（计算数学专业论文）块迭代解法在偏微分方程数值解中的应用.pdf

摘要 摘要 现代科学，技术，工程中的许多问题都会归结为偏微分方程定解问题，这些 定解问题只有很少一部分可以给出解析解，而绝大多数都必须通过近似方法进行 数值求解。数值求解偏微分方程定解问题可以分为两部分，第一部分是方程的离 散化处理，第二部分就是线性代数方程组的求解。对偏微分方程的数值求解既依 赖于离散方法，又同时依赖于线性代数方程组的求解，把两者结合到一起，是我 们的出发点。由于离散化处理后形成的线性代数方程组的系数矩阵具有很好的块 结构，因此，本文着重讨论了块迭代解法在偏微分方程数值解中的一些应用。 文章从偏微分方程定解问题的离散化出发，介绍了椭圆型方程边值问题离散 化的常用方法，并在第二章改进了定常和非定常对流扩散方程的一类指数型差分 格式，为解决此类方程提供了一种有效的差分方法。 在第三章中详细的介绍了解线性代数方程组的块基本迭代方法。在解决 l a p l a c e 方程d i r i c h l e t 边值问题上，文章为确定块基本迭代方法的谱半径和s o r 方法最优松弛因子提供了一个有效的方法，并推导了九点差分格式下的块基本迭 代方法的谱半径和s o r 方法最优松弛因子。 在第四章，文章引入了p e ( 拟消元) 方法及其收敛性相关内容，特别是在m 矩 阵和h 矩阵下的收敛性。基于二次p e k 方法的基础之上，文章提出了二次p e k 方 法的外推迭代一二次e p e k 方法，并讨论了其在对称正定和可正定化条件下的收敛 性。同时，文章对解决l a p l a c e 方程d i r i c h l e t 边值问题紧凑差分格式下的二次p e k 方法最优参数选取提供了一个实验性的结论。 结合块i l u 预条件的k r y l o v 子空间方法是目前解决有限差分方法离散偏微分 方程定解问题下的线性代数方程组的一种很广泛的方法，在为对称块三对角m 矩 阵和非对称块三对角h 矩阵分别引入了几个预条件之后，文章对对称块五对角m 矩阵提出了类似的不完全分解预条件，并用实验验证它的有效性。 我们把块基本迭代方法、p e 方法和块预条件的k r y l o v 子空间方法在文章中通 过大量数值实验加以比较，相应的结论将在第六章中给出。 关键词：偏微分方程，差分格式，基本迭代法，p e 方法，预条件 a b s t r a c t a b s t r a c t m a n yp r o b l e m sa r i s e nf r o ms c i e n c e ，t e c h n o l o g ya n dp r o j e c tm a yc o m ed o w n t ot h e i n i t i a lv a l u ea n db o u n d a r yp r o b l e m so ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f e wo ft h e s e e q u a t i o n sc a n b eg i v e na na n a l y t i c a ls o l u t i o nw h i l em o s ta r eg i v e na na p p r o x i m a t ev a l u e b y n u m e r i c a lm e t h o d s t h en u m e r i c a lm e t h o d sf o r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p r o b l e m sc a nb ep a r t i t i o n e di n t ot w op a r t s ：o n ei st h ed i s c r e t i z a t i o no fe q u a t i o n s ，a n d t h eo t h e ri st h es o l u t i o no fl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s b e c a u s et h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo f l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n sf r o mt h ed i s c r e t i z a t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sa n a l l r i g h t b l o c ks t r u c t u r e ，w ee m p h a s i so nt h eb l o c ki t e r a t i v em e t h o d sa p p l i e di n n