（应用数学专业论文）规范变换求解nm阶kdv系列.pdf

摘要 、本文主要研究利用规范变换求解( nt m ) 阶k d v 系列 ( n ，m ) 阶k d v 系列就是将k p 系列限制在如；。1 = e - t o o a e “8 b _ 1 e 卅”) 8 的拟微分算子的子流形上所得的子系列由 于( n ，1 1 3 ) 阶k d v 系列所含方程是多个未知变量的耦和方程，所以 求解这类可积方程是非常困难而且烦琐的但是我们注意到规范变 换在求解k p 系列和c k p 系列时所显示的优点：系统、方便、有 很大包容性，这给我们很大的启发崩c 文先将已知( n ，m ) 阶k d v 系列变成c k p 系列，这一步是十分关键的，正是由于我们建立了 f n l l l 3 ) 阶k d v 系列和c k p 系列的关系，才使得后面的步骤十分 的清楚明了接着我们利用已有的知识对c k p 系列其进行规范变 换。然后再将规范变换所得结果转变成新( n ，m ) 阶k d v 系列这 样，我们以c k p 系列为桥梁，建立了n ，m ) 阶k d v 系列的规范 变换，于是就可以系统而直接地给出该可积系列的许多新解f 作为 例子，我们按照上述方法操作完成了( 1 , 2 ) 阶k d v 系列的规范变 换，并利用此方法得到了一组新解、 _ _ _ - - - _ _ _ _ - _ _ - 一一一 i j a b s t r a c t t h i sp a p e ri s m a i n l yt os o l v e ( n ，m ) m k d vh i e r a r c h yb yg a u g e t r a n s f o r m a t i o n ( g t ) t h e ( n ，m ) 拙k d vh i e r a r c h yi s ar e s t r i c t i o n o fk ph i e r a r c h yt oas u b m a n i f o l do fp s e u d o - d i f f e r e i t i a lo p e r a t o r s a s l b m 1 = e - t o o a e - r * o b 一1 e ( 计”) 口i nar a d i of o r m a sw ek n o w ， w h e nu s i n gg a u g et r a n s f o r m a t i o nt os o l v ek p h i e r a r c h ) ra n de k p h i e r a r c h y ，t h e r ee x i s tm a n ym e t r i t s ，s u c ha s ：c o n v e n e i n c e ，s y s t e m a t i c n e s s ? c o m p a t i b l i t y je t c f 昭c a ng e ts o m e i d e a sf r o mt h i s i nt h i s p a p e r ，w ef i r s t f i n dt h er e l a t i o n s h i po ft h ek n o w nk d v h i e r a r c h y a n dc k p h i e r a r c h y ，w h i c hi st h ek e ys t e p b e c a u s ew e f i n dt h er e l a t i o n ，t h ef o l l o w i n gs t e p sa r ev e r yc o n v e n i e n ta n de x p l i c i t a n dt h e n w e c o m p l e t e t h e g a u g et r a n s f o r m a t i o no f c k p h i e r a r c h y f i n a l l y , t h e t r a n s f o r m e dc i ( ph i e r a r c h yi s e x p r e s s e di n t oan e w ( n ，m ) 他k d v h i e r a r c h y s ot h ec k ph i e r a r c h yi s ab r i d g et os o l v eh i e r a r c h ya n d w ee s t a b l i s ht h eg to f ( n ，m ) “k d vh i e r a r c h y ，w h i c hk e e p st h e f o r mo ft h el a x o p e r a t o ra n dw h e n w ep e r f