固定不变的，满足了低频 就满足不了高频。近年来，随着小波变换理论和技术的不断发展和成熟，小波 变换也被逐渐引入至4 三维传感测量技术中。针对傅里叶变换轮廓术及窗口傅里 叶变换在三维传感中的优点与实际应用中存在的问题和困难，本文以小波变换 理论为基础，研究了基于小波变换的三维面形测量技术。 本文的主要内容如下： 一 1 指出了传统傅里叶变换在三维面形测量应用中面l 临的困难和不足。指出 利用傅里叶变换进行三维测量时，若基频与零频、高次频谱没有混叠，可以得 到很好的测量效果。而当被测物体面形形状复杂或被噪声严重污染时，频域中 频谱分布展宽，可能发生频谱混叠，导致基频分量提取不完整，从而不能正确 地恢复出被测物体。提出了通过小波脊直接获得变形条纹截断相位的方法。该 方法充分利用了小波具有局部分析和噪声抑制能力的优点，当用于从有频谱混 叠的条纹和被噪声污染的条纹中提取相位时具有明显的优势。 2 提出了基于小波脊的自适应窗口傅里叶变换方法。该方法通过小波脊变 换，得到局部条纹的最佳变换窗口，在傅里叶变换三维测量时，可以保证窗口 尺寸随变形条纹频率变化而自动调整，弥补了傅里叶变换没有局部分析能力和 窗口傅里叶变换窗口大小固定不变的不足 ， 旦竖塑生墼 塑墨 3 提出了利用小波直接提取变形条纹自然相位的方法。由于相位测量三维 传感技术都面临着相位展开的问题，虽然有不少学者就相位展开问题研究出许 多方法，但是相位展开过程始终十分复杂。利用本文方法可以从一幅条纹图像 中不需要进行相位展开能够直接得到准确的相位分布，避免了传统的复杂的相 位展开过程。 关键词：三维面形测量，小波分析，傅里叶变换，小波脊 i i 四川大学硕士论文摘要 w a v e l e tt r a n s f o r mi n3 一ds h a p em e a s u r e m e n t m a j o r o p t i c s g r a d u a t e ：z h e n gs 崛h e n a d v i s o r ：c h e nw e n j i n g a b s t r a c t w i t l lt h e q u i c k l yd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y 、o p t i c a la n d o p t i c s e l e c t r i c a l ，p r o m o t i n gt h ed e v e l o p m e n to ft h et r a d i t i o n a lo p t j c a lm e a s u r e m e n t t e c h n o l o g y a n dn e wm e t h o do ft h e3 - ds e n s i n ga n dt h em e a s u r e m e n tc o m eo u t n e v e r - e n d i n g l y t h e r ea 心al o to ft r a d i t i o n a lm e t h o d so fe x a c t i n gp h a s ei nt h e o p t i c a l3 - dm e a s u r e m e n t a n dt h ef o u r i e rt r a n s f o r mp r o f i l o m e t r yi st h eo n eo ft h e o r d i n a r ym e t h o d s ，h o w e v e r , i th a sn ot h ea b i l i t yo fa n a l y s i sl o c a l i no r d e rt o o v e r c o m et h i sl i m i t a t i o n , t h ew i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r ma n a l y s i sm e t h o da n d w a v e l e tt r a n s f o r ma n a l y s i sm e t h o da l ei n t r o d u c e di nt h e3 - d s h a p em e a s u r e m e n t i n t h ew i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r ma n a l y s i s ，t h es i z eo fw i n d o w si sc h a n g e l e s s ，t h e y e i t h e rs a t i s f yw i t ht h el o w e rf r e q u e n c yo rh i g h e rf r e q u e n c y r e c e n t l yy e a r s ，w i t ht h e d e v e l o p m e n ta n dg r o w i