u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h et e x t i nt h et e x t ，w es t a r tf r o mt h ed i s c r e t i z a t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， i n t r o d u c ei nt h ec o m m o nd i s c r e t i z a t i o nm e t h o d sf o re l l i p t i ce q u a t i o na n di m p r o v ea n e x p o n e n t d i f f e r e n c es c h e m ef o rt h et w o d i m e n s i o nc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s w h i c hc a nb er e g a r da sa na d v a n c e dd i f f e r e n c es c h e m ef o rt h o s ee q u a t i o n s w ed e t a i l e di n t r o d u c et h eb l o c kb a s i ci t e r a t i v em e t h o d sf o rl i n e a ra l g e b r a i c e q u a t i o n si nt h et h i r dc h a p t e r i nt h es o l u t i o no ft h ed i r i c h l e tb o u n d a r yp r o b l e mo f l a p l a c ee q u a t i o n s ，w ep r o v i d ea ne f f e c t i v em e t h o df o rd e t e r m i n i n gt h es p e c t r a lr a d i u s a n dt h eb e s ts l a c kv a r i a b l eo fb l o c kb a s i ci t e r a t i v em e t h o d s a tt h es a m et i m e ，w e p r e s e n tt h es p e c t r a lr a d i u sa n dt h eb e s ts l a c kv a r i a b l eo f b a s i ci t e r a t i v em e t h o d sf r o mt h e n i n e - p o i n td i f f e r e n c es c h e m e i nt h ef o r t hc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h ep e ( p s e u d oe l i m i n a t i o n ) m e t h o d sa n dt h e i r c o n v e r g e n c e s ，e s p e c i a l l yt h ec o n v e r g e n c e sw i t h b l o c k e dt r i d i a g o n a l m - m a t r i xa n d h - m a t r i x b a s e do nq u a d r a t i cp e km e t h o d ，q u a d r a t i ce p e km e t h o di sa d v a n c e da n di t s c o n v e r g e n c e sa r ed i s c u s s e db yt h ec o n d i t i o n so ft h es y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t ea n dt h e p o s i t i v e - d e f i n a b l em a t r i x a tt h es a m et i m e ，w ep r o v i d ea ne x p e r i m e n t a lc o n c l u s i o nf o r c h o o s i n gt h ep a r a m e t e ro fq u a d r a t i cp e k m e t h o d sf r o mc o m p a c td i f f e r e n c es c h e m ef o r s o l v i n gt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yp