o r mt h eg a u g et r a n s f o r m a t i o n w ec a ng e tm a n ys o l u t i o n so ft h i sh i e r a r c h yi fw ea r e g i v e n a ni n i t i a lv a l u e a sa e x a m p l e ，( 1 ，2 ) 饥k d vh i e r a r c h yi ss o l v e da n d w e g e tan e ws o l u t i o no f t h i sh i e r a r c h y v 1 致谢 十七岁到二十四岁，正是人生最青春的年华，我有幸在科太渡过更幸运 是遇到了很好的老师和同学，是他们让我感到了家庭般的温暖科大自由的学 术氛围和老师们平易近人的作风，令我受益非浅在科大学习和生活的一幕一 幕，将永远牢记在我的心中 本论文是在导师程艺教授的悉心指导下完成的他渊博的知识、严谨的治 学态度，是我学习的榜样要感谢李翊神教授，他为我打下了坚实的专业理论 基础更要感谢我的师兄贺劲松博士，他不仅经常与我讨论学术问题，每当向 他请教难题，他都耐心讲解这么多老师的亲切教诲，是我一生的宝贵财富 同时也要感谢非线性中心的金涛老师，叶淮老师和王涛老师在我作论文 期间提供的诸多方便和三年来的关怀 在完成论文期间，曾得到师兄弟曾旭东，寥慧勇，王淑兵和郑重的帮助， 在此表示感谢感谢评委们百忙之中抽出时间审阅本论文 感谢所有培养和关心过我的老师和同学们 感谢我的女友曾冠军小姐，是她令我安心地完成本论文 最后要特别感谢我的父母，他们为我的顺利成长付出了辛勤的劳动，衷心 祝福他们健康快乐 第一章引言 随着近代物理和数学的发展，人们对孤立于的研究不断深入和拓展孤 立子方程是非线性的偏微分方程，它的重要性正是由于非线性效应的存在 我们知道，对于线性偏微分方程已有一些较成熟的方法如：d a l e m b e r t 方 法分离变量发和f o u r i e r 方法然而，要找出一种系统的方法来解非线性偏 微分方程却非常困难因此，如何求解孤立子方程一直是研究工作中的个重 要问题 自从1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 提出了著名的k d v 方程【1 以 来，已产生了多种有效的求解方法列如，反散射方法 2 ，3 ，b a c k l u n d 变换法 1 4 ，5 ，6 】，h i r o t a 方法【7 】7 ，p a i n l e v e 分析法 8 ，9 1 和d a r b o u x 变换法 1 0 ，1 1 ，1 2 ， 规范变换法 1 3 i 其中规范变换方法的求解过程是完全线性的，而且可以迭代 使用，因此被广泛用于求解各类线性和非线性偏微分 规范变换是为了研究不同类型的相对论可积系统的关系( 规范等价) 而引 入f 1 3 1 ，当时定义为保持零曲率方程不变的变换后来在1 - - 1 维可积系统的 求解中得到一些应用f 1 4 1 ，5 1 9 0 年初，基于用拟微分算子表述的k p 可积 系统理论，c h a u 等人f 1 6 ) 从k p 系列的z s 方程及其相联系的线形系统出 发，首次具体地给出了两类十分广泛的规范变换算子垂d 和田，这里圣d 和 ，为保持z s 方程不变的变换用来制作规范变换垂d 和的函数分别为 k p 系列的波函数共轭波函数( 称之为第一类生成函数，把生成函数简记为 g f g t ) 反复利用上述两种类型的规范变换算子，给定一个初始解，就可以 得到k p 系列的新解这个求解方法不只是原则性的，而且有很强的可计算 性特别地，由此可以统一地导出到目前为止已知的k p 系列的解例如， w r o n s k l a n 解17 ，1 8 ，1 9 1 ，n a k a m a r a 行列式解 2 0 ，2 1 等等 最近c k p 系列在可积系统研究中受到高度关注【2 2 ，2 3 ，2 4 所谓c k p 系列2 3 ，2 4 1 是k p 系列通过对称约束得到的子系列，这种对称约束是k p 系 列到广义k d v 系列约化程序的一种推广利用s a t o 【2 6 ，2 7 】的k p 理论，文 献f 2 3 ，2 4 1 给出了c k p 系列十分简洁的表达方式c k p 系列包含了许多重要 的孤子方程f 2 3 ，2 4 l ，例如a k n s 系列 2 5 ，2j ，y o 系列 3 3 ，3 4 】等等c k p 系列仍具有可积系统的许多共同特征，例如双哈密顿结构递归算子和无穷多 守恒量f 2 3 ，2 4 1 ，k w 定理和m i u r a 变换f 2 4 】，双线形型表示 2 9 ，3 0 ，3 1 ，等 一1 。1 。一。