（光学专业论文）光学三维形貌测量中的时频分析技术研究.pdf

i 摘摘 要要 很多物理量可以被物体表面形貌的变化所反映。 光学三维形貌测量技术具有 非接触性、高精度、高速性和自动化程度高等特点，在形貌测量领域得到了广泛 的应用。而傅里叶变换轮廓术作为一种主动光学三维形貌测量技术，因其只需要 一幅变形光栅图样来做全场分析的优点，而受到人们广泛关注。但是，传统的傅 里叶变换是一种全局频谱分析法， 不适用于对复杂物面调制的非平稳变形光栅条 纹信号的分析，而且对噪声敏感。 本文不但回顾了傅里叶变换轮廓术中算法存在的缺点， 而且研究了一类为了 改进傅里叶变换轮廓术中算法缺陷的非平稳信号时频分析算法， 如窗口傅里叶变 换法、伸缩窗口傅里叶变换法和多尺度窗口傅里叶变换法。随后提出了窗口尺度 选取改进算法，该算法通过小波脊来提取信号的瞬时频率，然后控制逐点分析窗 口的宽度来保证窗口内信号的准平稳性。该算法在信号的频率分辨率和空间（时 间）分辨率之间达到一种更佳的调和，即使条纹信号被噪声污染时，仍然可以得 到很好的物面重建效果。 其次，研究了窗口尺度选取改进算法在非平稳信号时频表示当中的有效性， 并与现有的各种在时频表示中常用的时频分析算法相比较。比较结果表明，该算 法在运算复杂度与时频局域化能力综合考虑的前提下具有优势。 再次，研究了热门的经验模态分解方法在光学三维形貌测量当中的除噪应 用， 光学三维形貌测量易受高频的背景噪声和 ccd 噪声的干扰。 实验结果显示， 使用经验模态分解方法在去除噪声，提高信噪比方面具有优越性。 关键词：三维形貌测量；时频分析；小波脊；瞬时频率；窗口尺度选取改进算法； 经验模态分解 ii abstract many physical quantity of an object can be reflected by changes of its shape. optical 3-d shape measurement technology has been widely used in shape measurement because of its characteristics of non-contact, high accuracy, high speed and high automation. the fourier transform profilometry as an active optical 3d shape measurement technology has been widely concerned because it need only one deformed grating image to make full-field analysis. however, conventional fourier transform method is a global spectrum analytical method which is unsuitable to analyze non-stationary fringe signal that modulated by complex shape, and it is sensitive to noise. this paper not only review the shortcoming of the algorithm of fourier transform profilometry, but also a class of time-frequency analysis algorithms for non-stationary signal has been researched. these methods are aim to improve the algorithm of fourier transform profilometry, such as windowed fourier transform, dilating gabor transform and multiscale windowed fourier transform. then an improved window scale selection algorithm is proposed, the instantaneous frequency of the fringe pattern is obtained by detecting the ridge of the wavelet transform, and the pointwise analytical window width is controlled to keep the inside signal quasi-stationary. there is a better harmonization between the frequency resolution