r o b l e mo fl a p l a c ee q u a t i o n s c o m b i n e dw i t hb l o c ki l up r e c o n d i t i o n e r s ，k r y l o vs u b s p a c em e t h o d sn o wa r et h e i i a b s t r a c t w i d e l yu s e dm e t h o d sf o rs o l v i n gl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n sf r o mt h ed i c r e t z a t i o no f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sp r o b l e m s w h e nw ei n t r o d u c e s e v e r a lb l o c k p r e c o n d i t i o n e r s f o rb l o c k e d t r i d i a g o n a ls y m m e t r i c m m a t r i xa n dn o n s y m m e t r i c h m a t r i x ，w ep r e s e n tf o u rb l o c kp r e c o n d i t i o n e r sf o r t h eb l o c k e df i v e d i a g o n a l s y m m e t r i cm - m a t r i x n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ec a r r y i n go u tt oc h e c kt h ev a l i d i t y w e p u t t h eb l o c kb a s i ci t e r a t i v e m e t h o d s ，p em e t h o d s a n db l o c ki l u p r e c o n d i t i o n e dk r y l o vs u b s p a c em e t h o d st o g e t h e ra n dc o m p a r ew i t h e a c ho t h e rb y m a n yn u m e r i c a le x p e r i m e n t s s o m ec o n c l u s i o n sa r ed r a w ni nt h es i x t hc h a p t e r k e y w o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c es c h e m e ，b a s i ci t e r a t i v em e t h o d s ， p r e c o n d i t i o n e r s i l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 日期：刁年乡月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导l j 币答名针字盎 导师签名：兰l ! ：兰竺 日期：砷年乡月日 第一章绪论 1 1 偏微分方程定解问题 第一章绪论 现代科学，技术，工程中的大量数学模型都可以用偏微分方程来描述，许多 物理问题或工程技术中都会导出偏微分方程。海洋、水利等的流体动力学问题、 微弦的振动和波动过程等，都会归结为双曲型方程，如描述振动和波动过程的波 动方程；定常热传导、导体电流分布、静电学和静磁学、弹性理论和渗流理论问 题等都会归结为椭圆型偏微分方程，比如我们常见的描述输运过程的热传导和扩 散方程；而非定常热传导、气体膨胀、电磁场分布等问题又会归结为抛物型偏微 分方程，比如描述输运过程的热传导和扩散方程等。 这些泛定方程加上适当的定解条件，就构成了偏微分方程定解问题。定解条 件分为两类，一类为边界条件，另一类为初始条件。初始条件描述所研究系统的 初始状态( 一般是在零时刻的状态) 。而边界条件描述物理问题在边界上受约束的 状态，一般可以归结为三类，第一类边界条件给出未知函数在边界上的分布值； 第二类边界条件给出未知函数在边界上的法向导数值；第三类边界条件是第一类 和第二类边界条件的线性组合。这些定解问题只有很少一部分可以给出解析解， 而绝大多数都必须通过近似方法进行数值求解。 1 2 有限差分方法 对于偏微分方程的离散求解，已有比较丰富的研究工作。迄今为止，有限差 分方法仍是应用于偏微分方程定解问题求解的一种最广泛的数值方法。其基本思 想是用离散的只含有有限个未知量的差分方程组去近似代替连续变量的偏微分方 程和定解条件，并把差分方程组的解作为偏微分方程和定解问题的近似解。 