n gu po fw a v e l e tt r a n s f o r mt h e o r ya n dt e c h n o l o g y , t h e w a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e dt 0t h e3 - dm e a s u r e m e n t b a s i n go nt h em e r i t sa n d p r o b l e m so ft h ef o u r i e rt r a n s f o r mp m f i l o m e t r ya n dt h es h o r t a g eo ft h ew i n d o w e d f o u r i e rt r a n s f o r m ，t h i sp a p e rp r o p o s e dt h em e t h o do f e x t r a c t i n gt h ep h a s eb a s eo n t h ew a v e l e tt r a n s f o r i l l t l i sa r t i c l ee m p h a s i z e so nw a v e l e ta n a l y s i si n3 - ds h a p em e a s u r e m e n t t h e m o s t l yc o n t e n ti sf o l l o w e d 1 w ep o i n to u tt h ed i f f i c u l t ya n ds h o r t a g eo ft h et r a d i t i o n a lf o y e rt r a n s f o r m a n dt h ew i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m t h ef o y e rt r a n s f o r mp r o f i l o m e t r yg i v e s c o r r e c t3 ds h a p ei n f o r m a t i o no ft h em e a s u r e do b j e c ti nt h ec a s eo fn os p e c t r u m o v e r l a p p i n g b u tt h i sm e t h o di sf o u - f i e l dt r a n s f o r m ，t h es p a t i a li n f o r m a t i o no ft h e i l l ，i；- 婴! ! 盔兰堡丝塞 堡矍 d e f o r m e df r i n g ep a t t e mi sl o s ti nf r e q u e n c yd o m a i n i ft h es u r f a c eo fm e a s u r e d o b j e c ti sc o m p l e xo rt h ep a t t e r ni ss e r i o u s l yp o l l u t e db yn o i s e ，t h ep e r f e c t f o u n d a t i o n a lf r e q u e n c yi sd i f f i c u l tt oe x t r a c tb yf i l t e r i n gb e c a u s eo ff r e q u e n c y a l i a s i n g ，w h i c hr e s u l t si ni n c o r r e c t3 dr e c o n s t r u c t i o no ft h eo b j e c t a n dt h i sp a p e r p r o p o s e st h em e t h o dt h a to b t a i n sd i r e c t l yt h ew r a p p e dp h a s eb a s e do nw a v e l e tr i d g e i n3 - ds h a p em e a s u r e m e n t 2 ，b a s i n go n t h ep r o b l e mo fw h i c ht h et r a d i t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mh a sn ot h e a b i l i t yo fa n a l y s i sl o c a li n f o r m a t i o na n dw h i c ht h ew i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mh a s t h ei n v a r i a b l et h ea n a l y s i sw i n d o w w ep r o p o s et h ea d a p t i v ew i n d o w e df o u r i e r t r a n s f o r mw i n la u t o - a d j u s t a b l ew i n d o w s 3 。