（运筹学与控制论专业论文）一类dirichlet边界波动方程的精确能控性.pdf

摘要 讨论一类d i r i c h l e t 边界波动方程 i y ”一a y + q y = 0 ，( 。，t ) qx r ， y = 口， ( z ，t ) f r ，( 1 ) lf ( o ) = y o ，y l ( o ) = y 1 ， z q 的精确能控性，这里n 是彤中的有界区域”表示对时间变量t 求 导数”表示拉普拉斯算子 q l o o ( q ) 且q 0 ”是控制函数， 口l 己。( r ；l 2 ( r 1 ) ) 1 9 9 4 年，v k o m o r n i k 在文 3 中证明了该系统当m i 1 ，t 2 l ( 1 一尬) 时，是精确能控的，其中 ， ：2 l q v + m 也肛11 i2 l q v 酉t ，礼2 a ，是使厶1 w 1 2 + q l u l 2 d x2 ，厶l u l 2 d x 成立的最大的常数 本文利用h u m ( 希尔伯特空间唯一性方法) ，黎曼流形【4 j 等知识，恒等替 换等技巧得出当m 号f 兰学时，系统( 1 ) 是精确能控性的，其中 a 是”一”算子对应的最小非零特征值文【3 通过( 1 6 ) 式加上n 一1 倍的 ( 1 7 ) 式得到等式( 1 8 ) ， 层异( 以) ( 2 日( u ) + ( 亿一1 ) 札) u + ( 日，v ) ( ( “，) 2 1 w 1 2 ) d p d t = 如札( 2 日o ) + ( 一1 ) “) “出 ；+ 2 驯占+ 君厶+ ( 忍一2 ) g “2 + 2 q “日( “) d x d t ， 而本文是利用等式( 2 9 ) 在( 2 8 ) 式中作替换得到与文 3 中( 1 8 ) 式类似的等 式( 2 1 0 ) ， 譬正( 日( “) 舞一 1 w l 。( ， ) ) d r d t = ( u 7 日( u ) ) f 吾+ 与量( u 7 ，u ) 】f 吾+ i 1 舒矗( 札7 ) 2 + i v u l 2 d x d t + 口厶i v u l 2 d x d t + 舒如；q “2 + q h ( u ) u d x d t 不仅避免了n 的分情况讨论，同时极大地简化了证明过程 2 0 0 2 年，孙波在文f 1 2 】中证明了一类阻尼波动方程在控制时间丁足够 长，阻尼系数m 足够小时，系统 ( z ，t ) q r ， ( 。，t ) r r ， ( 2 ) z f 2 q = = 姆 矿 + 0 ，赫 是精确能控的然而文1 1 2 没有给出具体的控制时间t 和阻尼系数，本文 则利用h u m ( 希尔伯特空间唯一性方法) ，黎曼流形等知识，恒等替换等技巧 重新推导，不仅证明简单，而且确定了控制时间t 和阻尼系数的范围， 即系统( 2 ) 在k 币妾抵时，是精确能控性的改进了文 1 2 1 的结果 由于解的存在性是精确能控性的前提，因此在第一章主要讨论了系统 ( 1 ) 解的存在性和唯一性不少关于双曲型方程精确能控性的文章证明中， 当推导到存在控制函数使方程的解在某时刻为零时，就说精确能控性得到 证明其实这只是证明了系统精确零控性，往往对于初学者不易理解本 文在第二章以系统( 1 ) 为例不仅给出了精确能控性和精确零控性的定义并 且证明了系统精确能控性与精确零控性的等价关系，接着讨论了系统的能 观性，即存在固定常数c ，砌使得 c 1 e ( o ) 2 l ( 1 一m i ) w h e r e 尬= 馏l q 肌v 丙+ 坳龛 w h e r ea lj st h eb i g g e s tc o n s t a n ts u c ht h a t 如1 w 1 2 + 洲2 血a 1 矗 d x ， i n 恤l sp a p e r ，t h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft ms y s t e mi so b s t a i n e db yh u m ( h i l b e r t u n i q u e n e s sm e t h o d ) a n dt h ek n o w l e d g e 。fr i e m a a i n i n nm a n i f o l d ，w h e nm 联导罄w h e 刚i s t h e s m a l l e s tp o s i t j v ee i g e n v a l u eo fa 1 1 曲e e l g e n v a l u e c o r r e s p o 、n d - i n gt h eo p e r a t e r ”一a ”i np a p e r 3 t h ee q u a l i t y ( 1 8 ) i so b s t a i n e db y ( 1 6 ) + ( n 一1 ) ( 1 7 ) i 息 后鼻( 以可) ( 2 日托) + 一1 ) “) “+ ( 日，一) ( ( u ) 2 一i v u l 2 ) d f d t = l ( 2 日( “) + ( 