一一一t 一一 f 第一章引言 2 等当然，它有其独* r i f t ! f 2 2 ，2 3 ：可以通过由k p 系列约束所得到的( 1 + 1 ) 维可积系统的解来构造相应的( 2 + 1 ) 维k p 系列的解同时k p 系列、c k p 系列也深深植根于理论物理 近来b o n o r a 【2 8 ，3 5 】提出了新的k d v 形式的可积系统，他们称之为( n ，m ) 阶k d v 系列它是k p 系列在如下拟微分算子的子流形上的限制这种序列 l a x 算子的形式是 叫= e - m 0 a e 卅b 一1 e f 计m ) 6 ，( 1 1 ) 其中m 2 ，a 和b 分别是没有次高项的( n + m ) 阶和m 阶的微分算子，可以 表示为 a = + ”i 巩口= 扩+ 屿伊， ( 12 ) i = 0 j = 0 它的l a x 方程可以表示为 缸川= 阵n “，m 】 _ s ， 这种可积系统的求解是一个重要问题也是本文重要议题，目前尚未见 任何报道由于( n ，m ) 阶k d v 系列所含方程是多个未知变量的耦和方程。所 以求梓这类可积方程是非常困难而且烦琐的我们的目的就是应用规范变换 给出这种系列的精确解本文是如下安排的：在第二节中主要全面介绍c k p 系列以及利用规范变换来求解这类系列f 3 9 ，其中我们还介绍了递推变换以及 r 函数的一些结果在第三节，这是我们自己的主要结果首先，我们给出在 f 4 2 1 中已给出的一个命题，从而得到了关于j = 艮，a ，b 的流我们的目的就 是求解这种可积系统，主要的结果在这后面给出在这- - d , 节中我们经过四步 “_ - _ 。1 一”。一1 一 第一章引言3 变换完成这种系列的规范变换，这四步可以通过以下的流程图清楚的看出： 三= e 一“”a ( o ) e - n a ( 。) 日( o ) - 1 e m 川。 二( 0 j = 掣+ 垂a 1 。中般 马三( 1 】： 旦sz ( 1 ) ： 当工= z = 1 # + 中a 。中1 1 l = 1 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 3 i ) 一1 ( a 一3 1 + 1 ) ( 0 一s 。) ，( 1 7 ) 眇) 一1 e ( 卅”) 8 “ ( 1 8 ) 从上面可以看出研究c k p 系列时的结果给了我们很大的启发，它了为我们最 终解决( n ，m ) 阶k d v 系列驾起了的一座桥梁因此如果我们有( 1 3 ) 的一个 特殊的初解，我们就可以通过这四步的规范变换得到此系列的新解在本节的 最后，我们来具体操作完成了( 1 ，2 ) 阶的k d v 系列的规范变换，并给出这种 系列的一组新解最后我们给出总结，并且给出我们需要进一步改进和完善的 地方，以及一些期待解决的问题，给出未来的一些研究方向最后列出参考文 献 在这部份的最后，我们给出文中经常使用的一些记号a 和b 具有形式 ( 1 2 ) ，如果一拟微分算子具有如下等式，三= + u i 伊+ 西，0 _ 1 j ，则 垂i 和中，分别表示算子l 的本征函数和共轭本征函数对任意一个拟微分算 子l = l + + 三一，+ 代表l 的微分部分，三一代表上的积分部分 一一一一一r一 l 第二章c k p 系列的求解 2 1c k p 系列 近来许多文章从不同的观点提到所谓的”约束k p 系列( c k p ) ”【3 7 ， 4 0 1 1 4 3 5 5 】，其实c k p 系列就是k p 系列限制在如下形式的拟微分算子上 3 9 】： ( 2 1 ) 巩l = 鼠，引，b kil k 2 ，k = 2 ，3 ，( 2 2 ) 其中u 。也和也是z = t - 和高阶时间变量t 2 ，t 3 ，的函数注意到l a x 算子( 2 1 ) 的积分部分是由特征函数q 和共轭特征函数田，所决定的即对 i = 1 ，m 它们满足 巩中i = ( b k 中，) o ，仇皿，= 一( b ：皿，) 。( 2 3 ) 其中( ) 。表示零阶项，+ 代表共轭变换：a 。= 一c o , ( c o “) = 一a ，( a b ) 。= 口。小，f + = f , f 是任意函数可以看出( 2 2 ) 和( 2 3 ) 是一致的接下来，我们 来简要的看一下规范变换的思想我们把系列方程( 2 2 ) 写成如下形式： 以b 。一如b 。+ 【b m ，鼠】= 0 ，( m ，n = 2 ，3 ，)( 2 4 ) 人们称之为z a k h a r o v s h a b a t ( z s ) 方程 5 6 ，它等价于方程( 2 2 ) 如果我 们找到一组函数”。，中。，田，也就是一组微分算子鼠满足( 2 4 ) 这样就有了一 个c k p 系列的解给出一个l a x 算子( 2 1 ) ，就存在相应的算子l 1 。， l = 0 + ”1 0 1 + ”2 a 一2 +( 2 5 ) 一一一一t 一 i 32 = m口 一 a垂 。