（运筹学与控制论专业论文）随机脉冲系统的稳定性分析.pdf

中文摘要 摘要 脉冲控制系统的稳定性是动力系统研究的一个重要课题之一随着控制系 统应用范围的扩大，对象的日益复杂，系统与环境均充满不确定性以及更为严 格的控制要求，使我们正面对一个系统复杂程度日益增大和控制要求日益提高 的充满挑战的时代。而控制系统复杂性中不确定性是最重要的一个因素。大量 数学工具从应用角度引入控制研究，以及计算机技术的飞速发展，为解决该问 题创造了条件。近年来，随机系统受到越来越大的关注，它已经在很多学科中 不可避免地出现，在人们的现实生活中，有很多非线性系统可以用随机系统来 描述，例如金融衍生物的定价模型，人口增长预测模型等。随机系统研究的课 题之一就是系统中状态变化的规律性，其直观表现就是系统状态的稳定性等 对于某些随机系统，我们可以通过脉冲控制使其状态达到稳定本文将主要应 用比较定理、l y a p u n o v i 函数法和泛函分析等方法，来研究随机脉冲系统解的稳 定性对一些实际生活或生产中遇到的问题，采用脉冲方法对这类随机系统 ( 线性或非线性随机系统) 进行控制，其中包括固定脉冲时刻以及系统方程具 有m a 凼o v i 孤性质等情况，提出新的或比已有的判剧更好的稳定性判据。同时举 出数值例子来说明所得判据的有效性和优越性，从而使所得的结论能够更好地 与实际相结合，更好地将理论应用于生产实践。 本文由四章构成。第一章是绪论，第二章利用用l y a p u n o v i 弱数，如公式等 工具，给出了随机脉冲开关系统的p 阶稳定性定义与一些判定方法。第三章主 要利用使用l m i s 方法，得到了具有固定时刻输出的不确定随机脉冲系统的鲁 棒日0 滤波问题的结果第四章对随机滞后系统引进了脉冲控制，随后通过找到 线性随机脉冲滞后系统的解与一般随机滞后系统解的对应性，研究了一类线性 随机脉冲控制滞后系统的解的稳定性问题。 关键词：脉冲控制，随机微分方程，p 阶稳定性，m a r k o v i a n 开 关，l y a p u n o v 函数，风。滤波，线性矩阵不等式，滞后，稳定性。 一一 英文摘要 a b s t r a c t t h e s t a b i l i t yo fi m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e mi sa ni s s u ef o rd i s c u s s i o n w i t he x p a n d - i n ga p p f i c a f i o no fc o n t r o ls y s t e m s ，a n dg r o w i n gc o m p l e x i t yo ft h eo b j e c t s ，t h eu n c e r - t a i n t yo ft h es y s t e m sa n d t h ee n v i r o n m e n ta n dt h er i g i dc o n t r o lr e q u i r e m e n t s ，c h a l l e n g e u st ob eb ef a c e dw i t ht h i sa g e b u tt h eu n c e r t a i n t yi nt h ec o m p l e xc o n t r o ls y s t e m si s o u co ft h em o s tc m d a lf a c t o r s m a n ym a t h e m a t i c a lt o o l s ，i n t r o d u c e di n t oc o n t r o li n - v e s t i g a t i o np r a c t i c a l l y , a n df a s td e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y , l a yas o l i df o u n - c l a r i o nf o rm e e t i n gt h i sc h a l l e n g e i nr e c e n ty e a r s ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v e a t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o nb e c a u s et h ep r o b l e m sa r en o to n l ya c a d e m i c a l l yc h a l l e n g i n g ， b u ta l s oo f p r a c t i c a l l yi m p o r t a n ta n dh a v ep l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yw a y ss u c h a so p t i o np r i c i n g ，f o r e c a s to f t h eg r o w t ho f p o p u