t h ep h a s em e a s u r e m e n to f3 - ds e n s i n gt e c h n o l o g yi s 缸e dw i t ht h ep r o b l e m o f p h a s eu n w r a p p i n g a l t h o u g ht h e r ea l em a n ys c h o l a r se x c o g i t a t e ds e v e r a lm e t h o d s o f p h a s eu n w r a p p i n g ，t h ep h a s eu n w r a p p i n gp r o c e s si sc o m p l e xa l lt h et i m e i no r d e r t oa v o i dt h ep r o c e s so fp h a s eu n w r a p p i n g ，an e wm e t h o dw h i c h d i r e c t l ye x t r a c t st h e n a t u r a lp h a s ec o r r e s p o n d i n gt ot h eh e i g h td i s t r i b u t i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m w i t h o u tt h ep r o c e s so f p h a s eu n w r a p p i n gi sp r o p o s e d k e y w o r d s ：3 - ds h a p em e a s u r e m e n t , w a v e l e ta n a l y s i s ，f o u r i e rt r a n s f o r m ， w a v e l e tr i d g e 。 ? 协 ! 四川大学硕士论文第一章绪论 第一章绪论 自国际光学学会1 9 9 4 年以信息光学的前沿为主题的年会上，首次将光学三 维传感列为信息光学前沿7 个主要领域和方向之一以来，物体三维面形测量都 是重要的研究课题之一。光学三维传感在许多领域，如机器视觉、实物仿形、 工业自动检测、产品外观质量检查，生物医学、娱乐等领域中具有重要意义和 广阔应用前景，日益受到人们的重视。尤其在某些应用场合常常要求非损伤式、 高精度、高速度的获取物体的表面形状信息，例如沙体形态三维测量、并下模 式识别、产品的自由曲面检测、医学诊断中对人脸和牙齿等生物器官的三维造 型等。因此，如何获取物体的三维面形信息，即三维物体面形轮廓测量技术得 以发展，对非接触、快速、高精度的三维面形测量技术的研究尤为重要。 计算机技术、光学和光电子技术的迅速发展极大的改变了传统的光学计量 技术，额的三维传感和计量方法不断涌现。在基于结构光照明的三维面形测量 中，条纹分析是该技术的关键。在条纹的分析和处理中，傅瞿叶( f o u r i e r ) 变 换法【啦i 是常用的方法之一，它建立了条纹信号从空( 间) 域到频( 率) 域的变 换桥梁。近些年来，随着半导体激光器( l d ) 、数字投影仪( d l p ) 、电荷耦合 器件( c c d ) 、高分辨率数码相机、高速摄像机等高性能光电设备的出现，以 及基于计算机的数字图像处理技术的广泛应用，集光、机、电、计算机技术于 体的光学三维传感技术得到了很大发展。其中，基于结构光照明的主动三维 传感方法由于具有快速、非接触、高精度、易于实现自动化等特点，日益受到 人们的重视。在各种主动三维面形测量方法中，傅里叶变换轮廓术由于只需获 取一幅条纹图就可计算出物体的三维面形信息，特别适合实时动态测量，因此 受到了众多研究者的关注。 但是傅里叶变换缺乏获取局域信息的能力，为了克服此缺陷，d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了窗1 ：3 傅里叶( w i n d o w e df o u r i e r t r a n s f o r m ) i 那。传统的f o u r i e r 变 换方法存在滤波操作，测量范围受被测物体高度变化率的影响。如果被测物体 形状复杂，在频域中体现出频谱分布展宽，零频分量和携带有用信息的基频分 量，以及高频分量和基频分量间可能发生混叠，导致在滤波时提取基频分量存 在困难。如果滤波窗口太窄，则可能造成反映物体表面细节的频谱成分被滤掉， 四川大学硕士论文 第一章绪论 造成物体细节部分被圆滑，不能很好的反映被测物体表面特征；如果滤波窗取 得太宽，不能很好地抑制高频噪声和频谱混叠，从而不能正确的恢复出被测物 体。为了克服这个问题，人们引入小波变换方法来实现三维面形测量f 4 5 1 。 