曲 +a u 枷 + = l 第二幸c l i p 系列的求解 5 其中“可以由u 。中。皿；表示，反过来也如此则l i 7 也满足l a x 方程( 2 2 ) 由k p 系列的理论【2 6 ，q 可以由t 函数表示： u 1 = 箧i n r ， 如= ：池如一鲤) l n ( 2 6 ) 可见u 。，圣i ，皿i 也可以由同样的r 函数表示这样我们就可以通过r 函数来表 示c k p 系列的解假设卯已经满足( 2 4 ) 如果 口：1 1 三r b ：o t 一1 + ( 巩t ) t 一1 ( 27 ) 其中t ：t ( x 。，) 是任意拟微分算子很容易验证口p 1 满足( 2 4 ) 注意到b ：1 是微分算子，而( 2 7 ) 式的右边一般不是纯微分算子然而如果 我们适当的选取变换算子t 使得口i 1 都是纯微分算子那么b p 就是c k p 的一个新解下面可以看出有两种规范变换算子使得b ：1 都是纯微分算子 2 2 规范变换算子 为了使变换后的算子8 0 是一个纯微分算子，我们可以假设其中的魄r 丁1 可以抵销t 卵r 一1 中的积分项【3 7 ，5 7 1 因而我们假设算子t 满足 o e t t 一= 一( r 目1 0 ) t 。) 一 当然这是个限制性很强的假设一般只需满足( 仇t r 一1 ) 一= 一( t 酸1 丁一1 ) 一： 就可以了如果( 2 7 ) 式成立，则有 b - 口：1 ) = ( r b l 0 ) t 。1 ) + ( 2 8 ) l l o ) _ + l b ) ：t l ( 。) r 一1( 2 9 ) 一一一1 一 i 第二章c k p 系列的求解 我们有两种规范变换算子满足( 2 7 ) 的要求 3 9 】 t y p e l t y p e l i 6 ( x ) = x 。a 。x ，仇x = ( 酸1 x ) 。 ( 2 1 0 ) 乃( p ) = p - 1 0 a 山p ，酞p = 一( b p p ) 。 ( 2 1 1 ) 其中x 和p 分别为l a x 算子l o 的特征函数和共轭特征函数以下我 们可以看出变换( 2 8 ) 和( 2 9 ) 会保证工( 1 ) 和且( 1 ) 满足l a x 方程 巩) - 磷“，工 ( 2 1 2 ) 对于第一种类型的变换，如果对任意的拟微分算子p 有【5 7 ( x o x 一1 p x o 一1 x 一1 ) ； = x a ，、一1 ( p ) + x a 一1 x 一1 一) ( 以( 、一1 ( ( 尸) + ) ( ) o ) 0 - 1 一1 ( 2 1 3 ) 然后代替p = ( l ( o ) ，并注意到x 为l a x 算子l ( o 的特征函数，( 2 1 2 ) 式 就可以被验证类似的对于第二种类型的变换，以下的性质也可以证明( 2 1 2 ) 式 3 9 ： ( # - 1 0 。1 p p , u “却) 一 = p 一1 扫一1 p ( p ) , u - i 扫卢一# - 1 0 1 p 伉( 一一1 ( ( p + ) + p ) 。) ( 2 1 4 ) 尽管前述功与乃能保持l a x 方程不变，但并不能保证变换后和 越1 为新c k p 系列之解为此，还要进一步要求规范变换保持c k p 的l a x 算 子形式不变因而，接下来从保持l a x 算子的形式方面来具体给出由c k p 系 列特征函数和共轭特征函数所生成的两种类型规范变换 第二章c k p 系列的求解 t y p e i ：在第一种类型的变换下，l a x 算子变为f 4 0 ，：x 似+ 妻圣附- z = 1 l 掣= l 卧x 一( x 气：， 雪! o 0 1 三尘1 = 垂跏一1 3 1 + 西啪一1 皿5 1 1 i = 1 ) ( o 一1 ) ( 一1 三三+ 三生 7 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 西3 1 ) x ( 以( x “l + 阻( x 。圣1 0 ) ) 霹1 ( 皿+ 西n 哪 ) 三( x o x 一1 ( o ) x ，( 2 1 8 ) 皿3 1 = x 一1 ，西1 1 = x 以( x 一1 西 o ) 三t v ( ) ( ) 西 “， ( 2 1 9 ) 1 i 1 ) ：一x 一1 霹1 ( 皿) 一一乃( x ) m 见( 2 | 2 0 ) 我们注意到变换后的l a x 算子的积分项工旦中多了一项，为了保持积分 项的形式我们可以选择x 就是l 【o ) 的特征函数，例如x = 圣( 0 1 ，这样西；1 ) = 0 ， 垂紫就代替了它的位置这样就保持了l a x 算子的形式从( 2 9 ) 式我们知道 算子l 7 的变换规则同是一样的，即 ( “7 一( “2 = 而( 垂( ) “7 ) 巧1 ( 垂 ) 然而我们已经知道变换后的系数”1 1 同变换前系数。