l a t i o n , e t c s o m e t i m e si m p u l s i v ec o n - t r o lc a nb eu s e dt os t a b i l i z es o m es t o c h a s t i cs y s t e m s i nt h i sp a p e r , w eu s ec o m p a r i s o n t h e o r y , l y a p u n o vf u n c t i o n s ，l m i s ，a n da n a l y s i sm e t h o d st og e ts o m es t a b i l i t yc r i t e r i a o fs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t hi m p u l s e s i m p u l s i v ec o n t r o li su s e di nm a n ys t o c h a s t i cs y s - t e m s ( 1 i n e a rs y s t e m sa n d n o n - l i n e a ro n e s ) ，i n c l u d i n gt h ec o n d i t i o n st h a th a v ei m p u l s e s a tf i n i t et i m e so rw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g a l s os o m ee x a m p l e sa r cg i v e nt oe s t a b l i s h t h ee f f i c i e n c yo fc o n c l u s i o n s ，i no r d e rt om a k et h et h e o r yp r a c t i c a l t h i s d i s s e r t a t i o n i s d i v i d e d i n t o f o u r p a r t s c h a p t e r o n e i s t h e e x o r d i u m i n c h a p t e r t w o , s o m es t a b i l i t yc r i t e r i ao fp - m o m e n ts t a b i l i t yf o rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t h i m p u l s i v e j u m p a n d m a r k o v i a n s w i t c h i n g a r e o b t a i n e d b y u s i n g l i a p u n o v f u n c t i o n m e t h o d i nc h a p t e rt h f e e ，w eh a v eg o tt h er e s u l to fr o b u s t 巩f i l t e r i n gf o rs t o c h a s t i c s y s t e m sw i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t ya n di m p u l s ee f f e c t sa td e f i n e dt i m ei n s t a n t sb yn 8 - i n ga nl m i sa p p r o a c h hc h a p t e rf o u r , t h r o u g ho b t a i n i n ge q u i v a l e n c eb e t w e e nt h e s o l u t i o no fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n su n d e ri m p u l s i v ec o n t r o la n dt h es o - i n t i o no fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n sw i t h o u ti m p u l s e s ，w ch a v ee s t a b l i s h e d s o l n es t a b i l i t yc r i t e r i af o rt h e s es y s t e m s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ec o n t r o l , s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n , p - m o m e n ts t a - b i f i t y , m a r k o v i a ns w i t c h i n g ，l y a p u n o vf