佗一1 ) u ) 札d 茁】；+ 2 i j i e + j 手，n + ( n 一2 ) q t 上2 + 2 q u 日( u ) d d 亡， b u ti nt h i sp a p e r ，t h ee q u a l i t y ( 2 i o ) w h i c hi ss i m i l a rt o ( 1 8 ) i np a p e r a i sg a i n e db y t r a n s i t i o ni n ( 2 8 ) b yu s e i n gt h ee q u a l i t yc 2 9 ) n a m e l y j 孑异( 日心) 赛一 1 w l 2 ( 日，v ) d c d t ： ( u ，日( u ) ) i i + 气旦( u ，u ) i 吾+ 口矗( u 7 ) 2 + + 赡 n 毫q 廿+ q h ( u ) u d x d t v u2 d x d t + 口l1 w 1 2 d x d t n o to n l yt h ec o n s i d e r i n gi nt e r m so ft h ev a l u eo f ”n i sp r e c l u d e d ，b u ta l s o t h ee q u l i t y f 3 1 0 ) i sb e t t e re s t i m a t i v et h a nt h ee q u l i t y0 s ) i np a p e r l a c 。n s i d 8 。h e8 x 眦” t r o l l a b i l i t yo fw a v ee q u a t i o nw i t hd a m p ：y盂-2au，。+，ky，。=，o：,，。，；：巷l兰：三 ( 2 ) t h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es y s t e mw a sp r o v e db ys u n b oi n2 0 0 2w h e nt h ec o n t r o l t i m e ”t ”l o n ge n o u g ha n dt h ed a m pc o e f f i c i e n t ”k ”i ss m a l le n o u g h b u tt h er a n g e ”t ”a n d ”k ”w e r e n tg i v e nc l e a r l y , i nt h i sp a p e rt h ep r o o fi sd e d u c e da g a i na n dt h er a n g e ”t n n d k 。b s t a j n e d ，iew h e n 而，t h es y s t e m ( 2 ) i se x a c t c o n t r o l l a b l e b e c a u s ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es y s t e mo nb a s i so ft h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o ns ot h eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n c eo fs o l u t i o ni sc o n s i d e r e di nc h a p t e r2 i n s o l n ep a p e rt h ep r o o fo fc o n t r o l l a b i l i t yi sc o m p l e t e dw h e nt h ec o n t r o lf u n c t i o nm a k e t h es o l u t i o no f s y s t e mi sn u l li nt i m e ”t ”i nf a c t ，o n l yt h et h ee x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t y o ft h es y s t e mw a sp r o v e d ，i ti sd i f f i c u tt ou n d e r s t a n dt on e w l e a r n e r ，s oi nc h a p t e r2 ，n o t o n l yt h ed e f i n a t i o no ft h ee x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t ya n dt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yi sg i v e n b u ta l s ot h er e l a t i o no fe q u a l i t yb e t w e e nt h