本章首先简要介绍光学三维面形测量的基本概念和分类，并对几种常用三 维测量技术作简单回顾。然后介绍了光栅投影的主动三维传感方法中的傅里叶 变换轮廓术的研究和发展概况，指出其优点和不足。最后介绍本论文的主要研 究内容及安排。 1 1 光学三维面形测量方法 光学三维面形测量( 又称光学三维传感) 方法【6 7 慎有非接触、高精度，快 速以及易于在计算机控制下实行自动化测量等特点，在许多领域已有广泛应用。 光学三维传感是利用光学的方法获取三维物体表面各点的空间坐标的方法和技 术。获取三维面形信息的基本方法可以分为两大类【6 】：被动三维传感和主动三 维传感。被动三维传感采用非结构照明方式，从一个或多个摄像系统中获取的 二维图像中确定距离信息，形成三维面形数据( 8 1 。被动三维传感需要大量的相 关匹配运算，当被测物体的结构信息过于简单或者过于复杂时，或者被测物体 表面各点的反射率没有明显差异时，这种相关运算将变得十分复杂和困难。因 此，被动三维传感方法常常用于三维目标识别、位置形态分析等机器视觉领域。 主动三维传感采用结构照明方式，通过三维表面的漫反射对结构光场的空间和 时间调制，然后从携带有三维面形信息的观测光场中解调得出三维面形数据。 多数以三维面形测量为目的的三维面形传感系统都采用主动是三维传感方式。 主动三维传感具有非接触、高灵敏度、高测量精度、高自动化等优点。按其结 构光场被调制的方式不同主动三维传感又可分为时间调制和空间调制两类【9 】。 下面对被动三维传感方法和主动三维传感方法进行简单的介绍。 i 1 1 被动三维传感方法 被动三维传感采用非结构照明方式，从一个或多个摄像系统获取的二维图像 中确定距离信息，形成三维面形数据，譬如双目视觉、聚焦离焦法等。双目 视觉是计算机被动测距方法中最重要的距离感知技术，它直接模拟了人类视觉 2 四j 大学硕士论文 第一章绪论 处理景物的方式，可以在多种条件下灵活地测量景物的立体信息，其作用是其 它计算机视觉方法所不能取代的。双目视觉的基本原理是从两个视点观察同一 景物，以获取在不同视角下的感知图像，通过三角测量原理计算图像像素间的位 置偏差( 即视差) 来获取景物的三维信息。这一过程与人类的立体感知过程是类 似的，如图1 1 所示，从两个摄像装置获取的不同视觉方向的二维图像中确定 距离信息，形成三维面形数据，常常要求大量的相关匹配运算。当被测目标的 结构信息过分简单或过分复杂时，以及被测物体上各点反射率没有明显差异时， 这种相关运算变得十分复杂和困难。因此，被动三维传感的方法常常用于对三 维目标的识别、理解以及位置、形态分析。这种方法的系统结构比较简单，在 无法采用结构照明的时候更具有独特的优点。被动三维传感技术已经广泛的应 用于机器视觉领域。 巧e c t c o m p u t e r 图1 1 双目视觉系统 1 1 2 主动三维传感方法 主动三维传感采用结构照明方式，利用三维面形表面的漫反射对结构光场 进行调制，然后从携带了三维面形高度分布信息的观察光场中解调得到三维面 形数据。主动三维传感具有非接触、高灵敏度、高测量精度、高自动化等优点。 四川大学硕士论文 第一章绪论 根据三维面形对结构光场调制方式的不同，主动三维传感又分为时日j 调制和空 间调制两类。一类方法称为飞行时间法( t i m eo f f l i g h t , 简称t o f ) 9 1 ，它是基 于直接测量激光或其它光源脉冲的飞行时间来确定物体面形的方法，在测量过 程中，一个光脉冲从发射器发出，经过物体表面漫反射后，沿几乎相同的路径 反向传回到接受器，检测光脉冲从发出到接收之间的时间延迟，就可以计算出 距离。空间调制法主要采用三角法测量原理。在基于三角测量原理的方法中， 不同的测量技术中从观察光场中提取三角计算所需几何参数的方式不同，一般 又可分为两类：直接三角法和相位测量法。直接三角法轮廓测量术包括：激光 逐点扫描法【9 】、光切法t m l 2 】和二元编码投影法 1 3 l 。相位测量法包括：位相测量 轮廓术( p m p ) 1 1 4 - 1 s l 、傅里叶变换轮廓术( f t p ) 【l 2 j 9 2 0 1 、m o i r e 轮廓术【2 ”、相 干雷达技术【盟j 、空间位相检测等。它们最终归结于三角测量法，只是在不同的 测量技术中采用了不同的方式来从观察光场中提取三角计算中所需要的几何参 数。调制度测量轮廓术( m m p ) 琊j 是另一种采用空间调制的三维传感方法。 其主要特点是投影方向与观察方向相同，可避免阴影的影响，用于测量突变和 空间分布不连续的复杂三维物体的面形。 1 2 相位测量轮廓术 相位测量轮廓术 2 6 - 2 9 1 ( p h a s em e a s u r e m e n tp r o f i l o m e t r y ，简称p m p ) ，是众 多的三维测量方法中的一种，由激光于涉计量发展而来，图1 2 是一种采用发 散照明的p m p 方法的光路图。p m p 的基本思想就是将正弦光栅投影到三维待 测的漫反射物体表面，从成像系统中获取变形的光栅像；然后采用相移的方法 得到多帧变形的条纹图，通过这些变形条纹图可以精确地计算物体上每一点由 于高度变化引起的相位分布的变化，最后通过相位展开算法可精确地得到物体 三维面形数据。 