构造偏微分方程的有限差分方法主要有两步，第一步是将求解区域q 进行网 格剖分，网格剖分可以采用平行于坐标轴的直线形成的网覆盖区域q ，它们的交 点称为网格点，这一步通常又被称为数值网格生成。它在数值求解偏微分方程中 电子科技大学硕士学位论文 是非常重要的，尤其是在不规则区域上数值求解二维或三维偏微分方程定解问题 时，网格剖分的质量将直接影响数值解的精度。有限差分方法就是在网格结点上 计算偏微分方程近似解的一种方法。第二步则是离散相应的定解条件，即给出离 散的差分定解问题。 经过八十多年的发展，有限差分方法已经取得了很大的成功，尤其是最近二 十多年来发展迅速，研究成果颇多，v o nn e u m a n n ，c o u r a n t ，f r i e d r i c h s ，l a x ，w e n & o f f 等人都为此做出了不懈的努力【1 】，【4 1 。对于本文第二章中的定常对流扩散方程( 2 - 1 0 ) 和非定常对流扩散方程( 2 1 1 1 1 3 】 6 1 ，差分格式主要有中心显式格式【3 】、迎风格式、 s a m a r s k i i 格式和有限体积法等等，但精度都不高，效果也不是太好，在实际数值 求解过程中工作量是相当大的。本文在文献【5 】基础之上引入一种指数变换，推导 了定常和非定常对流扩散方程的指数型差分格式【3 8 l 。在推导指数格式过程中对部 分项做了改进，从而使截断误差保持在九点格式的水平上，同时也避免了方程中 一阶导数项的干扰。 1 3 基本迭代法 对偏微分方程的求解可以被分为两个阶段，第一步是将偏微分方程离散化， 转化为代数方程组；第二步则是对代数方程组进行求解。偏微分方程的离散和代 数方程组的求解这两个过程是相辅相成的，因为，对一个偏微分方程进行数值求 解，最终的精度将既取决于所采用的离散方法，又取决于代数方程组的求解方法。 因此，将他们作为一个整体来看待更有利于研究和解决问题【3 9 1 。对代数方程组的 求解将促进差分格式的研究工作，而差分格式的研究工作也将对代数方程组的迭 代法有借鉴作用。 考虑线性方程组： 血。b 。 ( 1 - 1 ) 其中a e r ( 或c ) 为非奇异矩阵，x ，h e r “( 或c “) 为列向量。 求解该线性方程组的方法一般可以分为直接法和迭代法两类。直接法的工作 主要集中在六、七十年代，主要是通过对系数矩阵进行变换，如l u 分解、c h o l e s k y 分解、q r 分解等，将原方程化为三角或三对角等容易求解的形式，然后通过回代 或顺代等方法得到方程组的解。在精确运算下，直接法能求解任意非奇异问题 2 第一章绪论 ( 1 1 ) 。方法对于中小规模( 彳的阶数在i 0 0 0 以内) 的稠密系统( 1 1 ) 是有效的。但在 一些特殊情况下，如a 的大多数元素为零，或是当4 的阶数相当大，达到几百万、 几千万甚至上亿阶时，直接法在存储量和计算量方面都是呈指数增长，相对于其 他方法来说显得更费时间。 迭代法 4 0 l 是基于算子a 对某些向量的重复作用。五十到七十年代，人们开始 考虑在计算机上用迭代法求线性方程组的近似解，由此发展了很多非常有效的经 典迭代法，如g a u s s s e i d e l 迭代方法( 1 8 2 3 ，1 8 7 5 ) ，j a c o b i 迭代方法( 1 8 4 5 ) ，s o r 迭 代方法( y o u n g ，1 9 5 0 ) ，a o r 迭代方法( h a d j i d i m o s ，1 9 7 8 ) ，s s o r 迭代方法以及对 这些方法的改进和加速形式。这些方法都是基于矩阵分裂和算子的重复利用，逐 次逼近近似解。我们在这里指出，当系数矩阵a 是对称正定( s p d ) 和具有相容次序 2 1 时，逐次超松弛迭代方法( s o r 方法) 是解方程( 1 1 ) 的一种重要方法。事实上，一 个按某个划分具有性质一4 【2 】的矩阵a ，那么通过适当的重排次序，就可以整理成 一个红黑排序的矩阵，如果a 是一个红黑排序的矩阵，那么它将具有相容次序和 性质a ，y o u n g 在1 9 5 0 年给出了方程( 1 1 ) s o r 方法迭代矩阵乞的特征值，7 和 j a c o b i 方法迭代矩阵目的特征值a 之间的一个关系 ( a + 一1 ) 2 曩n ，2 叩2 a 如果4 是对称正定的，那么丑的特征值为实数并按模小于1 ， 的最优松弛因子可以表示为 2 。i 丽 ( 1 2 ) 这时s o r 方法 ( 1 3 ) 这里p ( 目) 是目的谱半径。 此外，在最优迭代参数一魄的条件下，s o r 方法迭代矩阵的谱半径可以由 式p 皈) 一鸭- 1 给出。 