u n c t i o n , 如f i l t e r i n g ，l m i s ，d e l a y s ，s t a b i l i t y 一一 版权使用授权声明 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下 各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学 位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存 论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务； 学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在 不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术 活动。 学位论文作者签名： 年月日： 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 指导教师签名： 年月日 学位论文作者签名： 年月日 论文原创性声明 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 一一 签名： 年月日 第一章绪论 1 1 概述 第一章绪论 动力系统是2 0 世纪最富有成就感的数学分支之一，在不少领域中有重要的 应用，不仅是非线性科学的研究对象，而且是研究非线性“复杂性”的有力工 具之一，其理论与方法已广泛渗透于许多重要的领域和众多学科。它的稳定性 问题是人们研究各类动态系统所面临的最基本最重要的问题之一在经典控制 中，稳定性是唯一的要求，即使在现代控制论中，它仍然是主要的性能指标。 控制科学从本质上讲是一门技术科学，是2 呲纪4 0 9 代由数学家n w i e n e l o j 立的一门很具有生命力的学科它涵盖的内容越来越广，涉及线 性系统、非线性系统、分布参数系统、离散事件系统、随机系统、大规模系统 等不同性质的控制对象；研究领域不断扩大，包括建模和系统辨识、统计估值 和滤波、最优控制、鲁棒控制、自适应控制、故障诊断和容错控制、智能控制 及控制系统c a d 等途径和方法；同时，它在社会经济、环境生态、组织管理等 人类决策活动，与生物医学中诊断及控制，与信息处理、新型计算原理( 如人工 神经网络) 等邻近学科相交叉中又将形成许多新的研究分支；它以工程技术中的 实际需要为背景和动力，以数学和计算机为主要目的，正处在数学、计算机科 学和工程学交叉学科的发展前沿，正处在以自动化、计算机和机器人为代表的 新技术革命的核心，已把有力的结果带到现代技术中。它的应用和影响已经遍 及众多的部门和领域，贯穿其中的许多思想和方法已经用于经济和社会现象的 研究。 另外，脉冲控制方法已经广泛地应用于随机系统、状态系统及经济系统 等，在其它的工程系统中也起到了很大的作用，如生态、人口统计、混合抽样 及反馈等方面。所以对随机脉冲控制系统稳定性的分析具有一定的理论价值和 实用价值 下面给出与本文相关的概念和大致内容： 1 2 一些概念 为了简单起见，利用逻辑量词：3 、v ，它们分别表示“存在”、。任意给 定”的意思。以记号x 表示具有度量p 的度量空间，兄表示实数集合j 矿表 第一章绪论 示r 的非负子集。c 【，o 】表示连续函数集合，c 1 【，o 】表示一阶连续可微集合。 1 2 - 1 动力系统概念 定义1 1 ：7 r ( x ，r ，7 r ) 表示定义在x 空间上的一个动力系统，其中7 r 是乘积空 间x r 到空间x 上的一个映射，此映射满足下列公理： ( 1 ) 恒等公理：7 r ( z ，0 ) = z ，v 。ex ； ( 2 ) 群公理：7 r ( t r ( x ，t 1 ) ，0 2 ) = i r ( x ，t 1 + t 2 ) ，v x x ，v t l ，t 2er ； ( 3 ) 连续公理：7 r 是一个连续映射。 在x 空间上给定了一个动力系统，则空间x 和映射丌分别称为该动力系统 的相空间和映射。 1 2 2 动力系统平衡位置的稳定性和吸弓l 】性 定义1 2 ：给定一个动力系统( x ，r ，r ) ，若存在点z x ，使得l r ( x ，t ) = z ，v t r ，称z 为此动力系统的一个平衡点，记为z 。以p ( z ，) 表示z 与矿的距离， 在尼1 中，p ( 墨扩) 常以忙一矿0 来表示。 下面给出动力系统( x ，r ，7 r ) 的平衡点z 。的稳定性与吸引性概念。除非特别 声明，稳定性概念都是指的l y a p 岫o v 意义下的。 定义1 3 ：称矿是稳定的，若垤 0 ，孤( e ) ，使得当p ( 蜘，矿) 6 ，有p ( 7 r ( t ) ，扩) 0 ，当p ( z ，) 0 ，j 6 ( ) 0 ，当p ( 跏，z 8 ) 0 ，j 詹( 6 ) 0 ，当p ( x 0 ，z 。) 0 ，3 以( ) 0 ，6 2 ( e ) 0 ，当l l g c t ，u ) l i 西，j l y o l i 如时，( 1 2 ) 式的解有估计 式i l u ( t ，t o ，y o ) l l 0 ，o 是状态i 到状态j 的转换率且有= 一并且假 设m 捌a n 链r ( ) 与b r o w n i a n 运动删( ) 相互独立。 