4 四川大学硕士论文第一章绪论 ca o 图1 2 相位测量轮廓术原理图 采用结构光照明方式，当一个正弦光栅被投影n - - 维漫反射物体表面时，从成 像系统获取的变形光栅像可以用下式表示： g g ，y ) = 口g ，) ，) + 6 g ，y ) c o s ( 2 矾x + g ，” ( 1 1 ) 其中口( x ，_ ) ，) 是背景光场，6 g ，力是物面非均匀反射率，6 0 y y a ( x ，y ) 是条纹的对比 度，伊瓴力是由物体高度分布j 1 2 ( 力引起的相位调制，矗是投影光栅的基频。 从上式可以看出，有如力，6 伉力，矿( 蕾力三个未知量，需要获取3 帧以上 条纹才能求解出伊伉力。根据理论分析，n 帧满周期等间距算法对系统随机噪 声具有最佳抑制效果，且对n 1 次以下的谐波不敏感。因此，般采用该技术， 即把投影光栅在一个周期内均匀移动n ( n 2 ) 次，条纹图的相位被移动2 r , n 产生一个新的强度函数厶阢。使用三个或更多的对应不同相移值的条纹图， 相位函数西阮纠就可以独立于其他参数而单独提出。对于有个相移的条纹图， 相位可以由下式计算得出： 5 四川大学硕士论文第一章绪论 l ( z ，y ) s i n ( 2 n n n ) 声( x ，y ) = a r c h a n 专l 一 ( 1 2 ) l ( 囊y ) c o s ( 2 n n n ) u * l 由上式计算出的相位分布是截断相位，为了从相位函数计算出被测三维物体的 面形，必须将由反三角运算引起的截断相位恢复其连续相位，即相位展开过程。 它的测量具有全场性、速度快、精度高等优点，也容易实现计算机辅助自 动测量，因而得到了人们的广泛应用。但是p m p 需要相移，实际测量中， 精确的相移往往难以做到，因此已有许多学者对相移精度的分析、校正做了大 量的研究f 1 7 j 1 。卯。 1 3 傅里叶变换轮廓术 傅里叶变换在信息光学中的作用和地位是大家所熟悉的，1 9 8 3 年 m t a k e d a 和k m u l o h 将傅里叶变换用于三维物体面形测量，提出傅里叶变换轮 廓术( f o u r i e rt r a n s f o r mp r o f i l o m c t r y , 简称f t p ) 0 , 2 9 3 6 翊。该方法是将一维快速 傅里叶变换用于结构光场三维面形测量，在初期，该方法通过投影系统将 r o n c h i 光栅或正弦型光栅投影到彼测物体表面，摄像系统获取被物体高度分布 调制的变形条纹。并由图像采集系统将变形条纹送入计算机进行快速傅里叶变 换，滤波和逆傅里叶变换，求解出物体的高度信息。 傅里叶变换轮廓术的典型测量光路图见参考文献l ，系统框图如图l 一3 所 示。 图1 3 测量框图 与p m p 中处理的变形条纹一样，如式( 1 1 ) ，变形条纹的傅垦叶变换频谱 分布可表示为： 6 四川大学硕士论文第一章绪论 g ( f ，y ) = a ( f ，y ) + q ( 厂兀，y ) + q 。( 厂+ f o ，y ) ( 1 3 ) 其中一和q ( 7 = _ 力分别表示a ( x ，力和o 5b ( x y ) c x p i 妒( x ，力】的傅里叶变换。通过从 频域中滤出基频分量并进行逆傅里叶变换，可以计算出相位的分布，表示为 2 巧而却仁力。通过对参考条纹进行相同的处理，可以得到2 7 嘶，从2 z f o + 妒( x , y ) 中移去2 7 e 为，即得到由放测物体高度变化引起的相位妒 力。在远心投影光路条 件下，考虑到实际测量中三o 厅力，被测物体的高度分布制相位的关系为： 矿( x ，y ) = ( x ，y ) = - 2 万：d h ( x , y ) l o ( 1 4 ) 在f t p 测量方法中，由于f t p 测量方法中涉及滤波处理，所以必须避免携带有 用信息的基频分量同其它频谱分量的混叠，测量范围受到限制，被测物体的位 相变化和高度变化必须满足以下条件，才能得到正确的恢复面形【嘲。 旦掣i 雠 2 矾3 ( 1 5 ) f 掣掣l 。 0 ，b r ( 实数) 。a 为尺度因子，其作用是将以x ) 做伸缩，a 愈大矾砌) 愈宽；即当a 较大时( 相当 于低频) 空域分辨率较低，频域分辨率较高，反之亦然。因此当a 从小逐渐增 大时，空域和频域分辨率就会发生相应的变化，这种特性称为小波的“变焦” 特性或多分辨率分析。b 为平移因子。这在绪论部分也已叙述。 对任意的一维函数似) 的连续小波变换定义为： ( 4 ，6 ) = 1 o ( x ) ：。 ) d x = ( 2 2 ) 式中表示共轭。在本文中，我们选取在空域和频域都具有很好的局部化性能的 m o r l e t 复小波函数作为母小波： 1 4 四川大学硕士论文 第二章基于小波脊的直接提取相位分析方法 删= 两1 唧慨城p ( 一爿 ( 2 3 ) 这里， 是小波的包络宽度，五是小波的中心频率，与条纹的基频相等。m o r l c t 复小波在空域和频域均具有较好的局部性。