值得注意的是，我们在利用有限差分方法对偏微分方程进行离散后，形成的 线性方程组的系数矩阵往往都具有某些特殊的性质和结构，这些矩阵往往是大型、 稀疏的，尤其是块结构相当明显，例如在第二章中我们用五点和九点差分格式离 散二维拉普拉斯方程边值问题产生的是对称块三对角矩阵；用七点差分格式离散 3 电子科技大学硕士学位论文 三维拉普拉斯方程边值问题将产生对称块五对角矩阵，用指数差分格式离散二维 定常对流扩散方程边值问题将产生非对称块三对角矩阵，这就把我们的目光聚集 到块迭代技术上来了。块迭代技术是以矩阵块相对应的子向量作为迭代法的基本 单元，对于由偏微分方程离散产生的阶数相当大、具有很好的块结构的稀疏矩阵 为系数矩阵的线性方程组，块迭代技术比传统的点迭代技术在有效性、存储量及 收敛速度等方面都有着较好的优势 7 1 ，f 8 i , 9 1 。它的一些思想和方法都是对传统迭代法 的一种发展。 我们需要指出，上面给出的基本迭代法的谱半径以及最优参数之间的关系是 相对于某个划分来说的，因而在块迭代的情况下同样是成立的。y o u n g 在【加l 中给 出了二维拉普拉斯方程边值问题在五点差分格式下的点和块j a c o b i 方法的迭代矩 阵谱半径，从而通过( 1 3 ) 式给出了该问题的s o r 方法最优迭代参数魄。本文将在 这一基础上，用更简便的方式，推导了这一问题在九点差分格式下相应的最优参 数和迭代矩阵的谱半径【删。 1 4p e 方法和块i l u 预条件 求解偏微分方程离散化得到的系数矩阵为大型分块三对角矩阵的线性代数方 程组，p e 方法也是一种很重要的方法。该方法具有迭代收敛快存储量少的优点【1 2 1 。 p e 方法是1 9 7 7 年美国学者w i l l i a msh e l l i w e l l 名e 计算流体力学年会上提出的一种拟 消元法【1 1 】，后来简称为p e 方法。胡家赣等人在系数矩阵为对称正定矩阵和对角优 势l 矩阵的情况下证明了一次p e 方法和一次p e k 方法【1 2 l ，【1 3 i 以及e p e k 方法的收敛 性，并指出一次p e 方法比j a c o b i 方法和s b g s 方法的收敛速度要快。张凯院等人在 系数矩阵为h e r m i t e 正定矩阵时，对二次p e 方法和二次p e k 方法的可解性和收敛性 问题进行了较为深入的研究，并且给出了一系列结果【1 4 1 。任水利在文献1 4 2 1 中提出 新型二次p e k 方法，并随后在【4 3 】中给出了其外插迭代方法新型二次e p e k 方法。 预条件这一概念首先是由美国一著名学者提出，c o n c u s ，g o l o u b 和o l e a r y 等人对其进行了深入研究并将其应用到科学计算中。我们在解决线性代数方程组 求解问题时使用预条件的主要目的就是对原系统进行处理，改善原系统不收敛或 收敛相当慢的状况，减少解决问题的迭代次数和时间。由于在本文中我们需要解 决的是系数矩阵具有很好块结构的线性方程组，因而我们在这里只讨论块预条件 的一些情况。在块预条件中，块i l u 技术【1 5 】 2 0 1 无疑是一个佼佼者。在文【2 1 】中， 4 第一章绪论 j a eh e o n g u n 针对对称的块三对角m 矩阵给出了四种有效的块预条件予。在此基 础上，文章对对称块五对角m 矩阵提出了类似的不完全分解预条件，并用实验验 证它的有效性。在文【2 5 】中，s a n g 则给出了非对称块三对角h 矩阵的三个块预条 件子，本文将利用这两个结果结合k r y l o v 子空间方法解决椭圆型方程和对流扩散 方程的相关问题，并与p e 方法进行比较。同时，我们也指出，p e 方法也可以作 为一种有效的预条件应用到预处理的k r y l o v 子空间方法中去。 电子科技大学硕士学位论文 第二章偏微分方程定解问题的离散化 2 1 椭圆型方程边值问题的离散化 较具有代表性的椭圆万程是二维p o i s s o n 万程 一e + = 他y ) ，) q ( 2 - 1 ) 和二维l a p l a c e 方程 一( 罟+ - 0 ，) q ( 2 - 2 ) 其中q 为尺2 中的一个有界区域。 定解条件通常有如下三类 ( a ) d i r i c h l e t 边界条件：“i ，一妒 ，) ，) c o ) n e u m a n n 边界条件：罢lt 妒( x ，) ，) o n l ， ( c ) r o b b i n s 条件：【_ o u + a ( x ，) ，沁i ；妒 ，y ) o n i r 其中r 为q 的边界，磊为r 的单位外法向，a ，y ) i ，不恒为零。 设q 是x y 平面上的有界区域，其边界用a q 表示，u ( x ，y ) 是定义在q 上的 函数。为方便起见，我们取q 为正方形区域q 一 o ，y ) 1 0 x ，y t l ，其边界a q 为 a q = ( x ，y ) i z 。