为了简单起见，定义：r = h ：i = 1 ，2 且盯7 1 死 0 ，存在一个j 0 ，使得 e l i x ( t ) l l t o 且i i z o l l o 使得 2 骢e i 陋( t ) 0 = 0 ，当i l x o l l 9 0 满足，对任 意e 0 ，存在一个与t o 无关的t = t ( ) 使得 e i i z ( t ) l l t o + t 且i i z o l l 9 0 ，对任意j 0 ，存在x 0 ：i i x o l l p t o 使得e i i z ( t , ) l l ，e 为了给出主要结论，还需要给出一些定义令伊，1 ( 郧b s ；舻) 定义为 在j 矿j 0 xs 上的非负函数族y ( z ，t ，i ) ，且该函数对于z 连续二次可微且对于t 连 续一次可微。对每一个v 伊，1 ( 形兄s ；j 矿) 定义算子l v ：f p 岛s r 如下： l v ( z ，t ，i ) = k ( z ，t ，i ) + k 扛，t ，1 ) ，扛，t ，i ) + t r a c e 旷( 霉，t ，i ) v d z ，t ，i ) g ( x ，t ，i ) 】+ e y ( z ，t ，j ) ， 其中 k ( z ，相= o r ( 瓦z , t 一, i ) ， - 9 - 第二章随机脉冲开关系统的p 阶稳定性研究 啦，印，= ( 掣，掣，警) ， 啡 沪( 罨铲) 在给出结果之前，我们还需要一些引理。考虑如下随机开关系统： 姒力_ ， o ) ，t ，“皿均 ( t ) ，厶“砖灿，珍k ( 2 2 ) iy ( t o ) = 铀， 其中，：册见s _ 舻且有，( o ，t ，i ) = 0 当t a , i s ，9 ：a x p b x s _ 舻。 且有9 ( o ，t ，i ) = 0 当t 盯，i s d w ( t ) 是一个后维w i e n e r 过程 引理2 1 ：( 【1 3 】) 如果y 6 a , 1 ( 形x 忍xs ；胪) ，则对于任意停时0 t l 亡2 0 和a ：见一r 使得对每一个冒| | ( t ) 妒p ，当t t o 使得 e ( l v ( y ( o ，t ，r ( t ) ) ) a ( t ) e ( y ( ! ，( ) ，t ，r ( t ) ) ) ； ( 3 ) j ? 。a + ( t ) d t + o o ，入+ ( t ) = m a x a ( t ) ，o ) 则对任意给定t 届与任意o 6 ( c 1 饧沁唧( 一”( s ) 出) ， 当0 珈1 1 9 6 f i r ( 0 ) = 如，我们有对所有t t o ，刁，有 即( 蹴钟) ) ) 唧( f 郴) 甸 i 础f l ：令6 ( c l c 硷) # e x p ( 一e 妒( 8 1 d s ) ，显然有o 5 芦我们要证明如 果l i 珈i i 5 则对所有的t t o ，卵有 e ( y 扫( t ) ，t ，r 0 ) ) ) c 1 肛 ( 2 3 ) 第二章随机脉冲开关系统的p 阶稳定性研究 从l l y o l l 9 6 和条件( 1 ) ，黼o v ( y o ，t o ，i o ) c l p e x p ( 一j ：a ( 3 ) d s ) c l p 如 果( 2 3 ) 是不正确的，则存在一个t l t o ，卅，使得e ( y ( 掣( t 1 ) ，t l ，r ( t 1 ) ) ) = c l p 且 对所有的t t o ，t 1 ) ，有e ( v ( y ( o ，t ，r ( t ) ) ) c l f 。 此时，对所有t i t o ，t l 】，有e l l y ( t ) l l p 。从条件( 2 ) 我们可以得到对任 意t t o ，t 1 1 有 e ( l v ( y ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) a ( t ) e ( 可( t ) ，t ，r ( t ) ) ) 通过一般化的i t o 公式( 引理2 2 ) ，显然我们可以得到 e ( y 函( t ) ，t ，r ( t ) ) ) = e v ( y o ，t o ，如) + e ( j ：l v ( y ( s ) ，岛r ( s ) ) d s ) + e ( e 盟警业m ( s ) ，s ，r ( s ) ) ( s ) ) e v ( y o ，t o ，如) + j ：a ( s ) e ( y 国( s ) ，s ，r ( s ) ) ) 出 再d ：l g r o n w a u 不等式，得到对所有的t t o ，t 1 】有 e ( y ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) v ( y o ，钿，1 f o ) e 】币( j ：a ( s ) d s ) c 1 1 ， 所以有e ( y ( ( t 1 ) ，t z ，r ( t 1 ) ) ) c l p ，这与假设矛盾。