：f o ) 的关系 1 6 】 计 1 ”1 1 ”：o + 磋i n 垂：0 ) ， ”1 0 ) + ；( 嘲：一理) ：“， ( 2 2 2 ) 比较( 2 6 ) 式可以看出在规范变换( 2 1 0 ) 并取x = 币 o 下，r 函数盼变 换关系为 一) t 。垮”) ，( 1 ) ：币附。)( 2 2 3 ) 一一_一一t一一一 i l 、 第二章c k g 系列的求解 t y p e i i ：在第二种类型的变换下，l a x 算子变为 3 9 】 工( 1 ) = l 尘 = 丛l ： 圣：1 = 弘一1 # - t o z 一1 三三尘+ 上旦) 蚶= 一p ( 以( 芦弋。一喜增1 ) 西1 ( 硝) 删面 三一( t d ( 一) l t o ) + ) p 屯1 1 ) 中1 1 1 u - 1 0 2 1 ( p 。1 中兰乃( f ) 西熙 一p 盈( p 咖_ 0 j ) ；功( ) 皿p 8 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) p 】) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 类似地我们可以取一= 妒n 这样就保持了l a x 算子的形式r 函数的 变换关系为 f 0 ) 乃，( 1 ) ：母。)( 2 3 1 ) 注记2 2 1 虽然变换佃旦圳和偿s 1 ) 同p 系列的形式一样，但c k p 和胛 系列之间存在这很大的不同，对于c k p 系列，为了保证l a x 算于俾zj 的形 式，特征函数) ( 和共轭特征函数“不能任意的选取，它们必须同算子偿j 的积分部分联系起来而对于 p 系列，就没有这些限制 我们已经看出两种类型的规范变换算子，微分型的而和积分型的乃， 它们对于产生c k p 系列的新解是非常重要的通常规范变换算子( 2 1 0 ) 和 、一、 叫、：、， 矿 十 皿 科 _ 协 。自以 。+o。汹 ，、寸 旷 _ 一p 扩 一 扩 一“ 髓 哦 第二章c k p 系列的求解 ( 2 11 ) 可以递推的应用简要的把结果列举如下 和 ) _ t ( d k - 1 ) o 沙_ 1 j 。叫) 1 = ( 蛐) + + 量。皿 i = l 蹬叫：垂扩叫。a 。f 垂铲叫1 “ 中p = 。1 。叫) 中掣， 皿掣= ( 中掣) ， 垂= 略。) 。币p ， 皿 = 一砖一1 。皿：一“， r ( ) = 西r 1 ) r 忙一“七= 1 ，2 ，3 ， ) = t k - 】) o 】) 。( 矿”) 。1 = ( l 1 ) + + 圣，。a 。皿 。1 ) _ f 皿p ) 。一。皿p ， 垂于1 = f 皿p _ 1 1 ， i 纠= 一( 嘴1 1 。( 工( 1 ) 。) 田妒。1 ， 中r = 乃f 啦p ) 西p 1 ， 妒= 一t of 皿r 一”) ! 一“， t ( ) = 皿r 一1 ) r ( h ) k = 1 ，2 ，3 ， 这里的上标七表示第k 次规范变换后所得的结果 2 3 递推规范变换 f 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 1 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 为了更好的了解使用两种规范变换算子所进行的递推变换，我们将这种 递推规范变换分成以下几类 3 9 ：如果用来构造规范变换算子瞪( 砖q ) 的特 第二章c k p 系列的求解1 0 征函数d ( 共轭特征函数耐) 来自同一个分量( 即i 固定) ，则称这种情况 为单型的，反之称为多型的另一种情况是如果在变换时仅使用一种算子( 功 或乃) ，我们称之为纯的，反之称为混合的这样就有四种情况讨论，即单型 ( 纯的) ，多型( 纯的) ，单型( 混合的) ，多型( 混合的) 以下我们就分别讨论这四 种情况 2 3 1 情况a ：单型( 纯的) 仅使用规范变换算子，我们可以构造以下的礼步规范变换： 工( 。) 驾l ( 1 ) 掣l ( 2 ) 鸳“三( n f 2 | 4 6 ) 利用( 2 3 2 ) 以及重复使用以下重要的关于w r o n s k i a n s 的性质 5 9 n 钆t x ( f ) = 等 其中 死= 鼍a 等= ( a + ( n 等) ) w o ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) w k 三帆h ，日 ，帆( f ) 三m + 1 ，以，f 】( 2 4 9 ) 我们有经过n 步规范变换后关于r 函数以及特征函数的结果为 4 0 巾i “= 喀。1 喀。嗜1 ( ( 泸) “垂i 0 ) ) 眠+ 。