o l o 量y s l ；y 一0 , l 0 s x s l ) 对q 进行网格剖分，设x 轴和y 轴方向的步长均为h 一，q 的内部网格点为 n + 上 d k - ( 五，y f ) l 薯一i h ，1 s i s n ；y j h ，1 s ，l 6 第二章偏微分方程定解问题的离散化 q 的边界点为 a d k 一 ，y j ) i 五- h ，) ，j j h ；i = 0 , n + 1 j o ，1 ，- - ，n + 1 ；j o , n + 1 ，f ；o ，1 ，行+ q 设y ) 见，定义二维脚l a c c 算子为a 一蔷+ 熹，令 掣叠( x + ，_ ) ，) + “( z ，y + | 1 1 ) + “( x - h ，y ) + ( x ，y - h ) 一( x + ，y + ) + “( x + l ，y - h ) + ( x - h ，y + | 1 1 ) + “( x - h ，y - h ) 定理2 1 1 【1 1 设d 是z y 平面上的有界区域，其边界用o d 表示，g ，_ ) ，) 是定 义在d 上的函数，对d 采用如上的网格剖分，则五点差分格式为 研一4 u + | 1 1 2 a u + d ( 4 ) ( 2 3 ) 定理2 1 2 1 1 1 设d 是z y 平面上的有界区域，其边界用a d 表示，“o ，) ，) 是定 义在d 上的函数，对d 采用如上的网格剖分，则可得九点差分格式为 4 贸+ 靶一2 0 u + 6 h 2 a u + 每a 2 u + d 仿6 ) ( 2 - 4 ) b 4 模型一二维l a p l a c e 方程的一类d i r i c h l e t 边值问题 一e + 一o ，0 x , y l， 卜( o ，) ，) - ，0 ) 。u ( x ，1 ) jo ，u o , y ) s i n 石y 该问题的解析解为 “仁y ) 。挈s m g y ，o x , y l 我们采用如上的网格剖分方法，h 一七，并且在点 ，y ，) 处记球q 一，y j ) ， ” l 由定理2 1 1 ，得该问题的五点差分格式为 “f - l ，一嵋，卜i + 4 甜 ，j 一“ 。j “一“l + l ，1 0 ， i ，皇1 ，2 ，万 o ，- 0 , 砧。吐，- s i n ( 石h ) ， ，- 1 , 2 , ，n( 2 6 ) 嘞冉_ o ，球f 一+ l1 0 ， i - 1 , 2 , ，l 若记z 一 ，。，2 1 ，。h 。，“彬，“。) 7 ，则五点差分格式转化为线性代数方 7 电子科技大学硕士学位论文 程( 1 1 ) ，其中a 为对称块三对角矩阵，b u _ r “2 为由边界条件决定的向量。 4 等 dl idl ldi id d = 41 141 141 14 为了方便起见，在接下来的行文中，我们记形如 d 1c 1 置d 2c 2 瓦一： 见。 巳。 一。d l 卅 的矩阵为t r i d i a g ( e l ，d f ，c j ) ，则爿= t r i d i a g ( 一i ，d ，一，) ，d = t r i d i a g ( - 1 , 4 ，一1 ) 。 由定理2 1 ，2 可得该问题的九点差分格式为 一 ，- 1 + 钒，- 1 + “，- 1 ) + ( 4 吐，+ 2 0 u f ，一4 u , 扎，) 一 j 吐j “+ 缸f ，j + l + 吩+ + 1 ) = 0 ， h ，- 0 , “= s i n ( 砌) u t p = o ，鸭 “一o ， ( 2 - 7 ) i ，= l 2 , ，咒 将内结点进行拉直处理，转化为线性代数方程组( 1 1 ) 之后可以得到 a ；t r i d i a g ( - b ，d ，- b ) 其中d t r i d i a g ( 一4 ，2 0 ，一4 ) ，b = t r i d i a g ( 一1 ，一4 ，一1 ) 。 图2 - 1 模型一的图象 8 第二章偏微分方程定解问题的离散化 模型二三维l a p l a c e 方程的d i r i c h l e t 问题 面0 2 u + 争+ 軎一。( 0 c 工t 1 ，。t y c l 。c z c l ) u ( o ，y ，z ) 一球g y ，z ) ；0 ( 2 。8 ) h g ，0 ，z ) 一h ( ) ，l z ) 一0 “o ，n o ) 一o u ( x ，y ，1 ) = s i n 筇x s i n z y 该问题解析解为 “，)。望当娑sin石zsiny,z 0 x , y , z 1 “b ，) 。而8 肌8 玎y 我们采用类似如上的网格剖分方法，步长，i = ，并且在点，y ，磊) 处记 开+ 上 阮砧；“ ，y j , 4 ) ，则该问题的七点差分格式为 心，乒- 1 一心，卜蛐一峨一l + s u i ， 一心+ 雎一口i ，j + 耻一u t ，j + l _ 0 ， 2 = x 0 u t 矿，耻。， h o ， 宣月， 一，, o 置u t m + l 上_ o ， 、 “j ，m - o , “l ，+ l = s i n ( a r i h ) s i n ( z j h ) ，o ，k 一1 ，2 ，丹) 若记工一 w ，“2 口，鼬，球l ，2 ，扎，“跪l ，“址2 ，“。