这样( 2 3 ) 就是正确的通过 引理中条件( 1 ) ，对任意t t o ，刁，当珈j 1 9 6 ，有e l l y ( t ) l l o 使得对所有的i = 0 ，1 ，2 ，有j ：“a + ( t ) d t m ；且对每个e 忪( 圳9 p 1 ，我们可以得 到对任何t 【t o ，+ o 。) r ，有 e ( l v ( x ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) x l ( t ) e ( v ( x ( t ) ，t ，r ( ) ) ) 其中对( t ) = m a x a l ( t ) ，o ) ； ( 3 ) 存在卢2 o 与a 2 ：r 一矿使得对每一个e i i x ( r , - ) l l p 助，我们可以得到， 对任意兀f 有 e ( v ( x ( t i ) ，瓦，r ( n ) ) ) a 2 ( 瓦) e ( y ( z ( 可) ，几，r ( 兀) ) ) ； ( 4 ) 董妒n ) + o o ，其中妒( 死) ：m a x a h ) ，o ) ，天( 几) ：l n ( a 2 h ) ) + = 0 口1 对( s ) d s 对所有i = 0 ，1 ，2 则方程组( 2 1 ) 的平凡解是一致p 阶稳定的 证明：令p = m i n m ，舰) ，贝q 对于任葸：0 e p ，存在一个独立于t o 的 6 = 扣( 一( m + 酗兀，) ) ， 显然有0 j ( c 1 c 2 ) p 。对任意t o j 0 ，存在一个1 使 得t o h 一1 ，死) 。当u z o l l 6 ，显然有1 1 ：r 0 1 1 ( c f f o z ) l x p ( - m ) ( c d c 2 ) z e x p ( 一j ：对( s ) 出) ，由引理2 3 ，我们可以得到，对所有的t t o ，r ) ， 有 ，、 e ( y ( 。( t ) ，t ，r o ) ) ) e x p ( 臂a 1 ( s 灿) v ( z o ，t o ，i o ) e x p ( p 1 对( s ) d s ) v ( x o ，t o ，i o ) c 1 。e x pf 一董p ( 兀) 、) c 1 嘲，f 一董p ( 死) 、) 接下来，我们要证明对于任意i = z ，+ 1 ，+ 2 ，当t 胁，矗+ 1 ) 时，有 即似帅) ) c i 。e x pf 一妻讹) 1 ( 2 4 ) 第二章随机脉冲开关系统的p 阶稳定性研究 , x 2 0 - t ) c 。s 唧f 一- 1 - 。” ( 露) 1 q 。唧( 一( c 汕二薹。p c 以，) ) c 1 e x p ( 一口1 对( s ) d 8 ) ， 所以e 忙( ，- t ) l l ， o 使得对所有的i = 0 ，1 ，2 ，有j “对( t ) m m ；且对每个e 忙( 圳，p 1 ，我们可以得 到对任何t t o ，+ o o ) r ，有 e ( l v ( x ( t ) ，t ，r ( ) ) ) a l ( t ) e ( v ( x ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) ， 其中a t ( t ) = m a x a l ( t ) ，o ，； ( 3 ) 存在舰 o 与a 2 ：r 一兄+ 使得对每一个e i i x ( 1 7 ) 1 舰，我们可以得到， 对任意霞r 有 e ( y ( z ( 以) ，以，r ( 瓦) ) ) a 2 ( 冗) e ( y ( z ( 可) ，露，r ( 矗) ) ) ； ( 4 ) 董天+ 亿) + ，其中支+ h ) ：m a x 支n ) ，o ) ，i ( n ) ：l n ( a 2 ) ) + j ：“对( s ) 如对所有t = 0 ，1 ，2 ， + ( 5 ) a 一( 兀) = + ，其中a 一( 露) = 一m i n a ( 露) ，o a n da ( 瓦) = l n ( a 2 ( 以) ) + j “a 1 ( s ) d s 对所有i = 0 ，1 ，2 ， 则方程组( 2 1 ) 的平凡解是一致p 阶稳定且渐近p 阶稳定的 证明：由定理2 1 ，我们可得方程组( 2 1 ) 的解是一霉砀阶稳定的。 令p = m i n t t l ，脚 ，则对任意：0 e p ，令j ( e ) 就是一致p 阶 稳定中的j 定义晶= 6 ( p ) ，则有对任意t o r 。与i f z o l l p 南，可得 当t t o 有e i i x ( t ) l l m + l + l n ( 罱) ， a 一 ( 揣) ( 2 7 扛0 、。，7 第二章随机脉冲开关系统的p 阶稳定性研究 下面要证明对任：$ 1 1 = o l l 9 而，存在一个，+ l 】，使 得e ( y 扛( 刁，tr ( 匀) ) c - 6 ) 。 如果这是不正确的，则当t卜- o ，t n o + 1 】时，有c 1 j ( s ) e ( y ( g ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) 晚s 。