ee x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t ya n dt h ee x a c t n u l lc o n t r o l l a b i l i t yi sp r o v e d t h e nt h eo b s e r v a b i l i t yo fs y s t e mi sc o n s i d e r i n g ，i et h e r e a r ep o s i t i v ef i x e dc o n s t a n t ”c i ”，”e 2 ”，s u c ht h a t c z 即， 0 及控制函数u 使系统( 2 1 ) 的解从妒，妒1 走到妒，妒1 由定义知，存 在时间噩 0 及控制函数”。使系统 妒”一妒+ q 妒= 0 ，白，t ) n r ， 妒= v l ，( x ，t ) r r ，( 22 ) 妒( 0 ) = 妒o ，妒7 ( 0 ) = 妒1 ， z f 2 的解满足妒( 乃，x ) = ( 五，x ) = 0 同理存在时间t 2 0 及控制函数v 2 使系统 i 母“一矽+ q 妒= 0 ，( 。，t ) q r ， 妒= 2 ，( z ，t ) r r ， ( 23 ) l 妒( o ) = 妒o ，妒7 ( o ) = 妒1 ， 。q 的解满足妒( t 2 ，x ) = 砂7 ( t 2 ，茁) = 0 由于波动方程的解关于时间具有可逆性，故存 在时间t = 噩十t 2 0 及控制函数 ，= 一。，篡墨 ：一三耋呈塑竺丝! 兰墨兰墼童矍塑丝塑堡垒竺坌叁竺堡垒竺竺些婴些 7 使得系统 i y ”一a u + q u = 0 ， ( z ，t ) q r ， 1 p = 口， ( z ，f ) rx 兄， 【可( o ) = 妒o ，可( o ) = 妒1 ，z q 的解满足目( t ，z ) = 妒o ，可7 ( 丁，z ) = 妙1 说明系统( 2 i ) 是精确能控的 可见系统( 2 1 ) 的精确能控性与精确零控性是等价的 接下来考虑系统( 2 1 ) 的对偶系统 u ”一a u 十q u = 0 ， ( z ，t ) q r ， 乱20 t ( 。，t ) r r ，( 24 ) u ( o ) = u o ，乱( o ) = “1 ， z n 首先定义系统的广义能量为 耶) - 一互1 上f u 船) 2 + f 可酬2 + 口f 珏f 2 d z 因为 e ) = = = = i ie ( v ，v u ) + ( u ”，u ) + q ( u 7 ，u ) d x 1 厶( 札，一u ) + ( u ”，u ) + g ( u ，u ) d x + 丘u 嘉d x ；厶( 钍，一a u + q u ) d x + 正“7 器d ) ( 0 故系统的能量是保守的，即e ( t ) = e ( o ) 对偶系统的能观性是系统精确能控性的前提，接下来要用到一个重要的能量不等 式 定理2 - 2 取r 0 = f ( 只) 三o ，其中 为r “的内积，u 是n 边界的单位外发 向，c 1 1c 2 是固定的常数，且c ， o ，c 2 0 ，当m 兰兰静时，不等式 c - 即) z 2z 。( 嘉) ：d f d t _ c ：e ( 0 ) ( 2 s ) 成立 为了证明定理22 ，要用到如下引理 引理2 1 如果( m ，g ) 是m 维紧致有向的维带边黎曼流形，x 是m 上任意的光 滑向量场， 是的指向m 内部的单位法向量，则对于任意的_ ，h c 。o ( ? t z ) 有如下 积分公式 ( h a f f h ) d v m = ( f v ( h ) 一h v ( f ) ) d v o m j m j o m 其中o m 具有从m 诱导的定向，m 为体积元素，上式被称为格林公式 ，fl【 8一类d i r i c h l e t 边界波动方程的精确能控性 接下来看定理2 2 的证明 n 证记日( u ) = ( z - 一岱! 。) 钍。 i = 1 用h ( u ) 乘以“”的两边，根据性质( 1 1 ) ”h ( u 1 =( “7 日( u ) ) 7 一札7 日( u 7 ) ( “7 日( “) ) 一 h ( “止) ( 豇7 h ( 札) ) 7 一 ( h ，v ( u ，) 2 ) = ( u 7 h ( u ) ) 7 一拗”( ( u ，) 2 h ) + ( t z ，) 2 d i v h 在( 0 ，t ) q 上积分，再利用分布积分公式 ( u 7 ，日( u ) ) 旧一j 口矗( u ) 2 ( 日，v ) d p d t + i n f 如( u ，) 2 d x d t ( “7 ，日( 乱) ) 旧+ ；譬如( 让，) 2 d x d t ( 2 6 ) 接着计算( “) ( u q “) ，根据性质( 2 1 ) ( b ) 因此 d i v ( h ( u ) v u ) = h ( u ) d i v ( v u ) + ( v h ( u ) ，v u ) = h ( u ) a u + ( v h ( “) ，v u ) h ( u ) ( “一q 扎) = d i v ( h ( u ) v u ) 一( v ( 日( u ) ) ，v u ) 一q h ( u ) u = 狮( 脚) v 乱) 一耋掣器一删u ) “ = d i v ( h ( u ) v u ) 一( u + h u ) “一q h ( u ) u = d i v ( h ( u ) v u ) 一1 w 1 2 + ；h ( i v u i 2 ) q h ( u ) u = d i v ( h ( u ) v u 一 1 r un 2 h ) + 譬i v u l 2 一q h ( u ) u 在( 0 ，t ) n 上积分，再利用散度定理 q u ) = 罂r if t 呱州 v u 务1 2 d x d 引t v ud x d t 二能q 山h ( u 一) u 。d x d t ( 2 7 ) + 堡 一l ：l n 、j 故有 口片出”( 日( “) 舞一 1 w 1 2 ( h ，v ) ) d r d t = 在的u ”= a u q 两端乘以u ( ，日( u ) ) i 吾+ ；譬厶( u 7 ) 2 一1 w 1 2 d x d t + 口矗l v 1 2 d x d t 一口lq h ( u ) u d x d t ( 28 ) 一类d i r i c h l e t 边界波动方程的精确能控性和其对偶系统的能观性 9 利用散度公式 壮) 7 一( “) 2 = d i v ( u v u ) 一l v 珏j 2 一q u 2 在( 0 ，t ) q 上积分 z t 上( 7 ) 2 一i v u f 2 d x d t = ( u 7 ，u ) i 吾+ o ti ：q u 2 d x d t ( 。9 ) 将( 2 9 ) 式代入( 2 8 ) 式，并利用拆项和重新组合的技巧得到 j 孑，r ( 日( u ) 嚣一 i w l 2 ( h ，u ) ) d r d t 一 ( u 7 h ( u ) ) l o r + 2 ( u 7 ，u ) 艋+ 启矗1 w 1 2 d x d t + j ； 如i n 2 十q h ( u ) u d x d t ( u 日( 仳) ) 旧+ 孚( “，) 艋+ j ；f 厶( 札，) 2 + 1 w 1 2 d x c + j ；f 矗l v u ( 2 d x d t 十j ； 厶i q u 2 + q h ( u ) u d x d t 考虑等式( 2 5 ) 的左边 由于v 乱1 r 甓 ，日( u ) = 舞( h ，u ) 因此 j 孑片( 日( u ) 舞一j i w l 2 ( 日，v ) ) d r d t = 接着考虑等式( 2 5 ) 的右边 ( u ，h ( 札) ) 旧s 链f nq h ( u ) u d x d t m l 诺k u u u d x d t 一等譬如i v u l 2 d x d t 一百m l t e ( o ) 丽n - 1f v 札蚓吾 掣露。片。i 赛1 2 ) d r d t t e ( o ) 一2 l e ( 0 ) 一专 e ( o ) 一鼍筹e ( o ) 令c ，7 = t 一2 l 一而n - - i 一等，c ，= s u p ( h ，t ：j ) ，这里m 2 l 孤x i q m - n l - 1 取 c 1 = c 。 - - ，则不等式( 25 ) 左边成立，令扩= 2 t + 2 l + 褚+ 而m 耳l t ，取c 2 = 等，不 等式( 2 5 ) 右边也成立 “ 接着考虑系统的精确能控性 定理2 3 对于任意的( y o ，y 1 ) g v 7 ) 存在控制函数v l 乙。( r ；l 2 ( r 1 ) ) 当 m 2 l 弧, i 一+ m n l - 1 时，系统( 2 1 ) 是精确能控性的 证利用不等式的右边可证得( u o ，u 1 ) 一瓯是明l 2 ( q ) 到l 2 ( o ，t ；l 2 ( r ) ) ) 连续的线性映射，用系统( 24 ) 解的方向导数作为系统( 2 1 ) 部分边界的控制函数，根 据定理( 21 ) ，系统 y ”一a y + q = 0 ， y = 巩u ， g = 0 ， ( t ) = 0 ，y l ( t ) = 0 有唯一的解并且( u o ，“1 ，v ) 一( y ，y ) 是连续的线性映射，因此( 札o ，“1 ) 一( ( o ) ，y j ( o ) ) 也是从硪l 2 ( n ) 到驴) xh 。( q ) 的连续的线性映射如果这个映射是同构的， 则v ( o ) = y o ，y r ( 0 ) = y 1 ，进而系统的精确能控性得到证明下证这个映射是同构的 定义( 2 3 ) ( ( ，f 1 ) ，( 9 1 ，9 2 ) ) l 孙) l 赫) 2 ( f l ，9 1 ) l 孙) + ( ，2 ，9 2 ) l 孙) 定义( 2 4 ) a ：硪( n ) l 2 ( n ) 一h 。) l 2 ( n ) ，a ( u o ，u 1 ) = ( y l ( o ) ，一( o ) ) 由于( u ，t z 7 ) 和y ，分别是系统( 21 ) ( 2 1 2 ) 的解则 “”目= ( ? 