图2 1 ( a ) 、( b ) 分别为m o r l e t 小波 在空域和频域的图形。 ( a ) g r 贰l m m e y ( b ) 图2 1 ( a ) m o ri e t t j 、波空、( b ) 频域波形图 对于实函数似) ，采用复小波基函数进行连续小波变换，得到小波变换系 数w a , b ) 。其实部和虚部分别记为旭甜【砀 6 ) 】和i m a g w i ( a , b ) ，则幅值4 ( 口，6 ) 和相位伊( 毋6 ) 可以分别由( 2 4 ) 、( 2 5 ) 式得到【4 1 ： 枷，：后面面而i i 而可 亿4 ， 烈口，6 ) = a r e t a n fi m a g ( w ，( a , b ) ) r e a l ( w ( 口，6 ) ) l ( 2 5 ) 由一维函数a x ) 的连续小波变换定义式描述了该函数与小波序列的内积关系， 它反映了该函数与小波序列函数的相似程度。因此连续小波变换可以理解为将 函数和小波函数进行比较的结果，幅值彳 6 ) 和相位妒( 口，b ) 综合反映了它们的 相似程度。当函数的局部频率与相应尺度的小波函数振荡频率相同或者相近时， 其小波变换系数也就是幅值相应较大。在各个位置沿尺度轴方向上，小波变换 幅值的最大值的位置的连线定义为小波变换的脊r i d g e ( b ) 1 4 l ： _卫，_量-o e暑 四川大学硕t 论文第二章基于小波岢的直接提取相位分析方法 r i d g e ( b ) = m a x a ( a , ，6 ) 】( 2 6 ) 这里，口，为各尺度因子的值。在三维面形测量中，通过上式确定小波变换的脊， 进而提取脊所对应的相位值，得到含有物体高度信息的调制相位。 通过对( 1 1 ) 式所示的变形条纹进行连续小波变换，根据前面连续小波变 换的定义和理论分析，通过计算机自动检测小波变换脊，提取变形光栅以及基 准光栅图像的小波变换脊对应相位函数分别为： 妒，扛，) = 2 力：x + 扛，y )( 2 7 ) b ，y j = 2 月：o x + 丸kj ，)( 2 8 ) 结合( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式，可得相位调制9 ( t 力为： g ( x ，j ，) 一g ，y ) = 矿0 ，y ) 一九g ，) ，) = 矿g ，y )( 2 9 ) 从上式可见，经过小波变换后，通过提取小波变换脊对应的相位值，最终得到 与f r p 同样的相位分布信息，如( 1 4 ) 式所示，即相对于基准光栅图像基频而 的相位调制分布妒，进而可以得到待测物体的三维面形数据。 2 2 计算机模拟 本节根据上面给出的c w t 方法的理论分析，对有频谱混叠无噪声以及有噪 声的光栅条纹，分别用傅里叶变换方法和小波变换方法进行了计算机模拟，在 2 3 节当中，就有频谱混叠情况给出了实验，验证了理论分析的正确性。 2 2 1 有频谱混叠的相位检测 为了验证理论分析的正确性，本文通过计算机模拟一个物体，如图2 - 2 ( a ) 所示。该物体的相位函数为： z = 2 3 ( 1 - x ) 2e x p ( 一x 2 一+ 1 ) 2 ) 一1 0 ( x 一工3 一y 5 ) e x p ( - x 2 一y 2 ) ， 。 ( 2 1 0 ) - e x p ( - ( x + 1 ) 2 一y 2 ) ) j 将双频正弦光栅投影在这一物体上，得到变形光栅图像，如图2 - - 2 ( b ) 所示。 1 6 型型望墅坠笪垒苎一 苎三兰堇王! ：茎堂箜皇丝堡墼塑堡坌堑查堕 ( a ) ( b ) 图2 2 ( a ) 模拟的待测物体以及( b ) 变形条纹 ( b ) i y x ( d ) i t t 2 - 2 ( c ) 变形光栅其中一列的频谱图( d ) f t p 方法恢复的面形 b b 2 2 ( e ) 变形光栅小波变换系数的模以及对应相角 1 7 口i宣 四川大学硕士论文第二章基于小波脊的直接提取相位分析方法 乜) 圈2 2 ( f ) 小波变换分析得到的调制相位分布( d 对应的误差 由图2 - - 2 ( e ) 可以明显看出，变形光栅的频谱中基频和二倍频发生混叠，用 传统的傅里叶变换方法检测调制相位时，出现了错误，得到的调制相位分布如 图2 - - 2 ( d ) 所示，根本不能恢复出解调相位。 分别对基准光栅和变形光栅进行小波分析，小波系数的模和相角如图2 2 ( e ) 所示，提取出相对应的小波脊，得到调制相位分布如图2 2 ( f ) 所示，其相 应的误差分布如m 2 - 2 ( g ) 所示，误差范围为一o 6 r a t i 0 0 6 r a d ，得到了令人满意 的结果。 2 2 2 无频谱混叠有噪声的相位检测 在2 2 1 节的变形光栅基础上，加入随机高斯噪声，模拟噪声的标准差6 。从0 变化到o 4 ，重复模拟2 0 次，每次6 。增j n o 0 2 。因为小波变换对噪声有一定的抑 制作用，从图2 3 也可以看出，c w t 方法的误差标准差曲线要平缓的多，当噪 声6 。