通过一般化的i f o 公式( 引理2 2 ) ，数学归纳法，引 理2 3 ，式( 2 5 ) - ( 2 7 ) ，我们可以得到 e ( v ( z ( r m o + 1 ) ，7 0 + 1 ，r ( t n o + 1 ) ) e ( v ( a ( r 元o + 1 ) ，7 盹+ m ，r ( t - o + 肌) ) ) a 2 ( 7 + m ) e ( y or n o + l 一，) ，t n 0 十1 一，r ( r n o + 1 一，) ) ) a z ( + 1 ) 唧( 瑶 r n o + + 1 n 1 一，a ( s ) d s ) e ( y ( z ( ) ，r ( ) ) ) n 旦o + n i ) n o ；+ 臻n 1 - t n 0 a 2 ( n 1 e x p 1a ( s ) 哟 e ( y ( z ( ) ，r ( ) ) ) 订)兀 ( j = r 件1 a 1 ( s ) 如) t = “01 2 m e ( v ( z ( _ r m o ) = e ( y 0 ( 7 o ) ， = e ( y 0 ( 7 o ) ， e ( v c x ( r n o ) ， e ( y ( z ( 下o ) ， e ( z ( f ) ， = e c v 扛( 7 o ) ， c 1 6 ( s ) r ( ) ) ) n ；o 驭+ n 1m 几) 贳he x p ( j 了1x l ( s ) d s ) r ( ) ) ) 兀a 2 ( 几)( j 了1) = o= o 、。7 r ( ) ) ) (+no+naexpm = n 卜m ( 枷+ j 了1 州s ) 嘲) r ( 功i ) ) ) i+ l l n ( 沁h ) ) + j 了1a 1 ( s ) d s i ) o o o r ( ) ) ) ( + n o + n 1 e x p m i = n o 旷( 矗) 一州酬1 r ( 力) ) )i+ 【a + ( 矗) 一a 一( 瓦) 】l t 帆) ) ) ( + n 邑o + i v l e x p m m ) - h - ( 以) ) r ( 7 0 ) ) ) (+ l a + ( 瓦) 一( 以) i ) 扛0 o o o + 1 o + l 、 r ( 7 _ o ) ) ) e x p m + a + ( 兀) 一a 一( 露) 、岛n a缸， r ( ) ) ) 甲( 誓+ 1 一p + 1 仙( 黹) ) r ( ) ) ) 【端) 与假设矛盾因此可得存在一个f r 】v o ，力v o + l 】，使得e ( z ( 旬，t r ( 旬) ) c 1 6 ( ) ，即e 肛( 句1 1 9 j ( e ) 。由定理2 1 ，可得当f t l = f ，有e i i x ( t ) l l 0 使得对所有的i = 0 ，1 ，2 ，有j 叮件1 对( t ) m m ；且对每个e 忙( 刚9 p 1 ，我们可以得 到对任何t t o ，+ o o ) r ，有 e ( l v 0 ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) a l ( t ) e ( y 扛( t ) ，t ，r ( t ) ) ) ， 其中对( t ) = m 觚 a 1 ( t ) ，o ) ； ( 3 ) 存在舰 o 与九：r 一疗。使得对每一个e 忙( 下) i i 比，我们可以得到， 对任意孔r 有 e ( y ( t ) ， r i ，r ( 兀) ) ) a 2 ( 兀) e ( y ( 百) ，t ，r ( n ) ) ) ； 十 ( 4 ) a + ( - r ) 0 ，存在一个( ) 满足当n 0 ，有一a 一机) 厶 其中a 一( 兀) = 一m i n t a ( 瓦) ，o ) ，a ( t ) = l n ( a 2 ( 正) ) + 臂+ 1a l ( s ) d s ，i = 0 ，1 ，2 ； ( 6 ) 存在一个l 0 使得以+ 1 一兀l ，i = 0 ，1 ，2 ， 则方程组( 2 1 ) 的平凡解是一致渐近p 阶稳定的 证明：该定理的证明过程与定理2 2 的证明类似，除了t 与t o 无关，因此略之。 推论2 4 ：令c 1 与晚为正数，如果存在y 伊，1 ( 酽见墨j 矿) 使得 ( 1 ) c l i l x l l 9 v ( x ，t ，i ) c 2 l l x l l 第二章随机脉冲开关系统的p 阶稳定性研究 ( 2 ) 存在p o 与a ：尼一r 使得对每一个e 忪( 圳p ，我们有对任意t t o e c l v ( z ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) a ( t ) e ( z ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) ； ( 3 ) j ? 0 。a + ( t ) d t 0 ，存在一个t ( ) r ，满足当t t o ，有f + r 。a 一( s ) d s ， 其中a - ( s ) = - m i n a ( s ) ，o ) 。 