and space (time) resolution which make it more accurate to the fundamental frequency spectrum extraction. even if the fringe signal is polluted by noise pollution, it still gets a good reconstruction results. secondly, the application of improved window scale selection algorithm in time-frequency representation of non-stationary signal is researched and compared with existing time-frequency analysis algorithm applied in time-frequency representation. the result proved that the algorithm is at an advantage considering about both computational complexity and time-frequency concentration capability. iii at last, the application of popular empirical mode decomposition method in denoising of optical 3-d shape measurement is researched. optical 3-d shape measurement is vulnerable to high-frequency background noise and ccd noise. simulation result shows that the empirical mode decomposition method is at an advantage when denoising and improving snr. keywords: 3-d shape measurement; time-frequency analysis; ridge of the wavelet transform; instantaneous frequency; improved window scale selection algorithm; empirical mode decomposition 独独 创创 性性 声声 明明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 暨南大学 暨南大学 或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 暨南大学 暨南大学 有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。 本人授权 暨南大学 暨南大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索， 可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 电话： 通讯地址： 邮编： 暨南大学硕士学位论文 1 第一章第一章 绪绪 论论 1.1 光学三维形貌测量技术概述光学三维形貌测量技术概述 传统的机械式接触测量技术存在测量力、测量时间可能对物面产生破坏，以 及测量精度被机械的设计所局限和测量速度与传感器的数目成正比等问题。 光学 三维形貌测量技术1,2能够满足现代计量所要求的非破坏性、高精度、高速度和 高自动化程度的特点，在许多领域如实物仿形、生物医学、机器视觉、工业自动 检测、产品外观质量检查等领域中具有重要意义和广阔应用前景3-5，日益受到 人们的重视。 光学技术、 计算机技术和光电子技术的迅速发展使新的三维形貌测量方法不 断涌现。特别是出现了基于结构光投影的主动三维形貌测量术6，通过引入主动 位相调制技术， 大大改善了干涉场的信噪比， 使得测量精度得到了大幅度的提高。 在各种主动三维形貌测量技术中，以相移轮廓术和傅里叶变换轮廓术最为常用。 1.2 相移轮廓术相移轮廓术 相移轮廓术包括时间相移轮廓术 68、 空间相移轮廓术 9和空间载波相移轮 廓术 10,11。较早时候所用的m步相移轮廓术即为时间相移轮廓术，它把投影到 物体表面的正弦光栅条纹移动m次， 每次移动的位相为2 /m， 从而得到m幅 条纹图像(3m )。令 n i代表第n幅图像上某点的强度，则位相为： 1 1 2 ( , )sin ( , )arctan 2 ( , )cos m n n m n n n ix y m x y n ix y m (1-3-1) 时间相移轮廓术的计算量较少，灵敏度高，但是要求精确移动光栅。