| 中i ，叩1 1 ) ” 1 州 2 习蒂万万可爿 ( 2 删 = 玷一1 咕叫毋 ：端篙攒扛。 ，圳射，l 西( o ) ，叮”1 叩r i 一 、 第二章c k p 系列的隶解 l l r ( 此母掣垂p 圣。) _ 弦，q 卜q 掣卜( 2 _ 5 2 ) 这里r ( 。) 和r ( n ) 分别为l ( o ) 和彤n ) 的r 函数。群定义为 h 2 j 三( ) 币( 0 l ( 2 5 3 ) 类似地，仅使用规范变换算子d 时： ( 0 1 掣l t 。o il 1 2 ) 霉仁“上 ( 2 _ 5 4 ) 从( 2 3 9 ) 一( 2 4 5 ) ，我们有 ( 一，) “巧”1 ( 口p 。1 ) 砖”2 1 ( 田；”2 ) 研。( 皿( o ) ) ( ( + ) “, i o ) r ( n ) ：皿，“皿，_ 2 其中群定义为 - 1 ) 开 - ) 可” 毹2 ) 2 ( p ) 5 d ) 稍”，链”毹“- 1 ，1 ( 2 5 5 ) ( i 叫) 皿5 叫 i = 2 ，3 ，一，- m ( 2 5 6 ) 中0 】_ 障，扩”毹1 皿 0 ) r ( 2 5 7 ) 帮三( 上( 0 】+ ) 皿( 0 ( 2 5 8 ) 2 3 2 情况b ：单型( 混合的) 现在我们可以考虑在作递推规范变换时同时算子t d 和乃从( 2 3 5 ) ，( 2 4 1 ) 以及和矸的定义，容易的看出： 毹i ，一毹 监至 弧一 篮巾 n n 、j、j 一 一 ，【 1 | | i n ! 皿 第二章c k p 系列的求解 列嗜。) = 蹬带。1 = 1( 2 5 9 ) 因而我们发现后作用乃或者反过来，只能得到恒等算子通常如 果n 步规范变换算子t ( ，r ( ”，t ( 一1 ) 中，有p 个码型的，口= n p 个 乃型，则最终的r 函数为： 如果p q 或者 r 加) = 一。l 西i 0 ) ，前，叩 ” l ( 2 6 0 ) r ( n ) = 一，伊吧； 4 十”毹1 m ；0 ) 】r ， ( 2 6 1 ) 如果q p 显然上面的结果已包含在a 情况中了 2 3 3 情况c ：多型( 纯的) 在变换中只使用算子而的普遍形式在 4 1 中由a r a t y n 给出： 三 o ) 节h ( 弩“l m ) _ 州) m ) ( 。1( 骘。三m ) t d ( 骘呐 ( 2 6 2 ) l ( k i n + 1 ) ( 鸳”h ( 札 k _ i n + ”) l ( 胁+ 。) 其中1 s m 相应这( k m + 。) 步规范变换的r 函数为 4 1 1 r ( k m + s ) = ”，西孙一，1 黔”掣，1 掣，q 卜，q 叫r q ( 2 6 3 ) 第二章c k p 系列的求解 如果使用规范变换算子n ，同样有r 函数形式为 1 3 7 ( k i n + s ) = 群，群，错_ 1 ) 群“卜，锷卜科“，粤】皿州r f 。) ( 26 4 ) 2 3 4情况d ：多型( 混合的) 这种情况比上面的三种情况都要复杂得多实际上它包含了上面讨论的 所有情况使用上一节最后的关系，我们可以出下面的两步变换 l ( k - 1 ) 骘“) l ( i ) 乃哆”1 工( “1 1 ，i j ( 2 6 5 ) 作用在r ( 卜1 和以下的变换是等价的： l ( k - 1 ) n 譬。1 k ) 而蝉”) _ 上( ( 2 6 6 ) 通过情况c 的w r o n s k i a n 结构，上面的结果对递推作用的微分f 或积分) 也是成立的因而再结合性质( 2 5 9 ) 就可以使我们写出任意递推变换的r 函 数让我们考虑m = 2 的情况现在我们有两种方法来构造n 步的递推规范 变换根据以前的讨论，这种递推作用于r ( 0 】变换的最终的结果仅仅依靠最 后剩下的各种形式的算子假设最终分别有n 。个功型和n 。个乃型( 当然 n 。+ n ：n ) ，那么我们就可以容易的写出最终的r 函数【3 9 ，。垂 。妒字，。叩 1 妒乒- ，。q l n l - 1 ) 砂1 0 厂垂【0 秽川 西r 烈笋 面恐 厂q ”_ 1 锐”- 1 目 ”- 1 1 爿= _ 1 ) 1 i ；1 ) ( 2 6 7 ) 增柑撼 ， 第二章c k p 系列的求解 如果n l n 2 r ( n 】= 厂。镀”一1 中( 0 ，。科1 垂( 0 ，。妒5 0 西i o 厂镀”。1 q r l 轷2 “) 毹：2 “ 链；1 ) 5 。链1 叩，1 。 链1 ) 锲 链曼 ，。