则方程组( 2 2 ) 的平凡解是一致渐近p 阶稳定的 2 4 数值例子 i d z 0 ) = ， ( 0 ，t ，r ( t ) ) d t + g 扛o ) ，t ，r 0 ) ) d 加( t ) ，t n 茹( 矗) = 五( z ( 下) ，t i ，r ( 霞) ) ，t = 几= 2 i 7 r ，i = 0 ，1 ，2 ， ( 2 8 ) i ) = ：g o ， i ，( 童( t ) ，t ，1 ) = f i x l $ 1 n x 2 s i l l 鼢8 1 n z = ( 善1z 2 2 ：4 t 剖n 埘隹 夕czct，屯1，=夕czct，t2，=( 五czc下，元，t，=五czc彳，露，。，=( z 1 c 0 8 t , 2 c o s 勋c 0 8 口1 亿) z l ( 彳 d 2 魄) z 2 ( 下 n 3 亿) 黝( 可 0 4 ( 瓦) z 4 ( 下 。x 2 x 3 2 4 + 茹i x 3 x 4 一1 2 2 2 4 + z 1 现z 3 第二章随机脉冲开关系统的p 阶稳定性研究 且k 限) 垒m a x 括l ，2 3 4 ( i ) ) e x p 一仿+ 4 ) ) ，诘0 ，1 ，2 ，则方程 组( 2 8 ) 的平凡解是2 阶一致渐近稳定的。 证明：取矿p ( t ) ，t ，r ( t ) ) = 砰+ z ；+ + 霸，通过i t 0 公式，则当t t ，信0 ，1 ，2 时，有 e ( l v ( x ( t ) ，t ，r ( ) ) ) = ( 2 s i n t + c o s 2 t ) e ( v ( x ( t ) ，t ，r ( t ) ) = a i ( t ) e ( v ( x ( t ) ，t ，r ( t ) ) ) ， 其中a l ( t ) = ( 2 s i n t + c o s 2t ) 。另外 e ( y ( z ( 矗) ，t ，r ( 以) ) ) = e ( z ；( 几) + z z z ( r , ) + 司( 瓦) + 碹( 元) ) = e ( 壹硪咖2 ( 下) ) a 2 ( 兀) e ( y ( z ( 彳) ，几，r ( 兀) ) ) 义有 0 ( 沁( 兀) ) + 片+ 1 a - ( t ) d t ) 一= 卜( a 。( 兀) ) + 倦删。( 2 s i n t + c o a 2 t ) d t ) 一 = ( 1 n ( a 2 ( t ) ) + 7 r ) 一4 其中( ) 一= 一m i n ( ) ，o ) ，且有 l n ( 沁( 矗) ) + j ：+ 1x x + ( t ) a t = l n ( 妃( 气) ) + 2 ( i + 1 h ( 2 s i n t + c o s 2 t ) + d t 一( 4 + 7 r ) + 22 ( i + 1 h ( s i n t ) + d t + f 2 2 鬈+ 1 霄c 0 6 2t d t = 0 其中( ) + = m a x ( ) ，o ，因此可得 差(hc枷+厂1a+(t)dt) + 0 ，存在一 个p ( ) 0 ，使得 z l l x ( t ) 1 1 2 0 且e l l = o l f 2 0 是一个给定常数。 一：岫一 第三章一类不确定随机脉冲系统的鲁棒耳。滤波 3 2 主要结论 在本节中我们通过一种l m i 方法来解决前一节中提出的鲁棒王k 滤波问题。 引理3 1 ：( 【4 l 】) 令a ，d ，p ，f 是具有适当维数的实矩阵并且有w 0 ，f ( t ) r f ( t ) i ，则我们有如下结论： ( 1 ) 对于任意e 0 和向量z ，y j p ，有 2 x t d f p ysg - l x t d d t x + 皆p 确 ( 2 ) 对于任意e 0 使得一e d 矿 0 ，有 ( a + d f p ) t w 一1 ( a + d f 尸) a t ( w e d d t ) 一1 a + e - 1 p t p 定理3 1 ：考虑不确定随机脉冲系统( e ) 与( 3 6 ) 如果存在一个矩阵p 0 与常 数1 0 ，勖 o 使得如下l m i s 成立： 0 ，存在一个整数t 0 ，使得i t , ，t i + 1 ) 。定义 y ( z ( t ) ) = z 0 ) t p z ( t )( 3 1 7 ) 然后对系统( e d 使用i t o 公式，我们得到当t i t , ，南+ 1 ) 时， 其中 d y 扛( t ) ) = l v ( x ( t ) ) d t + 2 x ( t ) t p k + a k ( t ) d w ( t ) 扛o i 嘉a k ( t 锄) r 叫p 扪 k 瑚m 班 ( 3 1 8 ) + z ( t ) r 暇+ k ( t ) 1 z ( ) ”。 从( 3 1 2 ) ，n - j 得p 一i 1 m m v 0 且有 鼬嚣6 1 n t a l a r an a + s 2k ( p 妻端k p o 再利用引理3 2 ，可以得到 2 x c t ) t p a a ( t ) x ( t ) z 0 ) t 忙l 孵忆+ e i - 1 p m 胪尸】z ( t ) ， ( 3 2 0 ) z ( t ) r 瞄+ k ( t ) 】t p 【k +