2 1 可) 7 一u y 7 = ( “) 7 一( u y 7 ) 7 + u y ” - ( 7 9 ) ( “9 7 ) 7 = 札“口一u y “ u n y u y ”= y ( a u q u ) 一u ( a y 十q y ) = y a u 一“ t 0 xd uv + ，e 耢并 一 一 挖2 黾r 凸= q n n q “叫n 吖n v z 扣扛忙 ，、l 一类d i r i c h l e t 边界波动方程的精确能控性和其对偈垒丝塑丝盟：些 1 l 根据定义( 2 3 ) ) ( a ( u 。，u 1 ) ，( 札。，u 1 ) ) l 2 n ，x l 孙，= ( ( 掣7 ( o ) ，一掣( o ) ) ，( u 。，让1 ) ) l 孙，x l 孙， = ( ”( o ) ，u 。) l ) l 赫) 一( ( o ) ，u 1 ) 。孙) x l 孙 根据系统( 21 2 ) 已知条件可( t ) = 0 ，( t ) = 0 ，上式= 譬矗( 札f ) 7 一( u p ，) ，d x d t f ，n ( 札7 可) 7 一( 札可，) ，d x d t =甓、瞳y u y d x d t 蛲l n y a u u a y d x d t 根据格林公式和已知条件，当( z ，t ) p o r 时，y = 巩，当( z ，t ) r l r 时 y = 0 ，则 诺k q 缸一u z 、y d x d t = f 矗赛一象d r d t 譬氐( 舞) 2 d f d t p 3 i e _ 当m 2 l 以v 5 一+ m n l - 1 时，不等式 c 。即) ! o t 厶( 筹) 2 d p d t _ 0 ( 3 2 ) 故e ( t ) e ( o ) ，另一方面e m ) = ；如( 札，) 2 d xsk e ( t ) 再利用g r o n w a i l ( 24 j 不等式 e - k t ( f 他) 一k z ( t ) ) 0 一类d i r i c h e t 边界波动方程的精确能控性 居口 金( e 州刖) 墨0 所以e - k t e ( t ) e ( o ) ，即，当0 t t 时， e ( t ) e k t e ( o )( 33 ) 系统的能观性是可控性的前提，因此要用到如下引理 引理3 2 取f o = ( 日，口) 0 ) 其中 0 ，s 2 0 ，当 而= i 2 ( 而n - 鬲1 ) 磊时，不等式 们( 0 ) 0 7z 。( 筹) 2 d f d t _ s 2 e ( 0 ) ( 3 a ) 成立 证记日( 札) = ( z l z ：) “。 用日( “) 乘以“”的两边在( 0 ，t ) n 上积分，再利用分布积分公式 詹1 正u h ( u ) d x d t = ( “7 ，日( “) ) 晤一j 1 譬矗( “，) 2 ( 日， d p d t + i n 符厶( u ，) 2 d x d t = ( u 7 ，日( “) ) 旧+ ；譬如( u ，) 2 d x d t ( 3 5 ) 接着计算日( u ) ( u k u ，) 日( u ) ( u k u 7 ) = d _ l v ( h ( u ) v u ) 一( v ( h ( u ) ) ，v u ) k h ( u ) u 7 = d i v ( h ( u ) v u ) 一妻掣鑫k l t ( u ) u 7 = d i v ( h ( u ) v u ) 一( + h u ) “。h ( u ) u 7 = d i v ( h ( u ) v u ) 一1 w 1 2 一j 日( 1 v u l 2 ) 一k h ( u ) u 7 = d i v ( t t ( u ) v u ) 一f w l 2 一j d i v ( 1 x 7 u 1 2 日) + ；1 w 1 2 d i v h 一a r ( u ) u 7 = d i v ( h ( u ) v u 一 v “f 2 h ) + 旦手1 w , 1 2 一k 日( u ) u 7 在( 0 ：t ) n 上积分，再利用散度定理 譬 日”一七。参t 毒彳瑟。“乏o u 一引1yu口le(尼h,kvh)。d。r，d。tlwl d x d t，d x d t ( s q 十与生君厶 2 一五。尼k h ( u ) u 1 故有 膏l 州h 。o 。, u j l w l 2 ( h ，v ) ) d r d t =( “7 ，日( “) ) 晤+ i n 譬如( “垆一1 w t 2 d x d t + 甓l n l w l 2 d x d t + 话f r 2k h ( u ) u f d x d t ( 3 7 ) 一类带有阻尼项波动方程的精确能控性 在的u “= a u 一u 的两端乘以u 在( 0 ，t ) n 上积分 = u u k u 1 5 z r 上( 札7 ) 2 一f v u l 2 d x d t = ( u ，| u ) i 吾+ i ! t ：k u ，u