q ! ”1 ) 币严 谚掣 墨 ( 2 6 8 ) 如果n z ”- 这里，厂，表示f ，如，取积分常数为零 至此，我们可以看出通过规范变换能成功的求解出c k p 系列的许多新 解，在以下几节中我们主要解决通过规范变换来求解( n ，m ) 阶k d v 系列 第三章( n ，m ) 阶k d v 系列的求解 3 1 ( n , m ) 阶k d v 系列 在 4 2 中已指出，( n ，1 t i ) 阶k d v 系列是个哈密顿系统，这个系统的哈 密顿量是 e ( ) = i 如， r 钆2 ，( 3 1 ) 我们在这里首先定义 h 州= e 七+ m ) 8 b - l e , t o a e ，戽= ( 辕。】) + ，只= ( 三) + ， ( 3 2 ) 则有如下性质 性质3 1 1 将 ，( ) 限制在形如f j 纠的偏徽分算子的子空间上就可以得到 一个关于j = 如，a ，b 的流，这个流具有l a x m a n s k o v 三重架表示 这里 = 嘉( 一三；- - ? e 8 三；) ， a ，a = 珥a a 蛆，( 3 3 ) 8 k b = n r b b n r ， m r ：竹t 吼，+ e m 。p r e m 。，五茸= 仃z o “+ e m 。耳e m 8 ，( 3 4 ) 和f = 礼+ m r = 1 0 l ，+ e 阳霹e 圳，兢= l o t ，+ e 坩p r e 川( 3 5 ) 流( 3 3 ) 同样有l a x 对表示，并且它的完全可积系列就是( 1 3 ) 在( n ，r 1 2 ) 阶k d v 系列中。j 扮演了个重要的角色，它使俩个不同类型的系列合并 成个新的系列我们可以形象地把j 为看成胶水，它将m 阶k d v 系列和 ( n + m ) 阶k d v 系列合并起来 1 5 第三章加，m ，阶k d v 系列的求解 3 2 ( n ，i n ) 阶k d v 系罗规范变换 1 6 在这部分中，我们将对算子( 1 1 ) 实行规范变换，它将保持l a x 算子以及 l a x 方程的形式变换包括四个步骤以下我们将逐一完成这四步 3 2 1 步骤i 我们已经知道微分算子b 可以分解成如下形式 m 一2 b = 0 m + 了_ 屿护= ( a + a 1 ) ( a + a 2 ) ，( a + d m ) ，( 3 6 ) 其中 应用简单的性质 q = 0 ， i = 1 ( 3 7 ) ( 0 + 口) 一= e ，。o 0 1oe f 。， ( 3 8 ) 其中，o 表示f c r d z 我们就可以得到以下定理， 定理3 2 1 l 口z $ - - 7 - l ：_ 】：e m 们1 a ( o ) e - n 0 4 。) b 。卜1 e n + m p 。，其中m 芝2 删圳+ 薹4 叫，眇“+ 蓄妒伊，可以变换成另外一种形式 l 。j l p + 圣 o ) 。0 。” ( 3 9 ) 其中西5 m ，尸，i = l ，m 是”：们，o ，( i = 1 ，f 2 ，j = l ，m ) ，疗( o ) 的 函数 注记j 2 _ 2 对于普遍形式的l ( “，要得到用面5 0 和田，表示的具体表达式是 非常烦琐的，但是这一步是十分关键的正是由于我们建立了r n ，m j 阶k d v 系列和c k p 系列的关系，才使得后面的步骤+ 分的清楚明了我们书在以后 给出关于n ，纠阶k d v 系列的明确的表达式 第三章阳，1 7 1 ) 阶k d v 系列的求解 3 2 2 步骤l i 这一步就是利用第二章中c k p 系列的求解结果，为了保持文章的连续 性，在这里再把主要结果叙述一下对于l a x 算子( 3 9 ) ，存在着两种规范变 换算子 3 9 j t y p e t y p e l f ( x ) = y 。0o ) ( ， 乃( p ) = p “0 0 _ 1o p ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 其中x 和分别是l a x 算子l ( 3 9 ) 的特征函数和共轭特征函数在( 3 1 0 ) 中类型i 规范变换算子作用下，工( o ) 变成如下lc 1 1 3 9 ： j = x 纠+ 壹i = 1 圣抄1 5 。) x o 一1 x 一1 三l 坚+ l 尘) ，( 3 1 2 ) l 2 ) - 上+ x ( 以( x “工p x ) 。) x 一， ( 3 1 3 ) 工尘= 中廿k a1 3 ”+ 西1 1 ) o 。屯” ( 3 - 1 4 ) 西5 1 ，：xf 以( x 叱+ 妻b ( x 篮1 ( 屯! o 】x ) + 西州。 ) 三f ) ( a j y 一1l 0 1 ) ) ( ， 1 = 1 ( 3 1 5 ) 皿3 1 ) ：x ，中 1 = x 以( ) - 1 西三r v ( x ) 圣” ( 3 1 6 ) 皿5 1 ) = 一) - i 爵1 ( ! 呻) ( ) 三一n ( x ) 皿：， ( 3 1 7 ) 我们感兴趣的请况是x 就是工 。) 