这个条 件增加了系统的复杂性与不稳定性。 而且时间相移轮廓术需要至少三幅在不同时 刻、同一空间位置获得的基准相移光栅投影生成的变形光栅条纹图来计算位相， 第一章 绪论 2 因此仅局限于对静态或准静态位相的测量，不适合动态测量。 与时间相移轮廓术相对的空间相移轮廓术需要在同一时刻、 不同空间位置获 得多幅相移干涉图，因此可以用于动态测量。但是空间相移轮廓术的测量系统很 复杂，几乎现有系统都采用三步或四步相移装置，且对不同空间位置上的探测器 的光电性能的一致性要求很高，精度也不如时间相移轮廓术的高。也有专家提出 了两步相移轮廓术12。该方法只需要两幅变形光栅条纹图，因此计算量少，速度 快。 空间载波相移轮廓术是采用两个窗函数直接与原条纹图做卷积运算， 产生多 幅相移条纹图，然后用时间相移轮廓术的公式来计算位相。该方法只需要一幅条 纹图来解调位相，但要求很高的载波频率，而且要求背景光、条纹的幅值和位相 必须是缓慢变化的，否则将产生较大误差。同时，这种方法的分辨力较低，是相 应的m步时间相移轮廓术的1/m。 1.3 傅里叶变换轮廓术傅里叶变换轮廓术 1982 年 takeda 将傅里叶变换用于三维形貌测量，提出了傅里叶变换轮廓术 13,14。其变换原理是通过投影系统将 ronchi 光栅或正弦型光栅投影到待测物体 表面，摄像系统获取被物体高度分布调制的变形条纹。并由图像采集系统将变形 条纹送入计算机进行快速傅里叶变换，滤波和逆傅里叶变换，求解出物体的高度 信息。与相移轮廓术相比，傅里叶变换轮廓术通过单帧获取，全场分析来计算物 体的三维面形信息，而且分辨力高，特别适合实时动态测量。因此受到了众多研 究者的关注。 傅里叶变换轮廓术的测量光路图如图 1.3.1 所示， 1 p和 2 p分别为投影装置的 入瞳和出瞳， 1 i和 2 i为摄像装置的入瞳和出瞳，d为 2 p与 2 i之间的距离，l为 2 i 到xy参考面间的距离，a和c为xy参考平面上的两点，d为物面上的点，光 栅由投影系统投影在待测物体表面。 基准光栅被投影系统投影到待测物体表面上， 其数学表达式和由成像系统得 暨南大学硕士学位论文 3 到的变形光栅图像( , )i x y分别表示为： 000 ( , )( , )( , ) rn n ix yr x yaj nxnx y (1-3-2) 0 ( , )( , )( , ) n n i x yr x yaj nxnx y (1-3-3) 其中，x轴与光栅条纹方向垂直，y与光栅条纹方向平行， 0 是基准光栅像的 基频，( , )r x y是物体表面非均匀的反射率， n a是傅里叶级数的系数，( , )x y是 物体高度分布引起的位相调制， 0( , ) x y为基准光栅像的初始位相。 将(1-3-3)式中的y值固定，对每一行变形光栅图进行傅里叶变换，得到光场 在频域的全局谱，提取其中的基频分量，进行逆傅里叶变换，得到变形光栅图像 的基频信息在空域的表示为 0101 ()exp()( )( )exp( )( )fj x dr x a xjxxi x (1-3-4) 为了消除发散照明引起的附加位相调制， 必须对基准光栅图像进行同样的运 算过程，得到基准光栅在空域的基频分布，表示为 001000 ()exp()( )( )exp( )( ) r fj x dr x a xjxxix (1-3-5) fig. 1.3.1 optical geometry of ftp. 图 1.3.1 傅里叶变换轮廓术测量原理图. 第一章 绪论 4 将(1-3-4)和(1-3-5)式联立，可以得到单纯由物面高度所引起的位相调制： 010 ( )( )( )im log( )( )xxxi x ix (1-3-6) 其中，im表示的是复数虚部。 改变(1-3-3)式中的y值， 进行同样的运算， 最终可以得到整幅光栅图像在xy 平面上的位相分布( , )x y。 由图 1.3.1 所示的三角形acd和 2 di p的相似关系，有： ( , )/( , )cddh x ylh x y (1-3-7) 以及 0 ( , )x ycd (1-3-8) 联立(1-3-7)与(1-3-8)式，得到待测物体的高度分布： 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lx y h x y x yd (1-3-9) 傅里叶变换轮廓术只需一幅图像来进行全场分析， 数据处理比较简单， 但是， 傅里叶变换是一种全局变换，较适用于对平稳信号的分析，在对非平稳信号（如 表面斜率变化比较大或者形貌比较复杂的物体表面上的投影条纹）进行分析时， 基频常常与其他级次的频谱混叠，以致不能准确地提取基频，并存在频谱泄露， 使得该方法在测量复杂面形时精度受到极大的影响。 