大于0 2 的时候，f t p 方法就有很大的误差了，误差标准差曲线急剧上升， 而c w t 方法还是能够得到比较满意的结果。 四j i l 大学硕士论文第二章摹于小波脊的直接提取相位分析方法 图2 - 3 加入噪声标准差8n j j ：j 0 - - 0 4 ，两者误差的标准差曲线 2 3 实验 为了验证所提观点的正确性，我们做了如下初步实验。被测物体是一个底 边长8 0 m m ，高7 0 m m 的三角物体，先采集一帧灰度图，然后采集一帧变形条 纹图。尺寸为5 1 2 5 1 2 像素，如图2 - 4 ( a ) 所示，根据公式( 1 6 ) ，被测物体高 度超出了f t p 方法的测试范围。其频谱如图2 4 所示，从图也可以看出零频 和基频有混叠现象，我们用傅里叶变换方法和小波变换方法分别进行比较分析， 现给出其高度分布的一个剖面，如图2 - 4 ( c ) ( d ) 所示。从图2 - 4 ( c ) 可以看出，小 波变换方法恢复得到的被测物体高度比傅里叶变换方法好些，表明在有频谱混 叠时，小波分析能得到比较满意的效果。实验证明了理论分析的正确性。 图2 4 ( a ) 变形条纹图 1 9 图2 - 4 ( b ) 变形条纹其中一行的频谱分布 图2 - - 4 ( c ) c w t 方法得到的调制相位分布的一个剖面 图2 - - 4 ( d ) f t p 方法得到的调制相位分布的一个剖面 2 0 四川大学硕士论文第二章基于小波脊的直接提取相位分析方 击 2 4 本章小结 本文采用m o r l e t 复小波函数对变形光栅条纹进行处理，详细研究了c w t 和 f t p 两种方法在不同情况下的优缺点，并通过计算机模拟和实验证实理论分析 的正确性在不存在频谱混叠时，采用f t p 方法和小波方法进行三维面形测量， 都可以得到很好的测量效果。由于f t p 采用了频域滤波操作，测量范围受到一 定的限制。当零频以及高频分量和有用的基频分量发生混叠时，在滤波时提取 基频分量存在困难。基频分量提取不完整，就得不到正确的调制相位，从而不 能很好地恢复出被测物体。用c w t 方法分析时的误差范围为一o 6r a d 0 6r a d 。 此外当获取的条纹图被加性噪声污染时，噪声的频带很宽，用f t p 方法很难提 取出调制相位。由于小波方法有噪声抑制能力，采用小波变换的方法能够提取 出完整的基频分量，由图4 3 可以看出，c w t 方法得到的误差标准差曲线要平 缓的多。文章最后通过初步的实验验证了理论分析的正确性。 2 l 四川大学硕士论文第三章自适应窗口傅罩叶变换 第三章自适应窗口傅里叶变换 本章在窗口傅里叶变换技术的基础上。提出了一种基于小波脊处理的自适 应窗口傅里叶变换三维面形检测技术。通过小波脊变换，得到局部条纹的最佳 变换窗口，在傅里叶变换三维测量时，可以保证窗口尺寸随变形条纹频率变化 而自动调整。实验研究表明，此方法克服了窗口傅里叶变换空间，频率分辨率无 法调整的问题，可以最大限度地抑制变形条纹的频谱混叠，准确地提取基频信 息，大大地提高了测量精度，误差范围由- - 2 m m $ m m 降低为一l m m l r n r n 。 并且，由于只需要从一帧条纹图中获取物体的三维分布，适合于动态测量。 3 1 从傅里叶变换到自适应窗口变换 在傅里叶变换分析中，用三角级数作为基函数，可以把周期函数展开成傅 里叶级数，把非周期函数展开成傅里叶积分。利用傅里叶变换对函数或信号作 频谱分析等等。这一系列规范、传统的分析技术不论在纯数学还是应用数学领 域，甚至在工程技术发展史上都是长期占有极其重要的地位。傅里叶变换分析 是研究平稳信号最有效、使用最广泛的方法，因此在非平稳的时( 空) 频分析 中，我们应当想方设法克服其缺点，充分发挥其优势并加以发展，即获取局域 信息的能力。基于这样的考虑，1 9 4 6 年d e n n i sg a b o r 提出了窗口傅里叶变换 ( w i n d o w e df o u r i e rt r 觚s f o 咖) 理论h 5 5 8 一。这一理论为人类的时频分析开辟了一 条道路。 窗口傅里叶变换是分析非平稳信号使用最广泛的方法之一。因为窗口傅哩 叶进行复杂物体面形测量时，物体表面变化剧烈的地方，主要包含高频信息， 需要较高的空间分辨率，窗口要相对窄；而物体表面变化比较平缓的地方，主 要是低频信息，则需要有较高的频率分辨率，窗口要相对宽。但窗口傅哩叶变 换的窗口始终是固定不变的，不能兼顾两者。虽然伸缩窗口傅里叶变换三维面 形测量方法做出了一些改进 6 0 , 6 1 】，但主要是凭经验决定窗口尺寸，很难自动得 到最佳变换窗口。本文在伸缩窗口傅里叶变换技术的基础上，提出一种基于小 波脊f 4 5 ，缸5 0 l 处理的自适应窗口傅里叶变换三维面形测量方法。该方法是随着局 四j 1 f 大学硕士论文 第三章自适应窗口傅早叶变换 部变形条纹频率变化，通过计算小波脊自适应调节变换窗口的宽度，克服了窗 口傅里叶变换空间- 频率分辨率无法调整的问题，可以最大限度地抑制变形条纹 的频谱混叠，提高了测量精度，由于只需要从一帧条纹图中获取物体的三维分 布，适合于动态测量。 