4 ，) 7 ，则七点差 分格式转化为方程( 1 1 ) 。其中a 为块五对角矩阵，6 r 一为由边界决定的向量。 a 一 一i - - i ld - i 九 9 d 。 61 161 161 16 j o o o 一d d o 4 电子科技大学硕士学位论文 2 2 对流扩散方程定解问题的离散化 我们在描述流场中某种物质的浓度或是在研究温度分布不均匀的导热介质中 各个时刻的温度分布规律时，常常会得到下面的对流扩散方程【3 】，【6 】，口刀 粤+ 粤一里一6 塑。0 ( 2 1 0 ) 孑+ 萨叫i 曲面。 p 盟+ 口旦竺+ 6 塑；粤+ 姿+ s( 2 1 1 ) o t 批 砂批。a y 。 其中a ，b 均为常数，s ；s 伍，y ，f ) 为己知函数。 2 2 1 定常对流扩散方程的指数型差分格式 设d 是工一y 平面上的有界区域，其边界用o d 表示，“0 ，y ) 是定义在d 上的函 数。为了讨论问题的方便，我们取d 为正方形区域d = o ，y ) 1 0 c z ，yc 1 ) ，其边界 a d 为a d 一 ( x ，) ，) l x 一0 , 1 , 0 s y5 1 ；y t o ，1 ，o s x 量l 。 对函数u 做指数变换 “一o k ( x ，y ) ( 2 - 1 2 ) 式中口o ( x ，j ，) ，c ( x ，y ) 一8 气。 将上述变换带入方程( 2 1 0 ) 中，方程则被转化为 口一面o z o + 丽b z o 一业一( z q 3 ) 4缸。d ，。 进而有 a ：日。( 兰竺) ：0( 2 1 4 ) 设l 定义在d 上，采用本章2 1 节的网格剖分( 我们在这里指出，由于变换是 可逆的，定义域的相应剖分对于n 和0 来说意义都是一样的) ，由( 2 4 ) 我们得到关 于0 九点格式为 第二章偏微分方程定解问题的离散化 4 研+ 醴一2 0 0 + 劬2 一十i h 4 2 占+ 。0 6 ) ( 2 - 1 5 ) 将( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式带a ( 2 - 1 5 ) 式中，则有 4 硝埘一 2 0 删t a 2 + b 2 + i h 4 牮2 ”。( 2 - 1 6 ) r r j ( 2 - 1 6 1 式做指数变换的逆变换 i g u 一“ ，y 则有 口 0 ；船一1 心j + 。争j + 。弓h 。+ 。气，。) + - 一2 h 。+ a _ 一ht , h + l + e a 2 kb + + g 争哇h u l _ 1 | e u l1 , i e t l t - l j u il i - 1u il - 1 ) 22 +l+22+ l + e2 2 + + 9 2 2 。 2 0 删华+ 等掣胤榔6 )42 、4 7。”、 2 2 2 非定常对流扩散方程的指数型差分格式 ( 2 - 1 7 ) ( f ，一l2 ，n ) ( 2 - 1 8 ) 将( 2 1 2 ) 式代入( 2 - 1 1 ) 式中，n n o o ( x ，y ，f ) ，( 2 1 1 ) 式转化为 进而有 为 蜘害+ 害一詈+ 华心 ( 2 - 1 9 ) 躺一学+ 竿詈+ ( 半归一竿足- s - a ( k i s ) ( 2 - 2 0 ) 设“对各自变量都具有二阶连续偏导，则( 2 - 2 0 ) 式又可以改写为 椭一害+ 华詈+ c 竿归一半k - i s - a ( k 4 沪詈 设 ，y ) e d ，采用本章2 1 节的网格剖分，由( 2 - 4 ) 式我们得到关于口九点格式 1 1 皇三型垫盔兰堡主兰垡笙苎一 其中f y f ) ，( 矾z + 譬兰半) k - 1 s + 僻4 回+ 等k 4 署。 将时间导数离散，时间步长设为f ，一j 优。做指数变换的逆变换，记 矿j , l 一“ ，) ，j ，) ，则得方程( 2 一1 1 ) 的指数型差分格式 咏- ! ：h “：，+ 。a z h “：，+ 。寺h z 。+ e ； “z 。) + 。一曲。墨，。+ 。磅。：，。+ 。 + 气三。+ e 捞吆，i _ 等+ 啪z 删华) 等# + e 双曲y 曲) ( 2 - 2 2 ) ： 2 0 + 6 h 2 生+ 等芒) 2 7 h 4 一6 7 h 2 一等生m z + 。+ 6 ) f ：黪0 + 2 蓑罄0 似加一) j 配( o ，y ) 一， “缸，) ，) = u 2 j l p ，o ) ，去矿s j n 工， h o ，石) 。云矿s i l l 工 由分离变量法，我们可以得到该问题的解析解为 啦y ) 一去一s i i l x ，眙“石加y 鲥 由( 2 1 8 ) 可以得到该问题的指数型差分格式为 3 一( “f 4 卜1 + 4 e j u u l + e 一2 1 1 f “s - 1 ) 小和h u t _ 1 s + 2 0 + 1 2 5 , 2 嗟忱厂4 e - h u l + l , j 一化：+ ，+ 啦，+ “+ 1 ) ( 22 4)ui-kl 4 e 1 1 e - z 一化2+ l +2 啦， + 2 球“k + 1 ) l 二 ( f ，一1 , 2 ，n ) 若记x ， ，“：。