1.4 基于时频分析技术的加窗傅里叶变换轮廓术基于时频分析技术的加窗傅里叶变换轮廓术 为了弥补傅里叶变换轮廓术的不足， 在其基础发展了一类基于时频分析技术 的加窗傅里叶变换轮廓术，先对信号加时频窗口来局域频谱，再在窗口范围内使 用傅里叶变换来进行分析， 如窗口傅里叶变换法15,16， 伸缩窗口傅里叶变换法17 和多尺度窗口傅里叶变换法18,19。但是，这些局域频谱提取方法在分析窗口设计 上均存在不足，这将在后面的章节中进行讨论、归纳和总结。 暨南大学硕士学位论文 5 1.5 本论文的主要目标与工作内容本论文的主要目标与工作内容 回顾了傅里叶变换轮廓术中傅里叶变换法在复杂物体三维轮廓测量的实际 应用中存在频谱混叠和频谱泄露等问题， 分析了基于时频分析技术的变换法如窗 口傅里叶变换法、 伸缩窗口傅里叶变换法和多尺度窗口傅里叶变换法在分析窗口 设计上的缺陷，本文从小波脊提取光学条纹信号的瞬时频率的基本原理开始，提 出了窗口尺度选取的改进算法， 通过控制分析窗口大小来保持窗口内信号的准平 稳性。并通过理论分析，计算机模拟和实验研究了该方法在三维测量、非平稳信 号的时频分析领域的应用。 还研究了当前热门的经验模态分解方法在三维形貌测 量当中的除噪应用。 论文的主要工作内容包括： 1. 分析了窗口傅里叶变换和伸缩窗口傅里叶变换在条纹位相提取中的应用 和不足之处。 2. 回顾了小波脊提取光学条纹信号的瞬时频率的原理。对基于瞬时频率与瞬 时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换的分析窗口设计算法进行了深入的研究。 在 这基础上提出了窗口尺度选取的改进算法并研究其在三维形貌测量当中的应用， 然后与窗口傅里叶变换法、多尺度窗口傅里叶变换法相比较，给出模拟和实验分 析的结果。 3. 研究了窗口尺度选取的改进算法在非平稳信号时频表示中的应用，并与现 有的各种在时频表示中常用的时频分析算法相比较，给出模拟分析的结果。 4. 研究了经验模态分解方法在光学三维形貌测量当中的除噪应用，给出实验 分析的结果。 1.6 本论文的独创及新颖之处本论文的独创及新颖之处 1. 量化分析了基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换在窗口尺度选 取上不够合理之处。 2通过对算法的重新设计来对局域平稳长度进行重定义，在频率分辨率和 空间分辨率之间达到一种较佳的调和， 进一步提高了光栅投影条纹的位相提取精 第一章 绪论 6 度。 3. 提出将窗口尺度的改进算法用于非平稳信号的时频表示，重新设计了单 分量信号与多分量信号的分析窗口宽度的求取方法， 并获得了很好的时频局域化 能力，为非信号的时频表示提供了一种新的时频分析方法。 4根据经验模态分解方法的法则，将其应用于光学三维形貌测量的除噪当 中，获得了较好的除噪效果。 暨南大学硕士学位论文 7 第二章第二章 信号的加窗分析与海森堡测不准 原理 信号的加窗分析与海森堡测不准 原理 为了保留傅里叶变换轮廓术的优点， 克服其全局变换性质在复杂物面频谱提 取上存在的不足， 一类基于时频分析技术的局域化频谱提取方法如窗口傅里叶变 换法， 伸缩窗口傅里叶变换法和多尺度窗口傅里叶变换先后被引入到物体的三维 形貌测量领域当中。 但是， 基于时频分析技术的算法受海森堡测不准原理20的限 制，空域（时域）分辨率的提高意味着频域分辨率的降低，反之亦然。因此，如 何制定一种合理的窗口选取法则，使提取的频谱最接近真实频谱成为研究的热 点。 2.1 加窗傅里叶变换法加窗傅里叶变换法 加窗傅里叶变换法是在傅里叶变换法的框架内，通过在空（时）域上加上窗 口来实现局域频谱提取功能的变换法的统称。 使用加窗傅里叶变换法对一维变形光栅条纹信号进行局域频谱提取， 可以减 小不同级次的高频信息与低频信息频谱的相互影响，也可以降低对噪声的敏感 性，并且获得与窗宽相关的空间频率分辨率，方法是对变形光栅图像中的一 行（列）进行加窗傅里叶变换，提取含有位相信息的局域基频分量，随着窗口位 置的移动， 对所有提取出的局域基频分量进行叠加， 然后重构出全域的基频分量， 接着对基频进行位相解调，得到包裹位相。重复以上程序，直到所有行（列）的 包裹位相都得到，然后使用位相解包裹算法来重构出物面。使用高斯窗函数原因 是高斯函数在空域和频域中存在最小的展开，而且可以从中得到位相的详细说 明。对于某一行变形光栅条纹信号，其加窗傅里叶变换函数定义为： ( )( )exp()( ) bb wff xj x gx dx (2-1-1) 其中 第二章 信号的加窗分析与海森堡测不准原理 8 2 2 1 ( )exp,0 22 b xb gx (2-1-2) 这里，j为虚数单位，( ) b wf是局部光栅图像的加窗傅里叶变换的系数，( ) b gx 为引入了平移因子b和尺度因子的高斯窗函数。其中，b对应高斯窗口的中心 位置， 随着b的增大， 窗口位置相应往前推移；决定了该位置的高斯窗的宽度。 