3 1 1 信号的时( 空) 频表示及其基本思想 信号的两种基本表示： 1柚- 厂( 工) = 亡i f ( w ) e m d w 铮f ( w ) = lf ( x ) e 一朋d x ( 3 1 ) 石一” - 。 是等价的。在时( 空) 域，信号的时( 空) 间特征，也即时( 空) 问变化，特 别是瞬间即逝的时( 空) 间信号是很容易观测和分析的。而我们早以知道，有 价值的信息一定是包含在某种随时( 空) 问而变化的模式之中，对于变化模式 的时( 空) 间定位和时( 空) 域特征j 贝4 量就是必不可少的。因此对于信号时( 空) 域分析的这一优点我们应当想方设法得到利用和发挥。然而我们又知道仅仅在 时( 空) 域，对于信号中所携带的蕴涵在信号的频谱模式之中的特征是难以观 测和提取的。反之，在频域，f ( w ) 刻画的是信号整体时域的频率特征，其积分 变量z 是从一到。，对信号的时( 空) 域瞬时变化特点却一点分辨能力部没有， 而信号的频域表示，对信号的频谱模式则是刻画得一清二楚的。同样对于信号 频域分析的这一优点我们也应当想方设法得到利用和发挥。既需要保持时( 空) 域分析的优点，又要保持频域分析的优点，最简单的想法就是，将时( 空) 域 表示与频域表示联合起来，寻求信号的某种联合表示时( 空) 频表示 ( t i m e ( s p a c e ) - f r e q u e n c yr e p r e s e n t a t i o n ) ，实现信号的联合时( 空) 频分析 ( t i m e ( s p a c e ) 仔e q u e n c ya n a l y s i s ) 。 对于非平稳信号而占，时( 空) 频局域化特征是最根本、最关键的性质。 为了分析与处理菲平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本的革命， 提出并发展了一系列的信号分析理论短时付垦叶变换、时频分布，g a b o r 变换、子波变换、r a n d o n - w i n g e r 变换、分数阶傅里叶变换、线性调频子波变 换、循环统计理论、调幅调频信号分析等等。 时频分析的主要任务是要描述信号的频谱含量怎样在时( 空) 间上的变化， 四j t j 大学硕士论文第三章自适应窗口傅里叶变换 研究并了解时( 空) 变频谱在数学上、物理上是一个怎样的概念，其最终目的 是要建立一种分布，以便能在时( 空) 间和频率上同时表示信号的能量或者强 度。得到这种分布后，我们就可以对各种信号进行分析与处理，提取信号中所 包含的特征信息，或者综合得到具有期望的时( 空) - 频分布特征的信号。下面 我们引入窗口傅里叶变换方法。 3 1 2 窗口傅里叶变换 对频率定位，必需保留频率w 变量，对时( 空) 间定位必需保留扫描时 ( 空) 间工变量，因此，信号的一种时( 空) 频表示应当是将纯时( 空) 间表 示与纯频率表示结合在一起： g ( b ，忉= 似) g _ b ) e - i ”d x ( 3 2 ) 这就是连续g a b o r 变换定义，在许多地方称为窗口傅里叶变换。 式( 3 2 ) 的物理意义是：g a b o r 变换g ( b ，们在扫描时间工附近局部地测量 了频率为w 的正弦分量e ”的幅度。也就是说，g ( b ，w ) 表示在窗口g ( x 一6 ) 内 观察到的那部分信f ( x ) g ( x b ) 的频率结构情况。实际上就是用窗口函数g 先 对信号( 功在时( 空) 间轴上进行扫描，如图3 - 1 所示，然后进行傅立叶变换。 。 竺! q 竺4 竺翔 。 竺! 望迹竺! 3 臣蟹巫碉 匦皿霆碉 瞿互j 习j 产瓣习i e 三罂j e 三王兰蜀 【。1 。j 一 j ，。：一 ( a ) 窄窗口( b ) 宽窗1 ：2 图3 1g a b o r 变换对信号的开窗 显然，信号厂( z ) 的o a b o r 变换精确地按窗口宽度分解了信号的频谱f ( w ) ， 2 4 p q # t 大学硕士论文第三章自适应窗口傅早叶变换 提取出它的局部频谱信息，当b 在整个信号时( 空) 问轴x 上扫描时，就给出 了厂的完整频谱。因此，并没有损失信号f 在频域上的任何信息。 3 1 3 时频窗函数 式( 3 2 ) 中g 通常称为时( 空) 间窗1 3 函数( t i m e ( s p a c e ) w i n d o w f u n c t i o n ) ， 简称时( 空) 窗函数。除满足低通性外，为了同时具有一定的时( 空) 间、频 率定位与分辨率，时( 空) 窗函数g 应当具有好的时( 空) 频局域化特征，其 时( 空) - 频胞元面积越小越好，基于这一特性，将g 称为时( 空) 频窗( t i m e ( s p a c e ) 一f r e q u e n c yw i n d o w ) 函数更为贴切。 最初，g a b o r 选取g 为高斯函数： 洲= 而1 e 一埘营q ( 忉：e 扣 uu x o = 正ab 。= 矗| a ( 3 3 ) ( 3 4 ) 我们知道高斯窗是最佳的时( 空) 频窗1 2 1 函数，它具有最小的胞