最初的特征函数，例如x = m ，那么 中5 1 ) = 0 ，则算子l 【1 ) 保持着同l a x 算子( 3 9 ) 同样的形式现在开始讨论k 步规范变换构成的规范变换链 3 9 】 l ( 0 ) 掣) 三 1 ) 掣”) l ( 2 】啦l ( 3 ) - _ + l ( ) 喀一型“”上咔 我们对七= l ，2 有 _ - - - _ - - 一_ 。_ _ - - _ 一一 、 第三章阳，脚j 阶k d v 系列的求解 l ( k ) = = 嗜叫= 中。( 圣) 。 砖卜1 】= ( 垂掣) - 1 。a 。西掣 币p ，= ( t ( d k - 1 ) ol t k 一1 ，) 垂驴一1 1 ，舻= ( 圣驴一l ) 一1 掣= 嗜一1 ) 。”。，田= 一叫b 1 。昨。1 1 类似对类型i i 规范变换算子，变换所得的l a x 算子为 3 9 l ( 1 ) = l 尘= 工【1 ) = 甜1 皿拿 中1 1 蝉 “， 一p ( 以( p 。1 l 。一善 一( 丁b ( “) l 【o ) + ) p ， 肛- o f l ( 。圣三乃( p ) 垂” 一p 巩( “咖三一( p ) 皿1 0 ) 对于规范变换链 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) p 一1 却一1 三l 坚1 + 工尘，( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 0 ) 叫攀) l ( 1 ) t r o 司 ：o ( 1 巧攀) 工f 3 j + 斗l ( j 矿掣“”) l ( 女 其中 田o扩o e l 。曲 ， + 一 ) 、，仕0 ” 母 俨d h r 扩 o 0 蚶 o ” 0 一 k 嗜 j、，v 叫、=、， 扩 + 皿 o b 。矗以 。+。 m 二卜 一 + ，、协 。 肛 一 扩 一 扩 n 咿 孙，：=、 曩 ，l 皿 0 l e l+ 、， o 田 ，、 霹 、 0 i e i 一 ，v 以 -【 第三幸佃，脚) 阶k d v 系列的求解 l ( i ) r f ( k - t 1 西轳 西 矿1 ) 0 l ( - i ，。( 矿1 ) 。 ( ) + + 垂乳。+ 妻圣 j ：) o 扫- 3 0 皿”( 3 3 0 ) ( 皿矿一1 ) 一1 。a l 。皿竽一1 1 ， ( 3 3 1 ) ( 掣) 皿= 一( 嘴。( 胪叫) ) 皿，( 3 r 3 2 ) 正( 皿掣) 币掣，蛤一( m ) 口( 3 _ 3 3 ) 3 2 3 步骤i i i 在 2 8 i 中作者已经给出了算子( 1 6 ) 和( 1 7 ) 的关系，首先我们考虑一个 简单的性质 垂00 10 圳。( x - l oo - lox ) _ 0 o0 - 1 错。( x - too - xox ) 划。( x - 1 o0 - o x ) 一中错。( 湍0 0 - i0 可w i x , ) o ( x 一1o a 一1o x ) ， ( 3 3 4 ) 连续递推使用性质( 3 3 4 ) ，对任意的函数垂，皿，x 一，有 圣0 a 一10 皿 划( x - a - x ) 一西料( 器0 0 - 10 钳) ( x - 铲 + 垂铙等( 最高0 a - i0 镜等) ( 厕w x lo o - o 帮) 铲， ( 3 。s ) 那么我们就有f 2 8 】 第三章f n ，m j 阶k d v 系列的求解 其中 n = s = k= l = l + + 西。扫。皿i i = l = 三+ + 啦( a s ，) 一( o - s 。) ， 厂p k 锦岩背，一厶s = l 。 一巩，n 旦；字肴湍，s 。= 一以- n 皿。， 1 m 1 自此我们就建立了算子( 1 6 ) 与( 1 7 ) 的关系 3 2 4步骤 如果定义一个如下变换( m i u r a 变换) 【3 5 2 0 ( 3 3 6 ) ( 33 7 ) ( 3 3 8 ) l l = e - m 8 a e 训( 3 3 9 ) 三2 = e - + ”j 。b e ( “+ “) 。= ( a s 。) ( 0 一s 。一1 ) ( 0 一s 1 ) ( 3 4 0 ) s i = 一m ( n + m ) 艮 ( 3 4 1 ) l = 1 那么 逆方向的使用( 3 4 2 ) ，我们有 定理3 2 3l a x g - 7 - r 卅可以变换成另外一种形式仁副，其中 243 一 m s一口 一 + s a s a 。尚 + + l = 一2 ll 1 l m n l 第三章阳，叫阶k d v 系列的求解 a 1 1 = + ”：耖b i j 一扩+ q q 驴k 一 藩铲， w ：1 = j ( s l ，s 2 ，5 。) ， i = 0 ，m 一2 ， 趣1 ) = g ：( n 1 ，n 2 ，d 。，s l ，s 2 ，s m ) ，i = 0 ， 2 1 ( 3 4 3 ) 注记3 2 4 因为