又由(2-1-2)式所述的高斯函数族的特性 ( )1 b gx dx (2-1-3) (2-1-1)式可以表述成 ( )( )exp()( ) b b wfdbf xj x gx dxdb ( )exp()( ) b f xj xgx db dx ( )f (2-1-4) 可见在不产生混叠的情况下， 加窗傅里叶变换得到的频谱叠加起来得到与傅里叶 变换一样的频谱。 高斯窗函数的宽度定义为函数的半峰全宽值21，其数学表达式如下： 22ln2 w x (2-1-5) 因此， 制定一种合理的算法来控制处于不同中心位置的高斯窗口的尺度因子 的值，也就实现了对窗口大小进行合理控制的构想。 窗口傅里叶变换法是加窗傅里叶变换法的一种具体形式， 它的特点是所加的 高斯窗函数的尺度因子为常数，不随着窗口的移动而改变，因此其窗口的宽度 也为一常数。如图2.1.1所示。固定的窗口大小对变化频率的信息存在分析缺陷， fig. 2.1.1 invariable window of windowed fourier transform. 图 2.1.1 窗口傅里叶变换的固定窗口. 暨南大学硕士学位论文 9 这将在接下来的小节中讨论。 2.2 海森堡测不准原理海森堡测不准原理 海森堡测不准原理最早是对一些理想实验的分析得出的， 后来又被波函数的 统计诠释严格证明。海森堡测不准原理是量子力学中的基本定理之一。许多重要 的物理现象(如粒子隧穿效应)均是由粒子的测不准原理引起的。信号作为物质世 界某种物理现象的反应，同样遵守测不准原理。 从严格的数学角度上来说，由海森堡测不准原理所限定的空（时）窗函数的 宽度与频率窗函数的宽度的乘积满足如下关系式： 1 2 x (2-2-1) 因此， 空 （时） 间窗宽度与频窗宽度是一种相互制约的关系， 如图2.2.1所示。 又因为窗函窗函数越窄，相应的分辨率越好。因此窗口宽度的相互制约关系使空 （时）间分辨率与频率分辨率不可能同时达到最佳，在选取空（时）间窗宽度与 频窗宽度时必须进行调和。 fig. 2.2.1 the heisenberg box. 图 2.2.1 海森堡盒子. 第二章 信号的加窗分析与海森堡测不准原理 10 特别的，当采用冲激函数 0 ()xx作为分析窗口作用于变形光栅条纹信号 ( )f x上， 得到 00 ( ) ()()f xxxf x， 可见使用冲激函数可以得到信号空 （时） 域任一点的幅度。其傅里叶变换为： 0 ( )( ) ()exp()wff xxxj x dx 00 ()exp()f xj x (2-2-2) 可以看出信号被冲激函数作用后，在频域上，各频率成份的强度为常数，也 就是说信号完全失去了频率分辨能力。 这就是海森堡测不准原理的极限情况：在使用空（时）域宽度最小的冲激函 数获得绝对精确的空 （时） 间分辨率时， 会完全失去信号的频率分辨能力。 反之， 使用空（时）域宽度最大的常数窗函数时，(2-2-2)式就变成了傅里叶变换式。 在实际工作中， 常常根据信号的特点及信号处理的任务需要来选取不同的空 （时）窗和频窗宽度。对具有瞬变特性的信号进行分析时，使用窄空（时）窗来 提取瞬变空（时）间点的局域频谱，可以保证能观察到该瞬变发生的时刻及频谱 形态，并将瞬变空（时）间点的频谱与相邻时间点的频谱区分开来；而对具有缓 变特性的信号进行分析时，由于缓变信号具有近似平稳性，因此其局域频谱与全 局频谱相仿，此时没有必要强调空（时）域分辨率转而强调频域分辨率，使用宽 时窗来提取局域频谱，能提高频谱分辨率，获得更精确的全局频谱，也就获得了 任一时刻的局域频谱。从另一种角度来看，这种合理的调和方法其结果是使空 （时） 窗内的信号保持了准平稳性， 也就是说， 窗内信号频率的变化率接近于零。 因此，在局域频谱提取过程中，合理的空（时）窗宽度的选取必须保证窗内信号 的准平稳性。此外，考虑到增大空（时）窗的宽度可以提高频谱的频率分辨率， 在保证局域频谱准平稳的前提下使空（时）窗宽度最大化，可以使局域频谱的提 取更准确。 对于全局上的非平稳信号来说，在它的局域信号段可以是准平稳的，如图 2.2.3所示的调制变形光栅条纹信号，由于复杂物面的非对称与非周期性，调制变 形光栅条纹信号在全局上来说是非平稳信号， 但是它的局域信号段可以是准平稳 的，只要保持该局域的频率变化率趋近于零即可。 暨南大学硕士学位论文 11 2.3 伸缩窗口傅里叶变换法伸缩窗口傅里叶变换法 伸缩窗口傅里叶变换法与窗口傅里叶变换法的区别在于， 它能够随着分析窗 口的移动，根据光栅条纹信号的空间周期来调整分析窗口的大小。 首先，要确定光栅条纹信号的空间周期，条纹的空间周期定义为光栅条纹灰 度两相邻极大值或极小值间的像素的个数。通过检测每一行（列）光栅条纹灰度 的所有极大值点或所有极小值点，进而确定各局部光栅条纹信号的空间周期。 其次，选择适合的高斯窗函数。