，“。“。，：，) 7 ，d ，2 0 + 1 2 5 h 2 + 差矗4 ，则可得线性 翥 簦 第二章偏微分方程定解问题的离散化 代数方程组( 1 1 ) 。a t r i d i a g ( - e ，d ，一c ) 为一个非对称的块三对角矩阵，其中 d ：t f i d i a g ( - 4 e h , d , 匏一一) ，c 。t r i d i a 9 0 争，匏，e ) ，e ，t r i d i a g ( e 争，和争，e ) 2 3m 矩阵和h 矩阵简介 图2 - 2 模型三的图象 为了叙述定义的方便，我们首先引入几个记号。设一一0 u x 。，b 一 ，j ) 。， 彳s 口表示嘎，5 红f ，j - 1 , 2 , - ，厅。记阻l 一4 吐“阢。 记c 爿) 一c 啦。，其中q ，一 ! = i ：! ，i ；i ，= ，j 定义2 3 1 阎矩阵4 一 ，x 。为m 矩阵，如果口。，s o ，f ，一l2 ，雅，i _ j 且 a 一1 2 0 。 定义2 3 2 圈设4 a ，j ) e r ，a 为h 矩阵，如果( 4 ) 为m 矩阵 由定义我们可以看出，模型一产生的系数矩阵为对称的块三对角m 矩阵，模 型二产生的系数矩阵为对称的块五对角m 矩阵，而模型三产生的为非对称的块三 对角h 矩阵。 电子科技大学硕士学位论文 2 4 小结 本章首先给出了椭圆型方程的离散化方法，并通过模型说明了线性代数方程 组的生成过程和背景。在对流扩散方程的离散化过程中，针对定常和非定常的对 流扩散方程引入一种指数变换，推导出了定常和非定常对流扩散方程的指数型差 分格式。在推导指数格式过程中对部分项做了改进，从而使截断误差保持在九点 格式的水平上，同时也避免了方程中一阶导数项的干扰。 1 4 第三章块基本迭代法 第三章块基本迭代法 3 1 块基本迭代法的概念 考虑线性代数方程组( 1 1 ) ，解线性方程组的迭代法就是构造一个收敛于方程 组的解x 一彳一1 6 的序列o ) ；( 其中石柳是选择的一个维列向量) ，即! 娩x 。工+ ， 迭代公式可表示为 工非+ 1 j - l l ，6 ，工让，x ( k q ，x ( k 一9 + q ) 其中p 为一正整数，这一公式称为p 阶迭代方法，若p 一1 ，则迭代公式称为一阶 线性迭代法。可以表示为 x ( k 川一g x o + ，( 3 1 ) 定义3 1 1 设爿为线性代数方程组( 1 1 ) 的系数矩阵，假设存在非奇异矩阵膨， 有g 一，一m 一，- m x b ，这里m 被称为分裂矩阵，若x + 是( ，一g 净一厂的解当 且仅当x 是出一6 的唯一解，则称迭代法( 3 1 ) 是相容的。 定义3 1 2 如果迭代法生成序列满足l i m x ( ) 一工，v x ( o ) e r “，则称迭代法收 敛，否则发散。 定理3 1 1 1 2 对于任意的初始向量x ( o ) ，解方程组的迭公式( 3 。1 ) 收敛的充分必 要条件是 l i m g 4 0 定理3 1 2 迭代法( 3 - 1 ) 收敛的充分必要条件是 p ( g ) 1 其中p ( a ) 是迭代矩阵g 的谱半径。 皇王型垫查兰堡圭兰垡堡苎 由矩阵的谱半径和其范数的关系可知，如果迭代矩阵的某一范数小于1 ，则迭 代方法收敛。 定义3 1 3 迭代法的平均收敛速度为r a g ) ；一，1 4i n0g “渐进收敛速度为 r ( a ) = - i n p ( g ) 。 设4 为邱x n 矩阵，考虑线性代数方程组( 1 1 ) 被划分成如下形式： 4 。4 ：4 4 。，4 r x a 、f 6 1 屯ll6 2 ii - | i 4 。a ：八hj1 6 这里4 ，n i 咒，的子矩阵，鼍和岛都为氇阶列向量，且，1 1 + 万2 + + 2 厅。 令a dlr ，这里 d 一 4 ，0 0 a 2 ： o0 ，l 葺一 0o0 4 2 1 00 4 ，a ：0 r 一一 0 如 0 0 ： 0 o 钆 4 。 ： o ( 3 2 ) 定义3 1 4 i z 如果存在仉2 ， 的两个非空子集s 和s 2 ，且墨n 是；o ， 墨u 是= 伍2 ，) ，如果对于4 ，j 0 ，f 一，均满足f s ，是或f 是，s ， 则称n x n 块矩阵a 具有性质4 。 定义3 1 5 【2 】如果对于某个f ，存在毡2 ， 的t 个互不相交的子集 s 。，s ：，s ；，而且有0 s ；扎2 ， ，对于任意4 ，一0 ，f * j ，若f s 。时有 l - i j 。( j f ) 或，最+ 。u ) f ) ，则称块矩阵4 具有相容次序。 定理3 1 3 2 1 如果矩阵4 具有性质一4 ，则彬也具有性质a ，其中p 是排列 矩阵。 解方程( 3 2 ) 的块j