在反复的模拟实验的基础上，伸缩窗口傅里 叶变换法提出当高斯窗口的有效宽度含有的像素点总数为对应局部变形光栅空 间周期t的像素点总数时，能够较为有效地提取出该局部光栅的基频信息，即有 如下关系： 22ln2 w xt (2-3-1) 得到分析窗口宽度的表达式后， 就可以对整幅光栅条纹图像进行上述的分析 处理。随着高斯窗口向前推进。每当移过一个光栅条纹周期后，通过再次检测局 部条纹周期从而确定新的值进行分析。 伸缩窗口傅里叶变换使分析窗口的空间分辨率和频率分辨率根据光栅条纹 空间周期的变化进行自动调节， 这一特性使其适用于分析频率变化的光栅图像信 息。但是，对于一些频率变化范围比较大的光栅条纹信号，在一个空间周期内可 能会包含有很丰富的频率成分；而对于频率不变的高频光栅条纹信号来说，根据 空间周期来取的分析窗口宽度又存在不足。换句话说，在分析窗口内的信号不是 准平稳的，因此局域频谱提取不够准确。 fig. 2.2.3 nonstationary fringe signal with a quasi-stationary signal in local ab. 图 2.2.3 非平稳条纹信号在 ab 区域内是准平稳信号. 第二章 信号的加窗分析与海森堡测不准原理 12 2.4 小结小结 在三维形貌测量当中，光栅条纹信号频率的变化是受物面调制的，包含有很 多种可能。受海森堡测不准原理的约束，窗口傅里叶变换的固定窗口无法对所有 局域条纹信号进行最优化的局域频谱提取，因此对窗函数引入了伸缩变换，基于 经验提出了使窗口的有效宽度含有的像素点总数为对应局部变形光栅空间周期 的像素点总数，从而有效的地改善了窗口傅里叶变换术的缺陷。 但是， 光栅条纹信号的空间周期与该空间周期内信号频率的平稳度并没有关 系。也就是说，在分析窗口内可能会包含有过于丰富的频率成分，而单一频率的 高频信号却对应着一个窄空（时）窗口，在这种情况下，伸缩窗口傅里叶变换法 违背了海森堡测不准原理， 因此它只是一种基于经验的变换法则， 不具有普适性。 暨南大学硕士学位论文 13 第三章第三章 窗口尺度选取的改进算法在光学 三维形貌测量中的应用 窗口尺度选取的改进算法在光学 三维形貌测量中的应用 伸缩窗口傅里叶变换基于模拟实验提出了一种经验的分析窗口取方法，但是 它在理论上并不完备， 最重要的是它并没有在海森堡测不准原理的框架内对分析 窗口进行设计，因此，伸缩窗口傅里叶变换法不具有普适性。多尺度窗口傅里叶 变换法是在伸缩窗口傅里叶变换法的基础上提出来的，它在理论上更完备，而且 从某种角度上对海森堡测不准原理进行了解读。尽管如此，在分析窗口尺度的选 取上，多尺度窗口傅里叶变换法仍存在不足，因此本章中提出了窗口尺度选取的 改进算法， 并且通过计算机模拟和实验来证明窗口尺度选取的改进算法比多尺度 窗口傅里叶变换法更优秀。 3.1 小波脊与条纹信号的瞬时频率小波脊与条纹信号的瞬时频率 信号的瞬时频率最早由carson22和gabor23分别定义，并最终由ville24统一 了二者的理论，并给出了表达式。 对于任意空间(时间)序列( )f x，其希尔伯特变换 ( ) f x可以表示为 1( ) ( ) f x f xpdx xx (3-1-1) 其中p表示的是柯西主值。若( ) p fl r，则 f存在，并且 ( ) p fl r， p l是 向量空间25， 1p 。 得到该空间序列的希尔伯特变换序列后，可以构造出一个解析信号： ( )( )( )( )exp( )z xf xjf xa xjx (3-1-2) 这里，j是虚数单位，进一步的，有如下关系式： 22 ( ) ( )( )( ),( )arctan ( ) f x a xfxfxx f x (3-1-3) 则该空间序列的瞬时频率被定义为 第三章 窗口尺度选取的改进算法在三维形貌测量中的应用 14 1( ) ( ) 2 ins dx fx dx (3-1-4) 小波变换是有效提取信号瞬时频率的一种工具，一个一维空（时）间序列 ( )f x的连续小波变换定义为： , ( , )( )( ) a b w a bf x mx dx (3-1-5) 其中规范化处理的小波基函数26为 , 1 ( ) a b xb mxm aa (3-1-6) 式中的( )m x称为一个基本小波或母小波， 上标*表示的是复共轭复数， , ( ) a b mx 是母小波函数( )m x经过伸缩、平移后得到的一个小波序列，a为小波的尺度因 子，b为小波的平移因子，( , )w a b是小波系数。 对于实数空（时）间序列，其小波变换幅值定义为： 22 ( , )( , )( , )a a bimag w a breal w a b (3-1-7) 其中，( , )real w a b和( , )imag w a b分别表示小波系数的实部和虚部。 根据小波变换的物理意义， 连续小波变换可以理解为将信号和小波序列进行 比较的结果，当以( , )a b为参数的幅值与相应尺度的小波函数振荡频率中心频率 wt f相同或相近时，其小波系数的幅值就大；反之，当被测信号的局部频率与相 应尺度的小波函数相差较远时，其小波系数就小。其中，在各个空（时）间位置 上，沿尺度轴方向均存在小波系数的最大值，这些最大值的位置的连线定义为小 波变换脊。 (,)max( , ) rri r a ba a b (3-1-8) 其中i为尺度因子a的序数， i a为各尺度参数的值， r a和 r b分别代表小波脊处的 尺度因子和平移因子。 小波变换脊上的任意一点的瞬时频率与取得该点脊值的小波变换的尺度因 子a有如下对应关系27,28： 暨南大学硕士学位论文 15 1 r ins a f (3-1-9) 因此，可以通过探测小波变换脊来获得条纹信号的瞬时频率。 3.2 基于瞬时频率的多尺度窗口傅里叶变换法基于瞬时频率的多尺度窗口傅里叶变换法 基于瞬时频率的多尺度窗口傅里叶变换利用条纹的局部变化周期来控制分 析窗口的宽度，由于局部光栅条纹的局部变化周期等于条纹瞬时频率的倒数，即 有： 1 ( ) ins ins tx f (3-2-1) 因此，其实质是由条纹的瞬时频率来控制窗口的宽度。将上式与式(3-1-9) 联立，得到： ( ) insr txa (3-2-2) 令高斯函数的有效宽度等于光栅条纹的局部变化周期，有： ( ) wins xtx (3-2-3) 将上式与(2-1-5)式联立，得到光栅条纹信号在x轴上每一点上进行窗口傅里 叶变换时的尺度因子取值为 ( )1 ( ) 2 ln22 ln2( ) ins ins tx x fx (3-2-4) 基于瞬时频率的多尺度窗口傅里叶变换法其思想是： 在条纹信号瞬时频率高 的局域用窄空（时）窗来分析，在条纹信号瞬时频率低的局域用宽空（时）窗来 分析。但是，这种窗口选取规则是对信号组成方式的一种狭隘理解，因为信号的 频率高低与其频率变化率并无关系，假设信号在低频段变化急促，在高频段变化 缓慢， 那么基于瞬时频率的多尺度窗口的选窗规则就不能够保证分析窗口内信号 的准平稳性。 第三章 窗口尺度选取的改进算法在三维形貌测量中的应用 16 3.3 基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换法基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换法 从信号的多分辨率分析来看， 基于瞬时频率的多尺度窗口傅里叶变换与小波 变换在分析信号时具有共同的特征，那就是分析高频信号时均用高的时间分辨 率，分析低频信号时采用高的频率分辨率。这种选窗的规则只有当高频信号段持 续时间短，低频信号段持续时间长时才适用。但是在实际中，信号的组成是多种 多样的，例如对于一个近似单频的准平稳信号，不论其频率是高还是低，都应该 用空（时）窗宽度为无穷大的傅里叶变换来分析，而不是根据其频率的高低来选 取窄空（时）窗和宽空（时）窗。 为了使分析窗口的选取更具有普适性， 基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里 叶变换法被提出。 瞬时频率由小波脊提取出来后， 就可以通过对其进行微分来得到瞬时频率的 梯度： ( ) ( )( ) ins insins dfx fxfx dx (3-3-1) 在实际信号的离散化处理情况中，式(3-3-1)变成： insins ins fk xxfk x fk x x (3-3-2) 得到了瞬时频率的梯度之后，就可以定义局域平稳长度。在离散信号的情况 下，第i个局域平稳区域的局域平稳长度由以下积分不等式来确定： ,1,2,3 ii i km ins k k fk xxi (3-3-3) 式中的为度量平稳长度的阈值，该阈值的大小视分析精度而定，趋于零； i k是 局域平稳区域的起始点， i m是使不等式成立的最大整数，x代表的是采样周期。 将(3-3-2)式代入(3-3-3)式，有： (1) insiiinsi fkmxfkx (3-3-4) 令该不等式成立，则第i个平稳区域的局域平稳长度为： (1) ii lmx (3-3-5) 暨南大学硕士学位论文 17 得到信号的局域平稳长度之后， 令高斯分析窗口的有效宽度等于该局域信号 段的局域平稳长度，即： wi xl (3-3-6) 将上式与(2-1-5)式联立，可以得到如下关系式： 2 2ln2 i i l (3-3-7) 这里 i 代表在第i个局域平稳区域内进行分析所采用的高斯窗口的大小，称 之为基于瞬时频率梯度的多尺度窗口。 基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换法与其余的加窗傅里叶变换法 相比，对海森堡测不准原理的理解更为正确，因此分析窗口的设计更为合理，是 一种普适性较好，测量精度较高的加窗傅里叶变换法。 3.4 窗口尺度选取的改进算法窗口尺度选取的改进算法 在实际操作的过程中，加窗傅里叶变换需要逐点移动得到局域频谱，然后再 从局域频谱中取出基频进行叠加，最后得到变形光栅条纹信号的基频谱。 根据基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换算法， 整段变形光栅信号被 分成i个平稳区域，窗口从某个平稳区域的起始点移动到结束点的过程当中，受 控窗口大小由(3-3-7)式固定，为简单起见，假设信号是单调的，当且仅当窗口中 心轴线与该平稳区域的中心位置重合时， 窗口有效宽度范围内所取得的信号才是 准平稳信号，窗宽大小的控制才是合理的，才不与算法本身相悖；而在平稳区域 内的其它点上，由于窗口有效宽度范围横跨了两个或两个以上的平稳区域，因此 不等式(3-3-4)就不一定成立，这将导致分析误差。由图3.4.1所示，假设两个相邻 的平稳区域分别为 i l与 1i l，分别由图中的实线和点划线表示，平稳区域的长度 由决定分析精度的阈值确定，分别为a x与b x(a和b均为整数，x是采样 周期)，由于趋于零，所以可以认为平稳区域内各点的瞬时频率是缓变的，假 设原高斯窗口中心与 i l的中心重合，当高斯窗口整体右移过k x长度之后，窗 口内的频率成分的偏移量范围可以由下式得到： 第三章 窗口尺度选取的改进算法在三维形貌测量中的应用 18 a xk xk x a xb x () 1 ba k ab . (3-4-1) 显而易见，当且仅当ab时， ；当ab时， ，此时窗口过 窄，变换得到的频率分辨率低；当ab时， ，此时窗口太宽，窗内频率 成分偏移量超过阈值，导致频率泄露。在实际分析当中，物体表面变化特征是非 周期性的，因此ab，如果根据基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换算 法所述的取窗规则， 窗口移动过程当中取得的基频谱就不够精确， 针对这个问题， 对原有的局域平稳长度定义进行改进，提出窗口尺度选取的改进算法。 窗口尺度选取的改进算法其精要在于保持分析窗口内部的局域信号的一致 准平稳性，在改进算法当中，第i个采样点上的逐点局域平稳长度的定义为： ii lm x (3-4-2) 当且仅当窗口内部的信号满足 max|min|,1,2,3 ii insinswinsinsw ffffffi (3-4-3) 时(3-4-2)式成立 fig. 3.4.1 slip window of multiscale windowed fourier transform which is based on instantaneous frequency gradient. 图 3.4.1 基于瞬时频率梯度的多尺度窗口傅里叶变换的移动窗口. 暨南大学硕士学位论文 19 式中的i同时也是所加分析窗口序数，窗口中心位置轴线为xi x ，x代表的 是采样周期， i m是使不等式成立的最大偶数，这是由于分析窗口以其中心位置 轴线为基线进行缩放导致的， i w f指的是第i个分析窗口内部的局域信号的瞬时 频率集合。 得到了信号的逐点变换的局域平稳长度之后， 令高斯分析窗口的有效宽度等 于该局域信号段的局域平稳长度，即： wi xl (3-4-4) 将上式与(2-1-5)式联立，可以得到如下关系式： 2 2ln2 i i l (3-4-5) 这里 i 代表在第i个信号采样点上进行分析所采用的高斯窗口的大小，称之 为窗口尺度选取的改进算法。 特别要注意的是，该算法在求取某个信号采样点上的局域平稳长度时，需要 将相邻点纳入计算的范围之内，因此，在用小波脊提取到光栅条纹信号的瞬时频 率后，必须先采用镜像延拓的方法对瞬时频率数据的边缘进行延拓，再使用该算 法进行分析。 窗口尺度选取改进算法轮廓术的测量流程图如图3.4.2所示 第三章 窗口尺度选取的改进算法在三维形貌测量中的应用 20 fig. 3.4.2 the flow chart of improved window scale selection algorithm profilometry 图 3.4.2 窗口尺度选取改进算法轮廓术的流程图. 暨南大学硕士学位论文 21 3.5 窗口尺度选取改进算法在光学三维形貌测量中的应用窗口尺度选取改进算法在光学三维形貌测量中的应用 3.5.1 计算机模拟计算机模拟 通过计算机生成了如图3.5.1(a)所示的等距罗奇光栅条纹图案，图像大小为 168512，光栅空间周期为16个像素。对等距光栅信号加高斯白噪声，使加噪光 栅的信噪比为14db，然后对加噪光栅进行位相调制，生成变形光栅，任一行变 形光栅条纹图案与等距光栅条纹图案的调制位相差如下式所示： 00.40.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 frequency /2 intensity fig. 3.5.2 the frequency spectrum of deformed grating pattern. 图3.5.2 变形光栅的频谱. (a) (b) fig. 3.5.1 grating image. (a) original